映射與函數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1映射與函數(shù)映射與函數(shù)聯(lián)系地點(diǎn)聯(lián)系地點(diǎn) 長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)院長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)院電子郵件電子郵件 第1頁(yè)/共49頁(yè) 初等數(shù)學(xué)初等數(shù)學(xué)研究對(duì)象：研究對(duì)象：常量常量初等方法：初等方法：有限的方法有限的方法初等數(shù)學(xué)是用初等數(shù)學(xué)是用有限的方法有限的方法研究常量的數(shù)學(xué)研究常量的數(shù)學(xué) 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 研究對(duì)象：研究對(duì)象：變量（函數(shù)）變量（函數(shù)） 研究方法：研究方法：極限的方法極限的方法 高等數(shù)學(xué)是用高等數(shù)學(xué)是用極限的方法極限的方法研究變量的數(shù)學(xué)研究變量的數(shù)學(xué)緒緒第2頁(yè)/共49頁(yè)一元微一元微分學(xué)分學(xué)一元積一元積分學(xué)分學(xué)多元微多元微分學(xué)分學(xué)空間解空間解析幾何析幾何多元積多元積分學(xué)分學(xué)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)常微分常微

2、分方程方程第3頁(yè)/共49頁(yè)第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限第一節(jié)第一節(jié) 映射與函數(shù)映射與函數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限第四節(jié)第四節(jié) 無(wú)窮小與無(wú)窮無(wú)窮小與無(wú)窮大大第五節(jié)第五節(jié) 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限第4頁(yè)/共49頁(yè)第七節(jié)第七節(jié) 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較第八節(jié)第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第九節(jié)第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性第十節(jié)第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第5頁(yè)/共49頁(yè)第一節(jié)第一節(jié) 映射與函數(shù)映射與函數(shù)

3、一、一、 集合集合二、二、 映射映射三、三、 函數(shù)函數(shù)第6頁(yè)/共49頁(yè) 一、集合一、集合集合與元素之間的關(guān)系集合與元素之間的關(guān)系aM：若：若x是集合的元素；是集合的元素；1.1.集合概念集合概念(1)集合：集合：具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，具有某種特定性質(zhì)的事物的總體， 集合的元素通常用集合的元素通常用A，B，S，T 等表示等表示.元素元素: 組成這個(gè)集合的事物組成這個(gè)集合的事物 集合的元素通常用集合的元素通常用a，b，x，y等表示等表示.集合分為有限集和無(wú)限集集合分為有限集和無(wú)限集. .a M: 若若x不是集合的元素不是集合的元素. (2)集合的表示法集合的表示法列舉法列舉法:將集合的元素

4、一一列舉出來(lái)將集合的元素一一列舉出來(lái),描述法描述法: :如如: :第7頁(yè)/共49頁(yè)N=全體自然數(shù)全體自然數(shù)，Z=全體整數(shù)全體整數(shù)，Q=全體有理數(shù)全體有理數(shù)，R=全體實(shí)數(shù)全體實(shí)數(shù).(3)(3)常用的集合記號(hào)常用的集合記號(hào) 如果如果 ，必有，必有 , 則稱則稱A是是B的子集，記為的子集，記為 不含任何元素的集合，則稱為空集記為不含任何元素的集合，則稱為空集記為. 是任何集合的子集是任何集合的子集. (4) (4) 集合的關(guān)系集合的關(guān)系集合集合:集合集合A內(nèi)排除內(nèi)排除0的集的集.集合集合:集合集合B內(nèi)排除內(nèi)排除0與負(fù)數(shù)的集與負(fù)數(shù)的集. 若若 ，且，且 ,則稱則稱A是是B的真子集的真子集,記為記為 .

5、 . 若若 ，且，且 ,則稱則稱A與與B相等相等,記為記為 . .BA AB BA 第8頁(yè)/共49頁(yè)2. 2. 集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算設(shè)設(shè)A、B是二個(gè)集合，定義是二個(gè)集合，定義BxAxxBA 或或(A與與B的的并集并集)BxAxxBA 且且(A與與B的的交集交集)(A與與B的的差集差集) 設(shè)設(shè)I表示我們研究某個(gè)問(wèn)題的全體表示我們研究某個(gè)問(wèn)題的全體, 則其他集合則其他集合A都是都是I的子集的子集,稱稱I為全集或基本集為全集或基本集.CAAI A的的余集余集或或補(bǔ)集補(bǔ)集記為記為:例如例如: 在實(shí)數(shù)集在實(shí)數(shù)集R中中10 xxACA則有則有01x xx或第9頁(yè)/共49頁(yè)設(shè)設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合，則有

6、下列法則成立：為任意三個(gè)集合，則有下列法則成立：（1 1）交換律交換律,ABBA ABBA（2 2）結(jié)合律結(jié)合律()()ABCABC()()ABCABC()()()ABCACBC（3）分配律分配律()() ()A BCA CB C()CCCABAB（4 4）對(duì)偶律對(duì)偶律()CCCABAB以上這些法則都可以根據(jù)集合相等的定義驗(yàn)證以上這些法則都可以根據(jù)集合相等的定義驗(yàn)證. .集合的運(yùn)算法則集合的運(yùn)算法則第10頁(yè)/共49頁(yè)3. 3. 區(qū)間和鄰域區(qū)間和鄰域Oab設(shè)設(shè)a,bR,且且ab,|),(bxaxba 開區(qū)間開區(qū)間|,bxaxba 閉區(qū)間閉區(qū)間半開區(qū)間半開區(qū)間|,(bxaxba |),bxaxba

7、 稱稱a,b為區(qū)間的端點(diǎn)，稱為區(qū)間的端點(diǎn)，稱ba為這些區(qū)間的長(zhǎng)度為這些區(qū)間的長(zhǎng)度.以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間. .),(baOab( , a bOab , )a bOab第11頁(yè)/共49頁(yè)無(wú)限區(qū)間無(wú)限區(qū)間|),(axxa |),(Rxx |),(bxxb |,(bxxb 用數(shù)軸可以表示區(qū)間用數(shù)軸可以表示區(qū)間, 區(qū)間常用區(qū)間常用I表示表示.Oa,a引進(jìn)記號(hào)：引進(jìn)記號(hào)： + + （讀作（讀作正無(wú)窮大正無(wú)窮大）( (讀作讀作負(fù)無(wú)窮大負(fù)無(wú)窮大）（讀作（讀作無(wú)窮大無(wú)窮大）b),(bO第12頁(yè)/共49頁(yè) (2) 點(diǎn)a的去心鄰域：| 0 |),( axxaU。注 若不強(qiáng)調(diào)的大小，點(diǎn)

8、a的去心鄰域記為U(a)鄰域鄰域點(diǎn)a的左鄰域:開區(qū)間(a-,a)點(diǎn)a的右鄰域:開區(qū)間(a,a+)(1) 設(shè)是任一正數(shù)，稱開區(qū)間(a-,a+)為點(diǎn)a的鄰域，記為U(a,)，即點(diǎn)a稱為該鄰域的中心，稱為該鄰域的半徑.x a a a第13頁(yè)/共49頁(yè)二、映射二、映射1 1、映射的概念、映射的概念 定義定義 設(shè)X、Y是二個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f , 使得對(duì)X中每個(gè)元素x, 按法則f , 在Y中有唯一確定的元素 y與之對(duì)應(yīng), 則稱f 為從X到Y(jié)的映射,記為為 ,:YXf其中y稱為元素x(在映射 f 下)的像,記作f(x), 即y=f(x) ,元素x稱為元素y(在映射f 下)的一個(gè)原像;集合X稱為映

9、射f 的定義域, 記作D f , 即D f =X; .)()(XxxfXfRf X中所有元素的像所組成的集合稱為映射 f 的值域, 記作 Rf 或 f(X), 即第14頁(yè)/共49頁(yè)注意注意: :(1) 一個(gè)映射必須具備以下三個(gè)要素一個(gè)映射必須具備以下三個(gè)要素:集合X, 即定義域D f =X集合Y, 即值域的范圍:;YRf 對(duì)應(yīng)法則f, 使對(duì)每個(gè),Xx 有唯一確定的y=f(x)與之對(duì)應(yīng).(2) 對(duì)每個(gè) ,元素x的像y是唯一的;Xx 對(duì)每個(gè) ,元素y的原像不一定是唯一的;fRy 映射f 的值域 是Y的一個(gè)子集,即 ,不一定 .YRf fRYRf 第15頁(yè)/共49頁(yè)例1 設(shè) , 對(duì)每個(gè) , . RR

10、f:Rx 2)(xxf 顯然, f是一個(gè)映射, f 的定義域 ,值域 RDf ,0 yyRf它是R的一個(gè)真子集.對(duì)于Rf 中的元素y, 除y=0外,它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2兩個(gè).例2 設(shè) ,1),(22 yxyxX ,1)0 ,( xxY對(duì)每個(gè) ,有唯一確定的 Xyx ),(Yx )0 ,(與之對(duì)應(yīng).顯然, f 是一個(gè)映射, f 的定義域 ,值域XDf .YRf Oxy-11這個(gè)映射表示將平面上一個(gè)圓心在原點(diǎn)的單位圓周上的點(diǎn)投影到x軸的區(qū)間-1,1上.第16頁(yè)/共49頁(yè)例3 設(shè),1 , 12,2 : f對(duì)每個(gè) ,2,2 x.sin)(xxf 這里f 是一個(gè)映射,其

11、定義域 , ,值域值域2,2 fD.1 , 1 fR f 稱為X到Y(jié)上的滿射：若Rf=Y.即即Y中任一元素中任一元素y f為X到Y(jié)上的單射: 若對(duì)X中任意兩個(gè)不同元素滿射 單射 一一映射都是X中某元素的像.f為一一映射(或或雙射雙射): 若映射若映射f 既是單射又是滿射既是單射又是滿射.如:例1 既非單射, 又非滿射;例2 不是單射,是滿射;例3 既是單射,又是滿射,因此是一一映射.,21xx 它們的像).()(21xfxf 第17頁(yè)/共49頁(yè)映射又稱為算子. 根據(jù)集合X、Y的不同情形,在不同的數(shù)學(xué)分支中,映射又有不同的慣用名稱.如: 從非空集合X到數(shù)集Y的映射又稱為X上的泛函.從非空集合X到

12、它自身的映射又稱為X上的變換. 從實(shí)數(shù)集(或其子集)X到實(shí)數(shù)集Y的映射稱為定義在X上的函數(shù).第18頁(yè)/共49頁(yè)2. 2. 逆映射與復(fù)合映射逆映射與復(fù)合映射設(shè) f 是X到Y(jié)上的單射,定義一個(gè)從Rf到X的新映射g即對(duì)每個(gè),fRy 規(guī)定g(y)=x,這x滿足f(x)=y.這個(gè)映射g稱為f 的逆映射,記作 其定義域,1 f,1ffRD 值域.1XRf 注意:只有單射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:,1 , 1,arcsin)(1 xxxf11 1,1,.2 2ffDR 第19頁(yè)/共49頁(yè)設(shè)有兩個(gè)映射,:,:21ZYfYXg其中則可以確定一個(gè)從X 到Z 的映射, 稱為復(fù)合映射記作, gf

13、 即即,:ZXgf注意:(1)映射g 和f 構(gòu)成復(fù)合映射的條件:.fgDR (2) fggf兩者也不同時(shí)有意義.第20頁(yè)/共49頁(yè)例4 設(shè)有映射,1 , 1: Rg對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè),sin)(,xxgRx ,1 , 0 1 , 1 : f對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè).1)(,1 , 12uufu ,1 , 0:Rgf .cossin12xx 第21頁(yè)/共49頁(yè)三、函數(shù)三、函數(shù)1.函數(shù)概念因變量因變量自變量自變量)(xfy 對(duì)每個(gè) ,按對(duì)應(yīng)法則 f ,總有唯一確定的值y與之對(duì)應(yīng), 這個(gè)值稱為函數(shù)f 在x處的函數(shù)值,記作f (x),即y=Dx 函數(shù)值f (x)的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f 的值域,.),()(Dxxf

14、yyDfRf RD RDf:定義 設(shè)數(shù) 集 , 則稱映射 為定義D上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為fDDDf f (x). D稱為定義域稱為定義域, 記作記作 , 即即 fR記作 或 f (D) , 即第22頁(yè)/共49頁(yè)函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射,其值域總在R內(nèi).函數(shù)的函數(shù)的兩要素兩要素: :定義域 與對(duì)應(yīng)法則f .fD 如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,對(duì)應(yīng)法則也相同,那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的,否則就是不同的. 約定: 定義域是自變量所能取的使算式有(實(shí)際)意義的一切實(shí)數(shù)值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D)1 , 1(: D 如如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)

15、叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)222ayx 例如例如:第23頁(yè)/共49頁(yè) 對(duì)于多值函數(shù), 往往只要附加一些條件,就可以將它化為單值函數(shù),這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支.例如例如,在由方程在由方程222ayx 給出的對(duì)應(yīng)法則中給出的對(duì)應(yīng)法則中,附加附加“ ”的條件的條件,0 y就可得到一個(gè)單值分支就可得到一個(gè)單值分支.221xayy 表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法（公式法）.定義:點(diǎn)集),(),(DxxfyyxP 稱為函數(shù)Dxxfy ),(的圖形.xy),(yxxyfR )(xfy 第24頁(yè)/共49頁(yè)常見的幾種函數(shù)常見的幾種函數(shù)例5 函數(shù)y=2它的定義域它的定義域),

16、( D值域值域,2 fR它的圖形是一條平它的圖形是一條平行行于于x軸的直線軸的直線.Oxyy=2例6 函數(shù)定義域定義域 D=(=(,+),+),值域值域 =0, +).=0, +).fR這個(gè)函數(shù)稱為絕對(duì)值函數(shù).Oxyxy 第25頁(yè)/共49頁(yè)1-1xyoxxx sgn 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)例7 函數(shù)稱為符號(hào)函數(shù),定義域 D=(,+),值域 =1,0,1.fR注:對(duì)任意的x,有第26頁(yè)/共49頁(yè) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)例8 取整函數(shù) y=x如如-3.4=-4,-3.4=-4,1=

17、1=1,1,. 075 定義域 D=(,+),值域 =Z.fR第27頁(yè)/共49頁(yè)例例9 函數(shù)函數(shù) 1,110 ,2)(xxxxxfy是一個(gè)分段函數(shù).它的定義域它的定義域 D=0,+).如如:;221221,1 , 021 f. 431) 3(), 1 (3 fxy2 yxO1第28頁(yè)/共49頁(yè)2. 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性(1) 函數(shù)的函數(shù)的有界性有界性:oyxM-My=f(x)X有界有界M-MyxoX0 x無(wú)界無(wú)界則稱函數(shù)則稱函數(shù), 0,XxMDX 若若Mxf )(有有 成立，成立，f (x)在在X上有界上有界.否則稱為無(wú)界否則稱為無(wú)界.(2)有界與否是和X有關(guān)的.(1)當(dāng)一個(gè)函數(shù)有界時(shí)

18、，它的界是不唯一的.注意注意: :Xx 1Mxf )(1使使(3)證明無(wú)界的方法: 對(duì)于任意正數(shù) M ,總存在第29頁(yè)/共49頁(yè)(2) 函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性:)(xfy )(2xfxyoI設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈, 區(qū)間,DI 1212()(),( ()()f xf xf xf x如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1和x2,當(dāng)x1x2時(shí),恒有則稱函數(shù)f (x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的(單調(diào)減少的);)(xfy )(2xfxyoI第30頁(yè)/共49頁(yè)(3) 函數(shù)的函數(shù)的奇偶性奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)yx)( xf )(xfy ox-x)(xf,Dx 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)于有f (

19、-x)= f (x)恒成立,則稱f (x)為偶函數(shù);偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.函數(shù) y=cosx是偶函數(shù).第31頁(yè)/共49頁(yè)奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)于,Dx 有f (-x)= -f (x)恒成立,則稱f (x)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.函數(shù) y=sinx是偶函數(shù).函數(shù) y=sinx+cosx既非奇函數(shù),又非偶函數(shù).第32頁(yè)/共49頁(yè)(4) 函數(shù)的函數(shù)的周期性周期性:2l 2l23l 23l函數(shù)sinx, cosx的周期是.2 函數(shù)tanx的周期是. （通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.則稱f (x)為周

20、期函數(shù), l 稱為f (x)的周期.有對(duì)于任一一Dx ,)(Dlx 且恒成立,設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)正數(shù)l ,使得第33頁(yè)/共49頁(yè)有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo cQxQxxDy, 0, 1)(例10 狄利克雷函數(shù) 它是一個(gè)周期函數(shù),任何有理數(shù)都是它的周期,但它沒有最小正周期.第34頁(yè)/共49頁(yè)3. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)的定義: :設(shè)函數(shù))(:DfDf是單射,則它存在如:函數(shù)Rxxy ,3是單射,其反函數(shù)為.,31Rxxy 若函數(shù)f (x)在D上是單調(diào)函數(shù),則f-1也是也是f (D)上的單上的單調(diào)函數(shù)調(diào)函數(shù).0 x0yxyD)(yx 反函數(shù)反函

21、數(shù)ofRfR0 x0yxyDo)(xfy 函數(shù)函數(shù),)(:1DDff 稱此映射為函數(shù)f 的反函數(shù).逆映射第35頁(yè)/共49頁(yè))(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函數(shù)數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱.相對(duì)于反函數(shù)原來(lái)的函數(shù)y=f (x)稱為直接函數(shù).第36頁(yè)/共49頁(yè)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)定義:設(shè)函數(shù) y=f(u)的的定義域?yàn)镈1,函數(shù)u=g(x)在D上有定義,且,)(1DDg 則由下式確定的函數(shù) Dxxgfy , )(稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)y=f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),它的定義域?yàn)镈,變量u稱為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為.

22、 gf 函數(shù)g與函數(shù)f 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件是:函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f 的定義域fD內(nèi),即.)(fDDg 第37頁(yè)/共49頁(yè) 注:1. 不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;)2arcsin(2xy 2. 復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.,cotvu .2xv ,arcsinuy ;22xu 如如:)1 , 12,(2yDxuRx 如如:第38頁(yè)/共49頁(yè)4. 4. 函數(shù)的運(yùn)算函數(shù)的運(yùn)算設(shè)函數(shù)f (x), g (x)的定義域依次為,2121 DDDDD則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算：和(差) :gf ;),()()(Dxxgxfxgf 積積:gf ;),()()(D

23、xxgxfxgf 商商 .0)(,)()()( xgxDxxgxfxgf第39頁(yè)/共49頁(yè) 例11 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?-l ,l ),證明必存在(-l ,l )上的偶函數(shù)g (x)和奇函數(shù)h (x), 使得)()()(xhxgxf 證 先分析如下:假若這樣的g (x)、 h (x)存在,使得)()()(xhxgxf (1)且且).()(),()(xhxhxgxg 于是有于是有).()()()()(xhxgxhxgxf (2)利用(1)、(2)式,就可作出g (x), h (x).作作11( )( )( ) ,( )( )( ) .22g xf xfxh xf xfx則則),()()(xfxhxg ),()()(21)(xgxfxfxg ),()()(21)(xhxfxfxh 證畢證畢.第40頁(yè)/共49頁(yè)5. 初等函數(shù)(1)冪函數(shù)冪函數(shù)Rxy ( 是常數(shù)是常數(shù))基本初等函數(shù)(2) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)xey (5)反三角函數(shù)反三角函數(shù) y=arc