二項式定理考點與題型歸納

1、二項式定理考點與題型歸納、基礎(chǔ)知識1 .二項式定理(1)二項式定理：(a+b)n=onan+C1an-1b+-+cAankbk+Cnbn(nCN*)?;(2)通項公式：Tk+i=cnakbk,它表示第k+1項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為CLcn,:二,C；?.2 .二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)項數(shù)為n+1.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的哥指數(shù)n,即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降哥排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升哥排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.得二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別二項式系數(shù)是指C0,C1,，on,它只與各項的項數(shù)有關(guān)，而與a,b的值無關(guān)

2、；而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而且也與a,b的值有關(guān).如(a+bx)n的二項展開式中，第k+1項的二項式系數(shù)是on,而該項的系數(shù)是Cnan-kbk.當然，在某些二項展開式中，各項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的考點一二項展開式中特定項或系數(shù)問題考法(一)求解形如(a+b)n(nN*)的展開式中與特定項相關(guān)的量例1(1)(2018全國卷出)x2+25的展開式中x4的系數(shù)為()xA.10B.20C.40D.80(2)(2019合肥調(diào)研)若(2*a)5的二項展開式中x3的系數(shù)為720,則a=a一(2019甘肅測)已知X而5的展開式中x5的系數(shù)為A,x2的系數(shù)為B,若A+

3、B=11,貝Ua=解析(1)x2+25的展開式的通項公式為Tr+1=C5-x2)5-r-2r=C5-r?x103r,令10xx3r=4,得r=2.故展開式中x4的系數(shù)為C2-2=40.(2)(2xa)5的展開式的通項公式為Tr+1=(-1)r5(x)5rar=(-1)r-5-5Trarx"r,令5-r=3,解得r=2,由(一1)225T2a2=720,解得a=±3.3 3)x泉5的展開式的通項公式為Tr+1=C5x5r-xr=C5(a)rx59.由5-%=5,一,3得r=0,由5-2r=2,得r=2,所以A=C0x(-a)0=1,B=C2x(a)2=10a2,則由1+10a

4、2=11,解得a=±1.答案(1)C(2)±3(3)±1解題技法求形如(a+b)n(nCN*)的展開式中與特定項相關(guān)的量(常數(shù)項、參數(shù)值、特定項等)的步驟第一步，利用二項式定理寫出二項展開式的通項公式Tr+1=Canrbr,常把字母和系數(shù)分離開來(注意符號不要出錯)；第二步，根據(jù)題目中的相關(guān)條件(如常數(shù)項要求指數(shù)為零，有理項要求指數(shù)為整數(shù))先列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組)，解出r；第三步，把r代入通項公式中，即可求出+1,有時還需要先求n,再求r,才能求出Tr+1或者其他量.考法(二)求解形如(a+b)m(c+d)n(m,nCN*)的展開式中與特定項相關(guān)的量例2

5、(1)(1或)6(1+取)4的展開式中x的系數(shù)是()A.-4B.-3C.3D.4(2)(2019南昌卞II擬)已知(x1)(ax+1)6的展開式中含x2項的系數(shù)為0,則正實數(shù)a=解析法一：(1出)6的展開式的通項為cm-fw)m=cm(1)%¥，(1+五)4的展開式的通項為c4-x)n=C4xn，其中m=0,1,2,，6,n=0,1,2,3,4.令m+n=1,得m+n=2,于是(14X)6(1+E)4的展開式中x的系數(shù)等于C0(1)06+C6(1)14+c6(1)2-0=-3.法二：(1-X)6(1+VX)4=(1-VX)(1+VX)4(1-VX)2=(1x)4(12W+x).于是(

6、1W)6(1+也)4的展開式中x的系數(shù)為C0c4+1)1=3.(2)(ax+1)6的展開式中含x2項的系數(shù)為C6a2,含x項的系數(shù)為C5a,由(x1)(ax+1)6的展開式中含x2項的系數(shù)為0,可得一C4a2+C5a=0,因為a為正實數(shù)，所以15a=6,所以a2一5.-2答案(1)B(2)5解題技法求形如(a+b)m(c+d)n(m,nCN*)的展開式中與特定項相關(guān)的量的步驟第一步，根據(jù)二項式定理把(a+b)m與(c+d)n分別展開，并寫出其通項公式；第二步，根據(jù)特定項的次數(shù)，分析特定項可由(a+b)m與(c+產(chǎn)的展開式中的哪些項相乘得到；第三步，把相乘后的項合并即可得到所求特定項或相關(guān)量考法

7、(三)求形如(a+b+c)n(nN*)的展開式中與特定項相關(guān)的量例3(1)(x2+x+y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為()A.10B.20C.30D.60(2)將x+4-43展開后，常數(shù)項是x解析(1)(x2+x+y)5的展開式的通項為Tr+1=C5(x2+x)5ryr,令r=2,則丁3=樂(乂+x)3/，又(x2+x)3的展開式的通項為Tk+1=C3(x2)3kxk=C3x6k,令6-k=5,則k=1,所以(x2+x+y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為C2C3=30.4c2c，2,(2)x+x-43=4我6展開式的通項是Ck/)6-比k=(-2)k-kx3k.令3-k=0,得k=3.所以常數(shù)

8、項是C6(-2)3=-160.解析(1)C(2)-160解題技法求形如(a+b+c)n(nN*)的展開式中與特定項相關(guān)的量的步驟第一步，把三項的和a+b+c看成是(a+b)與c兩項的和；第二步，根據(jù)二項式定理寫出(a+b)+cn的展開式的通項；第三步，對特定項的次數(shù)進行分析，弄清特定項是由(a+b)的展開式中的哪些項和d相乘得到的；第四步，把相乘后的項合并即可得到所求特定項或相關(guān)量題組訓(xùn)I練1C1.(2018洛陽第一次統(tǒng)考)若2=/0$所xdx,則二項式蚣：6的展開式中的常數(shù)項為人()A.-15B.15C.-240D.240解析：選D由a=/0sinxdx=(cosx)|0=(cos兀A(co

9、s0)=1(1)=2,得2而16的展開式的通項公式為Tr+1=C6(2A/x)6rr=(-1)rC6-6?rx3-3r,令3-|r=xx220,得r=2,故常數(shù)項為C6-4=240.2 .(2019福州四校聯(lián)考)在(1x3)(2+x)6的展開式中，x5的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)解析：二項展開式中，含x5的項是C62x5-x3C24x2=-228x5,所以x5的系數(shù)是228.答案：2283 .2+1+V25(x>0)的展開式中的常數(shù)項為.xx_,x1-x11解析：2+/亞5(x>0)可化為妻+血，因而Tr+1=010/10r(Vx)1C2r,令10-2r=0,得r=5,故展開式中的常數(shù)

10、項為C?。古5=粵2.答案：掾考點二二項式系數(shù)的性質(zhì)及各項系數(shù)和典例精析若小十丁邛勺展開式中各項系數(shù)之和大于8,但小于32,則展開式中系數(shù)最大的項是()A.63x4B，xC.4x6/x1一(2)若x2ln的展開式中含x的項為第6項，設(shè)(13x)n=a0+aix+a2x2+anxn,則xai+a2+an的值為(3)若(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次哥項的系數(shù)之和為32,則a=解析(1)令x=1,可得浜十丁n的展開式中各項系數(shù)之和為2n,即8V2nV32,解得n=4,故第3項的系數(shù)最大，所以展開式中系數(shù)最大的項是C4(5)2弓2=6版c11.(2)x2-n的展開式的通項公式為Tr+1=c

11、n(x2)nr-r=on(-1)rx2n3r,xx因為含x的項為第6項，所以r=5,2n3r=1,解得n=8,在(13x)n中，令x=1,得a0+a+a8=(13)8=28,又ao=1,所以a+a8=281=255.(3)設(shè)(a+x)(1+x)4=ao+ax+a»2+a3x3+a4x4+asx5,令x=1,得16(a+1)=ao+a+a2+a3+a4+a5,令x=1,得0=a0a+a2a3+a4a5,一，得16(a+1)=2(a+a3+a5),即展開式中x的奇數(shù)次哥項的系數(shù)之和為a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3.答案(1)A(2)255(3)3解題技

12、法1 .賦值法的應(yīng)用二項式定理給出的是一個恒等式，對于x,y的一切值都成立.因此，可將x,y設(shè)定為一些特殊的值.在使用賦值法時，令x,y等于多少，應(yīng)視具體情況而定，一般取“1,1或0”，有時也取其他值.如：(1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cCR)的式子，求其展開式的各項系數(shù)之和，只需令x=1即可.(2)形如(ax+by)n(a,bCR)的式子，求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x=y=1即可.2 .二項展開式各項系數(shù)和、奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和的求法若f(x)=a0+aix+a2x2+anxn,則f(x)的展開式中各項系數(shù)之和為f(1).一一f1+f1(2)奇數(shù)項系數(shù)之

13、和為ao+a2+a4+=2.,E、一一“，一、，f1f1(3)偶數(shù)項系數(shù)之和為a1+a3+a5+=2.題組訓(xùn)I練3 .(2019包頭模擬)已知(2x1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao,則|a0|+|a”+|a5|=()A.1B.243C.121D.122解析：選B令x=1,得a5+a4+a3+a2+a+a。=1,令x=-1,得一a5+a4a3+a2a+ao=-243,+，得2(a4+a2+ao)=242,即a4+a2+ao=121.一，得2(a5+a3+a)=244,即as+a3+a=122.所以|ao|+|a|+|a5|=122+121=243.4 .若(x+2+m

14、)9=ao+a(x+1)+a2(x+1)2+a9(x+1)9,且(ao+a2+as)2(a1+a3+a9)2=39,則實數(shù)m的值為.解析：令x=0,則(2+m)9=ao+a+a2+a9,令x=2,則m9=aoa1+a2a3+一a9,又(ao+a2+as)2(a+a3+a9)2=(ao+a+a2+a9)(a0a1+a2a3+asa9)=39,.m(2+m)=3,.(2+m)9m9=39,.m=-3或m=1.答案：3或15 .已知（1+3x）n的展開式中，后三項的二項式系數(shù)的和等于121,則展開式中二項式系數(shù)最大的項為.1解析：由已知得cn-2+Cn1+Cn=121,則2nn-1）+n+1=121

15、,即n2+n240=0,解得n=15（舍去負值），所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為T8=C75（3x）7和T9=C?s（3x）8.答案：C75（3x）7和C85（3x）8考點三二項展開式的應(yīng)用典例精析設(shè)aCZ,且0Wav13,若512018+a能被13整除，則a=（）A.0B.1C.11D.12解析由于51=521,512018=（521）2018=C2018522018C2018522017+C2017521+1,又13整除52,所以只需13整除1+a,又0Wav13,aCZ,所以a=12.答案D解題技法利用二項式定理解決整除問題的思路（1）要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子

16、按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可.因此，一般要將被除式化為含相關(guān)除式的二項式，然后再展開.（2）用二項式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)（或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù)）與某數(shù)的和或差的形式，再用二項式定理展開.但要注意兩點：余數(shù)的范圍，a=cr+b,其中余數(shù)bC0,r）,r是除數(shù)，若利用二項式定理展開變形后，切記余數(shù)不能為負；二項式定理的逆用.題組訓(xùn)I練1.使得多項式81x4+108x3+54x2+12x+1能被5整除的最小自然數(shù)乂為（）B.2A.1C.3D.4解析：選C81x4+l08x3+54x2+12x+1=(3x+1)4,上式能被5整除的最小自然數(shù)為3.2.1 90C10+

17、902C20903c1o+(1)k90kC，0+9010c10除以88的余數(shù)為解析：190C10+902C20+(-1)k90k戰(zhàn)+9010C18=(190)10=8910,8910=(88+1)10=8810+c10889+C.88+1,前10項均能被88整除，余數(shù)為1.答案：1課時跟檢測A級1.（2019河北“五個一名校聯(lián)盟”模擬）善一x43的展開式中的常數(shù)項為（）A. -32B.3亞C.6D.-6解析：選D通項Tr+1=c3號3-r-+x4）r=c3（V2）3-rY1）rx-6+6r,當6+6r=0,即xr=1時為常數(shù)項，T2=-6,故選D.a2+a4,2.設(shè)化-x）=加+.+數(shù)+a5x

18、,則廢的值為（）A61A.-60C4122B. 12190D.-121解析：選C由二項式定理，得a1=C124=80,a2=C223=80,a3=C522=40,a2+a43a4=C42=10,所以=.a1+a343 .若二項式x2+a7的展開式的各項系數(shù)之和為一1,則含x2項的系數(shù)為（）xA.560B.560C.280D.-280解析：選A取x=1,得二項式x2+：7的展開式的各項系數(shù)之和為（1+a）7,即（1+a）7=-1,1+a=-1,a=2.二項式x1A.-B.-22r=4,解得r=3,所以x4項的系數(shù)為030.令102r=6,解得r=2,所以x6項的系數(shù)為020.所以（x2a）x+1

19、10的展開式中x6的系數(shù)為030a020=30,解得a=2.的展開式的通項Tr+i=C7(x2)7-r2r=C7(xx2）rx142.令143r=2,得r=4.因此，二項式x227的展開式中含x2項的系數(shù)為C7«2）0.1D.2x=560.4 .（2018山西八校第一次聯(lián)考）已知（1+x）n的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（）B.210D.212A.2xC.2A.1或3B.-3解析：選A由題意得04=06,由組合數(shù)性質(zhì)得n=10,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為2n1=29.15 .二項式12x29的展開式中，除常數(shù)項外，各項系數(shù)的和為（）xA.-671B.

20、6710.672D.673解析：選B令x=1,可得該二項式各項系數(shù)之和為1.因為該二項展開式的通項公式.1一為Tr+1=C979-r-£2/）=09（2）rx3r9,令3r9=0,得r=3,所以該二項展開式中的x常數(shù)項為09（-2）3=-672,所以除常數(shù)項外，各項系數(shù)的和為一1（672）=671.6 .（2018石家莊二模）在（1x）解析：選Dx+110的展開式的通項公式為Tr+1=0r0x10-r1r=010x10-2，令10（2x+1）的展開式中，含x4項的系數(shù)為（）A.-5B.-150.-25D.25解析：選B由題意含x4項的系數(shù)為一2C5+c5=15.7.（2018棗莊二模

21、）若僅2a）x+18.若(1+mx)6=a0+ax+azx2+%x6,且aI+a2+a6=63,則實數(shù)m的值為(的展開式中xxx的系數(shù)為30,則a等于（）xC.1D.1或3解析：選D令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+ai+a2+a6ai+a2+a3+a6=63,/.(1+m)6=64=26,，m=1或m=3.9 .(2019唐山卞擬)(2x1)6的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)解析：(2x1)6的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是第四項，系數(shù)是C623(1)3=160.答案：16010 .(2019貴陽*II擬)x+a9的展開式中x3的系數(shù)為

22、一84,則展開式的各項系數(shù)之和為x.解析：二項展開式的通項Tr+1=09x9rar=arC9x92r,令9-2r=3,得r=3,所以a3c3x=84,解得a=1,所以二項式為xJ9,令1,則(11)9=0,所以展開式的各項系x數(shù)之和為0.答案：0111 .x+-+15展開式中的常數(shù)項為x.一11.解析：x+x+15展開式的通項公式為Tr+1=c5-x+75-r.令r=5,得常數(shù)項為C5=1,令r=3,得常數(shù)項為C3上20,令r=1,得常數(shù)項為C54=30,所以展開式中的常數(shù)項為1+20+30=51.答案：5112 .已知5十二jn的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列.2x求n;(2)求展開式中的

23、有理項；(3)求展開式中系數(shù)最大的項.1,1c解：(1)由二項展開式知，前三項的系數(shù)分別為00,2C1,4c2,.一11c由已知得2X2cn=cn+402,解得n=8(n=1舍去).(2)出+工8的展開式的通項Tr+1=C8(Vx)8rr=2rC8x4-3f(r=0,1,，8),2.x2x35T5=83r,要求有理項，則4彳必為整數(shù)，即r=0,4,8,共3項，這3項分別是Ti=x4,1x，T9256x2(3)設(shè)第r+1項的系數(shù)ar+i最大，則ar+i=2rC8,a+i2c89r則=>1,ar2-r-C8-12r'ar+12rC82r+1=-=>1,ar+22+1C8+18-

24、r解得2&r<3.當r=2時，a3=22C2=7,當r=3時，a4=23C8=7,因此，第3項和第4項的系數(shù)最大，故系數(shù)最大的項為丁3=7二，工=7八.B級1 .在二項式x1n的展開式中恰好第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含有x2項的x系數(shù)是()A.35B.35C.-56D.56解析：選C由于第五項的二項式系數(shù)最大，所以n=8.所以二項式x§8展開式的通x項公式為Tr+1=C8x8-r(x-1)=(1)rC8x8-2r,令8-2r=2,得r=3,故展開式中含有x2項的系數(shù)是(1)3C3=56.2 .已知Cg4出+4化243C3+(1)n4nCn=729,則C(+C2+Cn的值等于()A.64B.32C.63D.31解析：選C因為C0-4Cn+42C2-43Cn+-+(-1)n4nCn=729,所以(14)n=36,所以n=6,因此C(+C2+Cn=2n1=261=63.3 .(2019濟南*II擬)x-：2x-x5的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式中含x4項的系數(shù)為.解析：令x=1,可得x-a2x15的