二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題壓軸題專題匯編含答案

1、二次函數(shù)的動(dòng)態(tài)問題（動(dòng)點(diǎn)）1.如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（0,10）,（84）,頂點(diǎn)C,D在第一象限.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)E（4,0）出發(fā)，沿x軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P,Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.（1）求正方形ABCD的邊長.（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4OPQ的面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖所示），求P,Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度.（3）求（2）中面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).（4）若點(diǎn)P,Q保持（2）中的速度不變，則點(diǎn)P沿著A

2、B邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，/OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大；沿著BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，/OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小.當(dāng)點(diǎn)P解(1)作BF_Ly軸于F.7A(010),B(8,4),二FB=8,FA=6.,AB=10.(2)由圖可知，點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B用了10秒.又；AB=1010210=1.二P,Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位.t10(3)方法一：作PGy軸于G,則PG/BF.GAAPn.GA二=，即FAAB6，二GA=t.5，二OG=10t.5；OQ=4+t,113.S=OQOG=-t410-t2253o19即$=-t2t20.105b2a19533)2MI10J193,19,一一二當(dāng)t=19時(shí)，

3、S有最大值.3476331此時(shí)GP=-1=，OG=101=一，51555，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8分)1.63萬法一：當(dāng)t=5時(shí)，OG=7,OQ=9,S=OGLoQ=.22設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為S=at2bt20.:拋物線過點(diǎn)(10,28),g63j,2100a10b20=28,6325a5b20.23a=-一,10,19b二一b5.3t2t201019b2a2：I19y19二當(dāng)t=一時(shí),3此時(shí)GP=76,15S有最大值.31OG=-5，點(diǎn)P的坐標(biāo)為傳用)155(4)2.點(diǎn)評(píng)本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的簡單運(yùn)用和幾何知識(shí)，是近年來較為流行的試題，解題的關(guān)鍵在于結(jié)合題目的要求動(dòng)中取靜，相信解決這種問題不會(huì)非常難。

4、2.如圖，RtABC中，/B=90,，/CAB=30.它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,5百)，AB=10,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AtBtC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D(0,2)出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)求/BAO的度數(shù).(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4OPQ的面積S(平方單位)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，(如圖)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度.(3)求(2)中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).(4)如果點(diǎn)P,Q保持(2)中的速度不變，那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZOPQ的大小隨著時(shí)

5、間t的增大而增大；沿著BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，/OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使/OPQ=90的點(diǎn)P有幾個(gè)？請(qǐng)說明理由.解：（1）/BAO=60匚(2)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒.（3）P（10-t,品）（0t5）1.s=a（2t2）（10川9=一t一2121+4二當(dāng)t=2時(shí)，s有最大值為2此時(shí)prU,*221214(4)當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí),ZOPQ=90（的點(diǎn)P有2個(gè).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，/OPQOM,從而/OPQ90c.所以當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，/OPQ=90，的點(diǎn)P有1個(gè).一，,一，,一，一，一103同理當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可算得OQ=12+93=17.8.第

6、29題圖3而構(gòu)成直角時(shí)交y軸于%,35*1,35巨=20.217.8,33所以ZOCQ90，,從而/OPQ=90的點(diǎn)P也有1個(gè).所以當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，/OPQ=90，的點(diǎn)P有2個(gè).43.(本題滿分14分)如圖12,直線y=-x+4與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,已3知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、C和點(diǎn)B(1,0(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為M,求四邊形AOCM的面積；(3)有兩動(dòng)點(diǎn)D、E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)D以每秒3個(gè)單位長度的速度沿折線OAC2按O-A-C的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒4個(gè)單位長度的速度沿折線OCA按O一C一A的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、E兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止

7、運(yùn)動(dòng).設(shè)D、E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，ODE的面積為S.請(qǐng)問D、E兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在DE/OC,若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；設(shè)So是中函數(shù)S的最大值，那么So=囹12r解：(1)令x=0,則y=4；令y=0則x=3.A(3,0).C(0,4)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)C(0,4),可設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為2,y=axbx4又該函數(shù)圖象過點(diǎn)A(3,0).B(-1,0)2=9a+3b+4,0=a-b4.解之，得a=-43bi二所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y428/-x-x433(2)-y=x234,216=x-1I33，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為

8、Ml3過點(diǎn)M作MF_LX軸于一S四邊形AOCM=SAAFMS梯形FOCM116113-1-23241=103(3).甘-石設(shè)點(diǎn)，一x14t-4E的坐標(biāo)為何，y1HL二4,35Xi12t-12DE/OC,12t-123t.t=823，四邊形AOCM的面積為10不存在DE/OCDE/OC,則點(diǎn)D,E應(yīng)分別在線段OA,CA上，此時(shí)1t2,不滿足1Mtm2.3不存在DE/OC.根據(jù)題意得D,E兩點(diǎn)相遇的時(shí)間為3452431142現(xiàn)分情況討論如下:i)當(dāng)0t01時(shí),S=t|_4t=3t2；22ii)當(dāng)1t02時(shí),設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x2,y2),Iy25-4t-4-=,36-16t.c13,36-16tS=

9、-t=225,24.iii)當(dāng)2t0.當(dāng)k=2時(shí)，2k2=60.又拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，二k=2.2.,拋物線的解析式為：y=x+2.函數(shù)的草圖如圖所示.（只要與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)的位置及圖象大致形狀正確即可）(2)解：令_x2+2=0,得x=J2.不0x&時(shí),A2D2=2x,A2B2=-(-x2+2)=x2-2.2.l=2(A2D2+A2B2)=2x+4x4.l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系是：當(dāng)0cx(應(yīng)時(shí)，l=2x2+4x+4;當(dāng)x應(yīng)時(shí)，l=2x2+4x4.(3)解法一：當(dāng)0x”時(shí)，令A(yù)B1=AD1,2得x+2x-2=0.解得x=i-73(舍)，或x=1+J3.將x=-1+J3代入l=-2x2+

10、4x+4,得l=8-8.當(dāng)xa應(yīng)時(shí)，令A(yù)2B2=A2D2,得x22x2=0.解得x=1-石（舍），或x=1+Q.將x=1+百代入l=2x2+4x4,得l=873+8.綜上，矩形ABCD能成為正方形，且當(dāng)x=J3-1時(shí)正方形的周長為8J38;當(dāng)x=J3+1時(shí)，正方形的周長為873+8.解法二：當(dāng)0cx0,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x,x+2）.令A(yù)B=AD,則-x2+2|=2x.-x2+2=2x,或-x2+2=-2x由解得x=1忑（舍），或x=1+J3;由解得x=1曲（舍），或x=1十J3.又l=8x,二當(dāng)x=1+向時(shí)l=8店8；當(dāng)x=1+#時(shí)l=83+8.綜上，矩形ABCD能成為正方形，且當(dāng)x=J3-1

11、時(shí)正方形的周長為8J3-8；當(dāng)x=J3+1時(shí)，正方形的周長為873+8.5.已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB=4-fg=5405mc=8-m4S=SABCE-SaBFE=112(8m)X82(8m)(8m)1112.=2(8m)(88+m)=萬(8m)m=2m+4m自變量m的取值范圍是0vmv8(4)存在.理由：=S=2m2+4m=2(m4)2+8且一；V0,當(dāng)m=4時(shí)，S有最大值，S最大值=8,.m=4,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(一2,0).BCE為等腰三角形.6.(14分)如圖：拋物線經(jīng)過A(-

12、3,0)、B(0,4)、C(4,0)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式.(2)已知AD=AB(D在線段AC上)，有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AC以每秒1個(gè)單位長度的速度移動(dòng)；同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從點(diǎn)B沿線段BC移動(dòng)，經(jīng)過t秒的移動(dòng)，線段PQ被BD垂直平分，求t的值；(3)在(2)的情況下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使MQ+MC的值最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。2.b(汪：拋物線y=ax+bx+c的對(duì)稱軸為x=)2a(第26題圖)(1)解法一：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-4)因?yàn)锽(0,4)在拋物線上，所以4=a(0+3)(0-4)解得a=-1/31121所以

13、拋物線斛析式為y=-一(x+3)(x-4)=一一x+x+4333解法二：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a=0),9a-3b4=0依題意得：c=4且416a4b4=0a解得3b3所以所求的拋物線白解析式為y=12一一x3(2)連接DQ,在RtAAOB中，AB=7aQ2+BQ2=后彳鼠=5所以AD=AB=5,AC=AD+CD=3+4=7,CD=AC-AD=7-5=2因?yàn)锽D垂直平分PQ,所以PD=QD,PQBD,所以/PDB=/QDB因?yàn)锳D=AB,所以/ABD=/ADB,/ABD=/QDB,所以DQ/AB所以/CQD=/CBA。CCDQ=/CAB,所以CDQsACABDQCDAB-CA

14、所以AP=AD即四51025-DP=AD-DQ=5-=-7725t=-17257所以t的值是257(3)答對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M,使MQ+MC的值最小理由：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為b1X-2a21所以A(-3,0),C(4,0)兩點(diǎn)關(guān)于直線x=對(duì)稱21連接AQ父直線x=一于點(diǎn)M,則MQ+MC的值最小2過點(diǎn)Q作QEx軸，于E,所以/QED=/BOA=900DQ/AB,/BAO=/QDE,DQEABO10QEDQDE口uQEVDE=即=一=BOABAO453所以QE=8,DE=6,所以O(shè)E=OD+DE=2+6=20,所以Q(-20,8)777777設(shè)直線AQ的解析式為y=kx+m(k#0)工20則(7km

15、=87由此得k41-3km=024m=41所以直線AQ的解析式為824y二一x一4141聯(lián)立x2824y二一x一4141由此得1x=一2824y二一x4141128所以M(一,一241128則：在對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M(-,),使MQ+MC的值最小。2417.如圖9,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)2y=ax+bx+c(a0)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于AB兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),1OB=OC,tan/ACO=-.3(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.(2)經(jīng)過CD兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E,在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F,使以點(diǎn)ACE、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？

16、若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.(3)若平行于x軸的直線與該拋物線交于MN兩點(diǎn)，且以MN/直徑白圓與x軸相切,求該圓半徑的長度.(4)如圖10,若點(diǎn)G(2,y)是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和APG的最圖9圖10(1)方法一：由已知得：C(0,3),A(1,0)1分a-bc=0將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得,9a+3b+c=02分c=3Ja=1解得：b=-23分c=3所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x22x33分方法二：由已知得：C(0,3),A(1,0)1分設(shè)該表達(dá)式為：y=a(x+1)(x3)

17、2分將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：a=13分所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-2x-33分(注：表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分)(2)方法一：存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3)4分理由：易得D(1,4),所以直線CD的解析式為：y=-x-3，E點(diǎn)的坐標(biāo)為(一3,0)4分由A、C、E、F四點(diǎn)的坐標(biāo)得：AE=CF=2,AE/CF 以A、GE、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，存在點(diǎn)F,坐標(biāo)為(2,3)5分方法二：易得D(1,4),所以直線CD的解析式為：y=x3 .E點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)4分 以A、GE、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形 .F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3)或(一2,3)或(一4,3)代入拋物線的表

18、達(dá)式檢驗(yàn)，只有(2,-3)符合，存在點(diǎn)F,坐標(biāo)為(2,3)5分(3)如圖，當(dāng)直線MNx軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為R(R0),則N(R+1,R),“廣117代入拋物線的表達(dá)式，解得R=1一-172當(dāng)直線MN&x軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為則N(r+1,r),“口-1,17代入拋物線的表達(dá)式，解得r=一2，圓的半徑為3或一1一17（4）過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q,易得G(2,-3),直線AG為y=-x-1.設(shè)P(x,x2_2x_3),則Q(x,x1),PQ=-x2+x+2.SAPG=S.APQS.GPQ1,2=(-xx2)32-1.當(dāng)x=時(shí)，APGW面積最大2此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為-,-15；,24SPG

19、的最大值為2710分8.（本小題12分）解：（1）解方程x210x+16=0得Xi=2,X2=8點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OBvOC.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,8）又拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=2，由拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一6,0）A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（6,0）、B（2,0）、C（0,8）(2) ,點(diǎn)C(0,8)在拋物線y=ax2+bx+c的圖象上.c=8,將A(6,0)、B(2,0)代入表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+8,得0=36a-6b+8解得0=4a+2b+88b=3所求拋物線的表達(dá)式為y=-|x2-3x+8(3) AB=8,OC=8,c1一-SABC=2X8X8=32(4)依題意，AE=m,貝UBE=8m,.OA=6,OC=8,AC=10EF/AC.BEFABACEF=胃即ACAB1084過點(diǎn)F作FGXAB,垂足為G,貝Usin/FEG=sin/CAB=45FG4一4405mnEF=5，F(xiàn)G=5-=8-m11，S=Sbce$bfe=2(8m)8(8m)(8m)=1(8-m)(8-8+m)=|(8-m)m=1