高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 第五節(jié) 幾何概型課件 理

1、第五節(jié)幾何概型總綱目錄教材研讀1.幾何概型的定義考點(diǎn)突破2.幾何概型的特點(diǎn)考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型考點(diǎn)一與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型考點(diǎn)三與體積有關(guān)的幾何概型考點(diǎn)三與體積有關(guān)的幾何概型1.幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度長(zhǎng)度(面積或體面積或體積積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱幾何概型.教材研讀教材研讀2.幾何概型的特點(diǎn)(1)無(wú)限性:試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多無(wú)限多個(gè).(2)等可能性:試驗(yàn)結(jié)果在每一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻均勻分布.3.幾何概型的概率公式P(A)=.()()A構(gòu)成事件 的區(qū)域長(zhǎng)度 面積或體積試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)

2、成的區(qū)域長(zhǎng)度 面積或體積1.已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,x-1,4,則f(x)為增函數(shù)的概率為()A.B.C.D.15253545答案答案Cf(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,x-1,4,f(x)在1,4上是增函數(shù).f(x)為增函數(shù)的概率為P=.4 14( 1) 35CB2.如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.148124B答案答案B設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則正方形的內(nèi)切圓半徑為1,其中黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心對(duì)稱,則黑色部分的面積

3、為,所以在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自黑色部分的概率P=,故選B.222 283.某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.B.C.D.7105838310B答案答案B行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達(dá)該路口,即滿足至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈,根據(jù)幾何概型的概率公式知所求事件的概率P=,故選B.2540584.如圖所示,邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為,則陰影區(qū)域的面積為.2383解析解析設(shè)陰影區(qū)域的面積為S,則由題意知=,所以S=.4

4、S2383答案答案835.在長(zhǎng)為3m的線段AB上任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P與線段AB兩端點(diǎn)的距離都大于1m的概率等于.13答案答案13解析解析將線段AB平均分成3段,如圖.設(shè)中間的兩點(diǎn)分別為C,D,當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上(不包括兩端點(diǎn))時(shí),符合題意,線段CD的長(zhǎng)度為1m,所求概率P=.13B考點(diǎn)一與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1(1)在區(qū)間0,5上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p,則方程x2+2px+3p-2=0有兩個(gè)負(fù)根的概率為;(2)在-1,1上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為.答案答案(1)(2)2334解析解析(1)要使方程x2+2px+3p-2=

5、0有兩個(gè)負(fù)根,必有解得p1或p2,結(jié)合p0,5得p2,5,故所求概率為=.(2)直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交的充要條件為3,解得-k2,解得k2,又k-3,3,所以k-3,0)(2,3,故所求概率P=.4623B典例典例2(1)已知線段AB的長(zhǎng)為10,在線段AB上隨機(jī)取兩個(gè)點(diǎn)C、D,則CD2的概率為()A.B.C.D.(2)已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示.向圖中的矩形區(qū)域隨機(jī)投出100粒豆子,記下落入陰影區(qū)域的豆子數(shù).通過(guò)10次這樣的試驗(yàn),算得落入陰影區(qū)域的豆子的平均數(shù)約為33,由此可估計(jì)f(x)dx的值為()2545425162510考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型A.B.C.D

6、.991003109101011解析解析(1)設(shè)CA=x,DA=y,則x,y0,10,CD=|CA-DA|=|x-y|.由題意知點(diǎn)(x,y)形成的區(qū)域是邊長(zhǎng)為10的正方形及其內(nèi)部,其面積為S=1010,而滿足CD2的區(qū)域如圖中陰影部分所示,其面積為S1=288=64,則CD2的概率為P=.12641001625答案答案(1)D(2)A(2)設(shè)題圖中陰影部分的面積為S,則S=f(x)dx,又由幾何概型的定義可知=,解得S=,即f(x)dx=,故選A.103S33100991001099100方法技巧方法技巧與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題的求解策略求解與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積

7、,必要時(shí)要根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形進(jìn)而求解.2-1設(shè)不等式組所表示的區(qū)域?yàn)镸,函數(shù)y=的圖象與x軸所圍成的區(qū)域?yàn)镹,向M內(nèi)隨機(jī)投一個(gè)點(diǎn),則該點(diǎn)落在N內(nèi)的概率為()A.B.C.D.2,2,0 xyxyy 21x24816B答案答案B如圖,不等式組表示的區(qū)域?yàn)锳BC及其內(nèi)部,函數(shù)y=的圖象與x軸所圍成的區(qū)域?yàn)殛幱安糠?易知區(qū)域M的面積為2,區(qū)域N的面積為,由幾何概型的概率公式知所求概率為=.2,2,0 xyxyy 21x2224考點(diǎn)三與體積有關(guān)的幾何概型典例典例3(1)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體

8、ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A.B.1-C.D.1-(2)已知正棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為4,高為3,在正棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P,使得VP-ABCVS-ABC的概率為()A.B.C.D.1212661234781214解析解析(1)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的點(diǎn)位于以O(shè)為球心,以1為半徑的半球的外部.記點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1為事件A,則P(A)=1-.(2)如圖,由題意知,當(dāng)點(diǎn)P在三棱錐的中截面以下時(shí),滿足VP-ABCVS-ABC,故使得VP-ABCVS-ABC的概率P=1-=.333142123212121231278答案答案(1)B(2)B方法技巧方法技巧與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題求法的關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題,關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間),對(duì)于某些較復(fù)雜的事件也可利用其對(duì)立事件去求.3-1一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),一只蝴蝶在