增分點二次求導在解題中的妙用

1、增分點二次求導在解題中的妙用導數(shù)既是高中數(shù)學的一個重要內(nèi)容，又是高考的一個必考內(nèi)容.近幾年高考中，出現(xiàn)了一種新的“導數(shù)”，它是對導函數(shù)進行二次求導而產(chǎn)生的新函數(shù)，尤其是近幾年作為高考的 壓軸題時常出現(xiàn).sin x、一.，、一，典例 右函數(shù) f(x)=, 0<xi<x2<7t .設 a=f(xi), b = f(X2),試比較 a, b 的大小.x思路點撥sin x此題可聯(lián)想到研究函數(shù)f(x)=在(0,兀)的單調(diào)性.函數(shù)圖象雖然可以直觀地反x映出兩個變量之間的變化規(guī)律，但大多數(shù)復合的函數(shù)作圖困難較大.導數(shù)的建立拓展了應用圖象解題的空間.導數(shù)這個強有力的工具對函數(shù)單調(diào)性的研究提供

2、了簡單、程序化的方法，具有很強的可操作性.當 f ' (x)>0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當f ' (x)<0時，函數(shù)f(x)單 調(diào)遞減.解題師說從本題解答來看，為了得到f(x)的單調(diào)性，須判斷 f' (x)的符號，而 f' (x) =xcos x sin x -2的分母為正，只需判斷分子xcos x-sin x的符號，但很難直接判斷，故可 x通過二次求導，判斷出一次導函數(shù)的符號，并最終解決問題.應用體驗1.已知函數(shù)f (x)滿足f (x) = f' (1)e xT f (0) x + gx2,求f (x)的解析式及單調(diào)區(qū)間.典例(理)已知函

3、數(shù) f (x) = ln( ax + 1) + x3-x2- ax._2、.(1)若x=3為y=f (x)的極值點，求實數(shù) a的值；(2)若y=f(x)在1 , +8)上為增函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍；(3)若a=1時，方程f (1 x) (1 x) 3=0有實根，求實數(shù) b的取值范圍.x解題師說本題從題目形式來看，是極其常規(guī)的一道導數(shù)考題，第(3)問要求參數(shù)b的范圍問題，實際上是求g(x)=x(ln x+x x2)極值問題，問題是 g' (x)=ln x+1 + 2x3x2= 0這個方 程求解不易，這時我們可以嘗試對h(x) = g' (x)再一次求導并解決問題.所以當導數(shù)值

4、等于0這個方程求解有困難，考慮用二次求導嘗試不失為一種妙法.(文)已知函數(shù)f( x) = ex-xln x, g(x) = extx 2+x, tCR,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的圖象在點(1 , f(1)處的切線方程；(2)若g(x) >f (x)對任意的xC(0, +8)恒成立，求t的取值范圍.解題師說本題從題目形式來看，是極其常規(guī)的一道導數(shù)考題，第 (2)問要求參數(shù)t的范圍問題， 口ex + xex+xln *-= 、-口”，1 x2ex、人、頭際上是求 F(x) =x2極值問題，問題是 F (x)=1e + e - ln x 這個方程求解不易，這時我們可以嘗試對

5、Gx) = F' (x)再一次求導并解決問題.所以當導數(shù)值等于0這個方程求解有困難，考慮用二次求導嘗試不失為一種妙法.應用體驗2 .設 kC R,函數(shù) f (x) =ex-(1 + x+kx2)( x>0).(1)若k=1,求函數(shù)f(x)的導函數(shù)f' (x)的極小值；(2)若對任意的t>0,存在s>0,使彳導當xC(0, s)時，都有f(x)<tx2,求實數(shù)k的取值 范圍. x典例 證明當x>0時，sin x>x.解題師說本題是應用導數(shù)證明不等式.證明的關鍵在于構造適當?shù)暮瘮?shù)， 然后在相應區(qū)間上用二次求導的方法判定導數(shù)的符號，得到導函數(shù)的單調(diào)

6、性，再利用單調(diào)性證明不等式.應用體驗3 . (2018 西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=mexln x1.4 當mi=。時，求曲線y=f(x)在點(1 , f(1)處的切線方程；(2)當 m> 1 時，證明：f(x)>1.升級增分訓練1 .(理)對任意實數(shù)x,證明不等式1+xln( x +小+ x2) n11 + x2.(文)已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln x ax,當xtC (1 ,+8)時，函數(shù)f(x)的圖象在點(x(o, f(x(o)處的切線方程為 y=1x e.e(1)求a的值；(2)求證：函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.2 .已知函數(shù)f (x) = ex-ax2-bx-

7、 1,其中a, be R, e= 2.718 28為自然對數(shù)的底數(shù).設g(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，求函數(shù) g(x)在區(qū)間0,1上的最小值.3 .已知函數(shù) F(x)=ex + sin x ax,當xR0時，函數(shù)y=F(x)的圖象恒在 y=F( x) 的圖象上方，求實數(shù) a的取值范圍.4 .已知函數(shù)f(x) = ex, g(x) =-, a為實常數(shù). x設F(x) =f (x) g(x),當a>0時，求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當a=e時，直線x= m x= n( n>0, n>0)與函數(shù)f (x) , g(x)的圖象共有四個不同 的交點，且以此四點為頂點的四邊形恰為平行

8、四邊形.求證：(nv 1)( n-1)<0.答 案sin x典例右函數(shù) f(x)=, 0<xi<x2<7t .設 a=f(xi), b = f(X2),試比較 a, b 的大小.x思路點撥sin x此題可聯(lián)想到研究函數(shù)f(x)=在(0,兀)的單調(diào)性.函數(shù)圖象雖然可以直觀地反x映出兩個變量之間的變化規(guī)律，但大多數(shù)復合的函數(shù)作圖困難較大.導數(shù)的建立拓展了應用圖象解題的空間.導數(shù)這個強有力的工具對函數(shù)單調(diào)性的研究提供了簡單、程序化的方法，具有很強的可操作性.當 f ' (x)>0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當f ' (x)<0時，函數(shù)f(x)單 調(diào)遞

9、減.方法演示,sin x ,xcos x sin x解：由 f (x) =x,得 f (x) =x，設 g(x)=xcos x sin x,貝U g' (x) = xsin x+cos xcos x=xsin x.0<x<Tt ,g' (x)<0 ,即函數(shù)g(x)在(0 ,兀)上是減函數(shù).- g( x)<g(0) =0,因此 f' (x)<0 ,故函數(shù)f(x)在(0 ,兀)是減函數(shù)，.當 0<xi<x2<7t,有 f(xi)>f(x2),即 a>b.解題師說從本題解答來看，為了得到f(x)的單調(diào)性，須判斷 f&

10、#39; (x)的符號，而 f' (x) =xcos x sin x 2的分母為正，只需判斷分子xcos x-sin x的符號，但很難直接判斷，故可 x通過二次求導，判斷出一次導函數(shù)的符號，并最終解決問題.應用體驗1.已知函數(shù)f (x)滿足f (x) = f' (1)e x 典例(理)已知函數(shù) f (x) = ln( ax + 1) + x3-x2- ax. - f (0) x + 2x2,求f (x)的解析式及單調(diào)區(qū)間.9所以2一齊+13所以f' (x)=ax+ 1+ 3x2-2x- a, 一 .一,一 一1 0解：因為 f(x)=f (1)e f(0)x+2X,所以

11、 f' (x) = f' (1)e x1_f(0) +x.令 x = 1,得 f (0) = 1.所以 f(x) = f' (1)e x1x + ；x* a 2、，(1)若x=3為y=f (x)的極值點，求實數(shù) a的值；(2)若y=f(x)在1 , +8)上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若a=1時，方程f(1 x)(1 刈3=。有實根，求實數(shù) b的取值范圍. x方法演示解：(1)f' (x) = -a+ 3x2-2x- a. ax+ 1由題意，知f' 2=0, 4+ -a=0,解得 a= 0.3 32當a = 0時，f (x) = x(3x 2),

12、從而x=,為y=f(x)的極值點.3(2)因為f (x)在1 , +8 )上為增函數(shù),所以 f(0) = f' (1)e t=1,解得 f ' (1) =e.所以 f (x) = ex-x+2x2.設 g(x)=f' (x)=ex1+x,則g' (x) = ex+1>0,所以y=g(x)在R上單調(diào)遞增.因為 f' (0) =0,所以 f' (x)>0 =f' (0) ? x>0, f ' (x)<0 = f ' (0) ? x<0.所以f(x)的解析式為f(x) =ex-x + 2x2,且單調(diào)

13、遞增區(qū)間為(0, +8),單調(diào)遞減區(qū)間為(巴0).I tLa利用二次求導求函數(shù)的極值或參數(shù)的范圍>0 在1,十00)上恒成立.x3 ax2+ 3 2a x a2+2 ax 1當a = 0時，f' (x)=x(3x2),此時f(x)在1 , +8)上為增函數(shù)恒成立，故 a = 0符合題意;當aw。時，由ax+1>0對x>1恒成立，知a>0.所以 3ax2+(3 -2a)x-(a2+2) >0 對 xC 1 , +00)恒成立.令 g(x) = 3ax2+(3 2a)x(a2+2),其對稱軸為 x=1 ,因為 a>0,所以1<1,32a32a 3所

14、以g(x)在1 , +8)上為增函數(shù)，所以只需 g>0即可，即a2+a+i>0,解得0<aw1+ .52.綜上，實數(shù)a的取值范圍為0, 1乎.由已知得，x>0,，b=x(ln x + xx2)=xln x+x2x3.令 g(x)=xln x+ x2x3,則 g' (x) = ln x+1+2x 3x2.16x2 2x-1令 h(x)=g (x),貝U h (x) =- + 2- 6x = -.xx當 0<x<1 +V時，h' (x)>0, 6函數(shù)h(x)=g' (X)在。，q7上遞增;當 x>1 6,時,h' (x

15、)<0,，函數(shù)h(x)=g' (x)在,+oo上遞減.6又 g' (1) = 0,.存在 x0C 01 +,使得 g' (xo)=0.6當 0Vx<x0時，g' (x)<0 ,，函數(shù) g(x)在(0 , xq)上遞減；當 x0<x<1 時，g' (x)>0,.函數(shù) g(x)在(xo,1)上遞增；當 x>1 時，g' (x)<0,，函數(shù) g(x)在(1 , +°° )上遞減.又當x一十8時，g(x) > OO又 g(x)=xln x+ x2x3=x(ln x + x-x2)&

16、lt;x In x + (,一 -1當 x-0 時，In x+4<0,則 g(x)<0 ,且 g(1) =0, .b的取值范圍為(一8, 0.解題師說本題從題目形式來看，是極其常規(guī)的一道導數(shù)考題，第(3)問要求參數(shù)b的范圍問題,實際上是求g(x)=x(ln x+x x2)極值問題，問題是 g' (x)=ln x+1 + 2x3x2= 0這個方 程求解不易，這時我們可以嘗試對h(x) = g' (x)再一次求導并解決問題.所以當導數(shù)值等于0這個方程求解有困難，考慮用二次求導嘗試不失為一種妙法.(文)已知函數(shù)f( x) = ex-xln x, g(x) = extx 2

17、+x, tCR,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的圖象在點(1 , f(1)處的切線方程；(2)若g(x) >f (x)對任意的xC(0, +8)恒成立，求t的取值范圍.方法演示解：(1)由 f (x) = ex xln x,知 f ' (x) =e In x 1,則 f ' (1) = e-1,而 f (1) =e,則所求切線方程為 y-e=(e - 1)( x- 1),即 y = (e 1)x+ 1.(2) .1 f (x) = ex xln x, g(x) = ex tx 2+ x, tCR,g(x) >f (x)對任意的xC(0,+8)恒成立等價

18、于 ex-tx2+x-ex + xln x>0對任意 的xC (0 ,)恒成立，ex + xex + xln x_，一，、即t &$對任息的x (0 ,)恒成立.x人ex+xex+xln x令 F(x)=x1xex+ex2exxln x 1 x2ex則 F'(x) =x3= 7e + e T-ln x，x,v 2e令 Gx) = e + eIn xx 2xexex1 ex x-1 2+ex-x<一則 G (x) = e-x2- x=x2>0 對任息的 x (0 , 十 00)恒成立.Gx) = ex+e-2e- ln x在(0 , 十國)上單調(diào)遞增，且

19、71;1)=。, x當 xC (0,1)時，Gx)<0,當 xC (1 , +oo )時，G(x) >0,即當 xC (0,1)時，F(xiàn)' (x)<0,當 xC (1 , +oo )時,F (x) >0, .F(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1, +8)上單調(diào)遞增， .F(x)>F(1) =1, . t < 1,即t的取值范圍是(8, 1.解題師說本題從題目形式來看，是極其常規(guī)的一道導數(shù)考題，第 (2)問要求參數(shù)t的范圍問題，實際上是求F(x)=ex + xex + xln x-2x一一、一一、一,1極值問題，問題是 F (x) =-22exe +

20、exIn x這個方程求解不易，這時我們可以嘗試對Gx) = F' (x)再一次求導并解決問題.所以當導數(shù)值等于0這個方程求解有困難，考慮用二次求導嘗試不失為一種妙法.應用體驗2.設 kC R,函數(shù) f(x) =ex-(1 +x+kx2)( x>0).(1)若k=1,求函數(shù)f(x)的導函數(shù)f' (x)的極小值；(2)若對任意的t >0,存在s>0,使彳導當xC(0, s)時，都有f(x)<tx2,求實數(shù)k的取值 范圍.解：(1)當 k = 1 時，函數(shù) f (x) = ex (1 + x + x2),則 f(x)的導數(shù) f' (x) =ex(1+2

21、x),令 g(x)=f' (x),則 g' (x)=ex2,當 0<x<ln 2 時，g' (x)<0;當 x>ln 2 時，g' (x)>0 ,從而f' (x)在(0, In 2)上遞減，在(In 2 , +°o)上遞增.故導數(shù)f ' (x)的極小值為f ' (ln 2) =1-2ln 2.(2)對任意的 t>0,記函數(shù) F(x)=f(x) -tx2=ex-1 +x+(k+t)x2, x>0,根據(jù)題意，存在s>0,使得當xC(0, s)時，F(xiàn)(x)<0.易得 F(x)的導數(shù)

22、 F' (x) = ex1 +2(k+t)x,令 h(x) = F' (x),則 h' (x) =ex2(k+t).若h' (x)>0,注意到h' (x)在(0, s)上遞增，故當 xC(0, s)時，h' (x)>h' (0) >0,于是 F'(x)在(0 ,s)上遞增，則當 xC(0,s)時，F(xiàn)' (x)>F' (0) =0,從而F(x)在(0,s)上遞增.故當xC(0, s)時，F(xiàn)(x)>R0) =0,與已知矛盾；若h' (x)<0,因為h' (x)在(0,

23、 s)上連續(xù)且遞增，故存在 s>0,使得當xC(0, s), h' (x)<0,從而 F' (x)在(0, s)上遞減，于是當 xC(0, s)時，F(xiàn)' (x)<F' (0) =0,因此 F(x)在(0, s)上遞減.故當xC(0, s)時，F(xiàn)(x)<R0) =0,滿足已知條件.綜上所述，對任意的t>0,都有h' (x)<0,1所以 1 2( k+1)<0 ,即 k>2 t >1 , 故實數(shù)k的取值范圍為 -1 , +°°利用二次求導證明不等式3 x典例證明當x>0時，sin

24、 x>x y.方法演示3 、一.x證明：令 f(x) = sin x-x+ ,62.x則 f (x) = cos x- 1 + ,所以 f " (x)= sin x+x.易知當x>0時，sin x<x,所以在(0 ,十8)上f"(x)>0,所以f' (x)在(0, +8)上單調(diào)遞增.又 f ' (0) = 0,所以在(0 , +8 )有(x)>f ' (0) =0,所以f(x)在(0, +8 )上單調(diào)遞增.3x , 故當 x>0 時,f(x)=sin x x + >f (0) =0.3一x所以 sin x&g

25、t;x (x>0).解題師說本題是應用導數(shù)證明不等式.證明的關鍵在于構造適當?shù)暮瘮?shù)，然后在相應區(qū)間上用二次求導的方法判定導數(shù)的符號，得到導函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性證明不等式.應用體驗3. (2018 西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x) =mex-ln x-1.(1)當mi= 0時，求曲線y=f(x)在點(1 , f(l)處的切線方程；(2)當 mi> 1 時，證明：f (x)>1.1斛：(1)當 m= 0 時，f (x) = - ln x 1,則 f (x)=- x所以 f(1) = 1, f ' (1) =- 1.所以曲線y = f (x)在點(1, f(1)處的切線

26、方程為y-( - 1) = - (x- 1),即x+y=0.(2)證明：當 m> 1 時，f(x) = mexIn x 1 >ex In x 1.要證 f(x)>1 ,只需證 exIn x 2>0.xx 1設 g(x) = e - In x-2,貝U g' (x) =e -.x設 h(x)=ex則 h' (x) = ex+-1>0. xx所以函數(shù)h(x) = g' (x)=exJ在(0 ,)上單調(diào)遞增.xi ,11因為 g 2 = e-2<0, g (1) =e-1>0,所以函數(shù)g' (x)=ex1在(0 , +8)上有

27、唯一零點xO,且xoC 1, 1 .x21.因為 g(x0)=0,所以 ex0= ,即 In x0= x°.x0當 xC(0, X0)時，g' (x)<0;當 xC(X0, +8)時，g'(x)>0, 所以當X=X0時，g( x)取得極小值也是最小值 g(xo).1 .故 g(x) >g(x。)= ex。一 ln x02= + x02>0. x0綜上可知，當 m> 1時，f(x)>l.升級增分訓練1.(理)對任意實數(shù)x,證明不等式1 +xln( x 十5+ x2) >1 + x2.證明：設 f (x) = 1 + xln( x

28、+ M1 + x2) 5 + x2, xx 2(x) = ln( x+5+x) +；2x+ 5 +xx1 + x21 +則 h' (x)=22x+5 +x設 h(x) = f ' (x),41 + x2+x業(yè) + x2 x+W + x21所以f' (x)在(一8, +oo )上是增函數(shù).由 f ' (x) = 0,即 ln( x+ 11 + x2) = 0,得 x= 0.所以當x<0時，f' (x)<0,則f (x)在(一00, 0)上為減函數(shù)；當x>0時，f' (x)>0,則f(x)在(0, +8 )上為增函數(shù).故f(x

29、)在x=0處有極小值，所以 f(x) >f (0) =0,即 1+xIn( x+ 寸1 + x2) >1 + x2.(文)已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-ax,當xoC (1 ,+8)時，函數(shù)f(x)的圖象在點(x。, f(x。)處的切線方程為 y=1x e.e(1)求a的值；(2)求證：函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.解：(1)由題意，得 f' (x)=ln x+ 1+1a, x所以函數(shù)f(x)的圖象在點(x°, f (x°)處的切線方程為 yf (x0) = f ' (x°)( x x0),即 y (X0+ 1)lnxo +

30、 axo = In xo+ + 1 - a (x-xo),Xo所以In xo+1a =, xoe即丫= In x°+ +1 ax+ln xo xo 1, xo13xo In xo+1=e.1 x 1令 g(x)=xln x+1,貝Ug (x) = 1 -=x x當 x e(1 , +oo)時，g，(x)故當 x e(1 , +oo)時，g(x)單調(diào)遞增.又因為g(e) =e,所以xo=e,將 xo= e代入 In xo+1 a=-，得 a=2. xoe1(2)證明：由 a=2,得 f (x)=ln x + -一1(x刈). x1令 h(x) = In x+ , x，1則 h(x) =

31、 x1 x-1當 xCB/)時，h' (x)v0；當 xC (1 ,+8)時，h' (x),故當xee/)時，h(x)單調(diào)遞減；當xC(1, +8)時，h(x)單調(diào)遞增，故h(x)>h(1) =1.因此當 xCB, +8)時，f ' (x)=h(x) 1:,當且僅當 x=1 時，f' (x) = 0.所以f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.2 .已知函數(shù)f (x) = ex-ax2-bx- 1,其中a, be R, e= 2.718 28為自然對數(shù)的底 數(shù).設g(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，求函數(shù) g(x)在區(qū)間0,1上的最小值.解：由 f (x) = ex ax

32、2bx1,得 g(x) = f ' (x) = ex2axb.所以 g' (x) = ex 2a.因 此，當 xCW/時，g' (x) 1 -2a, e 2a.1一當a2時，g (x)>0,所以g(x)在0,1上單倜遞增，因此 g(x)在0,1上的最小值 是 g(0) = 1 b；e .當a時，g (x)<0,所以g(x)在0,1上單倜遞減，因此 g(x)在0,1上的最小值 是 g(1) = e 2a b；.1 e一，當2<a<2時，令 g (x)=0/4 x = ln 2 a (0,1).當 g' (x)<0 時，0Wx<l

33、n 2a；當 g' (x)>0 時，ln 2a<x< 1,所以函數(shù) g(x)在區(qū)間0 ,g(x)在0,1上的最小值是g(ln 2a)In 2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln 2a,1上單調(diào)遞增，于是= 2a 2aln 2 ab.,11 e ,.綜上所述，當aw2時，g(x)在0,1上的最小值是g(0) =1b;當2<a<2時，g(x)在0,1e , 上的取小值是 g(ln 2 a) =2a-2aln 2 a- b；當a>2時，g(x)在0,1上的取小值是 g(1)=e一 2a b.3 .已知函數(shù) F(x)=ex + sin x-ax,當x>0時，函數(shù)y=F(x)的圖象恒在 y=F( x)的圖象上方，求實數(shù) a的取值范圍.解：設()(x) = F(x) F( x) = ex e x + 2sin x 2ax.貝U 6 ' (x)=ex+e x+2cos x-2a.設 S(x) = 6 " (x) = e e 2sin x.,S' (x) = ex+e x2cos x> 0 在 x-0 時恒成立, 函數(shù)S(x)在0, +8)上單