數(shù)學(xué)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)邏輯代數(shù)數(shù)學(xué)邏輯代數(shù)(dish)基礎(chǔ)基礎(chǔ)第一頁(yè)，共75頁(yè)。主要(zhyo)要求： 理解(lji)邏輯值 1 和 0 的含義。理解邏輯體制(tzh)的含義。第1頁(yè)/共75頁(yè)第二頁(yè)，共75頁(yè)。 用于描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，又稱布爾代數(shù) (Boole Algebra)或開(kāi)關(guān)代數(shù)。邏輯指事物因果關(guān)系的規(guī)律。 邏輯代數(shù)描述客觀事物間的邏輯關(guān)系，相應(yīng)的函數(shù)稱邏輯函數(shù)，變量稱邏輯變量。邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值都只有兩個(gè)，通常用 1和 0 表示。 與普通代數(shù)比較用字母表示變量，用代數(shù)式描述客觀事物間的關(guān)系。 相似處 相異處運(yùn)算規(guī)律有很多不同。 一、邏輯(lu j)代數(shù)第2頁(yè)/共75頁(yè)第三頁(yè)，共75

2、頁(yè)。邏輯代數(shù)中的 1 和 0 不表示(biosh)數(shù)量大小，僅表示(biosh)兩種相反的狀態(tài)。 注意(zh y)例如(lr)：開(kāi)關(guān)閉合為 1 晶體管導(dǎo)通為 1 電位高為 1 斷開(kāi)為 0 截止為 0 低為 0二、邏輯體制 正邏輯體制 負(fù)邏輯體制 規(guī)定高電平為邏輯 1、低電平為邏輯 0 規(guī)定低電平為邏輯 1、高電平為邏輯 0 通常未加說(shuō)明，則為正邏輯體制第3頁(yè)/共75頁(yè)第四頁(yè)，共75頁(yè)。主要(zhyo)要求： 掌握邏輯代數(shù)的常用(chn yn)運(yùn)算。理解并初步掌握邏輯函數(shù)的建立和表示(biosh)的方法。 掌握真值表、邏輯式和邏輯圖的特點(diǎn)及其相互轉(zhuǎn)換的方法。 第4頁(yè)/共75頁(yè)第五頁(yè)，共75頁(yè)?；?/p>

3、本邏輯函數(shù) 與邏輯 或邏輯 非邏輯與運(yùn)算(邏輯乘) 或運(yùn)算(邏輯加) 非運(yùn)算(邏輯非) 1. 與邏輯(lu j) 決定某一事件的所有條件都具備(jbi)時(shí)，該事件才發(fā)生滅斷斷亮合合滅斷合滅合斷燈 Y開(kāi)關(guān) B開(kāi)關(guān) A開(kāi)關(guān) A、B 都閉合時(shí)，燈 Y 才亮。 規(guī)定:開(kāi)關(guān)閉合為邏輯 1斷開(kāi)為邏輯 0 燈亮為邏輯 1燈滅為邏輯 0 真值表11 1YA B00 000 101 0邏輯表達(dá)式 Y = A B 或 Y = AB 與門(mén) (AND gate)若有 0 出 0；若全 1 出 1 第5頁(yè)/共75頁(yè)第六頁(yè)，共75頁(yè)。 開(kāi)關(guān)(kigun) A 或 B 閉合或兩者都閉合時(shí)，燈 Y 才亮。2. 或邏輯(lu

4、j) 決定某一事件的諸條件中，只要有一個(gè)(y )或一個(gè)(y )以上具備時(shí)，該事件就發(fā)生。滅斷斷亮合合亮斷合亮合斷燈 Y開(kāi)關(guān) B開(kāi)關(guān) A若有 1 出 1若全 0 出 0 00 011 1YA B10 111 0邏輯表達(dá)式 Y = A + B 或門(mén) (OR gate) 1 3. 非邏輯決定某一事件的條件滿足時(shí)，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生。 開(kāi)關(guān)閉合時(shí)燈滅， 開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)燈亮。 AY0110Y = A 1 非門(mén)(NOT gate) 又稱“反相器” 第6頁(yè)/共75頁(yè)第七頁(yè)，共75頁(yè)。由基本(jbn)邏輯運(yùn)算組合而成 與非邏輯先與后非若有 0 出 1若全 1 出 010 001 1YA B10 111 00

5、1 1或非邏輯先或后非若有 1 出 0若全 0 出 110 0YA B00 101 0與或非邏輯先與后或再非第7頁(yè)/共75頁(yè)第八頁(yè)，共75頁(yè)。異或邏輯若相異(xin y)出 1若相同出 0同或邏輯若相同(xin tn)出 1若相異出 000 001 1YA B10 111 010 011 1YA B00 101 0注意：異或和同或互為反函數(shù)，即第8頁(yè)/共75頁(yè)第九頁(yè)，共75頁(yè)。例 試對(duì)應(yīng)輸入(shr)信號(hào)波形分別畫(huà)出下圖各電路的輸出波形。解：Y1有0出0 全1出1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1Y2Y3 相同出 0 相異出 1AB第9頁(yè)/共75頁(yè)第十頁(yè)，共75頁(yè)

6、。國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)曾用標(biāo)準(zhǔn)美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)第10頁(yè)/共75頁(yè)第十一頁(yè)，共75頁(yè)。邏輯函數(shù)描述(mio sh)了某種邏輯關(guān)系。常采用真值表、邏輯函數(shù)式、卡諾圖和邏輯圖等表示。1. 真值表 列出輸入變量的各種取值組合及其對(duì)應(yīng)輸出邏輯函數(shù)(hnsh)值的表格稱真值表。列真值表方法 (1)按 n 位二進(jìn)制數(shù)遞增的方式列 出輸入變量的各種取值組合。(2) 分別求出各種組合對(duì)應(yīng)的輸出 邏輯值填入表格。第11頁(yè)/共75頁(yè)第十二頁(yè)，共75頁(yè)。例如：當(dāng)A=B=1、或則B=C=1時(shí)，函數(shù)(hnsh)Y=1；否則Y=0。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010011第1

7、2頁(yè)/共75頁(yè)第十三頁(yè)，共75頁(yè)。00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA輸出變量 輸 入 變 量 4 個(gè)輸入(shr)變量有 24 = 16 種取值組合。的真值表。的真值表。例如求函數(shù)例如求函數(shù) CDABY 第13頁(yè)/共75頁(yè)第十四頁(yè)，共75頁(yè)。2. 邏輯(lu j)函數(shù)式 表示輸出函數(shù)和輸入變量邏輯(lu j)關(guān)系的 表達(dá)式。又稱邏輯(lu j)表達(dá)式，簡(jiǎn)稱邏輯(lu j)式。 邏輯函數(shù)(hnsh)式一般根據(jù)真值表、卡諾圖或邏輯圖寫(xiě)出。 (1)找出函數(shù)值為 1

8、的項(xiàng)。(2)將這些項(xiàng)中輸入變量取值為 1 的用原變量代替， 取值為 0 的用反變量代替，則得到一系列與項(xiàng)。(3)將這些與項(xiàng)相加即得邏輯式。真值表邏輯式例如 ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111 邏輯式為 第14頁(yè)/共75頁(yè)第十五頁(yè)，共75頁(yè)。真值表邏輯(lu j)表達(dá)式A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100100111CBAY CBAY ABCCABCBACBAYCABY ABCY 練習(xí)(linx)第15頁(yè)/共75頁(yè)第十六頁(yè)，共75頁(yè)。3. 邏輯圖 運(yùn)算次序?yàn)橄确呛笈c再或，因此用

9、三級(jí)電路(dinl)實(shí)現(xiàn)之。由邏輯符號(hào)(fho)及相應(yīng)連線構(gòu)成的電路圖。 根據(jù)邏輯式畫(huà)邏輯圖的方法:將各級(jí)邏輯運(yùn)算用 相應(yīng)邏輯門(mén)去實(shí)現(xiàn)。 例如 畫(huà) 的邏輯圖 反變量用非門(mén)實(shí)現(xiàn) 與項(xiàng)用與門(mén)實(shí)現(xiàn) 相加項(xiàng)用或門(mén)實(shí)現(xiàn) 第16頁(yè)/共75頁(yè)第十七頁(yè)，共75頁(yè)。例 圖示為控制樓道照明的開(kāi)關(guān)電路。兩個(gè)單刀雙擲開(kāi)關(guān) A 和 B 分別安裝在樓上和樓下。上樓之前，在樓下開(kāi)燈，上樓后關(guān)燈；反之，下樓之前，在樓上開(kāi)燈，下樓后關(guān)燈。試畫(huà)出控制功能與之相同(xin tn)的邏輯電路。 (1) 分析邏輯問(wèn)題(wnt)，建立邏輯函數(shù)的真值表11YA B000 01 10 11 0(2) 根據(jù)(gnj)真值表寫(xiě)出邏輯式解：方法：

10、找出輸入變量和輸出函數(shù)，對(duì)它們的取值作出邏輯規(guī)定，然后根據(jù)邏輯關(guān)系列出真值表。 設(shè)開(kāi)關(guān) A、B合向左側(cè)時(shí)為 0 狀態(tài)，合向右側(cè)時(shí)為 1 狀態(tài)；Y 表示燈，燈亮?xí)r為 1 狀態(tài)，燈滅時(shí)為 0 狀態(tài)。則可列出真值表為第17頁(yè)/共75頁(yè)第十八頁(yè)，共75頁(yè)。(3) 畫(huà)邏輯圖 與或表達(dá)式(可用 2 個(gè)非門(mén)(fi mn)、 2 個(gè)與門(mén)和 1 個(gè)或門(mén)實(shí)現(xiàn))異或非表達(dá)式(可用 1 個(gè)異或門(mén)和 1 個(gè)非門(mén)(fi mn)實(shí)現(xiàn)) BAABY BA = B設(shè)計(jì)邏輯電路的基本原則是使電路最簡(jiǎn)。第18頁(yè)/共75頁(yè)第十九頁(yè)，共75頁(yè)。主要(zhyo)要求： 掌握邏輯代數(shù)的基本(jbn)公式和基本(jbn)定律。 了解邏輯代數(shù)

11、的重要規(guī)則。第19頁(yè)/共75頁(yè)第二十頁(yè)，共75頁(yè)。邏輯常量運(yùn)算公式 邏輯變量與常量的運(yùn)算公式 0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 1 律重迭律 互補(bǔ)律 還原律 0 + A = A1 + A = 1 1 A = A0 A = 0A + A = A A A = A 第20頁(yè)/共75頁(yè)第二十一頁(yè)，共75頁(yè)。 (一) 與普通代數(shù)相似的定律 交換律 A + B = B + A A B = B A結(jié)合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分配律 A (B +

12、C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 普通代數(shù)(dish)沒(méi)有！ 利用真值表 邏輯等式的證明方法 利用基本公式和基本定律第21頁(yè)/共75頁(yè)第二十二頁(yè)，共75頁(yè)。111111111100 例 證明(zhngmng)等式 A + BC = (A + B) (A + C)解：真值表法公式(gngsh)法右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展開(kāi)(zhn ki) = AA+ AC+ BA+ BC= A + AC + AB + BC= A (1 + C + B) + BC= A 1 +BC= A + BC0000A B C A + BC(A + B) (

13、A + C)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1第22頁(yè)/共75頁(yè)第二十三頁(yè)，共75頁(yè)。 (二) 邏輯(lu j)代數(shù)的特殊定理 吸收(xshu)律 A + AB = A A + AB = A (1 + B) = A 第23頁(yè)/共75頁(yè)第二十四頁(yè)，共75頁(yè)。001 1111 0110 1110 0A+BA BA B001 1001 0000 1110 0A BA+BA B (二) 邏輯代數(shù)的特殊定理 吸收律 A + AB = A 推廣公式： 思考(sko)：(1) 若已知 A + B = A + C，則 B = C 嗎？ (2) 若已知 AB = A

14、C，則 B = C 嗎？ 推廣公式：摩根定律(dngl) (又稱反演(fn yn)律) 第24頁(yè)/共75頁(yè)第二十五頁(yè)，共75頁(yè)。 (一) 代入規(guī)則(guz) A A A A均用 代替A均用 代替B均用C代替利用代入規(guī)則能擴(kuò)展(kuzhn)基本定律的應(yīng)用。 將邏輯等式兩邊的某一變量均用同一個(gè)邏輯函數(shù)替代，等式仍然成立。第25頁(yè)/共75頁(yè)第二十六頁(yè)，共75頁(yè)。變換時(shí)注意：(1) 不能改變?cè)瓉?lái)的運(yùn)算順序(shnx)。(2) 反變量換成原變量只對(duì)單個(gè)變量有效，而長(zhǎng)非號(hào)保持不變。 可見(jiàn)(kjin)，求邏輯函數(shù)的反函數(shù)有兩種方法：利用反演規(guī)則或摩根定律。 原運(yùn)算(yn sun)次序?yàn)?(二) 反演規(guī)則 對(duì)

15、任一個(gè)邏輯函數(shù)式 Y，將“”換成“+”，“+”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原邏輯函數(shù)的反函數(shù)。Y第26頁(yè)/共75頁(yè)第二十七頁(yè)，共75頁(yè)。 (三) 對(duì)偶(du u)規(guī)則 對(duì)任一個(gè)邏輯函數(shù)(hnsh)式 Y，將“”換成“+”，“+”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，則得到原邏輯函數(shù)(hnsh)式的對(duì)偶式 Y 。 對(duì)偶(du u)規(guī)則：兩個(gè)函數(shù)式相等，則它們的對(duì)偶(du u)式也相等。 應(yīng)用對(duì)偶規(guī)則可將基本公式和定律擴(kuò)展。 變換時(shí)注意：(1) 變量不改變 (2) 不能改變?cè)瓉?lái)的運(yùn)算順序A + AB = A A (A + B) =

16、 A 第27頁(yè)/共75頁(yè)第二十八頁(yè)，共75頁(yè)。主要(zhyo)要求： 了解邏輯(lu j)函數(shù)式的常見(jiàn)形式及其相互轉(zhuǎn)換。 了解邏輯(lu j)函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法。理解最簡(jiǎn)與 - 或式和最簡(jiǎn)與非式的標(biāo)準(zhǔn)。 第28頁(yè)/共75頁(yè)第二十九頁(yè)，共75頁(yè)。 邏輯式有多種形式，采用何種形式視需要而定。各種( zhn)形式間可以相互變換。 例如(lr) CBBAY )(CBBA CBBA CBBA BCBA 與或表達(dá)式 或與表達(dá)式 與非 - 與非表達(dá)式 或非 - 或非表達(dá)式 與或非表達(dá)式 轉(zhuǎn)換方法舉例 與或式 與非式 用還原律 用摩根定律 CBBAY CBBA CBBA 或與式 或非式 與或非式 用還原律 用摩

17、根定律 用摩根定律 )(CBBAY )(CBBA CBBA BCBA 第29頁(yè)/共75頁(yè)第三十頁(yè)，共75頁(yè)?；?jiǎn)意義(yy)使邏輯式最簡(jiǎn)，以便設(shè)計(jì)出最簡(jiǎn)的邏輯電路，從而(cng r)節(jié)省元器件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本和提高系統(tǒng)可靠性。 不同形式邏輯式有不同的最簡(jiǎn)式，一般先求取最簡(jiǎn)與 - 或式，然后通過(guò)變換得到所需最簡(jiǎn)式。 第30頁(yè)/共75頁(yè)第三十一頁(yè)，共75頁(yè)。最簡(jiǎn)與 - 或式標(biāo)準(zhǔn)(biozhn) (1)乘積(chngj)項(xiàng)(即與項(xiàng))的個(gè)數(shù)最少(2)每個(gè)乘積(chngj)項(xiàng)中的變量數(shù)最少 用與門(mén)個(gè)數(shù)最少與門(mén)的輸入(shr)端數(shù)最少 最簡(jiǎn)與非式標(biāo)準(zhǔn)(1)非號(hào)個(gè)數(shù)最少(2)每個(gè)非號(hào)中的變量數(shù)最少

18、用與非門(mén)個(gè)數(shù)最少與非門(mén)的輸入端數(shù)最少 第31頁(yè)/共75頁(yè)第三十二頁(yè)，共75頁(yè)。運(yùn)用邏輯代數(shù)(dish)的基本定律和公式對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn)。 并項(xiàng)法 運(yùn)用 ，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。 ABAAB CBACBAY BA )()(CBCBACBBCAY )(CBACBA A 第32頁(yè)/共75頁(yè)第三十三頁(yè)，共75頁(yè)。)(FEABABY AB 吸收(xshu)法 運(yùn)用A+AB =A 和 ，消去多余的與項(xiàng)。 CAABBCCAAB BDDCDAABCY BDCADABC )(BDDACACB DACACB DCDAABC 第33頁(yè)/共75頁(yè)第三十四頁(yè)，共75頁(yè)。消去法 運(yùn)用吸收律 ，消去多余因子。B

19、ABAA CBCAABY CBAAB)( CABAB CAB CDBAABCDBABAY )(BAABCDBABA BACDBA CDBA CDBABA 第34頁(yè)/共75頁(yè)第三十五頁(yè)，共75頁(yè)。配項(xiàng)法 通過(guò)乘 或加入零項(xiàng) 進(jìn)行配項(xiàng)，然后再化簡(jiǎn)。1 AA0 AADCBADCABCBAB CBAB ABABCCAB ABABCCABAB )(ABABCABCAB CBAABC 第35頁(yè)/共75頁(yè)第三十六頁(yè)，共75頁(yè)。綜合(zngh)靈活運(yùn)用上述方法 例 化簡(jiǎn)邏輯式EFBADCCAABDAADY 解： EFBADCCAABAY DCCAA 應(yīng)用BABAA DCCA DCA 例 化簡(jiǎn)邏輯式CBDBDA

20、ACY 解： 應(yīng)用BABAA DABCBAC DCBAC 應(yīng)用 AB CBACCBAC第36頁(yè)/共75頁(yè)第三十七頁(yè)，共75頁(yè)。例 化簡(jiǎn)邏輯式CAABCBAY 解： YCAABCBA CABA 應(yīng)用BABAA CBA CBAY CBA 用摩根定律(dngl)第37頁(yè)/共75頁(yè)第三十八頁(yè)，共75頁(yè)。主要(zhyo)要求： 掌握最小項(xiàng)的概念與編號(hào)方法，了解其主要(zhyo)性質(zhì)。掌握用卡諾圖表示和化簡(jiǎn)邏輯(lu j)函數(shù)的方法。 理解卡諾圖的意義和構(gòu)成原則。 掌握無(wú)關(guān)項(xiàng)的含義及其在卡諾圖化簡(jiǎn)法中的應(yīng)用。 第38頁(yè)/共75頁(yè)第三十九頁(yè)，共75頁(yè)。代數(shù)(dish)化簡(jiǎn)法 優(yōu)點(diǎn)：對(duì)變量個(gè)數(shù)沒(méi)有限制。缺點(diǎn)：

21、需技巧，不易(b y)判斷是否最簡(jiǎn)式。 卡諾圖化簡(jiǎn)法 優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單、直觀，有一定的步驟(bzhu)和方法 易判斷結(jié)果是否最簡(jiǎn)。 缺點(diǎn)：適合變量個(gè)數(shù)較少的情況。 一般用于四變量以下函數(shù)的化簡(jiǎn)。 第39頁(yè)/共75頁(yè)第四十頁(yè)，共75頁(yè)?？ㄖZ圖是最小項(xiàng)按一定規(guī)則(guz)排列成的方格圖。 n 個(gè)變量有 2n 種組合(zh)，可對(duì)應(yīng)寫(xiě)出 2n 個(gè)乘積項(xiàng)，這些乘積項(xiàng)均具有下列特點(diǎn)：包含全部變量，且每個(gè)變量在該乘積項(xiàng)中 (以原變量或反變量)只出現(xiàn)一次。這樣的乘積項(xiàng)稱為這 n 個(gè)變量的最小項(xiàng)，也稱為 n 變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。1. 最小項(xiàng)的定義(dngy)和編號(hào) (一)最小項(xiàng)的概念與性質(zhì)第40頁(yè)/共75頁(yè)第四十

22、一頁(yè)，共75頁(yè)。如何(rh)編號(hào)？如何根據(jù)輸入變量(binling)組合寫(xiě)出相應(yīng)最小項(xiàng)？例如(lr) 3 變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)有 23 = 8 個(gè) 將輸入變量取值為 1 的代以原變量，取值為 0 的代以反變量，則得相應(yīng)最小項(xiàng)。 簡(jiǎn)記符號(hào)例如 CBA1015m5m44100CBAABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小項(xiàng)A B CCBACBACBABCACBACBACABm7m6m5m4m3m2m1m0輸入組合對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)76543210第41頁(yè)/共75頁(yè)第四十二頁(yè)，共75頁(yè)。2. 最小項(xiàng)的基本(jbn)性質(zhì) (1) 對(duì)任意一最小項(xiàng)，只有一組變

23、量取值使它的值為 1， 而其余各種變量取值均使其值為 0。三變量最小項(xiàng)表1100000001 1 11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1 01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C 120niimFCBACBACBABCACBACBACAB(2) 不同(b tn)的最小項(xiàng)，使其值為 1 的那組變量取值也不同(b tn)。(3) 對(duì)于變量的任一組取值，任意(rny)兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為 0。(4) 對(duì)于變量的任一組取值，全體最小項(xiàng)的和為

24、 1。 第42頁(yè)/共75頁(yè)第四十三頁(yè)，共75頁(yè)。 例如ABC+ABC=AB3. 相鄰(xin ln)最小項(xiàng) 兩個(gè)最小項(xiàng)中只有(zhyu)一個(gè)變量互為反變量，其余變量均相同，稱為相鄰最小項(xiàng)，簡(jiǎn)稱相鄰項(xiàng)。 例如 三變量最小項(xiàng) ABC 和 ABC 相鄰(xin ln)最小項(xiàng)重要特點(diǎn)： 兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)相加可合并為一項(xiàng)， 消去互反變量，化簡(jiǎn)為相同變量相與。 (二) 最小項(xiàng)的卡諾圖表示 將 n 變量的 2n 個(gè)最小項(xiàng)用 2n 個(gè)小方格表示，并且使相鄰最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰且循環(huán)相鄰，這樣排列得到的方格圖稱為 n 變量最小項(xiàng)卡諾圖，簡(jiǎn)稱為變量卡諾圖。第43頁(yè)/共75頁(yè)第四十四頁(yè)，共75頁(yè)。變量(binli

25、ng)取 0 的代以反變量(binling) 取 1 的代以原變量(binling)AB二變量卡諾圖010 10 00 11 01 10 00 1AB010 1m0m1m2m3 0 1 2 3ABAAB BABABABAB四變量卡諾圖 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10三變量卡諾圖ABC0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3000 m0 m5001 m1 6 7 5 4 2 3 1 0ABCD0001111000 01 11 10 以循環(huán)碼排列以保證(bozhng)相鄰性第44頁(yè)/共75頁(yè)第四十五頁(yè)，共75頁(yè)。變量(binling)取 0

26、 的代以反變量(binling) 取 1 的代以原變量(binling)ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCDCDDCDCDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA相鄰項(xiàng)在幾何位置上也相鄰卡諾圖特點(diǎn)：循環(huán)(xnhun)相鄰性同一列最上與最下方格相鄰?fù)恍凶钭笈c最右方格相鄰第45頁(yè)/共75頁(yè)第四十六頁(yè)，共75頁(yè)。如何寫(xiě)出卡諾圖方格(fn )對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)？ 已知最小項(xiàng)如何找相應(yīng)(xingyng)小方格？

27、 例如(lr) 原變量取 1，反變量取 0。DCBA1001 ？ABCD0001111000 01 11 10 ABCD DCBA第46頁(yè)/共75頁(yè)第四十七頁(yè)，共75頁(yè)。 為了用卡諾圖表示邏輯函數(shù)(hnsh)，通常需要先求得真值表或者標(biāo)準(zhǔn)與 - 或式或者與 - 或表達(dá)式。因此，下面先介紹標(biāo)準(zhǔn)與 - 或式。任何形式的邏輯式都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)與-或式，而且(r qi)邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與 - 或式是唯一的。 (一) 邏輯函數(shù)(hnsh)的標(biāo)準(zhǔn)與 - 或式 每一個(gè)與項(xiàng)都是最小項(xiàng)的與 - 或邏輯式稱為標(biāo)準(zhǔn)與 - 或式，又稱最小項(xiàng)表達(dá)式。 第47頁(yè)/共75頁(yè)第四十八頁(yè)，共75頁(yè)。如何將邏輯(lu j)式轉(zhuǎn)化為

28、 標(biāo)準(zhǔn)與-或式呢 ？ 例 將邏輯式 化為標(biāo)準(zhǔn)與或式。DCABCBAY (3) 利用(lyng)A+A=A，合并掉相同的最小項(xiàng)。0000m00001m11100m121101m131111m15= m0 + m1 + m12 + m13 + m15=m (0,1,12,13,15)ABCDDCABDCABDCBADCBAY 解：(1) 利用摩根定律和分配律把邏輯(lu j)函數(shù)式展開(kāi)為與或式。ABCBAY DC )(DCABCBA ABDCABCBA (2) 利用配項(xiàng)法化為標(biāo)準(zhǔn)與或式。DCABABCDDCABDCABDCBADCBA 第48頁(yè)/共75頁(yè)第四十九頁(yè)，共75頁(yè)。(二) 用卡諾圖表示邏

29、輯函數(shù) (1) 求邏輯函數(shù)真值表或者標(biāo)準(zhǔn)與 - 或式或者與 - 或式。 (2) 畫(huà)出變量卡諾圖。 (3) 根據(jù)真值表或標(biāo)準(zhǔn)與 - 或式或與 - 或式填圖。 基本步驟用卡諾圖表示(biosh)邏輯函數(shù)舉例 已知標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)與或式畫(huà)函數(shù)卡諾圖 例 試畫(huà)出函數(shù)(hnsh) Y = m (0,1,12,13,15) 的卡諾圖解： (1) 畫(huà)出四變量卡諾圖(2) 填圖 邏輯式中的最小項(xiàng) m0、m1、m12、m13、m15對(duì)應(yīng)的方格填 1，其余不填。ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 第49

30、頁(yè)/共75頁(yè)第五十頁(yè)，共75頁(yè)。已知真值表畫(huà)函數(shù)卡諾圖例 已知邏輯(lu j)函數(shù) Y 的 真值表如下，試畫(huà) 出 Y 的卡諾圖。解：(1) 畫(huà) 3 變量(binling)卡諾圖。A B CY0 0 010 0 100 1 010 1 101 0 011 0 101 1 011 1 10ABC0100 0111 10 6 7 5 4 2 3 1 0m0m2m4m6 1 1 1 1(2)找出真值表中 Y = 1 對(duì)應(yīng)(duyng)的最小項(xiàng)，在 卡諾圖相應(yīng)方格中 填 1，其余不填。第50頁(yè)/共75頁(yè)第五十一頁(yè)，共75頁(yè)。已知一般表達(dá)式畫(huà)函數(shù)卡諾圖解：(1) 將邏輯(lu j)式轉(zhuǎn)化為與或式(2) 作

31、變量(binling)卡諾圖找出各與項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)方格(fn )填 1，其余不填。 例 已知 ，試畫(huà)出 Y 的卡諾圖。)(BDCABDAY ABDAY )(BDC CBDABCD0001111000 01 11 10(3) 根據(jù)與或式填圖 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿足 A = 1， B = 1 的方格。 ABDABCD 對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿足 B = 1，C = 0，D = 1的方格AD 對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿足 A = 0，D = 1的方格。第51頁(yè)/共75頁(yè)第五十二頁(yè)，共75頁(yè)?；?簡(jiǎn) 規(guī) 律(gul)2 個(gè)相鄰最小項(xiàng)有 1 個(gè)變量相異，相加可以消去這 1

32、 個(gè)變量，化簡(jiǎn)結(jié)果為相同變量的與；4 個(gè)相鄰最小項(xiàng)有 2 個(gè)變量相異，相加可以消去這 2 個(gè)變量，化簡(jiǎn)結(jié)果為相同變量的與；8 個(gè)相鄰最小項(xiàng)有 3 個(gè)變量相異，相加可以消去這 3 個(gè)變量，化簡(jiǎn)結(jié)果為相同變量的與；2n 個(gè)相鄰最小項(xiàng)有 n 個(gè)變量相異，相加可以消去這 n 個(gè)變量，化簡(jiǎn)結(jié)果為相同變量的與。消異存同 第52頁(yè)/共75頁(yè)第五十三頁(yè)，共75頁(yè)。ABCD0001111000 01 11 10 1 1例如 2 個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去 1 個(gè)變量，化簡(jiǎn)結(jié)果為相同(xin tn)變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10 1 1例如 2 個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去 1 個(gè)變

33、量，化簡(jiǎn)結(jié)果為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10例如 1 1 1 1 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD=AD 4 個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去 2 個(gè)變量(binling)，化簡(jiǎn)結(jié)果為相同變量(binling)相與。8 個(gè)相鄰項(xiàng)合并(hbng)消去 3 個(gè)變量A 1 1 1 1 1 1 1 1第53頁(yè)/共75頁(yè)第五十四頁(yè)，共75頁(yè)。畫(huà)包圍圈規(guī)則(guz) 包圍圈必須包含(bohn) 2n 個(gè)相鄰 1 方格，且必須成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重復(fù)圈，但須每圈有新 1；每個(gè)“1”格須圈到，孤立項(xiàng)也不能掉。同一(tngy

34、)列最上邊和最下邊循環(huán)相鄰，可畫(huà)圈； 同一(tngy)行最左邊和最右邊循環(huán)相鄰，可畫(huà)圈；四個(gè)角上的 1 方格也循環(huán)相鄰，可畫(huà)圈。 注意 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD 卡諾 圖化 簡(jiǎn)法 步驟 畫(huà)函數(shù)卡諾圖 將各圈分別化簡(jiǎn) 對(duì)填 1 的相鄰最小項(xiàng)方格畫(huà)包圍圈 將各圈化簡(jiǎn)結(jié)果邏輯加 第54頁(yè)/共75頁(yè)第五十五頁(yè)，共75頁(yè)。m15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：(1)畫(huà)變量(binling)卡諾圖例 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯(lu j)函數(shù) Y ( A , B , C , D ) = m (0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000 01 11 10(2)填卡諾圖

35、1 1 1 1 1 1 1 1(3)畫(huà)包圍圈abcd(4)將各圖分別(fnbi)化簡(jiǎn)圈 2 個(gè)可消去 1 個(gè)變量，化簡(jiǎn)為 3 個(gè)相同變量相與。Yb = BCD圈 4 個(gè)可消去 2 個(gè)變量，化簡(jiǎn)為 2 個(gè)相同變量相與。孤立項(xiàng) Ya=ABCDYc = AB循環(huán)相鄰 Yd = AD(5)將各圖化簡(jiǎn)結(jié)果邏輯加，得最簡(jiǎn)與或式DABABCDDCBAY 第55頁(yè)/共75頁(yè)第五十六頁(yè)，共75頁(yè)。解：(1)畫(huà)變量(binling)卡諾圖例 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯(lu j)函數(shù) Y(A,B,C,D)=m (0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000 01 11 10(2)填卡諾圖 1 1

36、 1 1 1 1 1 1(4)求最簡(jiǎn)與或式 Y= 1BDA消 1 個(gè)剩 3 個(gè)(3)畫(huà)圈(hu qun)BCD 消 2 個(gè)剩 2 個(gè)DA 4 個(gè)角上的最小項(xiàng)循環(huán)相鄰DB 第56頁(yè)/共75頁(yè)第五十七頁(yè)，共75頁(yè)。找 AB =11, C = 1 的公共區(qū)域找 A = 1, CD = 01 的公共區(qū)域找 B = 1, D = 1 的公共區(qū)域解：(1)畫(huà)變量(binling)卡諾圖ABCD0001111000 01 11 10(2)填圖 1 1(4)化簡(jiǎn)(3)畫(huà)圈(hu qun)例 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)BDABCDCADCBACDBAY 0011m30100m4 1 1 1 1 1 1 1 1要畫(huà)嗎？

37、CBADCA ABC CDA Y =第57頁(yè)/共75頁(yè)第五十八頁(yè)，共75頁(yè)。例 已知某邏輯(lu j)函數(shù)的卡諾圖如下所示，試寫(xiě)出其最 簡(jiǎn)與或式。ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1解： 0 方格很少且為相鄰項(xiàng)，故用圈 0 法先求 Y 的最簡(jiǎn)與或式。ABCY ABCYY CBA 1111111111第58頁(yè)/共75頁(yè)第五十九頁(yè)，共75頁(yè)。例 已知函數(shù)真值表如下，試用卡諾(k nu)圖法求其最簡(jiǎn)與或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 111 0 011 0 101 1 011 1 11注意(zh y

38、)：該卡諾圖還有其他畫(huà)圈法可見(jiàn)，最簡(jiǎn)結(jié)果(ji gu)未必唯一。解：(1)畫(huà)函數(shù)卡諾圖ABC0100 0111 10 1 1 1 1 1 1(3)化簡(jiǎn)(2)畫(huà)圈Y =CBCA AB BCCABAY 1 1 1 1 1 1ABC0100 0111 10 第59頁(yè)/共75頁(yè)第六十頁(yè)，共75頁(yè)。 約束項(xiàng)和隨意項(xiàng)都不會(huì)在邏輯函數(shù)(hnsh)中出現(xiàn)，所對(duì)應(yīng)函數(shù)(hnsh)值視為 1 或 0 都可以，故稱無(wú)關(guān)項(xiàng)。 不允許出現(xiàn)的無(wú)關(guān)項(xiàng)又稱約束項(xiàng)；客觀上不會(huì)(b hu)出現(xiàn)的無(wú)關(guān)項(xiàng)又稱隨意項(xiàng)。 合理利用無(wú)關(guān)項(xiàng)可使邏輯式更簡(jiǎn)單 1. 無(wú)關(guān)項(xiàng)的概念與表示 無(wú)關(guān)項(xiàng)是特殊的最小項(xiàng)，這種最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的變量取值組合或者不

39、允許出現(xiàn)或者根本不會(huì)出現(xiàn)。 無(wú)關(guān)項(xiàng)在卡諾圖和真值表中用“”“”來(lái)標(biāo)記，在邏輯式中則用字母 d 和相應(yīng)的編號(hào)表示。 例如 8421 碼中，1010 1111這 6 種代碼是不允許出現(xiàn)的。 例如 A、B 為連動(dòng)互鎖開(kāi)關(guān)，設(shè)開(kāi)為 1 , 關(guān)為 0 , 則 AB 只能取值 01 或 10 , 不會(huì)出現(xiàn) 00 或 11。 2. 利用無(wú)關(guān)項(xiàng)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 無(wú)關(guān)項(xiàng)的取值對(duì)邏輯函數(shù)值沒(méi)有影響?；?jiǎn)時(shí)應(yīng)視需要將無(wú)關(guān)項(xiàng)方格看作 1 或 0 ，使包圍圈最少而且最大，從而使結(jié)果最簡(jiǎn)。第60頁(yè)/共75頁(yè)第六十一頁(yè)，共75頁(yè)。將 d10 看成(kn chn) 0,其余看成(kn chn) 1 將看成 0 ABCD00011

40、11000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 顯然左圖化簡(jiǎn)結(jié)果最簡(jiǎn) 解：(1)畫(huà)變量(binling)卡諾圖例 用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)(hnsh) Y=m (0,1,4,6,9,13)+ d (2,3,5,7,10,11,15)ABCD0001111000 01 11 10(2)填圖 1 1 1 1 1(4)寫(xiě)出最簡(jiǎn)與 - 或式最小項(xiàng)(3)畫(huà)包圍圈無(wú)關(guān)項(xiàng) 1 AY D 0 第61頁(yè)/共75頁(yè)第六十二頁(yè)，共75頁(yè)。例 已知函數(shù)(hnsh) Y 的真值 表如下，求其最簡(jiǎn) 與 - 或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 11 0 001 0 111 1 001 1 10解：(

41、1)畫(huà)變量(binling)卡諾圖ABC0100 0111 10 1 1 1(4)寫(xiě)出最簡(jiǎn)與 - 或式(2)填圖(3)畫(huà)包圍圈 BAY CB 要畫(huà)圈嗎？第62頁(yè)/共75頁(yè)第六十三頁(yè)，共75頁(yè)。解：(1)畫(huà)變量(binling)卡諾圖ABCD0001111000 01 11 10(2)填圖(4)求最簡(jiǎn)與 - 或式(3)畫(huà)包圍圈 1 1 1 1 求最簡(jiǎn)與非式基本(jbn)方法是：先求最簡(jiǎn)與或式，再利用還原律和摩根定律變換為最簡(jiǎn)與非式。例 求函數(shù) 的最簡(jiǎn)與非式BDADBACBAY 0 ACAB 1 1 BDY DB A (5)求最簡(jiǎn)與非式BDDBAY ADB BD 分析(fnx)題意稱約束條件，表明

42、與項(xiàng) AB 和 AC 對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)不允許出現(xiàn)，因此 AB 和 AC 對(duì)應(yīng)的方格為無(wú)關(guān)項(xiàng)。第63頁(yè)/共75頁(yè)第六十四頁(yè)，共75頁(yè)。分析數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具是邏輯代數(shù)，它的定律(dngl)有的和普通代數(shù)類似，如交換律、結(jié)合律和第一種形式的分配律；但很多與普通代數(shù)不同，如吸收律和摩根定律(dngl)。須注意：邏輯代數(shù)中無(wú)減法和除法。 第64頁(yè)/共75頁(yè)第六十五頁(yè)，共75頁(yè)。邏輯函數(shù)和邏輯變量的取值都只有兩個(gè)，即 0 或 1。須注意：邏輯代數(shù)中的 0 和 1 并不表示數(shù)量(shling)大小，僅用來(lái)表示兩種截然不同的狀態(tài)。 正邏輯(lu j)體制規(guī)定高電平為邏輯(lu j) 1、低電平為邏輯(lu j)

43、 0；負(fù)邏輯(lu j)體制則規(guī)定低電平為邏輯(lu j) 1、高電平為邏輯(lu j) 0。未加說(shuō)明則默認(rèn)為正邏輯(lu j)體制。 第65頁(yè)/共75頁(yè)第六十六頁(yè)，共75頁(yè)?；具壿嬤\(yùn)算(yn sun)有與運(yùn)算(yn sun)(邏輯乘)、或運(yùn)算(yn sun)(邏輯加) 和非運(yùn)算(yn sun)(邏輯非)3 種。常用復(fù)合邏輯運(yùn)算(yn sun)有與非運(yùn)算(yn sun)、或非運(yùn)算(yn sun)、與或非運(yùn)算(yn sun)、異或運(yùn)算(yn sun)和同或運(yùn)算(yn sun)。 與運(yùn)算或運(yùn)算非運(yùn)算 Y=AB 或 Y=AB若有 0 出 0若全 1 出 1 Y=AB 若有 1 出 1若全 0 出 0 第66頁(yè)/共75頁(yè)第六十七頁(yè)，共75頁(yè)。與非運(yùn)算或非運(yùn)算與或非運(yùn)算有 0 出 1;全 1 出 0有 1 出 0;全 0 出 1相異出 1相同出 0相同出 1相異出 0異