誤差理論和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

1、誤差理論和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理誤差理論和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理 物理學(xué)是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)。物理概念的確定物理學(xué)是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)。物理概念的確定物理規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、建立和檢驗(yàn)，都是通過物理規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、建立和檢驗(yàn)，都是通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果概括出來的。因此，從古至今物實(shí)驗(yàn)結(jié)果概括出來的。因此，從古至今物理實(shí)驗(yàn)在物理學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展上都占有十理實(shí)驗(yàn)在物理學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展上都占有十分重要的地位。分重要的地位。物理實(shí)驗(yàn)課程物理實(shí)驗(yàn)課程的主要目的和任務(wù)的主要目的和任務(wù) 1.1.對(duì)學(xué)生進(jìn)行對(duì)學(xué)生進(jìn)行“三基三基”的訓(xùn)練。使學(xué)生獲的訓(xùn)練。使學(xué)生獲得物理實(shí)驗(yàn)的基本知識(shí)得物理實(shí)驗(yàn)的基本知識(shí), ,進(jìn)行基本實(shí)驗(yàn)方進(jìn)行基本實(shí)驗(yàn)方法和基本實(shí)驗(yàn)技能的訓(xùn)練。培養(yǎng)學(xué)生的

2、法和基本實(shí)驗(yàn)技能的訓(xùn)練。培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力、動(dòng)手操作能力、分析判閱讀理解能力、動(dòng)手操作能力、分析判斷能力、書寫表達(dá)能力以及初步的實(shí)驗(yàn)斷能力、書寫表達(dá)能力以及初步的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)能力。設(shè)計(jì)能力。2.2.加深對(duì)物理概念的掌握和理解。加深對(duì)物理概念的掌握和理解。3.3.具備初步的從事實(shí)驗(yàn)工作的基本素質(zhì)具備初步的從事實(shí)驗(yàn)工作的基本素質(zhì)。 測(cè)量和誤差測(cè)量和誤差 1.測(cè)量及其分類：測(cè)量及其分類： 測(cè)量是人們對(duì)自然界中的現(xiàn)象和實(shí)測(cè)量是人們對(duì)自然界中的現(xiàn)象和實(shí)體取得定量概念或數(shù)字表征的過程。體取得定量概念或數(shù)字表征的過程。 測(cè)量可以分為直接測(cè)量和間測(cè)量可以分為直接測(cè)量和間接測(cè)量?jī)纱箢惤訙y(cè)量?jī)纱箢?。 2.2.誤

3、差及其來源和誤差及其來源和“消除消除”方法方法 一個(gè)待測(cè)的物理量，在一定的條件下總有一一個(gè)待測(cè)的物理量，在一定的條件下總有一個(gè)客觀存在的量值，這個(gè)量值我們稱之為個(gè)客觀存在的量值，這個(gè)量值我們稱之為真值真值。 在實(shí)際的測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果和真值之間總存在實(shí)際的測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果和真值之間總存在一定的差值。這個(gè)差值就稱之為在一定的差值。這個(gè)差值就稱之為誤差誤差。 誤差是不可避免的，真值是測(cè)不出的。誤差是不可避免的，真值是測(cè)不出的。 測(cè)量的目的在于盡量減少誤差之后，得出一個(gè)測(cè)量的目的在于盡量減少誤差之后，得出一個(gè)在一定條件下待測(cè)物理量的最可信賴值，并對(duì)其在一定條件下待測(cè)物理量的最可信賴值，并對(duì)其精確度作出

4、正確的估計(jì)。精確度作出正確的估計(jì)。系統(tǒng)誤差和偶然誤差系統(tǒng)誤差和偶然誤差1 1系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差： 特征：特征：A.A.有規(guī)律，自成系統(tǒng)：有規(guī)律，自成系統(tǒng)：B.B.可以消除?？梢韵?。 ，儀器誤差，儀器誤差 ，方法誤差，方法誤差 ，環(huán)境和條件誤差，環(huán)境和條件誤差 ，個(gè)人誤差，個(gè)人誤差 可以采取一些措施來消除或減少這些系統(tǒng)誤差可以采取一些措施來消除或減少這些系統(tǒng)誤差。 2 2偶然誤差：偶然誤差： 特征：特征：A. .隨機(jī)產(chǎn)生，無規(guī)律；隨機(jī)產(chǎn)生，無規(guī)律；B. .不能消除不能消除 . .環(huán)境原因環(huán)境原因 . .個(gè)人原因個(gè)人原因 偶然誤差也有其必然性。偶然誤差也有其必然性。測(cè)量次數(shù)無窮多時(shí)，偶然測(cè)量次數(shù)無

5、窮多時(shí)，偶然誤差滿足正態(tài)分布。正態(tài)誤差滿足正態(tài)分布。正態(tài)分布具有單峰性、對(duì)稱性分布具有單峰性、對(duì)稱性和有界性三個(gè)特點(diǎn)。和有界性三個(gè)特點(diǎn)。 3.精密度、準(zhǔn)確度和精確度精密度、準(zhǔn)確度和精確度(a).精密度高，準(zhǔn)確度差精密度高，準(zhǔn)確度差。(b).準(zhǔn)確度高，精密準(zhǔn)確度高，精密度差度差。(c).精密度、準(zhǔn)確度都高，就是精確度精密度、準(zhǔn)確度都高，就是精確度高高。 1,1,算術(shù)平均值算術(shù)平均值測(cè)量結(jié)果的最可信賴值：測(cè)量結(jié)果的最可信賴值： 偶然誤差的性質(zhì)告訴我們偶然誤差的性質(zhì)告訴我們 實(shí)際測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)總是有限的。實(shí)際測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)總是有限的。算術(shù)平均值只是真值的近似值算術(shù)平均值只是真值的近似值. .稱為

6、稱為最佳估最佳估計(jì)值（最可信賴值）計(jì)值（最可信賴值）。用它來表示測(cè)量結(jié)。用它來表示測(cè)量結(jié)果。果。 )(0nnXlinXniii 2. .多次等精度測(cè)量的誤差估算多次等精度測(cè)量的誤差估算： 某次測(cè)量值的誤差某次測(cè)量值的誤差: : 某次測(cè)量值的偏差某次測(cè)量值的偏差: :nXXnii10XXiXXii (1). (1).標(biāo)準(zhǔn)誤差和標(biāo)準(zhǔn)偏差：標(biāo)準(zhǔn)誤差和標(biāo)準(zhǔn)偏差： 測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差: : 上述公式只有理論上的意義。上述公式只有理論上的意義。 測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差: : -白塞爾公式白塞爾公式nXXnii120)() 1()(12nXXniis (2) (2)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏

7、差：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差： 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)小于測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)小于測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差。偏差。 由上式可以看到，增加測(cè)量次數(shù)對(duì)提高測(cè)量由上式可以看到，增加測(cè)量次數(shù)對(duì)提高測(cè)量精度是有益的。精度是有益的。 ) 1()(21)(nnXXnniIsX3 3 測(cè)量結(jié)果及其物理意義測(cè)量結(jié)果及其物理意義 測(cè)量結(jié)果可以表示為測(cè)量結(jié)果可以表示為偏差落在偏差落在（ ）區(qū)間的概略約區(qū)間的概略約68.3% 68.3% 。偏差落在偏差落在（ ）區(qū)間的概略為區(qū)間的概略為95.5%95.5%。偏差落在偏差落在（ ）區(qū)間的概略為區(qū)間的概略為99.73%99.73%。)(XXX)()(,XX)()(2,2

8、XX)()(3,3XX實(shí)驗(yàn)中粗差的剔除實(shí)驗(yàn)中粗差的剔除1.1.拉依達(dá)準(zhǔn)則拉依達(dá)準(zhǔn)則 2. 2.肖維涅準(zhǔn)則肖維涅準(zhǔn)則si3sic4 單次直接測(cè)量結(jié)果的誤差估算單次直接測(cè)量結(jié)果的誤差估算儀器誤差儀器誤差儀器誤差滿足平均分布儀器誤差滿足平均分布 可以方便得計(jì)算可以方便得計(jì)算ins3inss2inss 5.5.絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差及百分差絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差及百分差 絕對(duì)誤差：絕對(duì)誤差：相對(duì)誤差：相對(duì)誤差：百分差：百分差： )(,Xs%100%,100)(XEXEXS%10000XXXP 1.1.誤差傳遞的基本公式：誤差傳遞的基本公式： N=f(x1、x2、x3、xn) 單次測(cè)量時(shí)誤差傳遞公式單次測(cè)量時(shí)誤

9、差傳遞公式絕對(duì)誤差：絕對(duì)誤差：相對(duì)誤差：相對(duì)誤差：nnxxfxxfxxfN 2211nnxxfxxfxxfNN lnlnln2211附表：附表：常用函數(shù)關(guān)系的誤差傳遞公式常用函數(shù)關(guān)系的誤差傳遞公式 多次等精度測(cè)量時(shí)誤差傳遞公式多次等精度測(cè)量時(shí)誤差傳遞公式標(biāo)準(zhǔn)偏差的誤差傳遞公式標(biāo)準(zhǔn)偏差的誤差傳遞公式 絕對(duì)誤差：絕對(duì)誤差：相對(duì)誤差：相對(duì)誤差：)(22)(222)(221)(21nxnxxNxfxfxf )(22)(222)(221)(lnlnln21nxnxxNxfxfxfN 附：附：常用函數(shù)關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)偏差傳遞公式常用函數(shù)關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)偏差傳遞公式 2.2.誤差分析的應(yīng)用誤差分析的應(yīng)用 實(shí)際測(cè)量中實(shí)際

10、測(cè)量中, ,為了保證總誤差在限定要求為了保證總誤差在限定要求以內(nèi)以內(nèi), ,就要進(jìn)行誤差分配，選擇合理的測(cè)量就要進(jìn)行誤差分配，選擇合理的測(cè)量方法和恰當(dāng)?shù)臏y(cè)量?jī)x器方法和恰當(dāng)?shù)臏y(cè)量?jī)x器. .以單擺實(shí)驗(yàn)為例以單擺實(shí)驗(yàn)為例 要求總誤差小于要求總誤差小于0.4%0.4%，2222442TlgglTglTllTTgg2 l l=80cm=80cm100cm ,100cm ,誤差可估計(jì)誤差可估計(jì)l l=0.1cm =0.1cm 相相對(duì)誤差為對(duì)誤差為0.13%0.13%（1/80.01/80.0）至）至0.10.1（1/100.01/100.0），），用秒表測(cè)量用秒表測(cè)量 T T，測(cè)量一次誤差為測(cè)量一次誤差為t

11、=0.2st=0.2s周周期大約為期大約為2 2秒，相對(duì)誤差為秒，相對(duì)誤差為10%10%（0.2/2 0.2/2 ）必）必須采用多周期累計(jì)測(cè)量，測(cè)量須采用多周期累計(jì)測(cè)量，測(cè)量100100個(gè)周期，相個(gè)周期，相對(duì)誤差為對(duì)誤差為0.1%0.1%（0.2/0.2/（100100* *2 2）。）。 總誤差總誤差 小于小于0.4%0.4% %36. 0801 . 021002 . 02gg 1.1.有效數(shù)字的概念：有效數(shù)字的概念： 1.32545 24.675 65890 0.579 0.000982 0.21067重要概念：重要概念： A.有效位數(shù)有效位數(shù) B.和小數(shù)點(diǎn)無關(guān)和小數(shù)點(diǎn)無關(guān) C.一位可疑數(shù)

12、字一位可疑數(shù)字2.2.有效數(shù)字的有關(guān)規(guī)定：有效數(shù)字的有關(guān)規(guī)定： 1 1. .有效數(shù)字中的有效數(shù)字中的“0”“0” 數(shù)值前的數(shù)值前的“0”“0”不是有效數(shù)字。不是有效數(shù)字。2 2. .單位渙算保持有效位數(shù)不變單位渙算保持有效位數(shù)不變 例如例如:3.71:3.71m=3.71=3.7110102 2cm( (371371cm) ) =3.71 =3.7110103 3mm3 3. .直接測(cè)量的讀數(shù)規(guī)則直接測(cè)量的讀數(shù)規(guī)則 . .可以估讀的儀器一定要估讀。可以估讀的儀器一定要估讀。 . .按最小分度值的按最小分度值的1/21/2、1/51/5、或、或1/101/10估讀。估讀。4 4. .關(guān)于誤差的規(guī)

13、定：關(guān)于誤差的規(guī)定： . .誤差的有效位數(shù)一般取一位，最多取兩位。誤差的有效位數(shù)一般取一位，最多取兩位。 . .測(cè)量結(jié)果的最后一位應(yīng)該和誤差位對(duì)齊。測(cè)量結(jié)果的最后一位應(yīng)該和誤差位對(duì)齊。 去尾方法：去尾方法：四舍六入五湊偶。四舍六入五湊偶。 舉例：舉例：讀數(shù)規(guī)則讀數(shù)規(guī)則04mm01mm2mm3mm5mm6mm7mm8mm( (4.7mm按按1/101/10估讀，正確）估讀，正確）( (4.70mm按按1/101/10估讀，不正確）估讀，不正確）01mm2mm3mm5mm6mm7mm8mm4mm01mm2mm3mm5mm6mm7mm8mm( (4.55mm按按1/101/10估讀，似乎正確）估讀，

14、似乎正確）4mm所有讀數(shù)中只要有一個(gè)不正確，這種讀數(shù)方法就不正確！所有讀數(shù)中只要有一個(gè)不正確，這種讀數(shù)方法就不正確！3.3.有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則：有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則： 1 1. .加減運(yùn)算：加減運(yùn)算： 最后結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)位數(shù)和加數(shù)中小數(shù)位數(shù)最少的對(duì)齊最后結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)位數(shù)和加數(shù)中小數(shù)位數(shù)最少的對(duì)齊。2 2. .乘除運(yùn)算：乘除運(yùn)算： 最后結(jié)果的有效位數(shù)和乘（除）數(shù)中有效位數(shù)最少的相同。最后結(jié)果的有效位數(shù)和乘（除）數(shù)中有效位數(shù)最少的相同。3 3. .乘方、開方運(yùn)算：乘方、開方運(yùn)算： 最后結(jié)果的有效位數(shù)和底數(shù)的有效位數(shù)相同。最后結(jié)果的有效位數(shù)和底數(shù)的有效位數(shù)相同。4 4. .對(duì)數(shù)運(yùn)算：對(duì)數(shù)運(yùn)算： 對(duì)數(shù)的有

15、效位數(shù)和真數(shù)相同。對(duì)數(shù)的有效位數(shù)和真數(shù)相同。5 5. .常數(shù)運(yùn)算：常數(shù)運(yùn)算： 運(yùn)算中它們的有效位數(shù)是任意的。運(yùn)算中它們的有效位數(shù)是任意的。6 6. .三角函數(shù)運(yùn)運(yùn)算：三角函數(shù)運(yùn)運(yùn)算： 三角函數(shù)的可疑數(shù)和角度的最小單位對(duì)應(yīng)的那一位對(duì)齊。三角函數(shù)的可疑數(shù)和角度的最小單位對(duì)應(yīng)的那一位對(duì)齊。例如例如 1. 1.389+17.2+8.67+94.12=121.4。 1.389 17.2 8.67 + 94.12 12.38512.385 121.379 2.2 2.2 2. 12.3852.2=27。 24770 + 24770 + 24770 27.2570 27.2570 3. 56.472=3.1

16、88 103； ,4. ln58.6=4.07;5. 4.52=64； 45.2132=6.4220 1036. Sin605=0.866751708 (查表查表) Sin1=0.0002908882045 Sin605=0.8668。926. 8256.79 1.1.列表法：列表法： 設(shè)計(jì)表格設(shè)計(jì)表格 排列順序排列順序 記錄方便記錄方便 觀看清楚觀看清楚2.2.作圖法：作圖法： 直觀、形象直觀、形象, ,準(zhǔn)確度要差一些準(zhǔn)確度要差一些. .實(shí)驗(yàn)圖線的繪制：實(shí)驗(yàn)圖線的繪制：圖紙大小的選擇圖紙大小的選擇 坐標(biāo)的標(biāo)記和分度坐標(biāo)的標(biāo)記和分度 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的標(biāo)志實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的標(biāo)志 圖線的描繪圖線的描繪 圖線的注解和

17、說明圖線的注解和說明 圖紙的描繪圖紙的描繪注意點(diǎn)：注意點(diǎn)：1.坐標(biāo)軸的起點(diǎn)坐標(biāo)不一定為零，原則是使作出坐標(biāo)軸的起點(diǎn)坐標(biāo)不一定為零，原則是使作出的圖線充滿整個(gè)圖紙。的圖線充滿整個(gè)圖紙。2.2.坐標(biāo)軸的分度：作圖紙的最小分度坐標(biāo)軸的分度：作圖紙的最小分度代表有效數(shù)字準(zhǔn)確數(shù)的最后一位。代表有效數(shù)字準(zhǔn)確數(shù)的最后一位。3.3.實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)必須明顯、突出。實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)必須明顯、突出。例如，可以用例如，可以用“ ”“ ”等符號(hào)。等符號(hào)。,圖解法圖解法: : 外推法：外推法： 可以方便地得到實(shí)際上難于測(cè)量的點(diǎn)可以方便地得到實(shí)際上難于測(cè)量的點(diǎn)的量值。的量值。求經(jīng)驗(yàn)公式：求經(jīng)驗(yàn)公式： 用解析法和圖解法可以求得經(jīng)驗(yàn)

18、公式，用解析法和圖解法可以求得經(jīng)驗(yàn)公式，也可以利用圖解法求得截距和斜率，進(jìn)也可以利用圖解法求得截距和斜率，進(jìn)而求得相應(yīng)的物理量。而求得相應(yīng)的物理量。 注意：不能用實(shí)驗(yàn)點(diǎn)求斜率。注意：不能用實(shí)驗(yàn)點(diǎn)求斜率。3.逐差法逐差法 兩個(gè)測(cè)量值成兩個(gè)測(cè)量值成 y=y=a+bxa+bx線性關(guān)系時(shí)，利線性關(guān)系時(shí)，利用逐差法可以方便地求得斜率和截距。并用逐差法可以方便地求得斜率和截距。并能充分地利用測(cè)量數(shù)據(jù)。能充分地利用測(cè)量數(shù)據(jù)。 設(shè)設(shè)x x、y y之間有線性關(guān)系，實(shí)驗(yàn)測(cè)得一列對(duì)應(yīng)之間有線性關(guān)系，實(shí)驗(yàn)測(cè)得一列對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)為x x1 1、x x2 2、，x xn n和和y y1 1、y y2 2、y yn n，

19、nnbxaybxaybxay2211則有則有根據(jù)一般的逐項(xiàng)取差法，根據(jù)一般的逐項(xiàng)取差法， 1112323212121()()(nnnnnxxbyyyxxbyyyxxbyyy1112312211)()()()(xxyyxxxxxxyyyxxybnnnnnii所以所以這樣的計(jì)算方法是不可取的。逐差法的基本方法這樣的計(jì)算方法是不可取的。逐差法的基本方法是把測(cè)量數(shù)據(jù)分為前后個(gè)數(shù)相等的兩組，后面一是把測(cè)量數(shù)據(jù)分為前后個(gè)數(shù)相等的兩組，后面一組中各個(gè)數(shù)據(jù)減去前面一組中相應(yīng)的數(shù)據(jù)，再將組中各個(gè)數(shù)據(jù)減去前面一組中相應(yīng)的數(shù)據(jù)，再將結(jié)果取平均求斜率結(jié)果取平均求斜率b b， )()()(222222222211211

20、21nnnnnnnnnxxbyyyxxbyyyxxbyyy2,3 , 2 , 1)()()(2122122nixxyyxxybniiinniiiniin取平均求得取平均求得b b 求得求得b b后，可以運(yùn)用累加法求截距后，可以運(yùn)用累加法求截距a aniniiixbnay11ninxyaniniii, 3 , 2 , 111* *4.4.最小二乘法與曲線的擬合：最小二乘法與曲線的擬合： 圖解法處理數(shù)據(jù)時(shí)，人工擬合的曲線不是最佳圖解法處理數(shù)據(jù)時(shí)，人工擬合的曲線不是最佳的。科研工作中常用最小二乘法來擬合曲線。的?？蒲泄ぷ髦谐Ｓ米钚《朔▉頂M合曲線。 用最小二乘法求得變量之間的函數(shù)關(guān)系稱為用最小二乘法

21、求得變量之間的函數(shù)關(guān)系稱為回回歸方程，因此用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)尋求最佳擬合線的問題歸方程，因此用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)尋求最佳擬合線的問題也常稱為方程的回歸問題。這里只討論一元線性也常稱為方程的回歸問題。這里只討論一元線性回歸問題?；貧w問題。 變量變量x x、y y之間存在線性關(guān)系之間存在線性關(guān)系 y=y=a+bxa+bx。將它們將它們代入方程，為使方程成立，必須引入偏差項(xiàng)代入方程，為使方程成立，必須引入偏差項(xiàng)， 2222111vbxayvbxayvbxayn假設(shè)，每個(gè)測(cè)量值都是等精度的，而且只有假設(shè)，每個(gè)測(cè)量值都是等精度的，而且只有y y 有明有明顯的隨機(jī)誤差。即顯的隨機(jī)誤差。即。nnnvbxayvbxayvbxa

22、y)(,)(,)(222111 最理想的是常數(shù)最理想的是常數(shù)a a、b b應(yīng)使上式中的偏差應(yīng)使上式中的偏差1 12 2，n n的絕對(duì)值最小。即的絕對(duì)值最小。即 niiiibxayvQ122)(； ；的值取最小值的條件是的值取最小值的條件是 0,0,0,02222bQaQbQaQ一階導(dǎo)數(shù)等于一階導(dǎo)數(shù)等于0 0，得，得正規(guī)方程正規(guī)方程。解正規(guī)方程可求得。解正規(guī)方程可求得Q Q極小條件下的參量極小條件下的參量a a、b b的值稱為的值稱為最佳擬合值最佳擬合值， 。22222)(,)(iiiiiiiiiiiiixxnyxyxnbxxnyxxyxa 。nyxyxyyxxsnyyyysnxxxxsiiii

23、iixyiiiyyiiixx)(,)()(,)()(222222若令若令 。xbyassbxxxy,則則 偏差項(xiàng)的平方和對(duì)偏差項(xiàng)的平方和對(duì) a a，b b的二階偏導(dǎo)大于零，因此，的二階偏導(dǎo)大于零，因此，上式即為滿足最小二乘原理所求得的最佳擬含直線的上式即為滿足最小二乘原理所求得的最佳擬含直線的兩個(gè)參數(shù)，即斜率和截距。根據(jù)最小二乘法，用回歸兩個(gè)參數(shù)，即斜率和截距。根據(jù)最小二乘法，用回歸法求法求a a、b b時(shí)，結(jié)果是唯一的。我們必須指出，這樣求時(shí)，結(jié)果是唯一的。我們必須指出，這樣求得的斜斜率和截距仍然有誤差，為得的斜斜率和截距仍然有誤差，為 nxsibaxxyb2其中其中y y為測(cè)量值為測(cè)量值y

24、 yi i的標(biāo)準(zhǔn)偏差的標(biāo)準(zhǔn)偏差 2)(2nbxayiiy常用相關(guān)系數(shù)常用相關(guān)系數(shù)r r來判斷來判斷 x x與與y y之間到底是否符合線性之間到底是否符合線性關(guān)系，或符合到什么程度？對(duì)于一元線性回歸的情關(guān)系，或符合到什么程度？對(duì)于一元線性回歸的情況，常稱況，常稱r r為線性相關(guān)系數(shù)。其定義如下為線性相關(guān)系數(shù)。其定義如下yyxxxyiiiisssyyxxyyxxr2122)()()(相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r r的值在的值在1 1之間。越接近之間。越接近1 1，說明擬合得，說明擬合得越好，越好， 線性關(guān)系（相關(guān)系數(shù)）線性關(guān)系（相關(guān)系數(shù)）對(duì)某物理量作等精度多次測(cè)量時(shí)，每個(gè)測(cè)量對(duì)某物理量作等精度多次測(cè)量時(shí)，每

25、個(gè)測(cè)量結(jié)果的可信度都一樣，可用簡(jiǎn)單的算術(shù)平均值來結(jié)果的可信度都一樣，可用簡(jiǎn)單的算術(shù)平均值來得到結(jié)果。在一列非等精度測(cè)量中，必須引入一得到結(jié)果。在一列非等精度測(cè)量中，必須引入一個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)p pi i來表示某個(gè)測(cè)量結(jié)果來表示某個(gè)測(cè)量結(jié)果 x xi i的可信度的可信度. .p pi i越大越大標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差i i越小越小, ,測(cè)量結(jié)果測(cè)量結(jié)果x xi i對(duì)最后實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)最后實(shí)驗(yàn)結(jié)果的貢獻(xiàn)也就越大，可以證明，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的加權(quán)平均貢獻(xiàn)也就越大，可以證明，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的加權(quán)平均為為niiniiipxp11其中其中p pi i稱為權(quán)，權(quán)稱為權(quán)，權(quán)p pi i于其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差于其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差x xi i的平的平方成正比，方成正比，它滿足歸一化條件它滿足歸一化條件可以證明，加權(quán)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為可以證明，加權(quán)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為 232221321:kkkpp