應(yīng)用數(shù)學第8章 第二節(jié) 冪級數(shù)ppt課件

1、第二節(jié) 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念第八章 無窮級數(shù) 前面研討的級數(shù)各項都是常數(shù)項的級數(shù)。下面來研討各項 1.函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)的概念 設(shè)定義在某個區(qū)間上的函數(shù)列 那么和式,),(,),(),(21xuxuxun)()()()(211xuxuxuxunnn稱為函數(shù)項級數(shù)， 稱為函數(shù)項級數(shù)普通項)(xun 當 在區(qū)間 中取某個特定 時,級數(shù) xI0 x10)(nnxu)()()(00201xuxuxun=都是函數(shù)項的級數(shù) 第二節(jié) 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念第八章 無窮級數(shù)就是一個數(shù)項級數(shù).假設(shè)這個數(shù)項級數(shù)收斂，那么稱 為級數(shù)的一個收斂點；假設(shè)發(fā)散，那么稱 為這個級數(shù)的發(fā)散點.一個級數(shù)的收斂點的全體

2、稱為它的收斂域 0 x0 xD 對于收斂域 內(nèi)的恣意一個數(shù) ，函數(shù)項級數(shù)都有一個確定的和,這樣， 便構(gòu)成了定義在收斂域 上的一個函數(shù)，這個函 D)(xSD數(shù) 稱為函數(shù)項級數(shù) 的和函數(shù)，記)(xS1)(nnxux)(xS)()()(21xuxuxun= 其中 是收斂域 內(nèi)的恣意一點.xD 將函數(shù)項級數(shù)的前 項和記作那么在收斂域 上，有 nD第二節(jié) 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念第八章 無窮級數(shù))()(limxSxSnn假設(shè)記 )()()(xsxsxRnn那么稱 為函數(shù)項級數(shù) 的余項，余項 在函數(shù)項級數(shù) )(xRn1)(nnxu)(xRn1)(nnxu的收斂域 上有意義，且恒有： D0)(limxRnn

3、2、冪函數(shù)的概念、冪函數(shù)的概念 定義定義1 形如形如 nnnxa0nnxaxaxaa2210 8-2的函數(shù)項級數(shù)稱為 的冪級數(shù)，其中常數(shù) 稱為冪x,210naaaa第二節(jié) 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念第八章 無窮級數(shù)級數(shù)的系數(shù) 冪函數(shù)的更普通方式為10)(nnnxxannxxaxxaxxaa)()()(0202010=8-3 在冪級數(shù)8-2中,假設(shè)作變換 ,那么冪級數(shù)8-3就變?yōu)?(8-2) 的方式因此,下面只討論形如8-2的冪級數(shù),主要0 xxt是研討怎樣求它的收斂域和討論在收斂域上的性質(zhì)第二節(jié) 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念第八章 無窮級數(shù) 1冪級數(shù)的收斂半徑冪級數(shù)的收斂半徑 調(diào)查最簡單的冪級數(shù) nnn

4、nnxxxxx13211) 1(1) 1(這是一個公比 的等比級數(shù)，顯然，當 時，它是收斂xq1x的，且和函數(shù) ，當 時，它是發(fā)散的因此，該級xxs11)(1x數(shù)的收斂區(qū)間是開區(qū)間 ，這是一個以點 為中心的區(qū))1 ,1(0 x間 發(fā)散區(qū)間是 ), 1 1,( 普通地，假設(shè)冪級數(shù) 不是僅在 或者在整個實數(shù)nnnxa00 x域內(nèi)收斂，那么，總存在一個實數(shù) 使得冪級數(shù) : , 0Rnnnxa0第二節(jié) 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念第八章 無窮級數(shù)當 時，即 時收斂；當 時，即 ),(RRxRx ),(),(RRxRx 時發(fā)散；當 即 時能夠收斂，也可Rx Rx能發(fā)散這需求將 代入冪級數(shù)得其相應(yīng)的常數(shù)級數(shù)，再

5、用 Rx常數(shù)級數(shù)判別法去斷定 這個實數(shù) 就稱為冪級數(shù)的收斂半徑，通常用比值判別法來求冪級數(shù)的收斂半徑 R第二節(jié) 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念第八章 無窮級數(shù) 定理定理1 假設(shè)冪級數(shù)假設(shè)冪級數(shù) 的系數(shù)滿足的系數(shù)滿足nnnxa0,lim1aannn那么冪級數(shù)的收斂半徑R 當 時， 0R1 當 時， ；0R 當 時 .0R當 時，區(qū)間 稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間0R),(RR第二節(jié) 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念第八章 無窮級數(shù) 留意：1冪級數(shù)的收斂區(qū)間與收斂域是不同的：收斂區(qū)間是開區(qū)間；而收斂域是包括了區(qū)間端點左端點、右端點或左右端點收斂的區(qū)間；假設(shè)左右端點都不收斂，那么該級數(shù)的收斂域就是其收斂區(qū)間 2在實踐運用中，

6、也可用 來求收斂半徑1limnnnaaR第二節(jié) 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念第八章 無窮級數(shù) 練習練習1 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂半徑與收斂域的收斂半徑與收斂域0!nnnx解解 由于由于 011lim)!1(!limlim1nnnaannnnn所以冪級數(shù) 的收斂半徑 ，收斂域為 0!nnnxR),(練習練習2 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂半徑與收斂域的收斂半徑與收斂域1nnnx解解 由于由于 , 1)11 (lim1limlim1nnnaannnnn所以所給冪級數(shù)的收斂 半徑 1R第二節(jié) 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念第八章 無窮級數(shù) 當 時，級數(shù)為調(diào)和級數(shù) ，發(fā)散當 時，級1x01nn1x0) 1(nnn數(shù)為

7、交錯級數(shù) ，收斂所以該級數(shù)的收斂域為 )1 , 1 練習練習3 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂半徑的收斂半徑1nnnxn解解 由于由于 ) 1()11 (lim) 1(limlim11nnnnaannnnnnnn所以該級數(shù)的收斂半徑 ，即只在點 收斂0R0 x第二節(jié) 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念第八章 無窮級數(shù) 練習練習4 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂域的收斂域.1212) 1(nnnnxn解解 令令 ，那么，那么2xt 3321211212322212) 1(2) 1(ttttnxnnnnnnnnn其收斂半徑為 212lim21) 1(2) 1(lim111nnnnRnnnnnn由 得原級數(shù)的收斂半徑 2x

8、t 2R 當 時 ，原級數(shù)化為 , 是發(fā)散的，故原級2R) 1(11nnn第二節(jié) 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念第八章 無窮級數(shù)的收斂域為 )2,2( 練習練習 5 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂域的收斂域.11)2() 1(nnnnx解解 令令 ，那么，那么2 xt1111) 1()2() 1(nnnnnnntnx其收斂半徑為 11lim11) 1(1) 1(lim1nnnnRnnnn由 時，級數(shù)化為 ，是收斂的；由 時，級數(shù)1t111) 1(nnn1t第二節(jié) 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念第八章 無窮級數(shù)化為 ，是發(fā)散的，因此級數(shù) 的收斂區(qū)間為11nn11) 1(nnnnt11t，于是有： ，即 ，故原級數(shù)的收

9、斂域 121x31 x為 . 3 , 1(第二節(jié) 冪級數(shù)二、冪級數(shù)的運算性質(zhì)第八章 無窮級數(shù) 性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)22012012,nnnnaa xa xa xbb xb xb x的收斂區(qū)間分別為 及 ,其和函數(shù)分別為 與 ,),(11RR),(22RR)(1xS)(2xS, )(01nnnxSxa即 ),(11RRx),(20 xSxbnnn),(22RRx 那么在其公共的收斂區(qū)間 內(nèi),兩個冪級數(shù)可作),(RR,min21RRR 加法,減法及乘法運算 : 即第二節(jié) 冪級數(shù)二、冪級數(shù)的運算性質(zhì)第八章 無窮級數(shù)0nnnxa0nnnxb)()()(210 xSxSxbannnn),(RRx

10、0)(nnnxa)(0nnnxb0nnnxc,0110bababacnnnn),(RRx其中 可以看出,兩個冪級數(shù)的加,減,乘運算與兩個多項式的相應(yīng)運算完全一樣 性質(zhì)性質(zhì)2 假設(shè)冪級數(shù)假設(shè)冪級數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上收斂，那么它的和函上收斂，那么它的和函數(shù)數(shù)在區(qū)間在區(qū)間 上延續(xù)上延續(xù).0nnnxaII)(xS第二節(jié) 冪級數(shù)二、冪級數(shù)的運算性質(zhì)第八章 無窮級數(shù) 性質(zhì)性質(zhì)3 設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為 ，那么其和函數(shù)，那么其和函數(shù) 0nnnxaR)(xS在 內(nèi)可導(dǎo)，且有),(RR,)()(0010nnnnnnnnnxnaxaxaxS而收斂半徑仍為 R 性質(zhì)性質(zhì)4 設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù) 的收

11、斂半徑為的收斂半徑為 ，那么其和函數(shù)，那么其和函數(shù)0nnnxaR)(xS在 內(nèi)可積且有 ),(RR 0100000),(,1)()()(nnnnxnnxnnnxRRxxnadxxadxxadxxS),(RRx第二節(jié) 冪級數(shù)二、冪級數(shù)的運算性質(zhì)第八章 無窮級數(shù)而收斂半徑仍為 R 性質(zhì)3、4闡明冪級數(shù)在其收斂區(qū)域上可以逐項可導(dǎo)和逐項可積 留意：逐項可導(dǎo)和逐項可積前后，兩冪級數(shù)具有一樣的收斂半徑 ，但在端點處的斂散性能夠發(fā)生變化 R第二節(jié) 冪級數(shù)二、冪級數(shù)的運算性質(zhì)第八章 無窮級數(shù) 練習練習6 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 與與 的和與差的和與差 0nnx010nnnx 解解 對于級數(shù)對于級數(shù) 021nnnxx

12、xx它是以 為公比的等比級數(shù)，那么得它的收斂半徑 ,且 x1R011nnxx) 1 , 1(x,對于級數(shù) ，同理可得它的收斂半徑 ，且 010nnnx101R11011010nnnxxx101,101x,第二節(jié) 冪級數(shù)二、冪級數(shù)的運算性質(zhì)第八章 無窮級數(shù)所以當 時，兩級數(shù)都絕對收斂，它們可以逐次相加減 ，從而101xxxxxxxxxnnnnnn1011011)101 ()1001 ()101 (1)10(021第二節(jié) 冪級數(shù)二、冪級數(shù)的運算性質(zhì)第八章 無窮級數(shù) 練習練習7 求級數(shù)求級數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù)11nnnx 解解 由于由于 ，它的收斂區(qū)間為，它的收斂區(qū)間為 ，于是設(shè)，于是設(shè)11limnnRn)1 , 1(,321)(1121nnnnxxxnxxS) 1 , 1(x兩端積分，得 xxxdxnxdxxsnnnxnx1)(11010上式兩邊再求導(dǎo)，得和函數(shù)為 ,)1 (1)(2xxs)1 , 1(x第二節(jié) 冪級數(shù)二、冪級數(shù)的運算性質(zhì)第八章 無窮級數(shù) 練習練習8 求求 的和函數(shù)的和函數(shù)012121) 1(nnnxn 解解 設(shè)