二次根式的化簡與計算的策略與方法

1、專業(yè)資料參考二次根式的化簡與計算的策略與方法二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時，一般遵循以下做法：先將式中的二次根式適當(dāng)化簡二次根式的乘法可以參照多項式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式標(biāo)柩二向（420,對于二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算.二次根式的加減法與多項式的加減法類似，即在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類項.運(yùn)算結(jié)果一般要化成最簡二次根式.化簡二次根式的常用技巧與方法二次根式的化簡是二次根式教學(xué)的一個重要內(nèi)容，對于二次根式的化簡，除了掌握基本概念和運(yùn)算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧，會收到事半

2、功倍的效果，下面通過具體的實例進(jìn)行分類解析.1 .公式法x+y+2舊“川【例1】計算石+后；白加【解后評注】以上解法運(yùn)用了完全平方公式”和平方差公式”，從而使計算較為簡便.2.觀察特征法2出+痛-3金【例2】計算：1word格式整理專業(yè)資料參考【方法導(dǎo)引】若直接運(yùn)用根式的性質(zhì)去計算，須要進(jìn)行兩次分母有理化，計算相當(dāng)麻煩，觀察原式中的分子與分母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項都乘以后，即得分子，于是可以簡解如下:【解】原式_73（2+V2-76）_一2+血-卡一i?a-ba-b（白一刃（白一口bc【例3】把下列各式的分母有理化.而-丘a/x+1+2-/工-1（1）訪”1底正;而r+向?。╖）【方法導(dǎo)引】

3、式分母中有兩個因式，將它有理化要乘以兩個有理化因式那樣分子將有三個因式相等，計算將很繁，觀察分母中的兩個因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：（卡一:區(qū)7、一一一一【解】原式y(tǒng)a-y/cJ/h-'y/aq區(qū)【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母，再化簡.但是，不難發(fā)現(xiàn)式分子中的系數(shù)若為“1；那么原式的值就等于“1了！因此，可以解答如下：=1+戶【解】原式JTM+J77T-i（7x-1-瓜二i）（J工+1+J釬1卜工+1-=53 .運(yùn)用配方法【例4】化簡word格式整理專業(yè)資料參考解】原式=也-2亞+1=舸口西:?J(舊7,小1【解后評注】注意這時是算術(shù)根，開方后必須是非負(fù)數(shù)，顯然

4、不能等于一拒4 .平方法【例5】化簡=6-、版+2歷后際國+6+夜=12+2#-35=.莊荷+爐春=河【解后評注】對于這類共知根式曰-“瓜與a+忑的有關(guān)問題，一般用平方法都可以進(jìn)行化簡5 .恒等變形公式法【例6】化簡''1''【方法導(dǎo)弓I】若直接展開，計算較繁，如利用公式("”+(aT)J2夕+5”則使運(yùn)算簡化.【解】原式上+(也-何+回叵f=2+解-局=2x(3+g-明word格式整理專業(yè)資料參考=22-班6 .常值換元法【例7【解】令1998-a，則:=+3儀,+如+2)+1=/7+3鼻+if=?+3d+l=1998J+3x1998+1-39979

5、997 .裂項法111Al+A+【例8】化簡.'-;.【解】原式各項分母有理化得原式一Z1三反尸=1，一=7100_1=10-1=:9【例9】化簡word格式整理專業(yè)資料參考2+2/+4+2而+而（"+網(wǎng)2+（相+而14+啊【方法導(dǎo)引】這個分?jǐn)?shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個分?jǐn)?shù)的分子等于分母的兩個因數(shù)之和，于是則有如下簡解：_+十（正+、皈）,卜樂+而）、（4+、版）【解】原式訪十而2+，后+莉十曲）+行+限2+V7屈+犧4+a/13Mi7+/一店六瓦十4至333=；（而一爐小2+后-加+”間、8 .構(gòu)造對偶式法用+2+JJ-423+2+J.i-4【例10

6、】化簡.十2-J儲一,界+2+dd-4【解】構(gòu)造對偶式，于是沒n=界+2+而-4,b=/2-J“-4則a+b=2釐+4,而=4月+8,而=2（o+Maba2b2a+4?.a+J.=一+=-2=2原式-一:一:;二二=四+2-2=也9 .由里向外，逐層化簡word格式整理專業(yè)資料參考j1998J19974怎/1995*1993+1+1+1+1解:J1995xl993+1=41994川(1994-1)+1719943=1994而一一二-1一一1199兩995一+1=41996刁（1991訴1=1996，原式卜'.''一,【解后評注】對多重根式的化簡問題，應(yīng)采用由里向外，由局

7、部到整體，逐層化簡的方法處理.10 .由右到左，逐項化簡【例ii】化簡，22+2+a/32+2+2+/3;2-,2+招【方法導(dǎo)引】原式從右到左是層層遞進(jìn)的關(guān)系，因此從右向左進(jìn)行化簡.=也一一也+也地23-41+也.行丫【解】原式v）2+石142+/+招1，2樞word格式整理專業(yè)資料參考【解后評注】平方差公式和整體思想是解答本題的關(guān)鍵，由平方差公式將多重根號逐層脫去，逐項化簡，其環(huán)節(jié)緊湊，一環(huán)扣一環(huán)，如果不具有熟練的技能是難以達(dá)到化簡之目的的.返回二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡具有極強(qiáng)的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個無理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很強(qiáng)的技巧性，對初中生來說

8、是一個難點，但掌握一些常見的方法對它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進(jìn)作用.1 .根式變形法【例1】比較垢與5石的大小【解】將兩個二次根式作變形得.乃45,.標(biāo)用即垢5招【解后評注】本解法依據(jù)是：當(dāng)a0,b。時，,則丘斯；若之,則一；：2 .平方法12【例2】比較3亞與2g的大小【解】.18512,.3必2后【解后評注】本法的依據(jù)是：當(dāng)a/0,A）。時，如果/，則a3,如果J,3 .分母有理化法word格式整理專業(yè)資料參考通過運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小.【例3】比較招-1與也-1的大小22（萬+1）區(qū)小麗.不一歷即一工172+1后+1拒+1.島）g4 .分子有理化法利用分母的大小來

9、判斷在比較兩個無理數(shù)的差的大小時，我們通常要將其進(jìn)行分子有理化,其倒數(shù)的大小.【例4】比較后一年與尼-亞的大小715-./14=（后-包匠十加=【解】.屏+.加7w-./13=（、麗-相匹+信）_又后+而加+而01<_，后+而屈+、位而丘-病<而-后5 .等式的基本性質(zhì)法word格式整理專業(yè)資料參考【例5】比較百一版與岳S的大小【解法1】的+出""十耶s+卜同+后）=灰+質(zhì)又：-二-一：海同=12+27=12+2?。?，一；即二.，一，【解后評注】本解法利用了下面兩個性質(zhì)：都加上同一個數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變.非負(fù)底數(shù)和它們的二次募的大小關(guān)系一致.【解法2】將它們

10、分別乘以這兩個數(shù)的有理化因式的積，得（77-76）+76+75=76+75（指君）篇+而）（n+布卜幣+指又丁幣+水>76+5百-示>76-75【解后評注】本解法的依據(jù)是：都乘以同一個正數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變.6 .利用媒介值傳遞法【例6】比較近十3與質(zhì)-3的大小解.2<77<3幣示word格式整理專業(yè)資料參考又.9而<10.j87-3>6.幣+3標(biāo)-3【解后評注】適當(dāng)選擇介于兩個無理數(shù)之間的媒介法，利用數(shù)值的傳遞性進(jìn)行比較.7 .作差比較法在對兩數(shù)進(jìn)行大小比較時，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)："6。0日6；0+1.【例71比較+1與J5的大小【解】

11、3;+1、演收圓經(jīng)+1%鳳5T738.求商比較法>0與求差比較法相對應(yīng)的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運(yùn)用的是如下性質(zhì)，當(dāng)。，口，80時，則：色lOab<bDb；b【例8】比較5-在與2+拈的大小.word格式整理專業(yè)資料參考三售=13r7后=13-歷【解】:1，.1，F(xiàn)二0門-"廣【解后評注】得上所述，含有根式的無理數(shù)大小的比較往往可采用多種方法，來求解.有時還需各種方法配合使用，其中根式變形法，平方法是最基本的，對于具體的問題要作具體分析，以求用最佳的方法解出正確的結(jié)果.二次根式的化簡與計算的策略與方法二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概

12、念與性質(zhì)后，進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時，一般遵循以下做法：先將式中的二次根式適當(dāng)化簡二次根式的乘法可以參照多項式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式石,=向(d>,Q0)對于二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算.二次根式的加減法與多項式的加減法類似，即在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類項.運(yùn)算結(jié)果一般要化成最簡二次根式.化簡二次根式的常用技巧與方法二次根式的化簡是二次根式教學(xué)的一個重要內(nèi)容，對于二次根式的化簡，除了掌握基本概念和運(yùn)算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧，會收到事半功倍的效果，下面通過具體的實例進(jìn)行分類解析.1 .公式法x+y+zRab-b1【例1】計算6十

13、方；p在word格式整理專業(yè)資料參考【解后評注】以上解法運(yùn)用了完全平方公式”和平方差公式”，從而使計算較為簡便.2.觀察特征法2和+痛-3金【例2】計算：.1【方法導(dǎo)引】若直接運(yùn)用根式的性質(zhì)去計算，須要進(jìn)行兩次分母有理化，計算相當(dāng)麻煩，觀察原式中的分子與分母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項都乘以后，即得分子，于是可以簡解如下:【解】原式2+、口-病【例3】把下列各式的分母有理化.而:m+1+2/工.(1)底出際一拈；(2)歷+(X>1)【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個因式，將它有理化要乘以兩個有理化因式那樣分子將有三個因式相等，計算將很繁，觀察分母中的兩個因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解

14、法：【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母，再化簡.但是，不難發(fā)現(xiàn)式分子中的系數(shù)若為“1；那么原式的值就等于“1了！因此，可以解答如下:word格式整理專業(yè)資料參考=1+【解】原式尸VT弘二一石豆（J工+i+Jv-1）/#1一6二）心-1-x+13113.運(yùn)用配方法【例4】化簡加原式=也二2一+1=煙-2乂必1+1-1【解后評注】注意這時是算術(shù)根，開方后必須是非負(fù)數(shù)，顯然不能等于4 .平方法【解】口6-回+6+停j=6-席+2和一席）（6+詞+6+后=12+2V?-35=【解后評注】對于這類共知根式a-而與a+業(yè)的有關(guān)問題，一般用平方法都可以進(jìn)行word格式整理專業(yè)資料參考化簡5 .恒等變形公式法【

15、例6】化簡"丁，不【方法導(dǎo)弓I】若直接展開，計算較繁，如利用公式+(金一&丫=2夕+0，則使運(yùn)算簡化.【解】原式=上+(應(yīng)-醐+回缶n=2+(&-域|=2x(3+8-473)=22-昉6 .常值換元法【例7】化簡I'1.'/-11.二.一：【解】令1998=。，則：原式，=；3寸二3a+2)+1=+兌(+33+32)+1=、肥+3a+1F二成+3儀+1=1998,+3x1998+1-39979997 .裂項法word格式整理專業(yè)資料參考【例8】化簡.J.',一【解】原式各項分母有理化得原式一J三反尸=1，一【例9】化簡2+2+7104+2/13

16、+10("+呵2+(9+底4+啊個分?jǐn)?shù)的分子【方法導(dǎo)引】這個分?jǐn)?shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每等于分母的兩個因數(shù)之和，于是則有如下簡解：【解】原式匕,、：.-.1I",''<.Ll1'-1111=+.+6+限2+77屈+屈4+、位而1萬力-2a/13-./IO4-713=+3333=；(而-、0+2+而-加+4舊)=8.構(gòu)造對偶式法月+2+J君士7月+2+J.a-4【例10】化簡總+2-揚(yáng)-4月+2+g-d【解】構(gòu)造對偶式，于是沒word格式整理專業(yè)資料參考儀=r+2+J?-4,b=/2-&3-4a&_/+*_(

17、a+&)”則，.一-一；，+8)-2原式：一上二=«+2-2=?39 .由里向外，逐層化簡j1998.9974原1995*1993+1+1+1+1【解】.J1995xi993+l=J(1994+l)(1994-l)+l廊北1994而：一一'丁川9示1995一+1=419$6飛(1991加1=7199=1996，原式卜'.''1-一【解后評注】對多重根式的化簡問題，應(yīng)采用由里向外，由局部到整體，逐層化簡的方法處理.10 .由右到左，逐項化簡【例ii】化簡【方法導(dǎo)引】原式從右到左是層層遞進(jìn)的關(guān)系，因此從右向左進(jìn)行化簡.word格式整理專業(yè)資料參考=

18、也+后42+J2+招【解】原式歷歷可=也+1,2+,2-m=i【解后評注】平方差公式和整體思想是解答本題的關(guān)鍵，由平方差公式將多重根號逐層脫去，逐項化簡，其環(huán)節(jié)緊湊，一環(huán)扣一環(huán)，如果不具有熟練的技能是難以達(dá)到化簡之目的的.返回二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡具有極強(qiáng)的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個無理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很強(qiáng)的技巧性，對初中生來說是一個難點，但掌握一些常見的方法對它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進(jìn)作用.1 .根式變形法【例u比較的大小【解】將兩個二次根式作變形得玷=灰書,5后二歷一歷.乃45,.標(biāo)疝即垢5后【解后評注】本解法依據(jù)是：當(dāng)a0,b。時，,則G而；若

19、,word格式整理專業(yè)資料參考2 .平方法【例2】比較3板與2、月的大小解匕4=1M,(2折=1218>12,.3亞2市aa可o【解后評注】本法的依據(jù)是：當(dāng)白。，b。時，如果白>b，則ab,如果n<b,則a<b.3.分母有理化法通過運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小.2【例3】比較也-1與北-1的大小22(母1)后【解】6-1悟7P541)1正+1仄口后n亞工場+】廣，1 3：'14 .分子有理化法在比較兩個無理數(shù)的差的大小時，我們通常要將其進(jìn)行分子有理化，利用分母的大小來判斷其倒數(shù)的大小.【例4】比較后一而與尼-屈的大小word格式整理專業(yè)資料參

20、考.危=(后-凹里+炳=1【解】.-J15+J14V15+J14內(nèi)-而J旗一但巴十屈=_1_+713萬+、位又.后+Tiaj+而o141.后+國樞+用而屈-屈的-亞5 .等式的基本性質(zhì)法【解法1】【例5】比較的大小.JT-&十+J5)=小+-Vs+（、后+,、F）=“而+V6又：-,一:（初+同=12+27=12+2病.、；一；【解后評注】本解法利用了下面兩個性質(zhì)：都加上同一個數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變.非負(fù)底數(shù)和它們的二次募的大小關(guān)系一致.【解法2】將它們分別乘以這兩個數(shù)的有理化因式的積，得（"-也（"+祠傣+/）=新+有word格式整理專業(yè)資料參考（76-筑+癡糕

21、+同=不+巫又幣+&76+5.后-&瓜-4【解后評注】本解法的依據(jù)是：都乘以同一個正數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變.6 .利用媒介值傳遞法【例6】比較近十3與歷-3的大小【解】2幣3/一又.9廂CO.j87-36【解后評注】適當(dāng)選擇介于兩個無理數(shù)之間的媒介法，利用數(shù)值的傳遞性進(jìn)行比較.7 .作差比較法在對兩數(shù)進(jìn)行大小比較時，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：+1.【例7】比較欄+1與楞的大小后_/.鳳如1鳳5+1）【解】.石十1春后口+1）=癡一盤0word格式整理專業(yè)資料參考8 .求商比較法與求差比較法相對應(yīng)的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運(yùn)用的是如下性質(zhì)，當(dāng)&口，b時，則：【例8】

22、比較【解】13-73=13-747而<13.Q<13-歷<1二；一【解后評注】得上所述，含有根式的無理數(shù)大小的比較往往可采用多種方法，來求解.有時還需各種方法配合使用，其中根式變形法，平方法是最基本的，對于具體的問題要作具體分析，以求用最佳的方法解出正確的結(jié)果.二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡具有極強(qiáng)的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個無理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很強(qiáng)的技巧性，對初中生來說是一個難點，但掌握一些常見的方法對它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進(jìn)作用.9 .根式變形法【例u比較的大小【解】將兩個二次根式作變形得word格式整理專業(yè)資料參考乃45,標(biāo)而即3出5后【解后評注】本解法依據(jù)是：當(dāng)go,no時，ab,則而、份;若ab,則一；.二10 平方法【例2】比較久歷與2g的大小【解】（"18,（2扃=12"812,.3亞2招【解后評注】本法的依據(jù)是：當(dāng)以0,b。時，如果a"，則ab,如果b2,則nb11 分母有理化法通過運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小.21【例3】比較招一1與T的大小221）*阿齊T回”石+廣匚1=;伙1_+1又.后+1拒+1.4一.二一word格式整理專業(yè)資料參考4 .分子有理化法在比較兩個無理數(shù)的差的大小時，我們通