高三橢圓專題復(fù)習(xí)講義理

1、橢圓專題復(fù)習(xí)1. 橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓,其中兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn).當(dāng)時(shí), 的軌跡為橢圓 ; ; 當(dāng)時(shí), 的軌跡不存在; 當(dāng)時(shí), 的軌跡為 以為端點(diǎn)的線段2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)參數(shù)關(guān)系焦點(diǎn)焦距范圍頂點(diǎn)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱離心率準(zhǔn)線 考點(diǎn)1 橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 題型1:橢圓定義的運(yùn)用例1 橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回

2、到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是( )A4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能【變式訓(xùn)練】1.短軸長(zhǎng)為，離心率的橢圓兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則ABF2的周長(zhǎng)為 A.3 B.6 C.12 D.24 ( )2.已知為橢圓上的一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為 A 5 B 7 C 13 D 15 ( )題型2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為4，求此橢圓方程.【變式訓(xùn)練】3. 如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.4. 橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)

3、軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是，求這個(gè)橢圓方程.考點(diǎn)2 橢圓的幾何性質(zhì) 題型1:求橢圓的離心率（或范圍）例3 在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的離心率 【變式訓(xùn)練】5.如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,那么這個(gè)橢圓的離心率為 ( ) . . . . 6.已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為 題型2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍、對(duì)稱性等）例4 已知實(shí)數(shù)滿足,求的最大值與最小值【變式訓(xùn)練】7.已知點(diǎn)是橢圓（，）上兩點(diǎn),且,則= 8.如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是

4、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)則_考點(diǎn)3 橢圓的最值問(wèn)題例5 橢圓上的點(diǎn)到直線l:的距離的最小值為_【變式訓(xùn)練】9.橢圓的內(nèi)接矩形的面積的最大值為 10. 是橢圓上一點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的最大值與最小值11.已知點(diǎn)是橢圓上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又、，是原點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值是_考點(diǎn)4 橢圓的綜合應(yīng)用題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問(wèn)題例6 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且（1）求橢圓方程；（2）求m的取值范圍例7 、從橢圓上一點(diǎn)向軸引垂線,垂足恰為橢圓的左焦點(diǎn),為橢圓的右頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn),

5、且.、求該橢圓的離心率. 、若該橢圓滿足，求橢圓方程.【變式訓(xùn)練】12.設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則點(diǎn)的軌跡方程是 ( ) A. B. C. D. 13. 如圖，在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC=,一曲線E過(guò)點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|+|PB|的值不變，直線l經(jīng)過(guò)A與曲線E交于M、N兩點(diǎn). （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程； （2）設(shè)直線l的斜率為k，若MBN為鈍角，求k的取值范圍.基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn),直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為( ) A B C D

6、 2. 設(shè)F1、F2為橢圓+y2=1的兩焦點(diǎn)，P在橢圓上，當(dāng)F1PF2面積為1時(shí)，的值為( ） A 0B 1C 2D 33.橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是 （ ）A B C D4.在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的離心率 5. 已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),若, 則此橢圓的離心率為 _.6.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 綜合提高訓(xùn)練7、已知橢圓與過(guò)點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)的直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率求橢圓方程8已知A、B分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P）在

7、橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。 （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于ABC，求的值。9. 已知長(zhǎng)方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系.()求以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;OABCD圖8()過(guò)點(diǎn)P(0,2)的直線交()中橢圓于M,N兩點(diǎn),是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由. 橢圓專題復(fù)習(xí)1. 橢圓定義： 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓,其中兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn).當(dāng)時(shí), 的軌跡為橢圓 ; 當(dāng)時(shí), 的軌跡不

8、存在; 當(dāng)時(shí), 的軌跡為 以為端點(diǎn)的線段2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)參數(shù)關(guān)系焦點(diǎn)焦距范圍頂點(diǎn)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱離心率準(zhǔn)線 考點(diǎn)1 橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 題型1:橢圓定義的運(yùn)用例1 (湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2009屆高三聯(lián)考)橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是OxyDPABCQA4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能 解析按小球的運(yùn)行路

9、徑分三種情況:(1),此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為2(ac);(2), 此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為2(a+c);(3)此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為4a,故選D【名師指引】考慮小球的運(yùn)行路徑要全面【變式訓(xùn)練】1.短軸長(zhǎng)為，離心率的橢圓兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則ABF2的周長(zhǎng)為A.3 B.6C.12 D.24 （ ）解析C. 長(zhǎng)半軸a=3，ABF2的周長(zhǎng)為4a=122.已知為橢圓上的一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為 （ ） A 5 B 7 C 13 D 15 解析B. 兩圓心C、D恰為橢圓的焦點(diǎn)，的最小值為10-1-2=7題型2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱

10、軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為4，求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)的式子“描述”出來(lái)解析設(shè)橢圓的方程為或， 則，解之得：，b=c4.則所求的橢圓的方程為或.【名師指引】準(zhǔn)確把握?qǐng)D形特征，正確轉(zhuǎn)化出參數(shù)的數(shù)量關(guān)系警示易漏焦點(diǎn)在y軸上的情況【變式訓(xùn)練】3. 如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.解析(0,1). 橢圓方程化為+=1. 焦點(diǎn)在y軸上，則2，即k0，0k0 （*）x1x2， x1x2 3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 m2時(shí)，

11、上式不成立；m2時(shí)，k2，因3 k0 k20，1m 或 m2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范圍為（1，）（，1） 【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問(wèn)題是高考熱點(diǎn)之一，應(yīng)充分重視向量的功能例7橢圓上一點(diǎn)向軸引垂線,垂足恰為橢圓的左焦點(diǎn),為橢圓的右頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn),且.、求該橢圓的離心率. 若該橢圓滿足，求橢圓方程.解析 、 ，,， 又，, 而. 為準(zhǔn)線方程，, 由 所求橢圓方程為【變式訓(xùn)練】14.設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則點(diǎn)的軌跡方程是 （ ） A. B. C. D. 解析 ，選A.15. 如圖，在RtABC中

12、，CAB=90，AB=2，AC=。一曲線E過(guò)點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|+|PB|的值不變，直線l經(jīng)過(guò)A與曲線E交于M、N兩點(diǎn)。 （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程； （2）設(shè)直線l的斜率為k，若MBN為鈍角，求k的取值范圍。解：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A（1，0），B（1，0）由題設(shè)可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為， 則曲線E方程為（2）直線MN的方程為由 方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 MBN是鈍角 即 解得：又M、B、N三點(diǎn)不共線 綜上所述，k的取值范圍是基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn),直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為

13、 ( ) A B C D 解析 B . 2. 設(shè)F1、F2為橢圓+y2=1的兩焦點(diǎn)，P在橢圓上，當(dāng)F1PF2面積為1時(shí)，的值為（ ） A 0 B 1C 2D 3解析 A . ， P的縱坐標(biāo)為，從而P的坐標(biāo)為，0， 3.橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是 （ ）A B C D解析 D. ,兩式相減得：，4.在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的離心率 解析5. 已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),若, 則此橢圓的離心率為 _. 解析 三角形三邊的比是6.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 解析綜合提高訓(xùn)練7、

14、已知橢圓與過(guò)點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)的直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率求橢圓方程解析直線l的方程為： 由已知由得：，即由得： 故橢圓E方程為8.已知A、B分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于ABC，求的值。解析（1）點(diǎn)是線段的中點(diǎn) 是的中位線 又 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1 （2）點(diǎn)C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) ACBC2a，AB2c2 在ABC中，由正弦定理， 9. 已知長(zhǎng)方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系.()求以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;OABCD()過(guò)點(diǎn)P(0,2)的直線交()