第1章-函數(shù)和極限ppt課件

1、 1.1 函數(shù)函數(shù) 1.2 極限極限 1.3 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則 1.4 極限存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限 1.5 無(wú)窮小與無(wú)窮大、無(wú)窮小的比較無(wú)窮小與無(wú)窮大、無(wú)窮小的比較 1.6 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 1.7 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.1 函數(shù)一、集合一、集合1. 集合的基本概念與運(yùn)算集合的基本概念與運(yùn)算集合簡(jiǎn)稱為集是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念集合簡(jiǎn)稱為集是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念.集合通常理解為具有某種性質(zhì)的事物的全體集合通常理解為具有某種性質(zhì)的事物的全體. 集合中的每一個(gè)事物稱為該集合的元素集合中的每一個(gè)事物稱為該集合的元素. 某事物a與集合E具有下

2、列兩種關(guān)系之一:(1) a是E的元素，記作aE; (2) a不是E的元素，記作aE. 由有限個(gè)元素組成的集合，可將它的元素一一列舉出來(lái). 這種表示法稱為枚舉法. 例如： 由元素a1，a2，an組成的集合A，記作 A = a1，a2，an. 性質(zhì)描述法表示性質(zhì)描述法表示:設(shè)設(shè)E是具有性質(zhì)是具有性質(zhì)P的元素的元素x的全體所組成的集的全體所組成的集合，就記作合，就記作 E = x | x具有性質(zhì)具有性質(zhì)P 或或 E = x | P(x). 通常，以通常，以Z、Q、R和和 C分別表示整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)分別表示整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集數(shù)集和復(fù)數(shù)集. 如果集合如果集合A的元素都是集合的元素都是集

3、合B的元素，即若的元素，即若x A，則必有則必有x B，就稱，就稱A是是B的子集，記作的子集，記作AB或或BA. 如果如果AB與與AB同時(shí)成立，則稱同時(shí)成立，則稱A與與B相等，記作相等，記作A=B. 例如，設(shè)有集合例如，設(shè)有集合A = -1，-2， B = x | x2+3x+2= 0，則，則A = B. 若若AB且且A B，則稱，則稱A是是B的真子集，記作的真子集，記作AB. 例如例如QR.不含任何元素的集合稱為空集，記作不含任何元素的集合稱為空集，記作. 如集合如集合 x | x R， x2 +1 = 0= .規(guī)定空集是任何集規(guī)定空集是任何集A的子集的子集, 即即 A.集合的基本運(yùn)算有并、

4、交、差：集合的基本運(yùn)算有并、交、差： 設(shè)設(shè)A和和B是兩個(gè)集合是兩個(gè)集合,由由A和和B的所有元素構(gòu)成的集合的所有元素構(gòu)成的集合,稱為稱為A與與B的并的并,記為記為AB,即即AB=x | xA 或或xB . 由由A和和B的所有公共元素構(gòu)成的集合的所有公共元素構(gòu)成的集合,稱為稱為A與與B的交的交,記為記為AB,即即AB=x | xA 且且xB . 由屬于由屬于A而不屬于而不屬于B的所有元素構(gòu)成的集合的所有元素構(gòu)成的集合,稱為稱為A與與B的差的差,記為記為AB,即即AB=x | xA 且且xB . 如果在某個(gè)過(guò)程中，我們所研究的對(duì)象同屬于某一個(gè)如果在某個(gè)過(guò)程中，我們所研究的對(duì)象同屬于某一個(gè)集合集合S,

5、 那么這個(gè)集合稱為全集或基礎(chǔ)集那么這個(gè)集合稱為全集或基礎(chǔ)集. 本書(shū)在一般情況下本書(shū)在一般情況下用實(shí)數(shù)集用實(shí)數(shù)集R當(dāng)全集當(dāng)全集. 一般地一般地, 設(shè)設(shè)A是全集是全集S的子集的子集,那么那么S中不屬于中不屬于A的元素全的元素全體組成的集合稱為體組成的集合稱為A的余集的余集,記為記為 ,即即 =S A.例如例如, 對(duì)于全集對(duì)于全集R, 子集子集A =x | 0 x 1的余集就是的余集就是 =RA =x | x 0或或x 1.AAA2. 鄰域、開(kāi)集、閉集、區(qū)間鄰域、開(kāi)集、閉集、區(qū)間 對(duì)于實(shí)數(shù)對(duì)于實(shí)數(shù)a及正數(shù)及正數(shù) ，數(shù)集，數(shù)集x | |x - a| 稱為稱為a的的 (以點(diǎn)以點(diǎn)a為中心、以為中心、以 為

6、半徑的為半徑的) 鄰域鄰域,記作記作U(a; ) , 即即U(a; )= x | |x - a| . 如圖如圖1-1-1所示所示. 圖1-1-1 數(shù)集數(shù)集x | 0 |x - a| 稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)a的去心的去心 鄰域，記鄰域，記為為 (a; ). 當(dāng)不強(qiáng)調(diào)當(dāng)不強(qiáng)調(diào) 的大小時(shí)，的大小時(shí)，a的的 鄰域和鄰域和 去心去心鄰域分別簡(jiǎn)稱為鄰域分別簡(jiǎn)稱為a的鄰域和去心鄰域，并分別記作的鄰域和去心鄰域，并分別記作U(a) 和和 (a).UU 設(shè)設(shè)a與與b是兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，且是兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，且a b. 數(shù)集數(shù)集 x | a x b稱為開(kāi)區(qū)間，記作稱為開(kāi)區(qū)間，記作(a, b)，即，即(a, b) = x | a

7、 x b，其中其中a與與b稱為開(kāi)區(qū)間稱為開(kāi)區(qū)間(a, b)的端點(diǎn)的端點(diǎn). 因而因而, 鄰域是一個(gè)以鄰域是一個(gè)以a為中心的開(kāi)區(qū)間為中心的開(kāi)區(qū)間, 即即U(a; ) = (a- , a+ ). 數(shù)集數(shù)集 x | a x b稱為閉區(qū)間，記作稱為閉區(qū)間，記作a, b， 即即a, b = x | a x b，其中，其中a與與b稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間a, b的的端點(diǎn)端點(diǎn). 數(shù)集數(shù)集a, b = x | a x b和和 a, b = x | a a , -, b ) = x | x b, -, + ) = x |- x + = R. a, + = x | x a，-, b = x | x b .這些區(qū)間在數(shù)軸

8、上表示如圖這些區(qū)間在數(shù)軸上表示如圖1-1-2.圖1-1-2 對(duì)(a, b), -, b ), (a, +)和-, + )這四類(lèi)區(qū)間做進(jìn)一步的分析發(fā)現(xiàn), 它們中的任何一點(diǎn)x0都至少存在一個(gè)鄰域U(x0)使得U(x0)整個(gè)被包含于x0所在的區(qū)間. 一般地,設(shè)E是R的一個(gè)子集,若對(duì)任意x0E都存在U(x0)E,則稱E是一個(gè)開(kāi)集. 因而, 這四種區(qū)間都是開(kāi)集,特別, 開(kāi)區(qū)間和鄰域U(a)都是開(kāi)集. 設(shè)F是R的一個(gè)子集,若存在開(kāi)集E使得F=RE, 則稱F是一個(gè)閉集. 這就是說(shuō)，閉集是開(kāi)集的余集；反之，開(kāi)集也是閉集的余集.于是，閉區(qū)間a, b, -, b 和 a, + 都是閉集. 二、函數(shù)的基本概念二、函

9、數(shù)的基本概念 1. 函數(shù)的定義函數(shù)的定義 在生產(chǎn)、生活或科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，我們會(huì)遇到兩在生產(chǎn)、生活或科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，我們會(huì)遇到兩種類(lèi)型的量：一種是在一定條件下保持不變的量，稱種類(lèi)型的量：一種是在一定條件下保持不變的量，稱為常量，如每天的時(shí)間總量為常量，如每天的時(shí)間總量T都是都是24小時(shí)，地面上重小時(shí)，地面上重力加速度力加速度g = 9.8m/s2，T和和g是常量；另一種是在一定是常量；另一種是在一定過(guò)程中變化著的量，稱為變量，如運(yùn)動(dòng)的路程及花費(fèi)過(guò)程中變化著的量，稱為變量，如運(yùn)動(dòng)的路程及花費(fèi)的時(shí)間，一天之中的氣溫等的時(shí)間，一天之中的氣溫等. 例例1 正方形的面積正方形的面積S與它的邊長(zhǎng)與它的邊長(zhǎng)a

10、之間的關(guān)系可用之間的關(guān)系可用S = a2來(lái)來(lái)表示，即對(duì)任意的表示，即對(duì)任意的a0，面積，面積S相應(yīng)地有一個(gè)確定相應(yīng)地有一個(gè)確定的值的值. 例例2 一個(gè)物體作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，出發(fā)后經(jīng)過(guò)一個(gè)物體作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，出發(fā)后經(jīng)過(guò)t秒時(shí)所走秒時(shí)所走過(guò)的路程過(guò)的路程s可按如下公式確定：可按如下公式確定： s = a t2， t 0，T (其中其中a是加速度，是加速度，T是最大運(yùn)是最大運(yùn)動(dòng)時(shí)間動(dòng)時(shí)間).21例例3 漳州是水仙花的故鄉(xiāng)漳州是水仙花的故鄉(xiāng). 漳州市郊區(qū)農(nóng)民近六年生產(chǎn)花漳州市郊區(qū)農(nóng)民近六年生產(chǎn)花卉出口創(chuàng)匯日益增加卉出口創(chuàng)匯日益增加. 某村各年出口創(chuàng)匯的數(shù)量如下表所某村各年出口創(chuàng)匯的數(shù)量如下表所示示:

11、年度201920192019201920192019創(chuàng)匯金額（萬(wàn)元）20102240380590880 以上三個(gè)例子都反映了兩個(gè)變量之間的聯(lián)系，當(dāng)其中以上三個(gè)例子都反映了兩個(gè)變量之間的聯(lián)系，當(dāng)其中一個(gè)變量在某個(gè)數(shù)集內(nèi)取值時(shí)，另一個(gè)變量在另一數(shù)集內(nèi)一個(gè)變量在某個(gè)數(shù)集內(nèi)取值時(shí)，另一個(gè)變量在另一數(shù)集內(nèi)有唯一的值與之對(duì)應(yīng)有唯一的值與之對(duì)應(yīng). 兩個(gè)變量之間的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系反映兩個(gè)變量之間的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系反映了函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)了函數(shù)概念的實(shí)質(zhì). 定義定義 設(shè)設(shè)D是實(shí)數(shù)集是實(shí)數(shù)集R的一個(gè)非空子集，若對(duì)的一個(gè)非空子集，若對(duì)D中的每一個(gè)中的每一個(gè)x，按照對(duì)應(yīng)法則按照對(duì)應(yīng)法則f ，實(shí)數(shù)集，實(shí)數(shù)集R中有唯一的數(shù)中有唯一的

12、數(shù)y與之相對(duì)應(yīng)，我與之相對(duì)應(yīng)，我們稱們稱f為從為從D到到R的一個(gè)函數(shù)，記作的一個(gè)函數(shù)，記作 f : D R y與與x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系記作之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系記作y = f (x)，并稱，并稱y為為x的函數(shù)值；的函數(shù)值；D稱為函數(shù)的定義域，數(shù)集稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的定義域，數(shù)集稱為函數(shù)的值域. 若把若把x，y看成看成變量，則變量，則x稱為自變量，稱為自變量，y稱為因變量稱為因變量. 當(dāng)值域當(dāng)值域f (D)僅由一個(gè)實(shí)數(shù)僅由一個(gè)實(shí)數(shù)C組成的集合時(shí)組成的集合時(shí), f (x)稱為常值稱為常值函數(shù)函數(shù). 這時(shí)這時(shí), f (x)C, 也就是說(shuō)也就是說(shuō),我們把常量看成特殊的因變我們把常量看成特殊的因變量量. 說(shuō)明：

13、說(shuō)明：(1) 為了使用方便并考慮傳統(tǒng)的表示習(xí)慣，我們常用為了使用方便并考慮傳統(tǒng)的表示習(xí)慣，我們常用“y = f (x)”表示函數(shù)，并稱表示函數(shù)，并稱“f (x)是是x的函數(shù)的函數(shù)(值值)”. 當(dāng)強(qiáng)調(diào)定義域時(shí)當(dāng)強(qiáng)調(diào)定義域時(shí), 也常記作也常記作 y = f (x), x D.(2) 函數(shù)函數(shù)y = f (x)中表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的符號(hào)中表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的符號(hào)f也可改用其也可改用其它字母，如它字母，如“j”，“F等等等等. 這時(shí)函數(shù)就記為這時(shí)函數(shù)就記為y = j (x)，y = F (x)，等等，等等. (3) 用用y = f (x)表示一個(gè)函數(shù)時(shí)，表示一個(gè)函數(shù)時(shí)，f所代表的對(duì)應(yīng)法則所代表的對(duì)應(yīng)法則已完全確定

14、，對(duì)應(yīng)于點(diǎn)已完全確定，對(duì)應(yīng)于點(diǎn)x = x0的函數(shù)值記為的函數(shù)值記為f (x0)或或y|x=x0 .例如，設(shè)y = f (x) = ，它在點(diǎn) 的函數(shù)值分別為24x2, 0 xx0)2(4|, 204)0(|2220 xxyfy(4) 從函數(shù)的定義知，定義域和對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)從函數(shù)的定義知，定義域和對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)基本要素，兩個(gè)函數(shù)相同當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)基本要素，兩個(gè)函數(shù)相同當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同法則都相同. (5) 在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)的定義域可根據(jù)變量的實(shí)際意在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)的定義域可根據(jù)變量的實(shí)際意義來(lái)確定；但在解題中，對(duì)于用表達(dá)式表示的函數(shù)，其義來(lái)確定；但在解

15、題中，對(duì)于用表達(dá)式表示的函數(shù)，其省略未表出的定義域通常指的是省略未表出的定義域通常指的是:使該表達(dá)式有意義的自使該表達(dá)式有意義的自變量取值范圍變量取值范圍. 例例4 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域. 1021log1yxx 112Dxx解解: 要使函數(shù)式子有意義，要使函數(shù)式子有意義，x必須滿足必須滿足 ，于是，于是，所求函數(shù)的定義域?yàn)樗蠛瘮?shù)的定義域?yàn)?01012xx2. 函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法 (1) 解析法解析法當(dāng)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則用數(shù)學(xué)式子表出時(shí)，這種表示函數(shù)的方當(dāng)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則用數(shù)學(xué)式子表出時(shí)，這種表示函數(shù)的方法稱為解析法法稱為解析法. 如如都是解析法表示的函數(shù)，這是我們今后表達(dá)函數(shù)的主

16、要形都是解析法表示的函數(shù)，這是我們今后表達(dá)函數(shù)的主要形式式. . 1|,11; 1, 3222xxyxxxy例例5 設(shè)設(shè)x為任一實(shí)數(shù)為任一實(shí)數(shù). 不超過(guò)不超過(guò)x的最大整數(shù)稱為的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部的整數(shù)部分，記為分，記為y = x， 那么那么 . 這個(gè)函數(shù)稱為取整函數(shù)這個(gè)函數(shù)稱為取整函數(shù). 56 . 4, 22, 3, 13, 043 一個(gè)函數(shù)也可以在其定義域的不同部分用不同的解一個(gè)函數(shù)也可以在其定義域的不同部分用不同的解析式表示，如析式表示，如:例例6 例例7 絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù) . ).0 ,(,1, 0,21), 0(,2xxxxxy0,0,|xxxxxy例例8 . 易知，對(duì)于任何實(shí)

17、數(shù)易知，對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，都有，都有x = (sgn x)| x |成立成立. 這個(gè)函這個(gè)函數(shù)稱為符號(hào)函數(shù)數(shù)稱為符號(hào)函數(shù). 像例像例6、7、8這種形式的函數(shù)，稱為分段函數(shù)這種形式的函數(shù)，稱為分段函數(shù). 0, 10, 00, 1sgnxxxxy(2) 列表法列表法 若函數(shù)若函數(shù)y = f (x)采用含有自變量采用含有自變量x的值與函數(shù)的值與函數(shù)f (x)對(duì)對(duì)應(yīng)值的表格來(lái)表示，則稱這種表示函數(shù)的方法為列表法應(yīng)值的表格來(lái)表示，則稱這種表示函數(shù)的方法為列表法. 如上述例如上述例3及通常所用的三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表等等，都及通常所用的三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表等等，都是用列表法表達(dá)函數(shù)的例子是用列表法表達(dá)函數(shù)的例子.

18、 (3) 圖像法圖像法 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈. 那么，對(duì)于任意取定那么，對(duì)于任意取定的的x D，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為y = f (x). 這樣，以這樣，以x為橫坐為橫坐標(biāo)、標(biāo)、y為縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo), 就在就在xOy平面上確定一點(diǎn)平面上確定一點(diǎn)(x, y). 當(dāng)當(dāng)x遍取遍取D上的每一個(gè)數(shù)值時(shí)，就得到平面點(diǎn)集上的每一個(gè)數(shù)值時(shí)，就得到平面點(diǎn)集C =( x, y)| y = f (x)，x D，稱其為函數(shù)稱其為函數(shù)y = f (x)的圖像的圖像. 采用圖像給出函數(shù)的方法稱采用圖像給出函數(shù)的方法稱為圖像法為圖像法. 圖圖1-1-3、圖、圖1-1-4與圖與圖1-

19、1-5就是用圖像法分別就是用圖像法分別表示的取整函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)和符號(hào)函數(shù)表示的取整函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)和符號(hào)函數(shù). 圖1-1-3圖1-1-4 圖1-1-5 三、函數(shù)的基本性質(zhì)三、函數(shù)的基本性質(zhì) 1. 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)在某一實(shí)數(shù)集在某一實(shí)數(shù)集D1上有定義即上有定義即D1是是f (x)的定義域的定義域D的子集），若存在常數(shù)的子集），若存在常數(shù)M或或m使得不等式使得不等式f (x) M (或或f (x) m)對(duì)所有對(duì)所有x D1都成立，則稱函數(shù)都成立，則稱函數(shù)y = f (x)在在D1有上界或有有上界或有下界），同時(shí)稱下界），同時(shí)稱M為為f (x)在在

20、D1的一個(gè)上界或的一個(gè)上界或m為為f (x)在在D1的一個(gè)下界）的一個(gè)下界）. 若若f (x)在在D1既有上界又有下界，則稱既有上界又有下界，則稱 f (x)在在D1有界，或有界，或f (x)在在D1是有界函數(shù)，否則，則稱函數(shù)是有界函數(shù)，否則，則稱函數(shù)f (x)在在D1上無(wú)界，或稱在上無(wú)界，或稱在D1上函數(shù)上函數(shù)f (x)是無(wú)界函數(shù)是無(wú)界函數(shù). 2. 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)在某一實(shí)數(shù)集在某一實(shí)數(shù)集D上有定義上有定義. 若對(duì)于任意的若對(duì)于任意的x1，x2 D，當(dāng)，當(dāng)x1 x2時(shí)恒有時(shí)恒有(1) f (x1) f (x2)， 則稱則稱f (x)在在D上單

21、調(diào)減少上單調(diào)減少. 單調(diào)增加與單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)單調(diào)增加與單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). 注：把注：把(1)中的條件改為中的條件改為f (x1) f (x2), 則稱則稱f (x)在在D上不減上不減; 把把(2)中的條件改為中的條件改為f (x1) f (x2)成立時(shí)，則稱成立時(shí)，則稱f (x)在在D上不上不增增. 不增與不減的函數(shù)統(tǒng)稱為廣義單調(diào)函數(shù)不增與不減的函數(shù)統(tǒng)稱為廣義單調(diào)函數(shù). 3. 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性 定義定義 設(shè)實(shí)數(shù)集滿足：設(shè)實(shí)數(shù)集滿足：x D當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)-x D，則稱，則稱D是一是一個(gè)對(duì)稱集個(gè)對(duì)稱集.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域是一個(gè)對(duì)稱集且滿足的定

22、義域是一個(gè)對(duì)稱集且滿足f (-x) = f (x)，x D，則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x)是偶函數(shù)；若且滿足是偶函數(shù)；若且滿足f (-x) = - f (x)， 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x)是奇函數(shù)是奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖像關(guān)于偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱.4. 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)榧亩x域?yàn)榧疍. 若存在一個(gè)非零的數(shù)若存在一個(gè)非零的數(shù)T，使得對(duì)于任意，使得對(duì)于任意x D，有，有xTD且且f (xT) = f (x),則稱則稱f (x)為周期函數(shù)，同時(shí)稱為周期函數(shù)，同時(shí)稱T為為f (

23、x)的周期的周期. 顯然，若顯然，若T為為f (x)的一個(gè)周期，則的一個(gè)周期，則2T，3T，4T，也也都是它的周期，故周期函數(shù)有無(wú)限多個(gè)周期都是它的周期，故周期函數(shù)有無(wú)限多個(gè)周期. 若在周期函數(shù)若在周期函數(shù)f (x)的所有正周期中有一個(gè)最小者，則稱這個(gè)最小者為函的所有正周期中有一個(gè)最小者，則稱這個(gè)最小者為函數(shù)數(shù)f (x)的最小正周期的最小正周期. 通常所說(shuō)的周期就是指最小正周期通常所說(shuō)的周期就是指最小正周期. 四、反函數(shù)四、反函數(shù) 定義定義 設(shè)已知函數(shù)設(shè)已知函數(shù)y = f (x)，x D 的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)閒 (D). 若對(duì)于若對(duì)于f (D)中每一個(gè)值中每一個(gè)值y，D中有唯一確定的值中有唯一確定

24、的值x使得使得f (x) = y，就在，就在f (D)上定義了一個(gè)函數(shù)，稱其為函數(shù)上定義了一個(gè)函數(shù)，稱其為函數(shù)y = f (x)的反函數(shù)，記為的反函數(shù)，記為x = f -1(y)， y f (D). y = f (x)與與x = f -1(y)互為反函數(shù)互為反函數(shù). 習(xí)慣上把自變量記為習(xí)慣上把自變量記為x，因變量記為因變量記為y， 所以反函數(shù)所以反函數(shù)x = f -1(y)也可寫(xiě)作也可寫(xiě)作y = f -1(x). 相相對(duì)于反函數(shù)對(duì)于反函數(shù)y = f -1(x)而言，原來(lái)的函數(shù)而言，原來(lái)的函數(shù)y = f (x)稱為直接函稱為直接函數(shù)數(shù). 容易看出，在同一坐標(biāo)平面上，反函數(shù)容易看出，在同一坐標(biāo)平面

25、上，反函數(shù) y = f -1(x)與直與直接函數(shù)接函數(shù)y = f (x)的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱對(duì)稱. 如圖如圖1-1-8. 圖1-1-8定理定理 單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù). 單調(diào)增加的函數(shù)的反函數(shù)必單調(diào)增加的函數(shù)的反函數(shù)必單調(diào)增加，單調(diào)減少的函數(shù)的反函數(shù)必單調(diào)減少單調(diào)增加，單調(diào)減少的函數(shù)的反函數(shù)必單調(diào)減少. 例例9 函數(shù)函數(shù)y = x2 在在0，+上是單調(diào)增加的，它的反上是單調(diào)增加的，它的反函數(shù)函數(shù) y =在其定義域在其定義域 0，+上也是單調(diào)增加的函數(shù)上也是單調(diào)增加的函數(shù). 五、復(fù)合函數(shù)五、復(fù)合函數(shù) 例例10 某汽車(chē)行駛某汽車(chē)行駛10小時(shí)，每公里耗油量為小時(shí)，

26、每公里耗油量為0. 2公升，行駛速公升，行駛速度為每小時(shí)度為每小時(shí)60公里公里. 于是汽車(chē)在行駛過(guò)程中，耗油量于是汽車(chē)在行駛過(guò)程中，耗油量y是行駛是行駛距離距離s的函數(shù)的函數(shù) y = f (s) = 0. 2 s， s 0，+，而行駛距離而行駛距離s又是行駛時(shí)間又是行駛時(shí)間t的函數(shù)的函數(shù) s = g(t) = 60t， t 0，10. 因而，汽車(chē)的耗油量因而，汽車(chē)的耗油量y，通過(guò)中間變量，通過(guò)中間變量s與時(shí)間與時(shí)間t建立了函數(shù)關(guān)建立了函數(shù)關(guān)系系 y = 0. 2s = 0. 2 60t = 12t， t 0，10，在這個(gè)例子中，在這個(gè)例子中，y與與t的對(duì)應(yīng)關(guān)系是由兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是由兩個(gè)函數(shù)

27、y = f (s)與與s = g(t)復(fù)合而成的復(fù)合而成的. 定義定義 已知兩個(gè)函數(shù)已知兩個(gè)函數(shù)y = f (u)， u E; u = g(x)， x D. 設(shè)設(shè)D1 = x | g(x)E，xD 是非空集，那么通過(guò)下式是非空集，那么通過(guò)下式y(tǒng) = f (g(x)， x D1. 確定的函數(shù)，稱為是由函數(shù)確定的函數(shù)，稱為是由函數(shù)u = g(x)與與y = f (u)構(gòu)成的復(fù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)榧虾瘮?shù)，它的定義域?yàn)榧疍1，變量，變量u稱為中間變量稱為中間變量. u = g(x)與與y = f (u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)也常記做構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)也常記做f g，即即 y = (f g)(x) = f

28、 (g(x)， x D1.例例11 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，而，而 u= 1- x2， x D = ( ) . 求復(fù)合函數(shù)求復(fù)合函數(shù). 解解 設(shè)設(shè)f (u) = ，g(x) =1- x2. 那么那么 D1 = x | g(x)E，xD = x | 1- x20，x( ) = -1，1.因此得到的復(fù)合函數(shù)為因此得到的復(fù)合函數(shù)為 ，x -1，1. 21xyu), 0,Euuy六、初等函數(shù)六、初等函數(shù)1. 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等反三角函數(shù)等. 著重介紹冪函數(shù)著重介紹冪函數(shù). 函數(shù)函數(shù) y =

29、 xm (其中其中m是常數(shù)是常數(shù)) 叫做冪函數(shù)叫做冪函數(shù). 冪函數(shù)冪函數(shù)y = xm 的定義域根據(jù)的定義域根據(jù)m的取值而定的取值而定. 例如例如:當(dāng)當(dāng)m = 3時(shí)，時(shí)， y = x3的定義域是的定義域是(-，+); 當(dāng)當(dāng)m = 時(shí)，時(shí)， 的定義的定義域是域是0，+); 當(dāng)當(dāng)m = - 時(shí)，時(shí)， 的定義域是的定義域是 (0，+). 但無(wú)論但無(wú)論 m 取什么值，冪函數(shù)在取什么值，冪函數(shù)在(0，+)內(nèi)總有定義內(nèi)總有定義.21xxy2121xxy1212. 初等函數(shù)初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合所由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合所得到的且可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為

30、初等函數(shù)得到的且可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù). 如：如：sin121xyx21,yx32arccos,1xyxx七、常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)七、常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)1. 需求函數(shù)需求函數(shù) 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,某一商品的需求量是指關(guān)于一定的價(jià)格水某一商品的需求量是指關(guān)于一定的價(jià)格水平平,在一定的時(shí)間內(nèi)消費(fèi)者愿意而且有支付能力購(gòu)買(mǎi)的商在一定的時(shí)間內(nèi)消費(fèi)者愿意而且有支付能力購(gòu)買(mǎi)的商品量品量.通常用通常用Q表示商品的需求量表示商品的需求量, P表示它的價(jià)格表示它的價(jià)格, 在一定在一定條件下條件下, Q可視為可視為P的函數(shù)的函數(shù), 記作記作Q = f (P)或或Q = Q (P), 并稱并稱之為需求函數(shù)之為需

31、求函數(shù). 根據(jù)市場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)，常采用如下根據(jù)市場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)，常采用如下四種類(lèi)型的函數(shù)四種類(lèi)型的函數(shù): 線性函數(shù)線性函數(shù):Q = -aP+b, a0, b0; 冪函數(shù)冪函數(shù): Q=kP-a , k 0, a0;指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù):Q = ae-bP, a0, b0; 二次函數(shù)二次函數(shù): Q = P(a bP), a0, b0.2. 供給函數(shù)供給函數(shù) 供給是與需求相對(duì)的概念，需求是就購(gòu)買(mǎi)者而言，供供給是與需求相對(duì)的概念，需求是就購(gòu)買(mǎi)者而言，供給是就生產(chǎn)者而言的給是就生產(chǎn)者而言的.供給量是指生產(chǎn)者在某一時(shí)刻內(nèi)，在供給量是指生產(chǎn)者在某一時(shí)刻內(nèi)，在各種可能的價(jià)格水平上，對(duì)某種商

32、品愿意并能夠出售的商各種可能的價(jià)格水平上，對(duì)某種商品愿意并能夠出售的商品數(shù)量品數(shù)量. 供給量也是由多個(gè)因素決定的，如果認(rèn)為在一定時(shí)供給量也是由多個(gè)因素決定的，如果認(rèn)為在一定時(shí)間范圍內(nèi)除價(jià)格而外的其他因素變化很小，則供給量間范圍內(nèi)除價(jià)格而外的其他因素變化很小，則供給量Q就就是價(jià)格的函數(shù)，稱為供給函數(shù)是價(jià)格的函數(shù)，稱為供給函數(shù). 記作記作Q=Q(P)或或Q = f (P). 根據(jù)市場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí),常采用如下三種類(lèi)型的函數(shù): 線性函數(shù):Q = aP-b, a0, b0; 冪函數(shù): Q = kPa , k 0, a0;指數(shù)函數(shù):Q = a ebP, a0, b0. 3. 成本函數(shù)成本函數(shù)

33、某產(chǎn)品的總成本某產(chǎn)品的總成本C是指一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部資源是指一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部資源投入的價(jià)格或費(fèi)用的總額，它由固定成本投入的價(jià)格或費(fèi)用的總額，它由固定成本C1和可變成本和可變成本C2組成組成. 其中其中C1為常數(shù)，為常數(shù)，C2即為產(chǎn)量即為產(chǎn)量Q的函數(shù)，常表示成的函數(shù)，常表示成C2 = C2(Q). 同時(shí)用同時(shí)用C = C(Q)表示總成本函數(shù)，于是，總成本函表示總成本函數(shù)，于是，總成本函數(shù)數(shù) C = C(Q)= C1+ C2(Q). 經(jīng)常還要研究由總成本函數(shù)派生的函數(shù)，如平均成本函數(shù)經(jīng)常還要研究由總成本函數(shù)派生的函數(shù)，如平均成本函數(shù) (Q): C12( )( )( )CC QC QC

34、 QQQQ4. 收益函數(shù)收益函數(shù) 總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入，總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入，因此總收益因此總收益R是出售量是出售量Q的函數(shù)，稱為收益函數(shù)，記作的函數(shù)，稱為收益函數(shù)，記作R=R(Q). 例如，當(dāng)某產(chǎn)品的價(jià)格為例如，當(dāng)某產(chǎn)品的價(jià)格為P，銷(xiāo)售量為，銷(xiāo)售量為Q時(shí)，則銷(xiāo)時(shí)，則銷(xiāo)售該產(chǎn)品的總收益為售該產(chǎn)品的總收益為R=PQ.5. 利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)函數(shù) 利潤(rùn)利潤(rùn)L是生產(chǎn)中獲得的總收益與投入的總成本之差，若是生產(chǎn)中獲得的總收益與投入的總成本之差，若收益函數(shù)收益函數(shù)R=R(Q)，總成本函數(shù)，總成本函數(shù)C(Q)都是產(chǎn)量或出售量都是產(chǎn)量或出售量Q的的函數(shù)，則利潤(rùn)函數(shù)

35、，則利潤(rùn)L也是也是Q的函數(shù)，稱之為利潤(rùn)函數(shù)的函數(shù)，稱之為利潤(rùn)函數(shù). 那么，那么， L(Q) = R(Q) -C(Q). 1.2 極限極限一、數(shù)列及數(shù)列的極限一、數(shù)列及數(shù)列的極限1. 數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義數(shù)列是按次序排列的一列數(shù)數(shù)列是按次序排列的一列數(shù) x1， x2，xn ，簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作xn. 準(zhǔn)確地說(shuō)準(zhǔn)確地說(shuō), 數(shù)列是定義在正整數(shù)集數(shù)列是定義在正整數(shù)集N上的函數(shù)上的函數(shù) xn = f (n) ， n N,其中每一個(gè)其中每一個(gè)n表示項(xiàng)數(shù)表示項(xiàng)數(shù), xn表示第表示第n項(xiàng)項(xiàng); 因?yàn)轫?xiàng)數(shù)因?yàn)轫?xiàng)數(shù)n是一個(gè)變是一個(gè)變量量, 故故xn常稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)常稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng). 例例2 研究數(shù)

36、列研究數(shù)列 1，-1，1，-1， 的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì).解解 該數(shù)列的通項(xiàng)為該數(shù)列的通項(xiàng)為xn = (-1)n+1. 當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)， xn總在總在1和和 -1兩個(gè)數(shù)值上跳躍，永遠(yuǎn)不會(huì)趨近于一個(gè)固定的數(shù)兩個(gè)數(shù)值上跳躍，永遠(yuǎn)不會(huì)趨近于一個(gè)固定的數(shù). 例例1 研究數(shù)列研究數(shù)列 的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì). 解解 該數(shù)列的通項(xiàng)為該數(shù)列的通項(xiàng)為 . 當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，2n也無(wú)限增也無(wú)限增大，其倒數(shù)大，其倒數(shù) 會(huì)隨之越變?cè)叫?，無(wú)限地趨近于會(huì)隨之越變?cè)叫?，無(wú)限地趨近于0. ,21,81,41,21, 1nnnx21n21例例3 研究數(shù)列研究數(shù)列 的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì). 解解 該數(shù)列的通

37、項(xiàng)為該數(shù)列的通項(xiàng)為 . 當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)xn將大于任意給定的正數(shù)將大于任意給定的正數(shù). ,4, 3,2, 1nnxn 上述三個(gè)數(shù)列，當(dāng)上述三個(gè)數(shù)列，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)的變化趨勢(shì)各不相同，無(wú)限增大時(shí)的變化趨勢(shì)各不相同，可歸納為兩種情形可歸納為兩種情形. 第一種情形第一種情形: 數(shù)列數(shù)列xn隨著隨著n的無(wú)限增大而無(wú)限趨于某的無(wú)限增大而無(wú)限趨于某一個(gè)固定的常數(shù)一個(gè)固定的常數(shù)a；這時(shí)稱；這時(shí)稱xn為收斂數(shù)列，常數(shù)為收斂數(shù)列，常數(shù)a為該數(shù)為該數(shù)列的極限；列的極限；第二種情形第二種情形: 數(shù)列數(shù)列xn隨著隨著n的無(wú)限增大而不趨于任何確定的無(wú)限增大而不趨于任何確定的常數(shù)的常數(shù).

38、 這時(shí)稱這時(shí)稱xn為不收斂為不收斂. 定義定義1 設(shè)設(shè)xn是一個(gè)數(shù)列是一個(gè)數(shù)列, a是一個(gè)常數(shù)是一個(gè)常數(shù). 如果對(duì)任給的如果對(duì)任給的 0，總存在一個(gè)正整數(shù)，總存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)，使得當(dāng)n N時(shí)總有時(shí)總有| xn- a| N時(shí)總有時(shí)總有因而因而 . 12nx11lim22nnn 112Nnnnxn21212121n2121n111222nnxn11lim22nnn 2. 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)定理定理1 (唯一性唯一性) 若數(shù)列若數(shù)列xn收斂，則它只有一個(gè)極限收斂，則它只有一個(gè)極限. 對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列xn，如果存在一個(gè)正數(shù)，使對(duì)一切，如果存在一個(gè)正數(shù)，使對(duì)一切nN，都有都有| xn

39、| M，就稱，就稱xn為有界數(shù)列，否則就稱為有界數(shù)列，否則就稱xn為無(wú)為無(wú)界數(shù)列界數(shù)列.定理定理2 (有界性有界性) 若數(shù)列若數(shù)列xn收斂，則它必為有界數(shù)列收斂，則它必為有界數(shù)列. 定理定理3 (保號(hào)性保號(hào)性) 假設(shè)假設(shè) (或或aN時(shí)，都有時(shí)，都有xn 0 (或或xn 0，作平行于x軸的兩條直線y =A- 與y =A+ ，總可找到點(diǎn)x0的一個(gè) 鄰域，使得當(dāng) 且 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足: A- f (x) X時(shí)，時(shí)，f (x)都滿足不等式都滿足不等式 ，則稱當(dāng)則稱當(dāng)x時(shí)，時(shí)，f (x)有極限收斂且有極限收斂且A為為f (x)的極限，的極限，記作記作 或或 . 如果滿足上述條件的常數(shù)不存在，則稱當(dāng)如

40、果滿足上述條件的常數(shù)不存在，則稱當(dāng)x時(shí)，時(shí)，f (x)的極限不存在不收斂）的極限不存在不收斂）. Axf Axfxlim xAxf例例7 證明證明 . 證證 對(duì)于任給對(duì)于任給 ，由于，由于只要取只要取 ，于是對(duì)于適合，于是對(duì)于適合|x|X的所有的所有x，不等式，不等式 成立成立. 所以所以 . 1lim0 xx0110 xx1X10 x1lim0 xx單側(cè)極限單側(cè)極限 定義定義4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的左側(cè)有定義的左側(cè)有定義,而而A是常數(shù)是常數(shù). 如果如果對(duì)任給的正數(shù)對(duì)任給的正數(shù) ，總有某一正數(shù)，總有某一正數(shù) ，使得當(dāng)，使得當(dāng)時(shí)，時(shí)，f (x)都滿足不等式都滿足不等式 成立，成立

41、，則稱當(dāng)則稱當(dāng)x趨于趨于x0時(shí)，時(shí)，f (x)有左極限且有左極限且A為為f (x)的左極限，的左極限，記作記作 , f (x) Axx0-）或或 . fxA 0limxxf xA00fxA00 xxx類(lèi)似可給出類(lèi)似可給出 當(dāng)當(dāng)x趨于趨于x0時(shí)，時(shí)，A為為f (x)的右極限的定義，的右極限的定義，記作記作 , f (x) Axx0+）或或 . 0limxxf xA00fxA定理定理4 當(dāng)當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f (x)極限存在的充要條件是當(dāng)極限存在的充要條件是當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f (x)的左、右極限都存在且相等，即的左、右極限都存在且相等，即這里這里A是一個(gè)確定的數(shù)是一個(gè)確定的數(shù). 00

42、0limlimlimxxxxxxf xAf xf xA例例8 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，求，求 和和 . 00, 1,xxxxf xfx0lim xfx0lim解解 根據(jù)函數(shù)的定義知根據(jù)函數(shù)的定義知, f (x)當(dāng)當(dāng)x0時(shí)的左極限為時(shí)的左極限為 ；f (x) 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)的右極限為時(shí)的右極限為 .由此可知，由此可知，f (x)當(dāng)當(dāng)x0時(shí)的極限不存在時(shí)的極限不存在. 0limlim00 xxfxx 11limlim00 xxxf定義定義5 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)當(dāng)當(dāng) x 大于某一正數(shù)或小于某一負(fù)數(shù)大于某一正數(shù)或小于某一負(fù)數(shù)時(shí)有定義時(shí)有定義,而而A是常數(shù)是常數(shù). 如果對(duì)于任給的正數(shù)如果對(duì)于任給的正數(shù) ，總有某

43、一，總有某一個(gè)正數(shù)個(gè)正數(shù)X，使得對(duì)于當(dāng)，使得對(duì)于當(dāng) x X或相應(yīng)地或相應(yīng)地x - X時(shí)，時(shí)，f (x)都滿足不等式都滿足不等式 | f (x) - A| 0. 由極限定義，存在由極限定義，存在 ，使得當(dāng)，使得當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 ; 而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)，時(shí)，有有 . 取取 ，則當(dāng)，則當(dāng) 時(shí)，總有時(shí)，總有 ,矛盾矛盾. 所以有所以有ab.axfxx)(lim00lim( )xxf xbba 0, 02110|0 xx2|)(|axf020 |xx|( )|2f xb12min , 00 |xx| |( )|( )|22abf xaf xbab證證 由于由于 ，所以對(duì)正數(shù)，所以對(duì)正數(shù) ，存在正數(shù)，存在正數(shù)

44、，使，使得當(dāng)?shù)卯?dāng)x滿足滿足 時(shí)，都有時(shí)，都有于是，有于是，有記記M =1+| a |，則對(duì)任意滿足，則對(duì)任意滿足 的的x都有都有| f (x)| M. , 1|)(|0axfaxfxx)(lim0|00 xx|,|1|)(| )(|0aaaaxfxf|00 xx定理定理6 (局部有界性局部有界性) 假設(shè)假設(shè) ，則存在正數(shù)，則存在正數(shù)M和和正數(shù)正數(shù) ，使得當(dāng)，使得當(dāng) 時(shí)，都有時(shí)，都有axfxx)(lim0|00 xx.| )(|Mxf定理定理7(局部保號(hào)性局部保號(hào)性) 假設(shè)假設(shè) 且且a 0或或a 0（或（或f (x) 0. 由于由于 0，所以對(duì)正數(shù)，所以對(duì)正數(shù) ，存在存在 0，使得當(dāng)，使得當(dāng)0

45、| x-x0| 時(shí)有時(shí)有 . 因而，因而， .對(duì)對(duì)a N0時(shí)，均有時(shí)，均有 ，那么那么 . .limlimayxnnnnnnnyzxaznnlim準(zhǔn)則準(zhǔn)則I(函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則) 如果在如果在a的去心鄰域有的去心鄰域有 ，并且，并且 ，那么那么 . xhxgxf Axhxfaxaxlimlim Axgaxlim遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列. 如果數(shù)列如果數(shù)列an滿足條件滿足條件 ，就稱就稱an是遞增的或單調(diào)增加的是遞增的或單調(diào)增加的; 如果數(shù)列如果數(shù)列an滿足條件滿足條件 ，就稱就稱an是遞減的或單調(diào)減少的是遞減的或單調(diào)減少的. 1321n

46、naaaaa1321nnaaaaa準(zhǔn)則準(zhǔn)則II(單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 注注 與單調(diào)函數(shù)指嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)不同，習(xí)慣上把廣義與單調(diào)函數(shù)指嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)不同，習(xí)慣上把廣義單調(diào)數(shù)列稱為單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列稱為單調(diào)數(shù)列.二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限重要極限重要極限1: . （利用準(zhǔn)則（利用準(zhǔn)則I來(lái)證明）來(lái)證明）1sinlim0 xxx例例1 求求 .解解 . xxx3tanlim033cos1lim33sinlim33cos133sinlim33tanlim030300 xxxxxxxxxxxx例例2 求求 . 20cos1limxxx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?，所以

47、所以 .22222222sin2122sin212sin2cos1xxxxxxxx20cos1limxxx2022sin21limxxx2112122sinlim21202xxx重要極限重要極限2: . （利用準(zhǔn)則（利用準(zhǔn)則II證明存在性）證明存在性）1lim 1nnen例例3 求求 . 解解 令令 ，那么，那么 時(shí)，時(shí)， . 于是于是 .2lim 1xxx2xtx t 222111lim11lim21limettxttttxx例例4 求求 .10lim 1 2xxx解解 令令t = 2x,那么當(dāng)那么當(dāng)x0 時(shí)有時(shí)有t0. 因而因而, .20lim 1ttt120lim1ttt1220lim

48、1ttte10lim 12xxx1.5 無(wú)窮小與無(wú)窮大、無(wú)窮小的比較無(wú)窮小與無(wú)窮大、無(wú)窮小的比較一、無(wú)窮小及其性質(zhì)一、無(wú)窮小及其性質(zhì)定義定義1 如果如果f (x)當(dāng)當(dāng)xx0 （或（或x）時(shí)以）時(shí)以0為極限，則稱為極限，則稱 f (x)是當(dāng)是當(dāng)xx0 （或（或x）時(shí)的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮?。r(shí)的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小. 例如，當(dāng)例如，當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，x1是一個(gè)無(wú)窮小是一個(gè)無(wú)窮小; 當(dāng)當(dāng)x時(shí)，時(shí)， 是一個(gè)無(wú)窮小等等是一個(gè)無(wú)窮小等等. 1x定理定理1 假設(shè)假設(shè) ，那么，那么 是當(dāng)是當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小. 0 xx fxA 0limxxf xA 根據(jù)極限性質(zhì)及四則運(yùn)算法則，可以證明下列無(wú)窮小根據(jù)極限性質(zhì)

49、及四則運(yùn)算法則，可以證明下列無(wú)窮小的性質(zhì)的性質(zhì)1和和3）:(1) 有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和是無(wú)窮小. (2) 有界變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. (3) 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. 證明性質(zhì)證明性質(zhì)2）. 設(shè)在設(shè)在x0的某個(gè)去心鄰域的某個(gè)去心鄰域 ，g(x)為無(wú)為無(wú)窮小，窮小，f (x)為有界函數(shù)為有界函數(shù). 那么存在常數(shù)那么存在常數(shù)M 0使得使得| f (x)| M在在 成立；同時(shí)，對(duì)任意成立；同時(shí)，對(duì)任意 0, 存在存在 0使得當(dāng)使得當(dāng) 時(shí)都有時(shí)都有| g(x) |K)時(shí)，都有時(shí)，都有| f (x)| M， 則

50、稱則稱f (x)是當(dāng)是當(dāng)xx0或或x)時(shí)的時(shí)的無(wú)窮大無(wú)窮大. 00 xxx2例例2 證明證明 是是 時(shí)的無(wú)窮大時(shí)的無(wú)窮大. 11x1x 證證 對(duì)任意給定的正數(shù)對(duì)任意給定的正數(shù)M，取正數(shù)，取正數(shù) ，那么，當(dāng)，那么，當(dāng) 時(shí)有時(shí)有 ， 所以，所以， 是是 時(shí)的無(wú)窮大時(shí)的無(wú)窮大. 1M01x11Mx11x1x 定理定理2 在同一變化過(guò)程中，在同一變化過(guò)程中，(1) 若若f (x)為無(wú)窮大，那么為無(wú)窮大，那么 為無(wú)窮小為無(wú)窮小;(2) 若若f (x)為無(wú)窮小且為無(wú)窮小且f (x)0，那么，那么 為無(wú)窮大為無(wú)窮大. xf1 xf1例例3 求求 .2221lim32xxxx解解 當(dāng)當(dāng)x2 時(shí)分母的極限為時(shí)分

51、母的極限為0，不能直接應(yīng)用商的極限運(yùn)，不能直接應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則算法則. 但是，由于分子的極限不為但是，由于分子的極限不為0，因而，因而, 可以先求原可以先求原式倒數(shù)的極限式倒數(shù)的極限 = 0，再利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系，得再利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系，得 = .2232lim21xxxx2221lim32xxxx三、無(wú)窮小的比較三、無(wú)窮小的比較定義定義 設(shè)設(shè)u，v是同一變化過(guò)程的兩個(gè)無(wú)窮小，即是同一變化過(guò)程的兩個(gè)無(wú)窮小，即 （如果（如果u，v是數(shù)列，是數(shù)列，lim應(yīng)理解為應(yīng)理解為 ，否則，否則，u，v是同一自變量的函數(shù)，則是同一自變量的函數(shù)，則lim應(yīng)理解為應(yīng)理解為 、 或其它單或其它單側(cè)極

52、限過(guò)程）側(cè)極限過(guò)程）.又設(shè)又設(shè)v 0,并用并用 表示這一變化過(guò)程的極表示這一變化過(guò)程的極限限.lim0v lim0,u limn0limxxlimxlimuv(1) 假設(shè)假設(shè) ，則稱，則稱u為比為比v高階的無(wú)窮小，記為高階的無(wú)窮小，記為 ;(2) 假設(shè)假設(shè) ，則稱，則稱u為比為比v低階的無(wú)窮小低階的無(wú)窮小;(3) 假設(shè)假設(shè) ，則稱，則稱u與與v是同階無(wú)窮小是同階無(wú)窮小;特別地特別地, 假設(shè)假設(shè) ，則稱，則稱u與與v是等價(jià)無(wú)窮小，記為是等價(jià)無(wú)窮小，記為u v. (4)如果存在正整數(shù)如果存在正整數(shù)k和常數(shù)和常數(shù)c 0,使得使得 ，則稱，則稱u是是v的的k階無(wú)窮小階無(wú)窮小.lim1uvlimuv l

53、im0ua avlim0uv vou cvuklim例如，例如， 由由 ， ， ， 知，當(dāng)知，當(dāng)x0時(shí)時(shí) ， ; 當(dāng)當(dāng)x時(shí)，時(shí)， 與與 是同階無(wú)窮小是同階無(wú)窮小;當(dāng)當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，x-1是是比比(x-1)2低階的無(wú)窮小低階的無(wú)窮小. 02lim20 xxx1sinlim0 xxx2111limxxx21211limxxxxox22xx sin1x121x例例4 證明：當(dāng)證明：當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，tan x -sin x x3.21證證 利用三角公式變形得利用三角公式變形得: .由于由于 , 再由再由1.4例例2知知, . 故故由極限的四則運(yùn)算法則得由極限的四則運(yùn)算法則得 所以所以tan x -sin

54、x x3.3212tansinsin1 cos12cosxxxxxxxx0sinlim1xxx201 cos1lim2xxx32100002tansinsin1 cos1lim2limlimlim1 .cosxxxxxxxxxxxx12定理定理1 u 與與 v是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件是是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件是u = v +o(v).定理定理2 設(shè)設(shè)u u, v v且存在且存在 , 則存在則存在 且且 .limuvlimuvlimlimuuvv例例5 求求 .xxxx203tanlim解解 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)時(shí), tan x x, 無(wú)窮小無(wú)窮小3x2+x 與自身等價(jià)與自身等價(jià), 所以所以 . 20

55、00tan1limlimlim13(31)31xxxxxxxxxx注意：記住一些常用的等價(jià)無(wú)窮小注意：記住一些常用的等價(jià)無(wú)窮小,這對(duì)于求極限運(yùn)算常這對(duì)于求極限運(yùn)算常帶來(lái)許多方便帶來(lái)許多方便. 同時(shí)應(yīng)該注意同時(shí)應(yīng)該注意, 等價(jià)無(wú)窮小只適用于代替分等價(jià)無(wú)窮小只適用于代替分子或分母的因子子或分母的因子, 不可隨意代替非因子的式子不可隨意代替非因子的式子. 比如比如,在例在例4求極限時(shí)求極限時(shí), 若把分子若把分子tan x sin x分別用分別用tan x和和sin x的等價(jià)的等價(jià)無(wú)窮小代入無(wú)窮小代入, 將出現(xiàn)如下錯(cuò)誤將出現(xiàn)如下錯(cuò)誤:33110022tansinlimlim0 .xxxxxxxx1.6

56、 函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念 假定函數(shù)假定函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從量從 x0變化到變化到x時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從f (x0)變化到變化到f (x)，稱，稱x = x - x0為自變量為自變量x在點(diǎn)在點(diǎn)x0的改變量或增量的改變量或增量. 相應(yīng)地，相應(yīng)地，把把 y = f (x) -f (x0) 即即y = f (x0+x)- f (x0)稱為函數(shù)稱為函數(shù)y在點(diǎn)在點(diǎn)x0的改變量或增量應(yīng)注意，自變量的增量的改變量或增量應(yīng)注意，自變量的增量x和函數(shù)的增量和函數(shù)的增量y可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)或可以是正數(shù)

57、也可以是負(fù)數(shù)或0定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，假如的某一鄰域內(nèi)有定義，假如那么就稱函數(shù)那么就稱函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0連續(xù)連續(xù), 0)()(limlim0000 xfxxfyxx 由于由于 等價(jià)于等價(jià)于 ， 等價(jià)于等價(jià)于 ，因此函數(shù)，因此函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0連續(xù)等價(jià)于連續(xù)等價(jià)于 所以，函數(shù)所以，函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0連續(xù)的定義又可敘述為：對(duì)任連續(xù)的定義又可敘述為：對(duì)任意的意的 ，總存在，總存在 ，使得當(dāng)，使得當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 0 x0 xx 0y)()(0 xfxf)()(lim00 xfxfxx000 xx)()

58、(0 xfxf 假如假如 f (x)在區(qū)間在區(qū)間I的每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，則稱的每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，則稱y = f (x)在在I上連續(xù)或上連續(xù)或y = f (x)是是I上的連續(xù)函數(shù)，這里對(duì)于區(qū)間的端上的連續(xù)函數(shù)，這里對(duì)于區(qū)間的端點(diǎn)點(diǎn)(如果它屬于如果它屬于I的話的話)只要求單側(cè)只要求單側(cè)(左或右左或右)連續(xù)連續(xù). 定義定義2 若函數(shù)若函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某右左鄰域內(nèi)有定義，的某右左鄰域內(nèi)有定義，假如假如那么就稱函數(shù)那么就稱函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0右左連續(xù)右左連續(xù).)()(lim00 xfxfxx,)()(lim00 xfxfxx定理定理1 函數(shù)函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0連續(xù)的充要條件是：

59、連續(xù)的充要條件是：f (x)在在x = x0既是右連續(xù)的，又是左連續(xù)的既是右連續(xù)的，又是左連續(xù)的例例1 證明正弦函數(shù)證明正弦函數(shù)y = sin x在在(-, +)上連續(xù)上連續(xù)證證 對(duì)任意對(duì)任意x0(-, +)，由和差化積公式得，由和差化積公式得 .因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以 故故y = sin x在在x0點(diǎn)連續(xù)，由點(diǎn)連續(xù)，由x0(-, +)的任意性可知，的任意性可知，y = sin x在在 (-, +) 連續(xù)連續(xù)2sin)2cos(2sin)sin(000 xxxxxxy, 02sinlim, 1| )2cos(|00 xxxx0lim0 xy 二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(lèi)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(lèi) 根據(jù)函

60、數(shù)根據(jù)函數(shù)y = f (x)在在x0點(diǎn)處連續(xù)的定義可知，函數(shù)點(diǎn)處連續(xù)的定義可知，函數(shù)f (x)在在x0點(diǎn)處連續(xù)必須且只需同時(shí)滿足下面三個(gè)條件：點(diǎn)處連續(xù)必須且只需同時(shí)滿足下面三個(gè)條件：(1) f (x)在在x0處有定義；處有定義；(2) 存在，即存在，即 存在且存在且相等；相等； (3)(lim0 xfxx)0()0(00 xfxf與)()(lim00 xfxfxx 如果這三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足，也就是說(shuō)，假如如果這三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足，也就是說(shuō)，假如f (x)在在x0無(wú)定義；或者無(wú)定義；或者 f (x)在在x0雖有定義但在雖有定義但在x0的極限的極限不存在；或者不存在；或者f (x)在在x0