淺談導(dǎo)數(shù)與微分

1、學(xué)校：貴陽學(xué)院 系別: 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級：09應(yīng)數(shù)班科目：數(shù)學(xué)分析選講老師：姚老師姓名：鄭 剛學(xué)號：090501401007淺談導(dǎo)數(shù)與微分一、引言我們知道一個函數(shù)在某點可導(dǎo)和可微是等價的，那我就分別從導(dǎo)數(shù)和微分的定義與應(yīng)用來討論它們的聯(lián)系與區(qū)別。二、導(dǎo)數(shù)的定義1. 函數(shù)在一點處可導(dǎo)的概念設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某個鄰域內(nèi)有定義對應(yīng)于自變量x在x0處有改變量Dx，函數(shù)y=f(x)相應(yīng)的改變量為Dy=f(x0+Dx)-f(x0)，若這兩個改變量的比當(dāng)Dx0時存在極限，我們就稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，并把這一極限稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)，記

2、作或f(x0)或或即=f(x0)=比值表示函數(shù)y=f(x)在x0到x0+Dx之間的平均變化率，導(dǎo)數(shù)則表示了函數(shù)在點x0處的變化率，它反映了函數(shù)y=f(x)在點x0處的變化的快慢如果當(dāng)Dx0時的極限不存在，我們就稱函數(shù)y=f(x)在點x0處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在在定義中，若設(shè)x=x0+Dx，則(2-1)可寫成f(x0)=根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下：第一步：求函數(shù)的改變量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)；第二步：求比值；第三步：求極限f(x0)=例1 求y=f(x)=x2在點x=2處的導(dǎo)數(shù)解Dy=f(2+Dx)-f(2)=(2+Dx)2-22=4Dx+(Dx)2；=

3、4+Dx；=(4+Dx)=4所以y|x=2=4：當(dāng)存在時，稱其極限值為函數(shù)y=f(x)在點x0處的左導(dǎo)數(shù)，記作；當(dāng)存在時，稱其極限值為函數(shù)y=f(x)在點x0處的右導(dǎo)數(shù)，記作據(jù)極限與左、右極限之間的關(guān)系f(x0) 存在,，且= f(x0)2. 導(dǎo)函數(shù)的概念如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)這時，對開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一個確定的值x0都有對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)f(x0)，這樣就在開區(qū)間(a,b)內(nèi)，構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這一新的函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作等f(x)或y等根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，就可得出導(dǎo)函數(shù)f(x)=y=導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)

4、數(shù)注意：（）f(x)是x的函數(shù)，而f(x0)是一個數(shù)值（）f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點x0處的函數(shù)值例2 ：求y=C (C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)解因為Dy=C-C=0，=0，所以y=0注：常數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零例3：求y=sinx, (xR)的導(dǎo)數(shù)解=，在1-7中已經(jīng)求得=cosx，即 (sinx)=cosx用類似的方法可以求得y=cosx, (xR)的導(dǎo)數(shù)為 (cosx)=-sinx三、可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，則存在極限=f(x0)，則=f(x0)+a (a=0)，或Dy= f(x0) Dx+aDx (a=0)，所以Dy=f(x0) Dx+aDx=0這

5、表明函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)但y=f(x)在點x0處連續(xù)，在x0處不一定是可導(dǎo)的高階導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y=f(x)存在導(dǎo)函數(shù)f(x)，若導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)存在，則稱f(x)為f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作y或f(x)或,，即y= (y)=若二階導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，則稱f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)為y=f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，記作y或f(x)一般地，若y=f(x)的n-1階導(dǎo)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，則稱n-1階導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記作y(n)或f(n)(x)或,，即y(n)=y(n-1)或f(n)(x)= f(n-1)(x)或=因此，函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)是由f(x)連續(xù)依次地對x求

6、n次導(dǎo)數(shù)得到的函數(shù)的二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)值記作記作y(n)(x0)或f(n)(x0)或等例4求函數(shù)y=3x3+2x2+x+1的四階導(dǎo)數(shù)y(4)解y=(3x3+2x2+x+1)=9x2+4x+1；y=(y)=(9x2+4x+1)=18x+4；y=(y)=(18x+4)=18；y(4)= (y)=(18)=0四、導(dǎo)數(shù)的物理應(yīng)用速度與加速度設(shè)物體作直線運動，位移函數(shù)s=s(t)，速度函數(shù)v(t)和加速度函數(shù)a(t)分別為v(t)=，a(t)=設(shè)位移函數(shù)為s=2t3gt2， (g為重力加速度，取g=9.8m/s2)，求t=2s時的速度和加速度則v(

7、2)=(2t3gt2)|t=2=(6t2gt)|t=2=2419.6=4.4(m/s)；a(2)=(2t3gt2)|t=2=(6t2gt)|t=2=(12tg)|t=2=249.8=14.2(m/s2)電流電流單位時間內(nèi)通過導(dǎo)體截面的電量，即電量關(guān)于時間的變化率記q(t)為通過截面的電量，I(t)為截面上的電流，則I(t)=q(t)現(xiàn)設(shè)通過截面的電流q(t)=20sin(t+)(C)，則通過該截面的電流為I(t)=20sin(t+)=20cos(t+)=cos(t+)五、微分的概念微分定義如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的改變量Dy可以表示為Dx的線性函數(shù)ADx (A是與Dx無關(guān)、與x0有關(guān)的常

8、數(shù))與一個比Dx更高階的無窮小之和Dy= ADx+o(Dx)，則稱函數(shù)f(x)在x0處可微，且稱ADx為函數(shù)f(x)在點x0處的微分，記作dy，即dy=ADx函數(shù)的微分ADx是Dx的線性函數(shù)，且與函數(shù)的改變量Dy相差是一個比Dx更高階的無窮小，當(dāng)Dx0時，它是Dy的主要部分，所以也稱微分dy是改變量Dy的線性主部，當(dāng)|Dx|很小時，就可以用微分dy作為改變量Dy的近似值：Dydy如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可微，按定義有Dy= ADx+o(Dx)，上式兩端同除以Dx，取Dx0的極限，得A+=A，結(jié)論：若y=f(x)在點x0處可微，則在x0處必定可導(dǎo)，且A=f(x0)反之，如果函數(shù)f(x)在點

9、x0處可導(dǎo)，即=f(x0)存在，根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系，上式可寫成=f(x0)+a，其中a為Dx0時的無窮小，從而Dy=f(x0)Dx+aDx，這里f(x0)是不依賴于Dx的常數(shù)，aDx當(dāng)Dx0時是比Dx更高階的無窮小按微分的定義，可見f(x)在點x0處是可微的，且微分為f(x0)Dx結(jié)論：函數(shù)y=f(x)在點x0處可微的充分必要條件是在點x0處可導(dǎo)，且dy= f(x0)Dx由于自變量x的微分dx=(x)Dx=Dx，所以y=f(x)在點x0處的微分常記作dy=f(x0)dx如果函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)每一點處都可微，則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是可微函數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任一點x處的微分dy=f(x)dx由

10、此還可得f(x)=，這是導(dǎo)數(shù)記號的來歷，同時也表明導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商，故導(dǎo)數(shù)也稱為微商2微分在近似數(shù)值計算應(yīng)用若對可導(dǎo)函數(shù)且，y=f(x)需要計算改變量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)或f(x0+Dx)因為當(dāng)|Dx|很小時有近似式：Dydy，即f(x0+Dx)-f(x0)f(x0)Dx或f(x0+Dx)f(x0)+f(x0)Dx，例5求sin31的近似值(精確到第4位小數(shù))解31，因為=是一個特殊角，取x0=+=x0+=x0+Dx, Dx=由(1)式sin()=sin(x0+Dx)sinx0+cosx0Dx=sin+cos=0.5+0.5151例6 解：六、導(dǎo)數(shù)和微分的聯(lián)系與區(qū)別第一， 每一點處的微分事實上都必須通過這一點的導(dǎo)數(shù)來表達(dá)和計算；第二，在比較復(fù)雜的情況下（比如高階的微分和導(dǎo)數(shù)以及多元函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù)等），無論是形式地思考還是實際地處理問題，由導(dǎo)數(shù)入手都要比由微分入手更容易和簡