高等數(shù)學(xué)-求導(dǎo)法則

1、第二節(jié)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 一、四則運算求導(dǎo)法則一、四則運算求導(dǎo)法則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的求導(dǎo)法則 第二章 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則其它基本初等其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式函數(shù)求導(dǎo)公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x證明中利用了兩個重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問題初等函數(shù)求導(dǎo)問題本節(jié)內(nèi)容機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、四則運算求導(dǎo)法則一、四則運算求導(dǎo)法則 定理定理1.具有導(dǎo)數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu)()()()

2、(xvxu及的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導(dǎo), 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以證明,并同時給出相應(yīng)的推論和例題 .)0)(xv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 此法則可推廣到任意有限項的情形.證證: 設(shè), 則vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(

3、xvxu故結(jié)論成立.wvuwvu)( ,例如機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如,(2)vuvuvu )(證證: 設(shè), )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( C為常數(shù) )例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xy

4、y 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu證證: 設(shè))(xf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結(jié)論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推論推論:2v

5、vCvC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( C為常數(shù) ) )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求證,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( xf二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理2. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), 證證: 在 x 處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因此

6、,)()(的反函數(shù)為設(shè)yxxfy在)(y0 )(y且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx時必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(y11 )(y11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1例例3. 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解: 1) 設(shè),arcsin xy 則,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 設(shè), )

7、1,0(aaayx則),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當(dāng)ea時,小結(jié)小結(jié):機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點 x 可導(dǎo), lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù) fy )(xg且dxduduyxyxgufxyddd)()(dd或在點 x 可導(dǎo),證證:)(ufy 在點 u 可

8、導(dǎo), 故)(lim0ufuyuuuufy)(（當(dāng) 時 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)1021 xy992102201dy duyuxx xdu dx 則, 1,210 xuuy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解:設(shè)也可以這樣寫 992229210111012201yxxxxx x

9、 例例5. 求下列導(dǎo)數(shù):. )()3(;)()2(;)() 1 (xxaxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)aaaxeeaxaxaxxln)ln()()(lnln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 x 例例6. 設(shè), )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的導(dǎo)數(shù)?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf這兩個記號含義不同機動 目錄 上

10、頁 下頁 返回 結(jié)束 , )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212xx2112x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 1gxyeg x求的導(dǎo)數(shù)，其中函數(shù)可導(dǎo)11gxyegx 1122111ggxxgxegexxx 解：解： 例例7. 111gxegxx四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (P95) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxl

11、n1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 有限次四則運算的求導(dǎo)法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù) )0( v3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),uyddxudd且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x11

12、2xx例例10.設(shè)),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則 (見 P95)注意注意: 1),)(vuuvvuvu3) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) ，不要

13、重復(fù)不要遺漏。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則(注意成立的條件）注意成立的條件）1. 設(shè), )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正確解法:)(af 時, 下列做法是否正確?在求處連續(xù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解: (1)xxexxxxeyarctan2arctan1212111(2).lnlnln)2(,) 1 (arctanxyeyxxxxxxxylnlnln11ln1lnln1

14、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 設(shè)),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導(dǎo)公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 討論函數(shù)點連續(xù)故函數(shù)在0 x處的連續(xù)性和可導(dǎo)性在00001sin2xxxxxy 001sinlimlim200fxxxfxx 01sinlim1sinlim00lim00200 xxxxxxfxffxxx又機動 目錄 上頁 下頁 返回

15、 結(jié)束 解解點可導(dǎo)故函數(shù)在0 x 00sinlimlim00fxxfxx 000sin0limlim10 xxf xfxfxx 000sin0limlim10 xxf xfxfxx點的連續(xù)性和可導(dǎo)性在0sinxxy錯解所以函數(shù)在正確解法 0sinlimlim00 xxfxx連續(xù)0 x5）機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又 處不可導(dǎo)。在故0sin,00 xxyff所以函數(shù)在0 x連續(xù)6. 設(shè)函數(shù) 111，可導(dǎo)，有在要使函數(shù)ffxxf 1limlim111fxfxfxxfxx處連續(xù)，在解：要使函數(shù) 211lim11lim1211xxxfxffxx112xbaxxxy 應(yīng)取什么值？處連續(xù)且可導(dǎo)，在為了使函數(shù)baxxf,1ba1即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 axxaxbaxxfxffxxx11lim11lim11lim111112ba，故 1sinlim00lim000 xxxfxffxx 1lim00lim000 xxxfxffxx 10,00fff故由于 xfxxxxxf00sin求錯解正確解法 010cosxxxxf7）已知已知機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 010cosxxxxf6. 設(shè)函數(shù) 條件既非充分條件又非必要必要條件但非充分條件存在左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不左右導(dǎo)數(shù)