《高等數(shù)學(xué)》北大版27不定積分

1、2-7 不定積分不定積分 我們知道，在微分學(xué)中，求導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，就是已 知一個(gè)函數(shù)，求出這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，那末與之相反的 問(wèn) 題是：已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出這個(gè)函數(shù).例如： ,cos)(xxF?F(x) 求sinx)F(x)( ?G(x) ,x11(x)G2求arctanx)G(x)(?F(x) f(x),(x)F ,求已知一般地 已知定義定義若函數(shù)若函數(shù) F x的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) ,Fxf xxa b ,F xf xa b則稱是在一個(gè)一個(gè)原函數(shù)原函數(shù). ,F xfxa b若是在上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù),則對(duì)任意常數(shù)則對(duì)任意常數(shù)C, F xCf x也是的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù). f x反之: 的

2、任意一個(gè)原函數(shù)都可表成的任意一個(gè)原函數(shù)都可表成 .F xC可見(jiàn)原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)可見(jiàn)原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè).事實(shí)上事實(shí)上, :),()()上的一個(gè)原函數(shù)在是（若baxfxG),()xfxG（)()() )()(xFxGxFxG（, 0)()(xfxf則,)()CxFxG（.)()CxFxG（ 已知在區(qū)間已知在區(qū)間(a,b)上上F(x) 是是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)所有原函數(shù)剛好組成函數(shù)族所有原函數(shù)剛好組成函數(shù)族F(x)+C(C為任意常數(shù)為任意常數(shù))的形的形式式.則將則將F(x)+C稱為稱為f(x)的不定積分的不定積分.3函數(shù)函數(shù)f(x) 的全體原函數(shù)形成的函數(shù)族稱為的全體原函數(shù)

3、形成的函數(shù)族稱為f(x)的的記作記作定義定義不定積分不定積分.dxxf)( 積分號(hào)積分號(hào);)(xf 被積函數(shù)被積函數(shù);xxfd)( 被積表達(dá)式被積表達(dá)式.x 積分變量積分變量;若, )()(xfxF則CxFxxf)(d)( C 為任意常數(shù) )C 稱為積分常數(shù)積分常數(shù)不可丟不可丟 !例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos4xdd) 1 (xxfd)()(xf從不定積分定義可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf(2)( )Cf x dx ( ) .C f x dx dx

4、xfxfn)()(1 dxxfdxxfn)()(1容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證:（ C是常數(shù)，是常數(shù)，)0 C 5例如例如xx11.11Cxdxx) 1( 基本積分表基本積分表 求不定積分，要熟記一些初等函數(shù)的不定積分，積求不定積分，要熟記一些初等函數(shù)的不定積分，積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式出積分公式.(2)cosxdx ;sinCx sin xdx ;cosCx 1(1)(1);1aaxx dxCaa kdxkxC特別地特別地6211dxxarctan xC21(3)1dxxarcsin xC2sindxx xdx2csc;

5、cotCx arccos.xC或 -arccot.xC或 xe dx .xec(4)xa dx 0,1lnxaCaaa 5ln.dxxcx 2cosdxx xdx2sec;tanCx 7xe dx .xec(4)xa dx 0,1lnxaCaaa 以上公式是求不定積分以上公式是求不定積分的基礎(chǔ)，稱為基本積分的基礎(chǔ)，稱為基本積分表，必須熟練掌握。表，必須熟練掌握。 5ln.dxxcx 8例例1 求求.d3xxx解解 原式 =xxd34134Cx313例例2 求.dcossin22xxx解解 原式=xxdsin21Cx cos21134xC9例例 3 求求.dtan2xx解解 原式 =xxd) 1

6、(sec2xxxddsec2Cxx tan補(bǔ)例補(bǔ)例 求.d)1 (122xxxxx解解 原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln10例例 4,22gdtsd滿足下列方程設(shè))(tss .)(,)0(,)0(0000的表達(dá)式為已知常數(shù)，求及為常數(shù)，且其中tssvhvshsg解解os)0(0sh )(tss 設(shè)時(shí)刻t位置函數(shù)為, )(tss )(ddtvts(運(yùn)動(dòng)速度)tvtsdddd22g(加速度) 先由此求)(tv 再由此求)(ts則則11先求).( )(dtdstv,ddgtv由知ttvd)()(g1Ct g,)0(0vs由,01vC 得0)(vtt

7、vg再求. )(tstvttsd)()(0g20221Ctvtg,)0(0hs由,02hC 得于是有.)(00221htvttsg由)(ddtvts,0vt g知故os)0(0sh )(tss 12解解 根據(jù)題意, 有)0()(ddktmktm00mmt(初始條件)成中,鈾含量 m(t) 隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律. 例例 5 含量 m 成正比,0m求在衰變過(guò)已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變率與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)拥?.(ln)(tmty令于是，于是，dtdy)()(tmtm. kdtkty)()(,1Ckt)()(tyetm1CktektCee100mmt將初始值 代入上式，得.)

8、(0ktemtm,ktCe13內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì) 基本積分表2. 直接積分法:利用恒等變形恒等變形, 及 基本積分公式基本積分公式進(jìn)行積分 .常用恒等變形方法分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式 , 代數(shù)公式 ,積分性質(zhì)積分性質(zhì)143. 若)(xf是xe的原函數(shù) , 則xxxfd)(ln提示提示: 已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10154. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導(dǎo)函數(shù)為,sin x則)(xf的一個(gè)原函數(shù)是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由題意,cos)(1Cxxf其原函數(shù)為xxfd)(21sinCxCx165. 求下列積分:.cossind)2(;)1 (