一極限運(yùn)算法則ppt課件

1、一、極限運(yùn)算法那么一、極限運(yùn)算法那么定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其其中中BxgAxf由無(wú)窮小運(yùn)算法那么由無(wú)窮小運(yùn)算法那么,得得)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,2B BBBB21 B21 推論

2、推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果推論推論2 2,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立二、求極限方法舉例二、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1

3、limlim22232 xxxxxx.37 3123 小結(jié)小結(jié): :則則有有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則商的法則不能應(yīng)用則商的法則不能應(yīng)用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法那么不能商的法那么不能用用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xx

4、xx. 030 由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時(shí)時(shí)x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無(wú)窮小先約去不為零的無(wú)窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無(wú)窮大分母的極限都是無(wú)窮大分子分子時(shí)時(shí) x)(型型 .,3再再求求極極

5、限限分分出出無(wú)無(wú)窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無(wú)窮小因子分出法無(wú)窮小因子分出法)小結(jié)小結(jié): :為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)無(wú)窮小分出法無(wú)窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子, ,分母分母, ,以分出無(wú)窮小以分出無(wú)窮小, ,然后再求極限然后再求極限. .例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是無(wú)限多個(gè)無(wú)窮小之和是無(wú)限多個(gè)無(wú)窮小之

6、和時(shí)時(shí), n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx .sin 是是有有界界函函數(shù)數(shù)而而x. 0sinlim xxxxxysin 例例7 7).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設(shè)設(shè)yox1xy 112 xy解解兩個(gè)單側(cè)極限為兩個(gè)單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點(diǎn)是函數(shù)的分段點(diǎn),0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且

7、相等,. 1)(lim0 xfx故故.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxaxxxuauxxauxx 時(shí)的極限也存在，且時(shí)的極限也存在，且當(dāng)當(dāng)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)，又，又的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)但在點(diǎn)但在點(diǎn)，即，即時(shí)的極限存在且等于時(shí)的極限存在且等于當(dāng)當(dāng)運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)定理（復(fù)合函數(shù)的極限定理（復(fù)合函數(shù)的極限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意義：意義：例例8 8.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原原式式3233232)(lim

8、aaxxaxax 0 323203limauuaxu 令令三、小結(jié)三、小結(jié)1、極限的四那么運(yùn)算法那么及其推論、極限的四那么運(yùn)算法那么及其推論;2、極限求法、極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.3、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法那么、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法那么思索題思索題 在某個(gè)過(guò)程中，假設(shè)在某個(gè)過(guò)程中，假設(shè) 有極限，有極限， 無(wú)極限，那么無(wú)極限，那么 能否有極限？為能否

9、有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思索題解答思索題解答沒有極限沒有極限假設(shè)假設(shè) 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運(yùn)算法那么可知：由極限運(yùn)算法那么可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與知矛盾，與知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空題一、填空題:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、練練 習(xí)習(xí) 題題._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求以下各極限二、求以下各極限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmxxxxx、一一、1 1、- -5 5