九年級(jí)數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)幾何綜合專題練習(xí)(解析版)

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)幾何綜合專題練習(xí)（解析版）一.初三數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)易錯(cuò)題壓軸題（難）1. 如圖，四邊形ABCD為正方形，AAEF為等腰直角三角形，ZAEF=90 ,連接FC, G 為FC的中點(diǎn),連接GD, ED.（1）如圖，E在AB上，直接寫出ED, GD的數(shù)量關(guān)系.（2）將圖中的AAEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變，如圖，（1）中的結(jié)論是否 成立？說明理由.（3）若AB = 5, AE = lt將圖中的ZkAEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)E, F, C三點(diǎn)共線囹圖【答案】（1）DE=JJDG： （2）成立，理由見解析；（3） DE的長(zhǎng)為4JJ或3近.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)論：DE二J?DG,

2、如圖1中，連接EG,延長(zhǎng)EG交BC的延長(zhǎng)線于連 接 DM.證明 CMGAFEG （AAS）,推出 EF二CM, GM二GE,再證明 DCMADAE（SAS）即可解決問題；（2）如圖2中，結(jié)論成立.連接EG,延長(zhǎng)EG到使得GM=GE.連接CM, DM,延長(zhǎng) EF交CD于R,其證明方法類似；（3）由題意分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)E, F, C共線時(shí).如圖3-3中，當(dāng)E, F, C 共線時(shí)，分別求解即可.【詳解】M,連接DM.解：（1）結(jié)論：DE= 72 DG.1四邊形ABCD是正方形， AD = CD, Z B = Z ADC=Z DAE=Z DCB=Z DCM = 90 Z AEF = Z B

3、 = 90, EFII CM, Z CMG = Z FEG, Z CGM = Z EGF, GC = GF, CMG竺心 FEG (AAS),EF=CM, GM = GE, AE = EF, AE = CM, DCM竺 DAE (SAS),DE = DM, Z ADE = Z CDM, Z EDM = Z ADC=90DG丄EM, DG = GE=GM, EGD是等腰直角三角形， DE= V2 DG.(2)如圖2中，結(jié)論成立.使得GM = GE,連接CM,延長(zhǎng)EF交CD于R.2EG=GM, FG=GC, Z EGF = Z CGM, CGM雯 a FGE (SAS),CM = EF, ZCMG

4、=ZGEF, CM II ER, Z DCM = Z ERC, Z AER+Z ADR=180% Z EAD+Z ERD=180 Z ERD+Z ERC = 180, Z DCM = Z EAD, AE = EF, AE = CM, DAE竺厶 DCM (SAS),/. DE = DM, Z ADE = Z CDM, Z EDM = Z ADC=90 EG=GM, DG = EG = GM, EDG是等腰直角三角形，DE= JJDG（3）如圖3-1中，當(dāng)E, F, C共線時(shí),在 RtA AEC 中，EC= JaC匸 AE? = J（5血）2一2 =7, CF = CE - EF = 6,1 C

5、G=-CF = 3t2 Z DGC = 90, dg= JcD，-CG?=屆 -3, =4, DE=V2 DG=4./2 F, C共線時(shí)，同法可得DE = 3JJ .綜上所述，DE的長(zhǎng)為4血或32【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考査正方形的性質(zhì)，全等三角形的判左和性質(zhì)，解直角三角形等 知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.2. 已知：如圖，在矩形ABCD中，AB = yAD = 4,AE丄BD,垂足是E點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于A3的對(duì)稱點(diǎn)，連接AF、BF（1）求AF和8E的長(zhǎng);B圖督用囹（2）若將沿著射線3D方向平移，設(shè)平移的距離為山（平移距簡(jiǎn)指點(diǎn)3沿3D方向 所經(jīng)過的線段長(zhǎng)度）當(dāng)

6、點(diǎn)F分別平移到線段AB、AD上時(shí)，直接寫岀相應(yīng)的加的值.（3）如圖，將繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角tz（0r/AD,2 2ABAD 3x412AAE=,BD 55點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn),12/.AF=AE = , BF二BE,5VAE 丄 BD, ZAEB=90,12在 Rt/kABE 中，AB=3, AE= 5由勾股左理得：BE= “A慶一加（2）設(shè)平移中的三角形為 A8匕 如圖4所示:9由平移性質(zhì)可知,ABA8, Z4=Z1, BF=B/F/=-,5 當(dāng)點(diǎn)尸落在AB上時(shí)，ABA8,AZ3=Z4.根據(jù)平移的性質(zhì)知：Z1=Z4,Z3二 Z2,9 nn 9二BF= ,即 m =-:55 當(dāng)點(diǎn)尸落在

7、AD上時(shí)，ABA8, AB丄AD,AZ6=Z2, A8丄AD,VZl=Z2t Z5=Z1,AZ5=Z6.又知A8丄AD,BFD為等腰三角形，9 B/D=BrF/=-,5.,916 nn 16ABBz=BD-B#D=5-t = 一,即 m=；555（3）存在.理由如下：四邊形ABCD是矩形，AZBAD=90VAE1BD, ZAEB=90Z2+ZABD=90, ZBAE+ZABD=90,AZ2=ZBAEt：點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，AZl=ZBAEtAZ1=Z2,在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰ADPQ依次有以下4種情形：如圖所示，點(diǎn)Q落在BD延長(zhǎng)線上，且PD二DQ,圖則 ZQ 二 ZDPQ,Z2 二 ZQ+

8、ZDPQ=2ZQ,VZ1=Z3+ZQ Z1=Z2,AZ3=ZQ,AQ 二 AB=3,1227 F/Q=FZA/+AZQ= + 3 = t55在RtABFQ中，由勾股龍理得:9/10A DQ=BQ-BD=-55如圖2所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PQ二DQ,A圖-2則 Z2=ZPVZ1=Z2,AZ1=ZP, BA/PD,則此時(shí)點(diǎn)A，落在BC邊上.VZ3=Z2,AZ3=Z1, BQ 二 AQ,12FQ二 F7VAQ 二一BCb5在RtZBQF中，由勾股左理得：BF2+FQ2二BQ2,即黑咅-對(duì)噸,解得：BQ = ,8DQ= BD-BQ=5=:8 8則 Z3=Z4.VZ2+Z3+Z4=180% Z3=Z4

9、.A Z4=90-4 Z2.2VZl=Z2tA Z4=90-1 Zl,2 ZAQB二Z4=90。丄 Zl,2 ZA/QB=ZA/BQ,AQ 二 AB 二3, FQ 二 AQA 乍匚3=-55在Rt/kBFQ中，由勾股立理得：BQ二JbF+FQ?=9)53/105ADQ=BQ-BD=5-:5如圖4所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PQ二PD則 Z2=Z3.VZ1=Z2, Z3=Z4, Z2=Z3,AZl=Z4t BQ=BAZ=3,ADQ=BD-BQ=5-3=2.綜上所述，存在4組符合條件的點(diǎn)P、點(diǎn)Q,使DPQ為等腰三角形，DQ的長(zhǎng)度分別為：2 或二或-/-5 或 =855【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，主要

10、考查了矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性 質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)：第（3）問難度很大，解題關(guān)鍵是畫出各種旋 轉(zhuǎn)圖形，依題意進(jìn)行分類討論.3.已知如圖1,在厶ABC中，ZABC = 90, BC = AB，點(diǎn)D在AC上，DF丄AC 交BC于F ,點(diǎn)E是AF的中點(diǎn).（1）寫出線段與線段EB的關(guān)系并證明；（2）如圖2,將（?繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（090。），其它條件不變，線段Q與 線段的關(guān)系是否變化，寫出你的結(jié)論并證明：（3）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如果BC = 6, CF = 3邁,直接寫出線段CE的 范圍.【答案】（1） ED = EB, DE丄3E,證明見解析；（2）

11、結(jié)論不變，理由見解析：（3）最大值=生2最小值2 2【解析】【分析】（1）在 RtAADF 中，可得 DE二AE二EF,在 RtA ABF 中，可得 BE二EF二EA,得證 ED=EB；然后 利用等腰三角形的性質(zhì)以及四邊形ADFB的內(nèi)角和為180,可推導(dǎo)得出ZDEB=90：（2）如下圖，先證四邊形MFBA是平行四邊形，再證 DCBADFM,從而推導(dǎo)岀ADIVIB 是等腰直角三角形，最后得出結(jié)論：（3）如下圖，當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，CE有最大值；當(dāng)點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，CE有最小值.【詳解】（1）TDF丄AC,點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)ADE=AE=EF, ZEDF=Z DFEV ZABC=90，點(diǎn)E是AF的

12、中點(diǎn)ABE=AE=EF, ZEFB=Z EBFDE 二 EBVAB=BC, Z DAB 二 45在四邊形 ABFD 中，ZDFB二360 90 45 90二135ZDEB=Z DEF+Z FEB=180-2Z EFD+180-2Z EFB二360 2（Z EFD+Z EFB）=360-2x135 二 90DE 丄 EB（2）如下圖，延長(zhǎng)BE至點(diǎn)M處，使得ME=EB,連接MA、ME. MF. MD FB、DB,延長(zhǎng) MF交CB于點(diǎn)HA BVME=EB點(diǎn)E是AF的中點(diǎn).四邊形MFBA是平行四邊形MFII AB, MF=AB ZMHB=180-Z ABC=90T Z DCA=Z FCB ZDCB=4

13、5+d , ZCFH=90-aVZDCF=45% ZCDF=90ZDFC=45。，ADCF是等腰直角三角形AZDFM=180-ZDFC-ZCFH=45+AZDCB=ZDFMABC和ACDF都是等腰直角三角形A DC=DF, BC=AB=MFDCB牛 DFM(SAS). Z MDF=Z BDC, DB=DMAZMDF+Z FDB=Z BDC+Z FDB二90AADMB是等腰直角三角形點(diǎn)E是MB的中點(diǎn)DE二EB, DE丄EB(3) 當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，CF有最大值，圖形如下:（2）將AFD以每秒2c?的速度沿直線BC向右平移，如圖2,當(dāng)3移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí) 停止移動(dòng).設(shè)矩形ABCD與AB77重疊部分的面積

14、為V,移動(dòng)的時(shí)間為x,請(qǐng)你直接 寫岀兒關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍：（3）在（2）的平移過程中，是否存在這樣的時(shí)間，使得AAF成為等腰三角形？若 存在，請(qǐng)你直接寫出對(duì)應(yīng)的x的值，若不存在，請(qǐng)你說明理由.45【答案】（1）尹；尸-x2-x + 24(0x)2258 , 802。嚴(yán)存在使得一 f 一 一 x + ( x 4)3335成為等腰三角形的龍的值有：。秒、I秒、尋【解析】【分析】（1）先用勾股左理求出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BD = BD = 10cm,CD = BQ-BC = 2cm,利用ZBQA的正切值求岀CE的值，利用三角形的而積差即 可求陰影部分的而積：（2）

15、分類討論，當(dāng)OSxv曽時(shí)和當(dāng)x 98 2CE = cm ,2I AB CE = SaBQ _ CEiy注2厶2申腫）；2 2 2 v 7(2) 當(dāng)時(shí)，CD = 2x + 2, CE = -x.52c3 . 3-S-CDE = A +于兀，y = x6x8-x2 =-x2 - x + 24；2 2 2 2164 /當(dāng)x AN2+AfN2=36J 18寸叫丿解得：x =座二2秒，（S舍去）；55如圖 2,當(dāng) AB = A4r 時(shí)，AW = BM=BB + BM=2x + , A!M = NB = AB2+BBf2= AN2+ AfN2(24?J 18?6_ +15 z丿5丿36 + 4宀3解得：二

16、秒.3綜上所述：使得3成為等腰三角形的X的值有：。秒、亍秒、【點(diǎn)睛】運(yùn)用分類討論的思想方法全本題主要考查了圖形的平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，能夠數(shù)形結(jié)合, 而的分析問題，思考問題是解決問題的關(guān)鍵.5.如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)巳F分別在邊BC,CD上，且BE二DF,點(diǎn)P是AF的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AC與EF的交點(diǎn)，連接PQ,PD（1）求證：AC垂直平分EF ；（2）試判斷厶卩。的形狀，并加以證明；（3）如圖2,若將ACEF繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180。，英余條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎? 若成立，請(qǐng)加以證明：若不成立，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析：（2 ） APDQ是等腰直角三角形；理由見解析（3

17、）成立；理由 見解析.【解析】試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)得出AB二BC二CD二AD, Z B=Z ADF=90,Z BCA=Z DCA=45由BE=DF,得出CE=CF, CEF是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論：（2）由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得岀PD莒AF, PQ=；AF,得出PD=PQ,再證明Z DPQ=90%即可得出結(jié)論：（3）由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出PD詩AF, PQ=；AF,得出PD=PQ,再證明點(diǎn)A、F、Q、P四點(diǎn)共圓，由圓周角逹理得出Z DPQ=2Z DAQ=90即可得出結(jié)論.試題解析：（1）證明：四邊形ABCD是正方形， AB二BC二CD二AD, Z B=Z A

18、DF=90, Z BCA=Z DCA二45, BE=DF, CE=CF,AC垂直平分EF：（2）解：APDCl是等腰直角三角形：理由如下：點(diǎn) P 是 AF 的中點(diǎn),Z ADF=90,.pgAF二PA, Z DAP=Z ADP, AC垂直平分EF, Z AQF二90,1 PQAF二PA,.Z PAQ=Z AQP. PD二PQ, Z DPF=Z PAD+Z ADP, Z QPF二Z PAQ+Z AQP, Z DPQ=2Z PAD+2Z PAQ=2 (Z PAD+Z PAQ) =2x45=90 PDQ是等腰直角三角形；（3）成立：理由如下：點(diǎn) P 是 AF 的中點(diǎn)，Z ADF=90,1. pgAF二

19、PA,BE=DF, BC=CD, Z FCQ二Z ACD二45, Z ECQ=Z ACB=45 CE=CF, Z FCQ=Z ECQ,CQ丄EF, ZAQF二90。，1. pqaF二AP二PF,.I PD=PQ=AP=PF,.點(diǎn)A、F、Q、P四點(diǎn)共圓， Z DPQ=2Z DAQ=90,PDQ是等腰直角三角形.考點(diǎn)：四邊形綜合題.6. （特例發(fā)現(xiàn)）如圖1, it A ABC中，AG丄BC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB, AC 為直角邊，向AABC外作等腰RtA ABE和等腰RtA ACF,過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂 足分別為P、Q.求證：EP=FQ.（延伸拓展）如圖2,在AABC中，AG

20、丄BC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB, AC為 直角邊，向 ABC外作RtA ABE和RtA ACF,射線GA交EF于點(diǎn)H若AB=kAE, AC二kAF, 請(qǐng)思考HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫岀你的結(jié)論.（深入探究）如圖3,在AABC中，G是BC邊上任意一點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)，向 ABC外作任 意AABE 和AACF,射線 GA 交 EF 于點(diǎn) H若Z EAB二Z AGB, Z FAC=Z AGC, AB=kAE, AC=kAF,上一問的結(jié)論還成立嗎？并證明你的結(jié)論.（應(yīng)用推廣）在上一問的條件下，設(shè)大小恒定的角Z IHJ分別與 AEF的兩邊AE、AF分別 交于點(diǎn)M、N若AABC為腰長(zhǎng)等于4的

21、等腰三角形，其中Z BAC=120,且Z IHJ=Z AGB=e=60% k=2：求證：當(dāng)z IHJ在旋轉(zhuǎn)過程中，A EMH. HMN和 FNH均相似，并直接寫出線段MN的 最小值（請(qǐng)?jiān)诖痤}卡的備用圖中補(bǔ)全作圖）.【答案】（1）證明參見解析:（2）HE=HF： （3）成立，證明參見解析:（4）證明參見解析，MN最 小值為1.【解析】試題分析：特例發(fā)現(xiàn)：易證AAEP竺“BAG, AF CAG,即可求得EP二AG,FQ二AG,即可解題：(2)延伸拓展：過點(diǎn)E. F作射線GA的垂線.垂足分別為P、Q易證1 1 ABG AEAP, AACG “FAQ,得到 PE=AG, FQ 二斤AG,二 PE 二

22、FQ.然后證明1 EPH竺心FQH,即可得出HE=HF：深入探究：判斷 PEA-厶GAB,得到PE=AG,1 AQF-ACGA. FQ二，得到FQAG,再判斷 EPH旻 FQH,即可得出HE二HF： (4)應(yīng)用推 廣：由前一個(gè)結(jié)論得到AAEF為正三角形，再依次判斷 MHN- HFN- MEH,即可得出結(jié)論.如圖:T Z PEA+Z PAE二90, Z GAB+Z PAE=90 /. Z PEA二Z GAB, Z EPA=Z AGB, AE=AB, /. PEA旻 GAB, /. PE二AG,同理， QFA GAC, FQ二AG, PE二FQ：(2)延伸拓展,如圖:PEA+Z PAE二90, Z

23、 GAB+z PAE二90, /. Z PEA=Z GAB, Z. Z EPA=Z AGB,PE AEPEAE1PEA八 GAB, AB9 VAB=kAE, :. AG kAE, /. PE=AG 同理,FQ AF1 QFA-GAC, AG AC9 / AC=kAF,. FQ二*AG, /. PE=FQ T EPII FQ, Z EPH=Z FQH, Z PHE=Z QHF, /. EPH學(xué) & FQH, /. HE=HF：深入探究，如圖2,BG在直線 AG 上取一點(diǎn) P,使得Z EPA= Z AGB,作 FQII PE, T Z EAP+Z BAG=180 - Z AGB,Z ABG+Z B

24、AG=180 - Z AGB, /. Z EAP=Z ABG. T Z EPA=Z AGB, ：2 APE- BGA,PE AE1=. AG /!， AB二kAE, PEAG,由于Z FQA=Z FAC=Z AGC=180 - Z AGB,同理可得,FQ AF1 AQF-ACGA,AG AC, ； AC=kAF,二 FQ二“AG,二 EP二FQ, / EPII FQ, Z EPH=Z FQH, J Z PHE=Z QHF, /. EPH學(xué) FQH, /. HE二HF：應(yīng)用推廣，如圖3,在前而條件及結(jié)論，得到，點(diǎn)H是EF中點(diǎn)AE二AF, TZEAB二ZAGB.Z FAC=Z AGC Z EAB+

25、Z FAC=180. Z EAF=360 - (Z EAB+Z FAC) - Z BAC=60 /. AEF為正三角形.又 H 為 EF 中點(diǎn) Z EHM+Z IHJ=120, Z IHJ+Z FHN=120 Z EHM=Z FHN.Z AEF=Z AFE, :* HEM HFN,HM EH麗二麗 EH 二 FH,HM FHHN FN,且z MHN=Z HFN=60 MHN- HFN, /.心 MHN- HFN-心 MEH,在 HMN中，Z MHN=60根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角，.要MN最小，只有 HMN是等邊 三角形,AZAMN=60% / Z AEF=60, MN/. MNII EF, T

26、AEF 為等邊三角形,/. MN 為1 1A AEF 的中位線,/. MNmin=2EF=2x2=l.考點(diǎn)：1 幾何變換綜合題：2三角形全等及相似的判圧性質(zhì).7. 如圖1,矩形ABCD中.E是AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF, EG 分別過點(diǎn) B, C, ZF=30 .(1) 求證：BE=CE(2) 將AEFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).若EF, EG分 別與AB, BC相交于點(diǎn)M, N.(如圖2) 求證：ABEMACEN： 若AB=2,求BMN面積的最大值； 當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí)，點(diǎn)B恰好在FG上(如圖3),求sinZEBG的值.由(2)可知，AE

27、BC是等腰直角三角形，ZEBC二ZECB二45 r/ ZABC=ZBCD=90，AZEBM=ZECN=45 zVZMEN=ZBEC=90 rAZBEM=ZCEN rVEB=EC ,AABEMACEN ； VABEMACEN ,ABM=CN 設(shè) BM二CN二x,貝J BN=4-x r/SAbmn=-#x ( 4-x ) =- ( x-2 ) 2+2 f2 21V - 0 r2Ax=2時(shí)，ABMN的而積最大，最大值為2 解：如圖 3 中，作 EH丄BG 于 H.設(shè) NG二m,則 BG二2m , BN二EN二 JJm . EB二 m G圖3- EG=m+ 3 m= ( 1+) m , SA8EG二一

28、EGBN二一BGEH r2 22m23+7?在 Rt/iEBH 中，sinZEBH二 EH _2 _ J?【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定 和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題,8. 在平而直角坐標(biāo)系中，0為原點(diǎn)，點(diǎn)A（8r 0 ），點(diǎn)B（0,6）,把ZkABO繞點(diǎn)B逆時(shí) 針旋轉(zhuǎn)得A80,，點(diǎn)A、0旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，、0記旋轉(zhuǎn)角為a.（1）如圖1,若a二90,則AB二并求AA的長(zhǎng)；（2）如圖2,若a=120,求點(diǎn)0,的坐標(biāo)：（3）在（2）的條件下，邊0A上的

29、一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)CTP+BP，取得最小值 時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（1） 10, 102 :（2）（痂，9） ：（3）【解析】試題分析：（1）、如圖，先利用勾股立理汁算出AB=5,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA=BA ZABAJ90。，則可判定ZiABA，為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求AA，的 長(zhǎng)；（2）、作OH丄y軸于H,如圖,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得B0=B0/=3, Z OBO,=120,則Z HBOJ60。，再在RtA BHO沖利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算岀BH和0H的 長(zhǎng)，然后利用坐標(biāo)的表示方法寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）、由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BP則 O，P

30、+BPJO，P+BP,作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C,連結(jié)0，C交x軸于P點(diǎn)，如圖，易得 O，P+BP=OC利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)CTP+BP的值最小，接著利用待立系數(shù)法求 出直線0，C的解析式為y敘3x - 3,從而得到P （誓，0）,則0卩=0卩=舉，作3 :55PQ丄CH于D,然后確泄Z DPO=30。后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算岀PD 和DO,的長(zhǎng)，從而可得到P，點(diǎn)的坐標(biāo).試題解析:、如圖,點(diǎn) A （4, 0）,點(diǎn) B （0, 3） ,0A=4, 0B=3,/. AB=5,.AB 0 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90,得A，BO,BA=BA Z ABA=90, ABA，為等腰

31、直角三角形，AAZ= BA=5/2 :（2）、作OH丄y軸于H,如圖，AB O繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120,得 AS,/. B0=B0=3, Z OBO=120, Z HBO=60,在 RtA BHO中，T Z BOH=90 -Z HBO=30,BH= BO詣，CTH=J5BH男3, /. OH=OB+BH=3+-二 O,點(diǎn)的坐標(biāo)為Z12丄二 2趣2)；2 ： 2：(3) ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120,得厶ABO，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P /. BP=BP OP+BP9P+BP,作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C,連結(jié)CTC交x軸于P點(diǎn)，如圖, 則O/P+BP=OfP+PC=O/C,此時(shí)OT+BP的值最小，點(diǎn)C與點(diǎn)B

32、關(guān)于x軸對(duì)稱,AC (0, -3),設(shè)直線C/C的解析式為y二kx+b,把。警左,C(,代入得.直線O，C的解析式為y卑3x-3,當(dāng)y=0時(shí)，- 3=0,解得x呂匡，則PJ ：J ：5.5羋，5羋作PDS于D, Z BOfA=Z BOA二90, Z BOZH=30 /. Z DPO=30,13J393 33 63 OD=石OPJPfD= n 777,. DH=O/H - Oz 7 ,2：2 IQV 30 D=10D= 2 - 10 = 59. 我們左義:如果一個(gè)三角形一條邊上的髙等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做等髙底三角 形，這條邊叫做這個(gè)三角形的等底”。(1) 概念理解：如圖1,在AABC中,

33、AC = 6 ,BC = 3.ZACB = 30。,試判斷AABC是否是等髙底三角 形，請(qǐng)說明理由.（2）問題探究：如圖2, AABC是等髙底三角形,BC是等底，作AABC關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱圖形得AC到AABC,連結(jié)&4交直線BC于點(diǎn)Z） 若點(diǎn)3是石=3 -血z2=l + 2i的重心，求-的值. BC（3）應(yīng)用拓展：如圖3,已知/,/,與厶之間的距離為2.等髙底” AABC的等底” BC住直線人上，點(diǎn)A在 直線厶上,有一邊的長(zhǎng)是BC的血倍.將AABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到 AABC, AC所在直線交厶于點(diǎn)D 求CD的值.【答案】（1）證明見解析；（2）（3） CD的值為色尿,2邁

34、,2BC 23【解析】分析：（1）過點(diǎn)A作4D丄直線CB于點(diǎn)D,可以得到&8BC二3,即可得到結(jié)論：（2）根據(jù) WBC是“等高底”三角形，BC是“等底”,得到AD=BC,再由屮BC與 ABC關(guān)于直線BC對(duì)稱，得到ZADC二90 ,由重心的性質(zhì)，得到BC二2BD.設(shè)BD二x,則 AD=BC=2x, CD=3x ,由勾股左理得AC=y/x,即可得到結(jié)論；（3）分兩種情況討論即可：當(dāng)AB遼 BC時(shí)，再分兩種情況討論：當(dāng)AC=邁BC時(shí)，再分兩種情況討論即可.詳解：（1）是.理由如下：如圖1，過點(diǎn)人作AD丄直線CB于點(diǎn)D,A ADC為直角三角形，ZADO90c/ Z4CB二30 , 心6, AD-AO3

35、,2.I AD-BO3.即WBC是“等髙底”三角形.（2）如圖2, J AABC是“等高底”三角形，BC是“等底” ,:.AD=BC9T W BC與卜ABC關(guān)于直線BC對(duì)稱， ZADO90點(diǎn) B 是 LAAf C 的重心， BC二2BD.設(shè) BD二x,則 AD二BC=2x, :.CD-3x ,.由勾股泄理得AC=i3x,.AC _伍x _応 BC 2x 2IH2（3）當(dāng) AB= 72 BC 時(shí)，I .如圖3,作處丄于點(diǎn)F, DFLAC于點(diǎn)、F.等高底MBC的等底為BC, IJ/I2 ,/i與h之間的距離為2, AB=邁BC ,:.BC=AE=2, AB=2y/2 ,ABf=2,即 EC=4,：

36、 AC= 2扃J LABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到M Bl C, ZCDF=45 設(shè) DF=CF=x V/!/2,. ZACE=ZDAF,即 AF=2x.AF CE 2II 如圖4此時(shí)MBC是等腰直角三角形， LABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到M1 B C,.LACD是等腰直角三角形， CD二邁 AC=2 邁M4當(dāng)AC= 72 BC時(shí)，I.如圖5,此時(shí)ABC是等腰直角三角形. ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45得到B C, & C丄血，:.CD-AB-BO2.ifi5II如圖6,作&E丄/i于點(diǎn)&則AE=BC.:.AOy/2 BC=y/2AE. :. ZACE-45,“BC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到“ B C時(shí), 點(diǎn)屮在直線h上