一輪復(fù)習(xí)：雙曲線

1、授課主題雙曲線1. 了解雙曲線的實際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2. 了解雙曲線的定義（注意定義中的限制條件）、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何教學(xué)目標(biāo)性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線）.3 .能夠應(yīng)用直接法、待定系數(shù)法、定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.4 . 了解雙曲線的簡單應(yīng)用.教學(xué)內(nèi)容1 .雙曲線的定義平而內(nèi)與兩個定點R,巳（尸正21=200）的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于舊F?l且不等于零）的點的軌跡叫做碘 線這兩個定點叫做雙曲線的焦底，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.集合 P=MIIMQI-IMBII = , IFiJI=2c,其中“，c 為常數(shù)且0,

2、 c0：當(dāng)，”時,P點的軌跡是雙曲線；（2）當(dāng)=c時,尸點的軌跡是兩條射線：（3）當(dāng)0c時,尸點不存在.2 .雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程22工 _y -17 /廠1(心0,0)22302。)范圍.72或才 R.rC K,y一以或性對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點頂點人 1( ，0) A2 (a 0)A (0 a) 9 A2 (0 .a)住占F ( ts0). F2 (c-0)F)(0. -c) F2 (O.c)質(zhì)漸近線,bV= 士 X ai a y=Tr離心率(1 +),其中 c= /+/ a實虛軸實軸:1 A A2 1 =2a；虛軸 | B, B21 =26a.b.c的關(guān)系c2 =

3、 /+/ C QQO )3 .必記結(jié)論(1)焦點到漸近線的距離為.(2)等軸雙曲線：實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫等軸雙曲線，其方程可寫作：儲一)，2=以).翔).(3)等軸雙曲線u離心率兩條漸近線y=r相互垂直.題型一雙曲線的定義及應(yīng)用例1、(2017湖北武漢調(diào)研)若雙曲線/為=1的左焦點為凡 點P是雙曲線右支上的動點，414),則I/Y1+I加的最 小值是()A. 8B. 9C. 10D. 12方法點撥：利用雙曲線定義得到IPFI + I%l=2a+儼81 + 1以I,再利用IM+IP8lNL48求出最小值.答案B解析 由題意知，雙曲線?一W=1的左焦點尸的坐標(biāo)為(-4,0),設(shè)雙曲線的右焦

4、點為5,則8(4,0),由雙曲線的 定義知狀” + 1用1=4+1尸8 + 1力區(qū)4+3例=4+、(4-1)2+(04)2=4+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)A, P, 8三點共線且P在A, B 之間時取等號.IPFI+I用I的最小值為9.故選B.9例2、（2018.河北邯鄲模擬）設(shè)動圓C與兩圓G： Q+4戶+），2=4, C?：戶+卡=4中的一個內(nèi)切，另一個外切, 則動圓圓心C的軌跡方程為.方法點撥：根據(jù)圓與圓相切關(guān)系求動圓圓心到兩個定圓圓心的距離之差，然后用定義法求解.答案-2=1解析 設(shè)圓C的圓心。的坐標(biāo)為a, y）,半徑為幾由題設(shè)知廠2,于是有flCCil=r+2, flCCil=r-2t 或CCi

5、=r-2191=r+2,A HCCi I - ICC2II=4 0),以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近 線相交于A, B, C,。四點，四邊形ABC。的面積為助，則雙曲線的方程為()A.乎乎=1B. 土竽=1年-9=1方法點撥：本題采用方程法.答案D解析不妨設(shè)月。0,和)在第一象限，由題意得-vo+yo=22,2q2,vo=2仇b 刈=委處，由得端=4 + ,的“ 2 。2164分有所以M=鏟工)了=百層，由可得3=12.所以雙曲線的方程為三一f1=l.故選D.條件探究1若將典例中條件變?yōu)椤耙耘fF?l為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3,4)”，求雙曲線的方程.b

6、 4解 因為以舊為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3,4),所以c=5, 2=*又c2=/+，所以 =3, h a 3=4,所以此雙曲線的方程為一卷=1.【條件探究2若將典例中變?yōu)椤半p曲線過點(24)，且雙曲線與橢圓?+產(chǎn)=1共焦點”，求雙曲線的方程.r2丫 2 V24 1解 橢圓+9=1的焦點坐標(biāo)是(上國0).設(shè)雙曲線方程為一方=13o, b0),所以7一7=1, 2+抉=3,解得/ = 2,按=1,所以所求雙曲線方程是與一產(chǎn)=1.方法技巧雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法1 .定義法.2 .待定系數(shù)法.提醒：利用求待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出關(guān)

7、于參數(shù)a, b, C的方程并求出“，b, C的值.與雙曲線3一冬=1,有相同漸近線時可設(shè)所求雙曲線方程為*忘=掙0).【沖關(guān)針對訓(xùn)練】1 .己知雙曲線。）的焦距為2，5,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，則雙曲線的方程為（ ）XV2A.j-y2=lB./一疝=13 T2 3 V23F 3 V2C20-T=1Dr5_20 = 1答案A1Y2解析 由題意得。=,，-=2則=2, b=l,所以雙曲線的方程為:一）2=1.故選A.2 . （2018福建漳州模擬）已知雙曲線C： 一白=130, Q0）的左、右焦點為R,后，尸為雙曲線。右支上異于頂Ar點的一點， PFR的內(nèi)切圓與x軸切于點（10

8、）,且P與點Fi關(guān)于直線丁=一二對稱，則雙曲線的方程為答案r一9=1解析 設(shè)點A（l,0）,因為尸尸正2的內(nèi)切圓與“軸切于點（1,0）,則IPBI-IP尸21=14川一14戶21,所以2a=（。+1）一（C -1）,則“=1.因為點P與點“關(guān)于直線尸一9對稱，所以NF與，且篇=從結(jié)合儼FblPgl=2, IPFil2 +lPB|2=4/=4+4/,可得b=2.所以雙曲線的方程為一=1. 題型三雙曲線的幾何性質(zhì) 角度1與雙曲線有關(guān)的范圍問題（多維探究）例4、（2015全國卷I ）已知M（xo,和）是雙曲線C： 5一尸=1上的一點，F(xiàn)i，B是C的兩個焦點.若加山砥0,則 yo的取值范圍是（）AT

9、陰B.（d *）C（一攣峭D（攣等方法點撥：根據(jù)已知而百必?0,列出刃的不等式求解.答案A解析 不妨令人為雙曲線的左焦點，則B為右焦點，由題意可知屏=2, =1,.。2=3,.（一/，0）, F?（木, 0）,則A7/-Mfi=（5/3 Ao）, （a/3 ao）+（ yo）-（yo）=xo+,vo3.又知一）6=1, .,.aS=2+2）G, .,./談1小蓿2=3,310.；一羋.vu0）的右支與焦點為尸的拋物線=2y（p 0）交于A, B兩點.若從“+山=41。，則該雙曲線的漸近線方程為方法點撥：涉及曲線交點時，考慮用設(shè)而不求的方法.答案y=x解析設(shè)A(xi, yi), 8(x2, yi

10、).,772= 1，.由 j a b 得 a2y-2pb2y+a2b2=09 胃=2/,又L4FI +由 “=410”,工+32+=4或，即 yi+”=p. 2Pb2pni-L . b 事H=P，即7=2，2=2，工雙曲線的漸近線方程為y=角度3與雙曲線離心率有關(guān)的問題 例6、（2016全國卷II）已知Q, F?是雙曲線E： 縈=1的左、右焦點，點M在上上，MR與x軸垂直，sinZMF2F, =p則E的離心率為（）3C,小D. 2方法點撥：將等式sin/MBQ=；轉(zhuǎn)化為關(guān)于n c的等式.答案A解析 由MFi_Lx軸，可得從一c,夕）， 1.IMEI=9sinNMF2Fi=；,可得 cos/A/

11、F2a = 1 -又 tanNMF2Fi=,，裊=3：.b2=act /=蘇+2=/-42,./_“2一坐/=0=/一察一 1=0, .e=W.故選 A.方法技巧與雙曲線離心率、漸近線有關(guān)問題的解題策略1 .雙曲線的離心率-=是一個比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于詼b,。的一個關(guān)系式，利用/=2 /消去乩 a然后變形成關(guān)于e的關(guān)系式，并且需注意el.2 .求雙曲線離心率或其范圍的方法（2 （3+分2（1）求。，b, c的值，由/=-不一=1+7直接求已列出含有“，b,。的齊次方程（或不等式），借助于/=/一/消去從然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程（或不等式）求解.3 .求雙曲線*爛1（0, Q0）的漸近線的

12、方法是令捻一弗=6即得兩漸近線方程溫=?！緵_關(guān)針對訓(xùn)練】1. （2015 全國卷H）已知A, 8為雙曲線上的左、右頂點，點、M在E上,aABM為等腰三角形，且頂角為120。,B. 2D.a/2則E的離心率為（） A.yf5 C巾 答案D22解析 設(shè)雙曲線上的標(biāo)準(zhǔn)方程為，一/=1（“0, b0）,則A（一,0）, B（0）,不妨設(shè)點M在第一象限內(nèi)，則易得M（2”，g）,又M點在雙曲線E上，于是答一號正=1,可得=2,.e=yi+：=5.故選D.2. （2018成都統(tǒng)考）已知a/0,橢圓G的方程為+1=1,雙曲線C2的方程為宗一昌=1, G與C?的離心率之積為坐，則。2的漸近線方程為（）A. 士y

13、=0B./2xy=0C. x2y=0D. 2vy=0答案A解析 設(shè)橢圓G和雙曲線C2的離心率分別為門和62,則e產(chǎn)業(yè)了,白=亞產(chǎn).因為462=乎，所以亞中4即0T所以評故雙曲線的漸近線方程為），=3=皆工，即x42y=O.故選A.題型四直線與雙曲線的綜合問題 例7、以P（L8）為中點作雙曲線為產(chǎn)4必=4的一條弦AB,求直線AB的方程.方法點撥：本題采用“點差法4xt=4,解 設(shè) A(xi, yi), 8(x2, yz),貝 )Lv2-4x2=4, G1 +竺)。1 一%)=4(總 +X2)(X -X2)，弦AB的中點是尸(1,8),川+a=2, yi+y2=16.A 16(yiy2)=8(.i

14、.2),，直線AB的斜率為豈二X1X2 2直線AB的方程為y-8=g(xl),即直線AB的方程為x-2y+15=0.例8、已知中心在原點的雙曲線。的右焦點為(2.0),右頂點為(小,0).(1)求雙曲線。的方程；(2)若直線/： y=H+碑與雙曲線。恒有兩個不同的交點A和B,且漢加2(其中。為原點)，求4的取值范圍. 方法點撥：(2)直線與雙曲線聯(lián)立，用設(shè)而不求的方法，列出不等式，然后求解.解(1)設(shè)雙曲線方程為今一1=130, b0).由已知得“=小，c=2,于是2+乂=22, /=,故雙曲線C的方程為與一)，2=1.x2(2)將 =h+也代入3一)2= 1，得(1 3標(biāo))/一6/5公一9=

15、0.由直線/與雙曲線交于不同的兩點，得13丘0,i 一1 二 ,.J=(6y2k)2+36( 1 -3/:2)=36( 1 -k2)0,即汽且 k 2,得 *trs+yA)*2.xaxb+VAya=xaxh+(Icxa+y2)(to+a/2)=(2 + 1次四+也欠(總+a70+2=伏2+16g-3k233+72 = 3k2-Y*7于是Kt2,即一3必+9門3-1 0解得gR3,又Rvi, !20,比0）的位置關(guān)系的分析:y=kx+m91 .代數(shù)法 A-2 y2 消去y，得（分一*女22 2h4、一”2（?2 +乒）=0.L 廬=1，（1）二次項系數(shù)為o時，直線4%=4）與雙曲線的漸近線平行或

16、重合.重合：無交點；平行：有一個交點.（2）二次項系數(shù)不為。時，上式為一元二次方程，10氣直線與雙曲線相交（兩個交點）；=0=直線與雙曲線相切；0u0）的離心率等于艱，直線、=狂一1與雙曲線E的右支交于A, B兩點.（1）求的取值范圍;（2）若匕81=依3，點C是雙曲線上一點，且求=K殖+仍），求A,小的值.解由卜g.2-1e=2,故雙曲線七的方程為-y2=l.y=kx 1, 設(shè)A（r, Vi）,仇必，力），由f）x2y2=l,得（1一/以2+2一2=0,（*）,直線與雙曲線右支交于A, 8兩點，%1,=（2攵）24（1 M）x（2）0,k.r 廠 所以ivyji I 一班 VkV 建，故人的

17、取值范圍是伙ii vzv艱.（2）由（*）得處+也=后二ye+4但 +也）2-4與陽=2/ ； j）二 ”=6小,整理得 283一55k2+25=0,./ = 或又iv%（淄，.*=坐，所以 X+x2=4a，VI +y2 = k（x +x2） 2 = 8.設(shè)C（X3,力），由浣=j（次+仍），得（小，乃）=相（川+刀2, yi+y2）=（相6,北8?。?點。是雙曲線上一點，/ 80m264m2 = 1,得 m=土：.m , 51故攵=右,？=七.E真題模擬回關(guān)1 .（2016.全國卷【）己知方程一-一丁4=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則的取值范圍是（） nr+n 3/n-nA.

18、 （1,3）B. （ L a/3）C. （03）D. （0,切）答案A解析 由題意可知：c2=（m24-n）+（3/?rn）=4nr,其中c為半焦距，2c=2x2IjI=4, A m= 1,方程wW=i表示雙曲線， nr+n 3nin/ （nr+）（35n ）0,/. m2ji3m29 .* 1 v0, Q0）的一條漸近線方程為尸坐x，且與橢圓卷+= 1有公共焦l0）,即卷-5=1, 雙曲線與橢圓*+與=1有公共焦點，4k+5k=123,解得k=l,故雙曲線C的方程為千一5=1 .故選B.解法二：橢圓5+9=1的焦點為（3.0）,雙曲線與橢圓卷+91有公共焦點，2+分=（3）2=9，;雙曲I

19、Xr J1 4 J線的一條漸近線為尸埠，4W，聯(lián)立可解得/=4,從=5.，雙曲線c的方程為5=1,故選B.x2 正3. （2017全國卷I ）已知雙曲線C /一7=1（心0,力0）的右頂點為A,以A為圓心，為半徑作圓A,圓A與雙曲線。的一條漸近線交于M, N兩點.若NMAN=60。，則C的離心率為.竺案11又NM4N=60。，MA=N4=，1MAN 為等邊三角形,4. （2018.蘭州診斷）若雙曲線捻一=1（，1。）一條漸近線的傾斜角埼離心率為e，則土產(chǎn)的最小值為答案平解析 由題意，可得k=，=taig=，i抉/ f，=小4,則 t/ （2018唐山統(tǒng)考）“v9”是“方程苴工+三 =1表示雙曲

20、線”的（ ND K K y= ；.e=yj 1 +7=2.U 2a/6、一：=xb 3 -a2+ev=ir=3+當(dāng)且僅當(dāng)按=6, ）=2時取“=”.一、選擇題A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案A解析:方程天口+為=1表示雙曲線. （25T）（9）v。，.“0,即.故選 A.C5) ,7dJ J”2 5 1答案解析X2 V2設(shè)雙曲線方程/一京=L M（X9 Mm,竺），a2 b2豆一旦 了一廬=1,=1,-，得已玷震212，1=二二, ：.5a2=2b2.er 5-3又層+按=7,，岸=2,方=5,故選D.4 .過雙曲線/一方=1的右焦點/作直線/交雙曲

21、線于A, 8兩點，若從81=4,則這樣的直線/有（B. 2條D. 4條A. 1條C. 3條答案C解析 設(shè)A（m, yi）, BQ?, yz）,當(dāng)直線/的斜率不存在時，其方程為由0, 0）的左、右焦點分別為Q, F2, M是雙曲線 C的一條漸近線上的點，且。WLWB，。為坐標(biāo)原點，若SaOMF2=16,則雙曲線的實軸長是（） A. 32B. 16 C. 84 答案B I2V+8 /-/16（+1） 4（1+的一陽=/1 +7（箱 +也）2+k-yjJ-（.-2）2 = M21 =4,解得攵=號，故這樣的直線有3條.故選C.25 .（2016.浙江高考汜知橢圓G：卡+），2=1（心1）與雙曲線.：

22、奈一產(chǎn)=1（0）的焦點重合，勺，c分別為G，Cz的 離心率，貝lj（）A. mn K ee2B. z】且 2VlC. 且 eglD. y且 eg0, m 可得】，巨加一20從而 evel=、 ，=r;一9 則 Ed-1=不一;一又一D. 4解析由題意知尸2（g0）.不妨令點M在漸近線=，上，由題意可知IF2Ml =be，屏十分b,所以10知1=9匚一分=廣廣（?一2）nr（m一一2）”.由OMB=16,可得引=16,即而=32,又“2+=/,，殺 所以”=8, b=4, c=4#,所以雙曲線。的實軸長為16.故選B.7. （2018湖南十校聯(lián)考）設(shè)雙曲線狼一*=1的兩條漸近線與直線x=f分別交

23、于A, 8兩點，尸為該雙曲線的右焦點.若60OVNAF8V90。，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. （1,業(yè)B.（也,2）C. （1,2）D. （a/2, 4-oo）答案B解析 雙曲線縈一%=1的兩條漸近線方程為），=各，時，y=不妨設(shè)A（，%，的，60。8】0）與雙曲線C2：滔一方=1（。20,岳0）有相同的焦點Fl, B，點P是兩曲線的一個公共點，門，62分別是兩曲線的離心率，若PF4PF2,則4ef+e3的最小值為（）B. 49C-D. 9答案C解析 由題意設(shè)焦距為2c,令尸在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義知IPEI -1尸危1=勿2,由橢圓定義知IPFil+IPF2l=2a】，X

24、VPF1PF2, ：.IPFi12+IPF2I2=4c29 。+2,得IPFi|2+IPB|2=2（d+243,將代入，得山+5=2M,壽+梟1+2源圣號當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=條即，L,取9.（2017.青州市模擬）已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別為F2,這兩條曲線在 第一象限的交點為P，尸是以尸H為底邊的等腰三角形.若IPRI=10,記橢圓與雙曲線的離心率分別為ei，0 則e-e2的取值范圍是（）C.& +8）D. （0, +co）答案A解析 設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c, IPFlI=，PF2=n（mn）.由于是以PR為底邊的等腰三角形.若IPF】l=10,即有 m=10,

25、 n=2c9由橢圓的定義可得利+=2為，由雙曲線的定義可得小一=2s,即有 ” = 5+c, “2=5c（c10, 可得c|,即有|5.c c 2由離心率公式可得462 = 77 =又一7 =左一，1由于141；.p1 .則eig的取值范圍為Q, +8）.故選A.10.已知橢圓C 5+=1（力0）的離心率為孚,雙曲線/一產(chǎn)=1的漸近線與橢圓。有四個交點，以這四個交點為 14 tx乙頂點的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為（）A-8 + 2 = 1Bfi+6 = 1厚+9=1D皋答案D解析橢圓的離心率為當(dāng)，.*=業(yè)涪=噂，.橢圓的方程為r+4）2=4人 c11乙雙曲線一尸=1的漸近線方程為人為

26、，= 0,，漸近線Ay=0與橢圓儲+4產(chǎn)=4/在第一象限的交點為（邛與八 邛與），由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為羋力弟=4, JJ，抉=5,，“2=4/=20.橢圓。的方程為去9=1.故選D.二、填空題11 .若點尸在曲線G：放- 5=1上，點。在曲線。2：（X5）2+產(chǎn)=1上，點R在曲線Q：。+5）2+），2=1上，則PQI一 IPRI的最大值是.答案10解析 依題意得，點FK-5.0）,尸2（5,0）分別為雙曲線C1的左、右焦點，因此有IPQ-IPRkKIPBI+DdPQI 一 DKIIP產(chǎn)2lIPRII+2=2x4+2=10,故IPQIIPRI的最大值是 10.12 .

27、過雙曲線五一%=1（0,岳0）的左焦點F（c,0）（c0）,作圓爐+產(chǎn)號的切線，切點為E,延長FE交曲線右支于 點P,若旗=；（舁+分），則雙曲線的離心率為.乂秦迎解析 圓小+尸=的半徑為條 由成=上拚+辦）知，E是FP的中點，設(shè)廣（gO）,由于。是尸產(chǎn)的中點，所以 r乙乙0E工PF, 0E = hpFPF = 20E=a. 乙由雙曲線定義，IFPI = 3a,因為F尸是圓的切線，切點為所以FPJ_OE,從而NF尸尸=90。,由勾股定理，得IFPF + IFPP=0尸平=9a2+“2 =4/=e =華.13 .（2018,安徽江南十校聯(lián)考）已知/是雙曲線C： -=1的一條漸近線，P是/上的一點

28、，R, F?是C的兩個焦點, 若討I拜2 = 0,則尸到X軸的距離為.答案2解析 由題意取 “一水, 0）, F2（y0）.則由余弦定理得 4c2 =x2+y2a）cos60oxy,當(dāng)點P看作是橢圓上的點時，有4c2=（x+）.）23=4IX2l 時，S& oab = S&oad i 51A OBD = 卜21)=1卜1 Al； 當(dāng) A, 8 在雙曲線的兩支上且 XX2 時，S o = Sa ODa+S 0BD = 2(IXl + k2l) = /k Xzl.所以S0 八6=聲刈=5，所以(X1 *)2 = (2艱)2,即_4+ ) 2 = 8, 解得女=0或左=白季，又因為一位0,0)有公共漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為一$=母0).2 .已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中為0”就得到兩漸近線方程，即方程捻b2=0就是雙曲線x2 y2不一百=130,。0)的兩條漸近線方程.失誤與防范1 .區(qū)分雙曲線中的“，b, C大小關(guān)系與橢圓中的“，b, C大小關(guān)系，在橢圓中“2 =5+ /,而在雙曲線中 = / + 出2 .雙曲線的離心率e(l, +8),而橢圓的離心率e(0J).3 .雙曲線宏一齊=1 (00, 0)的漸近線方程是產(chǎn)備，-余=1 30,0)的漸近線方程是)=玲.4 .若利用弦長公式計算，在