高等數(shù)學(xué) 函數(shù)的連續(xù)性ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn) 一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 第十節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義1.1.變量的增量變量的增量設(shè)變量 從它的一個(gè)初值 變到終值 終值與初1u2u值的差 就叫做變量u的增量 記作21uuuu21uuu 即注：不表示某個(gè)變量 與u的乘積，而是一個(gè)整體不可分割的記號.u目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)函數(shù)y = f (x)在點(diǎn) 的某一個(gè)鄰域內(nèi)是有定義的 0 x當(dāng)自變量 在這鄰域內(nèi)從 變到 時(shí)函數(shù)y相應(yīng)x0 x0 xx地從 變到 0()f x0()f

2、xx因此函數(shù) y 的對應(yīng)增量為00()()yf xxf x O x y x f y 0 x x x 0 x y ( ) 其幾何意義如右圖所示：0()f x0()f xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義定義定義:)(xfy 在0 x的某一鄰域內(nèi)有定義 , 設(shè)函數(shù)那么就稱函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù) 假設(shè)0000limlim ()()0 xxyf xxf x )(xfy 0 x)(xfy xOy0 xxxy設(shè)0,xxx那么00()()yf xxf x 0( )()f xf x即0( )()f xf xy00,xxx 000lim( )()xxyf xf x ( )f x0(

3、)f x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可見 , 函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x定義定義:)(xfy 在0 x的某一鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點(diǎn)0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;前提條件目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 左連續(xù)與右連續(xù)左連續(xù)與右連續(xù))()(lim00 xfxfxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù)函數(shù)0 x)(xf在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:假設(shè) 存在且等于 即假設(shè)存在且等于 即00

4、lim( )()xxf xf x0(),f x00lim( )()xxf xf x0(),f x00()()f xf x00()()f xf x左連續(xù)左連續(xù):右連續(xù)右連續(xù):目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 1 12,0,( )02,0,.xxf xxxx 討討論論函函數(shù)數(shù)在在處處的的連連續(xù)續(xù)性性解解00lim( )lim(2)xxf xx 2 (0),f 00lim( )lim(2)xxf xx 2 (0),f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) , ,( )0.f xx 故故函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處不不連連續(xù)續(xù)連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. .目錄

5、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 2 2. 0 0 , 0 0, 1sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在，討討論論 xxxxxxf解由于解由于， )0(01sinlim)(lim00fxxxfxx 所以所以 f (x) 在在 x = 0 處連續(xù)處連續(xù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 假設(shè))(xf在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) . ,baC在閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數(shù)的集合記作如果函數(shù)在開區(qū)間 內(nèi)連續(xù),并且在左端點(diǎn)處右連續(xù),在右端點(diǎn) 處左連續(xù),則稱函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù).( , )a b,baxbxa簡單地說，連續(xù)函數(shù)的圖形能一筆畫成。簡單地說，連續(xù)函數(shù)

6、的圖形能一筆畫成。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 證明函數(shù)證明函數(shù)xysin在),(內(nèi)連續(xù) .證證: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122xx0 x即0lim0yx這說明xysin在),(內(nèi)連續(xù) .同樣可證: 函數(shù)xycos在),(內(nèi)連續(xù) .0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 導(dǎo)致函數(shù)圖象斷導(dǎo)致函數(shù)圖象斷開的原因？開的原因？目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11)(2xxxfoxy12.1處沒有定義在 x) 1( 1xx1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 、221)(xxxf11xx(1)在x=1處有定義5 . 2)(lim)2(1xf

7、x2)(lim1xfx(3)函數(shù) f (x)的極限不存在。12oxy2.5目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxo12、 5 . 01)(xxf11xx(1)在x=1處有定義；(2)函數(shù)在x=1處的左右極限相等，即函數(shù)在x=1處的極限存在，且等于2，但不等于f (1)1 (5 .02)(lim1fxfx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 導(dǎo)致函數(shù)圖象斷開的原因：導(dǎo)致函數(shù)圖象斷開的原因：1、函數(shù)在、函數(shù)在 處沒有定義處沒有定義1x2、函數(shù)在、函數(shù)在 時(shí)極限不存在時(shí)極限不存在1x函數(shù)值不等函數(shù)值不等3、函數(shù)在、函數(shù)在 處的極限值和處的極限值和1xoxy1212oxy2.5yxo12目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

8、束 在在二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx不連續(xù) :0 x設(shè)0 x在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 則下列情形這樣的點(diǎn)0 x之一, 函數(shù) f (x) 在點(diǎn)雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn) . 在無定義 ;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xytan) 1 (2x為其無窮間斷點(diǎn) .0 x為其振蕩間斷點(diǎn) .xy1sin)2(1x為可去間斷點(diǎn) .11)3(2xxy例如例如:xytan2xyOxyxy1sinO

9、xy1O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfy(4)xOy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn) .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf假設(shè)稱0 x, )()(00 xfxf假設(shè)稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf中至少一個(gè)不存在 ,稱0 x若其中有一個(gè)為振蕩,稱0 x若其中有一個(gè)為,為可去間斷點(diǎn) .為跳躍間斷點(diǎn) .為無

10、窮間斷點(diǎn) .為振蕩間斷點(diǎn) .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4 4 討論函數(shù)討論函數(shù) 0,0,0,sin)(xxxxxf的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn).因此因此 x = 0 是該函數(shù)的可去間斷點(diǎn)是該函數(shù)的可去間斷點(diǎn). 解解. 1sinlim0 xxx因因?yàn)闉榧丛摵瘮?shù)在即該函數(shù)在 x = 0 處的左、處的左、, 0)0(1)(lim0 fxfx但是由于但是由于xyO1 2 3 2 3 右極限存在，右極限存在，目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0,1, 0,sin)(xxxxxf由于，如果修改定義由于，如果修改定義 f (0) = 1，在在 x = 0 延續(xù)延續(xù).則函數(shù)則函數(shù)xyO1 2 3 2 3 目錄 上頁

11、下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn):跳躍間斷點(diǎn): 左右極限不相等第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn): 振蕩間斷點(diǎn): 函數(shù)值在 的去心鄰域(左右極限至少有一個(gè)不存在)在點(diǎn)間斷的類型)(. 1xf0 x在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式(左右極限都存在)0lim( )xxf x 內(nèi)變動無限多次0 x左右極限相等,但不等于函數(shù)值或無定義y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 討論函數(shù)231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點(diǎn) .間斷點(diǎn)的類型.2.

12、 設(shè)0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a時(shí)提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf在x = 0 延續(xù).答案答案: x = 1 是第一類可去間斷點(diǎn)是第一類可去間斷點(diǎn) ,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P49 2(1)(2)(4); 3 ; 4(2) 第九節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求函數(shù)求函數(shù) 的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類型。的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類型。 23122 xxxy解：由函數(shù)的表達(dá)式可知，間斷點(diǎn)只能在無定義處。由于解：由函數(shù)的表達(dá)式可知，間斷點(diǎn)只能在無定義處。由于)1)(2(1231222 xxxxxxy所以所以 為間斷點(diǎn)。為間斷點(diǎn)。1, 2 xx而而

13、)1)(2(1lim231lim22222xxxxxxxx所以所以 為第二類無窮間斷點(diǎn)。為第二類無窮間斷點(diǎn)。2 x2)1)(2(1lim231lim21221 xxxxxxxx 所以所以 為第一類可去間斷點(diǎn)。為第一類可去間斷點(diǎn)。1 x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考題思考題間斷點(diǎn)的類型.xxxf1e11)(解解: 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點(diǎn);,1 時(shí)當(dāng)x xx1,0)(xf,1 時(shí)當(dāng)x xx1,1)(xf故1x為跳躍間斷點(diǎn). ,1,0處在x.)(連續(xù)xf1. P49 題 52. 確定函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分析分析 所給函數(shù)是極限的形式，首先應(yīng)求出不同區(qū)間所給函數(shù)是極限的形式，首先應(yīng)求出不同區(qū)間的極限，給出函數(shù)的分段函數(shù)表達(dá)式，然后再研究間的極限，給出函數(shù)的分段函數(shù)表達(dá)式，然后再研究間斷點(diǎn)及其類型。斷點(diǎn)及其類型。求函數(shù)求函數(shù) 的所有間斷點(diǎn)，并指出類型。的所有間斷點(diǎn)，并指出類型。 xxxxfnnn2211lim)( 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1| x221( )lim1nnnxf xxx當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1| x當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)