二項(xiàng)式定理的練習(xí)及答案

1、二項(xiàng)式定理的練習(xí)及答案基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練（一）選擇題261. （x下）展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（）xA.第4項(xiàng)B。24C6C。C：D。22. （x1）11展開(kāi)式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是（）Ao2048B.1023C.-1024D。10243. （1J2）7展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是（）A.4B.5C。6D。74. 若Cn7與C：同時(shí)有最大值，則m等于（）A。4或5B。5或6C。3或4D.55. 設(shè)（2x3）4=a0a1xa2x2a3x3a4x4,貝Ua0+a1+a2+a3的值為（）A.1Bo16C。一15D.156. （x31）11展開(kāi)式中的中間兩項(xiàng)為（）x512八512A.C11x,C1xB。C；1x9,C；1

2、x10C。C151x13,C；1x9DoCx17,C；1x13（二）填空題7.在（2x1y）7展開(kāi)式中3,x5y2的系數(shù)是8._0_12_2Cn3Cn3Cn3nC：9.(35.5)20的展開(kāi)式中的有理項(xiàng)是展開(kāi)式的第項(xiàng),10 .（2x-1）5展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和是*2310.一-11 .（13x3xx）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是12 .0。9915精確到0。01的近似值是.（三）解答題13 .求（1+x+x2）（1x）10展開(kāi)式中x4的系數(shù).14 .求(1+x)+(1+x)2+-+(1+x)10展開(kāi)式中x3的系數(shù).15 .已知(1-2x)5展開(kāi)式中第2項(xiàng)大于第1項(xiàng)而不小于第3,求x的取值范圍.

3、16 .若f(x)(1x)m(1x)n(mnN)展開(kāi)式中,x的系數(shù)為21,問(wèn)mn為何值時(shí),x2的系數(shù)最小?17 .自然數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，求證：n1nn12CnCn322_3_412CnCn2CnCn18 .求8011被9除的余數(shù)2n19 .已知(G-2)的展開(kāi)式中，第五項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為14;3,求展開(kāi)式的x20.在(x2+3x+2)5的展開(kāi)式中，求x的系數(shù).21.求(2x+1)12展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).參考解答：3cO6-r1.通項(xiàng)TriC6xr(-)rC6x22r，由63r0r4,常數(shù)項(xiàng)是T5C424,x2選(B)2 .設(shè)f(x)=(x-1)11,偶次項(xiàng)系數(shù)之和是f(1)f(1)(2

4、)11/21024,選(C).2r3 .通項(xiàng)Tr1C；(J2)C；22,當(dāng)r=0,2,4,6時(shí)，均為有理項(xiàng)，故有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為4個(gè)，選(A)n1711714.要使C)最大，因?yàn)?7為奇數(shù)，則n或n22n8或n=9,若n=8,要使C；最大，則m=8=4,若n=9,要使C；最大，則m2綜上知，m=4或m=5故選(A)5。C6。C7。224;8。4n;9.3310.(2x-1)5展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對(duì)值之和實(shí)為則所求和為35.m4或m=5,9,15,21(2x+1)5展開(kāi)式系數(shù)之和，故令x=1,11.(1+3x+3x2+x3)10=(1+x)30，此題中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)，系數(shù)最大的項(xiàng)是T16=C

5、30x15。5501-12。0。991=(1-0。009)=C0C；0.0090.9621013.(1xx)(1x)(1x3)(1x)9,要得到含x4的項(xiàng)，必須第一個(gè)因式中的(1-x)9展開(kāi)式中的項(xiàng)C4(x)4作積，第一個(gè)因式中的x3與(1x)9展開(kāi)式中的項(xiàng)C；(x)作積，故x4的系數(shù)是c9c4135.14.(1x)(1x)2(1x)10(1X)1(1X)10=(X>(x(,原式中x1(1x)x實(shí)為這分子中的x4,則所求系數(shù)為C；1.15.由C；(2x)_1_C5(2x)C；C；(2x)21x10111016.由條件得m+n=21,x2的項(xiàng)為Cmx2當(dāng)n=10或11時(shí)上式有最小值，也就是

6、_2222212399,Cnx,則CmCn(n一).因nCN,故242m=11和n=10,或m=10和n=11時(shí)，x的系數(shù)取小*17.原式=(c0cnc2cn1Cn)(C1nC：C：cn1)2n2n13.2n118.8011(811)11C1018T1C1118T0C；81181k1(kZ),-kZ,9k-1CZ,8111被9除余&19 .依題意C4:C214:33Cn14C2.3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n1)/2!n=10.105r設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，又Tr1C；0(J7)10r(2)r(2)C；0x工x令105r0r2,T21C20(2)2180.此所求常數(shù)

7、項(xiàng)為180.2255520 .(x23x2)5(x1)5(x2)55x,在(2+x)5展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為25=32,在(x+1)5展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為1,含x的項(xiàng)為C；含x的項(xiàng)為C；24x80x.展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為1(80x)5x(32)240x,此展開(kāi)式中x的系數(shù)為24021.設(shè)Tr+1的系數(shù)最大，則Tr+1的系數(shù)不小于Tr與Tr+2的系數(shù)，即有配29212r12rCtCt213r1211C；22C；212C%Cl444，展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)為第5項(xiàng)，T5=16C12x7920x三.拓展性例題分析n1例1在二項(xiàng)式Jx=的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中所有有理24x項(xiàng).分析：本題是典

8、型的特定項(xiàng)問(wèn)題，涉及到前三項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng)，可以通過(guò)抓通項(xiàng)公式解決.解:二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：r2n3rTr1Cn(.X)nr4C；X42、x2前三項(xiàng)的r0,1,2.得系數(shù)為：t11,t2C1n,t3C：11n(n1),2248，一一1，.、由已知：2t211t3n1-n(n1),8n8通項(xiàng)公式為163rTr1C8xr0,1,28,Tr1為有理項(xiàng)，故163r是4的倍數(shù)，2rr0,4,8.依次得到有理項(xiàng)為T(mén)1x4,T5C4A-x"x,T9C8x2-x2.24828256說(shuō)明：本題通過(guò)抓特定項(xiàng)滿足的條件，利用通項(xiàng)公式求出了r的取值，得到了有理項(xiàng).類(lèi)似地，(V2V3)100的展開(kāi)式中

9、有多少項(xiàng)是有理項(xiàng)？可以通過(guò)抓通項(xiàng)中r的取值，得到共有17頁(yè)系數(shù)和為3n.1例2(1)求(1x)3(1x)10展開(kāi)式中x5的系數(shù)；(2)求(x2)6展開(kāi)式中的常數(shù)x項(xiàng).分析：本題的兩小題都不是二項(xiàng)式展開(kāi)，但可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開(kāi)的問(wèn)題，(1)可以視為兩個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式相乘；(2)可以經(jīng)過(guò)代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式.解：(1)(1x)3(1x)10展開(kāi)式中的x5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類(lèi)項(xiàng)：用(1x)3展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)乘以(1x)10展開(kāi)式中的x5項(xiàng)，可以得到C；°x5；用31044445(1x)展開(kāi)式中的一次項(xiàng)乘以(1x)展開(kāi)式中的x項(xiàng)可得到(3x)(C10x)3Cwx；3o1023

10、3用(1x)3中的x2乘以(1x)展開(kāi)式中的x3可得到3xC10X3533C1ox；用（1x）3中的（C5oC403C30CD563x5.C2ox5,合并同類(lèi)項(xiàng)得x5項(xiàng)為:x3項(xiàng)乘以(1x)10展開(kāi)式中的x2項(xiàng)可得到3x3C2ox21（xx2）512展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tr1C；2（2）12C；2x6r,可得展開(kāi)式2x12、x1xx121x的常數(shù)項(xiàng)為C；2924.說(shuō)明：?jiǎn)栴}(2)中將非二項(xiàng)式通過(guò)因式分解轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解決.這時(shí)我們還可以通過(guò)合并項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開(kāi)的問(wèn)題來(lái)解決.例3求(1xx2)6展開(kāi)式中x5的系數(shù).分析：(1xx2)6不是二項(xiàng)式，我們可以通過(guò)1xx2(1x)x2或1(xx2)把它看成

11、二項(xiàng)式展開(kāi).解：方法一：(1xx2)6(1x)x26(1x6)6(1x)5x215(1x)4x4其中含x5的項(xiàng)為C5x56c5x515Cx56x5.含x5項(xiàng)的系數(shù)為6.方法二：(1xx2)61(xx2)622、22、32、42、52、616(xx)15(xx)20(xx)15(xx)6(xx)(xx)其中含x5的項(xiàng)為20(3)x515(4)x56x56x5.，x5項(xiàng)的系數(shù)為6.方法3：本題還可通過(guò)把(1xx2)6看成6個(gè)1xx2相乘，每個(gè)因式各取一項(xiàng)相乘555可得到乘積的一項(xiàng)，x項(xiàng)可由下列幾種可能得到.5個(gè)因式中取x,一個(gè)取1得到C6x.3個(gè)因式中取x,一個(gè)取2，-一X,兩個(gè)取1個(gè)因式中取X,

12、兩個(gè)取X2,三個(gè)取合并同類(lèi)項(xiàng)為(c6c；c3c6c5)x5556x,x項(xiàng)的系數(shù)為6.例4求證:（1）C1n2C2ncnc；2c1n3c21cnCnn1(2n11).n1分析：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值.解決這兩個(gè)小題的關(guān)鍵是通過(guò)組合數(shù)公式將等式左邊各項(xiàng)變化的等數(shù)固定下來(lái)，而使用項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C0C；C2cn2n.解：（1）kC：n!k!(nk)!(kn!1)!(nk)!(n1)!k1(k1)!(nk)!n1左邊nCn1nC；1ncn1；（c；C；1cn；)n2n1右邊.-Ck1nn!k!(nk)!n!(k1)!(

13、nk)!(n1)!(k1)!(nk)!c：，左邊,C1Cn1n1工(Cn1n1C3C2cn；）LcnCn11n1(2n11）右邊.說(shuō)明：本題的兩個(gè)小題都是通過(guò)變換轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)之和，再用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個(gè)二項(xiàng)式的展開(kāi)式,理才能完成，所以需仔細(xì)觀察，我們可以看下面的例子：但這需要逆用二項(xiàng)式定例5:求29C1028C；027C：02c2o10的結(jié)果.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與(1一10.2）的展開(kāi)式接近，但要注意10_0_1_2_2(12)C10C102C102八9八9八10-10C102C102_2_22102Cw29C；0210C10_22(10

14、2c1028C9029C10)從而可以得到:102C；28C9029C101(3101).2例6利用二項(xiàng)式定理證明:32n28n9是64的倍數(shù).分析:64是8的平方，問(wèn)題相當(dāng)于證明32n28n9是82的倍數(shù)，為了使問(wèn)題向二項(xiàng)式定理貼近，變形32n29n1(81)n1,將其展開(kāi)后各項(xiàng)含有8k,與82的倍數(shù)聯(lián)系起來(lái).解：32n28n99n18n9(81)n18n98n1C；8nc；182Cn1818n98n1C；18nn1Cn1828(n1)18n98n1Cn18nn1Cn182(8n1C；18nn1、_.-Cn1)64是64的倍數(shù).，而且可以用此方程求一些復(fù)說(shuō)明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來(lái)

15、證明整除問(wèn)題雜的指數(shù)式除以一個(gè)數(shù)的余數(shù).5一3展開(kāi)2x2x2分析1:用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式.解法5d31：2x22x_05C5(2x)32x2_1_4C5(2x)32x2_23C5(2x)232x2323C5(2x)M3C；(2x)32x24C：32x232x5120x2儂釁喈咎xx8x32x分析2:對(duì)較繁雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開(kāi).5一，3解法2：2x2x2(4x33)532x101035_101C5(4x)32xC；(4x3)2(羨a0”_134_2332C5(4x3)4(3)C2(4x3)3(3)234314553)C5(4x)(3)C5(3)3840x125760x94320x61

16、620x32437)cc5218013540524332x120x7.xx48x732x10說(shuō)明：記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式(ab)n的展開(kāi)式，是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問(wèn)題的前提條件.對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開(kāi)會(huì)更簡(jiǎn)便.例8若將(xyz)10展開(kāi)為多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為().A.11B.33C.55D.66分析：(xyz)10看作二項(xiàng)式(xy)z10展開(kāi).解：我們把xyz看成(xy)z,按二項(xiàng)式展開(kāi)，共有11“項(xiàng)”，即101010k10kk(xyz)(xy)zCio(xy)z.k0這時(shí)，由于“和”中各項(xiàng)z的指數(shù)各不相同，因此再將各個(gè)二項(xiàng)式(xy)10k展開(kāi)，不同的乘積Ci0(xy)10kzk(k0,1,10)展開(kāi)后，都不會(huì)出現(xiàn)同類(lèi)項(xiàng).下面，再分別考慮每一個(gè)乘積Ci0(xy)10kzk(k0,1,10).其中每一個(gè)乘積展開(kāi)后的項(xiàng)數(shù)由(xy)10k決定，而且各項(xiàng)中x和y的指數(shù)都不相同，也不會(huì)出現(xiàn)同類(lèi)項(xiàng).故原式展開(kāi)后的總項(xiàng)數(shù)為11109166,，應(yīng)選D.n,41例9若x-2的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為20