根軌跡繪制的基本法則ppt課件

1、例例4-2-2)2)(1()5()()( ssssKsHsGr要求畫出根軌跡。要求畫出根軌跡。 某單位反響系統(tǒng)某單位反響系統(tǒng)分析：分析：1個開環(huán)零點，個開環(huán)零點，3個開環(huán)極點，個開環(huán)極點，, 51 z, 01 p, 12 p23 p0 j-5-2-103 繪制根軌跡圖的根本規(guī)那么繪制根軌跡圖的根本規(guī)那么規(guī)那么一、規(guī)那么一、根軌跡的分支數(shù)：根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)極點數(shù)根軌跡的分支數(shù)：根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)極點數(shù)n。根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。既然根軌跡是描畫閉環(huán)系統(tǒng)特根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。既然根軌跡是描畫閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根即閉環(huán)極點在征方程的根即閉環(huán)極點在s平面上的分布，那么，根軌跡

2、的平面上的分布，那么，根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。)()(1sHsG 閉閉環(huán)環(huán)特特征征方方程程0)2)(1()5(1 ssssKr0)5()2)(1( sKsssr閉環(huán)系統(tǒng)的階次為閉環(huán)系統(tǒng)的階次為3 ，有，有3條根軌跡條根軌跡 。 閉環(huán)極點數(shù)閉環(huán)極點數(shù) = 閉環(huán)特征方程的階次閉環(huán)特征方程的階次 = 開環(huán)傳送函數(shù)的階次開環(huán)傳送函數(shù)的階次= 開環(huán)極點數(shù)開環(huán)極點數(shù)例例階階3)2)(1()5()()( ssssKsHsGr規(guī)那么二、規(guī)那么二、 根軌跡的起點和終點：每條根軌跡都起始根軌跡的起點和終點：每條根軌跡都起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點或無窮遠點。于

3、開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點或無窮遠點。 根軌跡是根軌跡是Kr從從0時的根變化軌跡，因此必需時的根變化軌跡，因此必需 起始于起始于Kr=0處，終止于處，終止于Kr=處。處。察看幅值條件：察看幅值條件：mnrzszszspspspsK 2121njpsKjr.,2 , 1 , 0 必必有有mizsKir,.,2 , 1 , 必必有有)2)(1()5()()( ssssKsHsGr分三種情況討論：分三種情況討論：假設(shè)假設(shè)n = m，即開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)一樣時，根軌跡的起點與終，即開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)一樣時，根軌跡的起點與終點均有確定的值。點均有確定的值。假設(shè)假設(shè)n m, m條根軌跡趨向開環(huán)的條根軌跡趨向

4、開環(huán)的m 個零點稱為有限零點個零點稱為有限零點,而另而另n-m條根軌跡趨向無窮遠處稱為有限零點。條根軌跡趨向無窮遠處稱為有限零點。 對于例題，對于例題，3條根軌跡始于條根軌跡始于3個開環(huán)極點，一條止個開環(huán)極點，一條止于開環(huán)零點，另兩條于開環(huán)零點，另兩條n-m=2趨于無窮遠處。趨于無窮遠處。假設(shè)假設(shè)n m, 即開環(huán)零點數(shù)大于開環(huán)極點數(shù)時，除有即開環(huán)零點數(shù)大于開環(huán)極點數(shù)時，除有n條根軌跡起條根軌跡起始于開環(huán)極點始于開環(huán)極點(稱為有限極點稱為有限極點)外，還有外，還有m-n條根軌跡起始于無窮條根軌跡起始于無窮遠點遠點(稱為無限極點稱為無限極點)。這種情況在實踐的物理系統(tǒng)中雖不會出現(xiàn)，。這種情況在實踐

5、的物理系統(tǒng)中雖不會出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡中，有能夠出如今等效開環(huán)傳送函數(shù)中。但在參數(shù)根軌跡中，有能夠出如今等效開環(huán)傳送函數(shù)中。 *規(guī)那么三、規(guī)那么三、 根軌跡的對稱性：根軌跡各分支是延續(xù)的，根軌跡的對稱性：根軌跡各分支是延續(xù)的，且對稱于實軸。且對稱于實軸。證明：證明：1延續(xù)性延續(xù)性 系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益 Kr (實變量與復(fù)變量實變量與復(fù)變量s有一一有一一對應(yīng)的關(guān)系，當(dāng)對應(yīng)的關(guān)系，當(dāng)Kr由零到無窮大延續(xù)變化時，描畫系由零到無窮大延續(xù)變化時，描畫系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量s在平面上的變化也是延續(xù)的，在平面上的變化也是延續(xù)的，因此，根軌跡是因此，根軌跡是n條延續(xù)的曲線。

6、條延續(xù)的曲線。證明：證明：2對稱性對稱性 由于實踐的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù)，假設(shè)它的特由于實踐的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù)，假設(shè)它的特征方程有復(fù)數(shù)根，一定是對稱于實軸的共軛復(fù)根，因征方程有復(fù)數(shù)根，一定是對稱于實軸的共軛復(fù)根，因此此,根軌跡總是對稱于實軸的。根軌跡總是對稱于實軸的。規(guī)那么四、規(guī)那么四、 實軸上的根軌跡：在實軸的線段上存在根實軸上的根軌跡：在實軸的線段上存在根軌跡的條件是：其右邊開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)目之和軌跡的條件是：其右邊開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)目之和為奇數(shù)。為奇數(shù)。例如系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布如圖。例如系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布如圖。 j01251 2 4p5p0s要判別要判別 和和 之間的

7、線段能否存之間的線段能否存在根軌跡，取實驗點在根軌跡，取實驗點3p1z0sq 開環(huán)共軛極點和零點提供的相角開環(huán)共軛極點和零點提供的相角相互抵消，相互抵消，G(s0)的相角由實軸上的的相角由實軸上的開環(huán)零極點決議。開環(huán)零極點決議。q 處在處在G(s0)左邊的開環(huán)零極點提供的角度均左邊的開環(huán)零極點提供的角度均為零，為零， 相角條件由其右邊的零極點決議。相角條件由其右邊的零極點決議。q 奇數(shù)個奇數(shù)個，無論如何加減組合，總能，無論如何加減組合，總能使使l(l=1,3,)成立。成立。對于例題，對于例題， 在實軸上的根軌跡：在實軸上的根軌跡：一條始于開環(huán)極點，止于開環(huán)零點，一條始于開環(huán)極點，止于開環(huán)零點，

8、另兩條始于開環(huán)極點，止于無窮遠處。另兩條始于開環(huán)極點，止于無窮遠處。)2)(1()5()()( ssssKsHsGr規(guī)那么四、實軸上的根軌跡：在實軸的線段上存在根軌規(guī)那么四、實軸上的根軌跡：在實軸的線段上存在根軌跡的條件是：其右邊開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)目之和為奇跡的條件是：其右邊開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)目之和為奇數(shù)數(shù)0 j125漸近線：根軌跡有漸近線：根軌跡有n-m條漸進線。條漸進線。 漸近線與實軸的夾角為：漸近線與實軸的夾角為： .5 , 3 , 11800 lmnl 漸近線與實軸的交點為：漸近線與實軸的交點為：mnzpnjmiij11l l 它們是針對它們是針對n-mn-m條趨向無窮遠點的根軌跡

9、而設(shè)立條趨向無窮遠點的根軌跡而設(shè)立的的ll 假設(shè)知道了漸近線，可以馬上畫出根軌跡的大致外形假設(shè)知道了漸近線，可以馬上畫出根軌跡的大致外形規(guī)那么五、規(guī)那么五、證明：證明： 見圖見圖4-5。 對于位于根軌跡上某一動點對于位于根軌跡上某一動點s0， 從各開環(huán)零極點到這一點的向從各開環(huán)零極點到這一點的向 量的相角隨量的相角隨s0軌跡的變化而變化，軌跡的變化而變化， 當(dāng)當(dāng)s0到達無窮遠處，各相角相等，到達無窮遠處，各相角相等， 令其為令其為，可寫成：，可寫成： 180lnm 進而求出漸近線夾角：進而求出漸近線夾角：,.3 , 1,180 lmnl j圖圖4501251 2 4P5P0S由對稱性知，由對稱

10、性知， 漸近線一定交于實軸上，其交點實踐漸近線一定交于實軸上，其交點實踐上相當(dāng)于零極點的質(zhì)量重心。上相當(dāng)于零極點的質(zhì)量重心。按照重心的求法，可求知交點的坐標(biāo)按照重心的求法，可求知交點的坐標(biāo) mnzpnjmiij11對例對例4-2-2，mnl 180 ), 3 , 1(2180 ll,900 )270(9000 交點坐標(biāo)為：交點坐標(biāo)為：,12)5(21 即即1，j0。漸近線與實軸夾角為：漸近線與實軸夾角為：)2)(1()5()()( ssssKsHsGr10125 j規(guī)那么六、規(guī)那么六、 當(dāng)兩條根軌跡在復(fù)平面上相遇又分開的點叫作分別當(dāng)兩條根軌跡在復(fù)平面上相遇又分開的點叫作分別點或會合點，大多發(fā)生

11、在實軸上僅討論實根。點或會合點，大多發(fā)生在實軸上僅討論實根。性質(zhì)：性質(zhì)：q 在此點上必出現(xiàn)重根。在此點上必出現(xiàn)重根。 q 利用根軌跡的性質(zhì)可知，當(dāng)根軌跡出如今實軸利用根軌跡的性質(zhì)可知，當(dāng)根軌跡出如今實軸q 上兩相鄰極點間時，必有一分別點。上兩相鄰極點間時，必有一分別點。 q 假設(shè)當(dāng)根軌跡出如今兩相鄰零點間包括無窮遠假設(shè)當(dāng)根軌跡出如今兩相鄰零點間包括無窮遠零零q 點時，必有一會合點。點時，必有一會合點。 根軌跡的分別點與會合點：分別點與會根軌跡的分別點與會合點：分別點與會合點是方程式合點是方程式 的根。的根。 0dsdKrq 根軌跡在該點上對應(yīng)的根軌跡在該點上對應(yīng)的Kr取這段實軸區(qū)域的極值。取這

12、段實軸區(qū)域的極值。q 分別點最大值，會合點最小值。分別點最大值，會合點最小值。 Kr=0Kr=0Kr=Kr=分別點分別點會合點會合點由求極值的公式求出：由求極值的公式求出： 它們可以利用代數(shù)重根法或極值法求出。它們可以利用代數(shù)重根法或極值法求出。(引見后者引見后者)0)()(1)()(1 sasbKsGsHr在實軸根軌跡上，求使在實軸根軌跡上，求使Kr到達最大最小值的到達最大最小值的s 值值: 0)()( )()()( 2 sbsbsasbsadsdKr0)( )()()( sbsasbsa留意：求出結(jié)果，需經(jīng)判別，保管合了解。留意：求出結(jié)果，需經(jīng)判別，保管合了解。假設(shè)根在實軸根軌跡上，保管，

13、否那么，舍去。假設(shè)根在實軸根軌跡上，保管，否那么，舍去。)()(sbsaKr mn 0180 求出重根角為求出重根角為:在例題在例題4-2-2中，中， )2)(1()5()()( ssssKsHsGr)5()2)(1( ssssKr52323 ssssdsdKr0103018223 sss02232)5()23()5)(263( sssssss223)5(1030182 ssss解出：解出：94. 6,61. 1,447. 0321sss對上圖的察看，后兩個根不在根軌跡上，因此交點坐對上圖的察看，后兩個根不在根軌跡上，因此交點坐標(biāo)為標(biāo)為-0.447,j0處。處。 -0.447-0.447009

14、0180 mn 求出重根角為求出重根角為: j01251規(guī)那么七、規(guī)那么七、 根軌跡與虛軸的交點：交點和相應(yīng)的根軌跡與虛軸的交點：交點和相應(yīng)的Kr值利用勞斯判據(jù)求出。值利用勞斯判據(jù)求出。 根軌跡與虛軸的交點對應(yīng)于臨界穩(wěn)定形狀，此時系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點對應(yīng)于臨界穩(wěn)定形狀，此時系統(tǒng)出現(xiàn)虛根。出現(xiàn)虛根。 在例在例4-2-2中，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式為：中，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式為： , 0)2)(1()5(1ssssKr0)5()2)(1( sKsssr即：即：0)5(2323 sKsssrrrrrKsKsKsKs5032653210123 勞斯行列式勞斯行列式q當(dāng)當(dāng)6-2Kr=0時，特征方程出現(xiàn)時，特征

15、方程出現(xiàn)共軛虛根，求出共軛虛根，求出Kr=3。 q虛根可利用虛根可利用s2行的輔助方程求出：行的輔助方程求出： 01535322 sKsr5js 與虛軸的交點與虛軸的交點 j01251 與虛軸的交點為與虛軸的交點為。5j 例例4-2-2的根軌跡如圖。的根軌跡如圖。Kr=.084.447)2)(1()5()()( ssssKsHsGr1、畫出開環(huán)零極點、畫出開環(huán)零極點2、確定根軌跡根數(shù)、確定根軌跡根數(shù)3、畫出實軸上的根軌跡、畫出實軸上的根軌跡4、求漸進線、求漸進線nm5、求分別點、求分別點6、求與虛軸交點、求與虛軸交點3,5 rKj3,5 rKj7、畫出根軌跡、畫出根軌跡8、求出特殊點對應(yīng)的、求

16、出特殊點對應(yīng)的Kr值值miinjjrzspsK11規(guī)那么九：規(guī)那么九：Kr值由根軌跡幅值條件求出：值由根軌跡幅值條件求出：如分別點如分別點-0.447，j0處的處的Kr值：值： 5447. 02447. 01447. 00447. 0 rK084. 0 規(guī)那么八、規(guī)那么八、根軌跡的出射角：根軌跡的出射角：在開環(huán)復(fù)數(shù)極點在開環(huán)復(fù)數(shù)極點px處，根軌跡的出射角為：處，根軌跡的出射角為： nxjjjxmiixxppzp11)()(180出出 在開環(huán)復(fù)數(shù)零點在開環(huán)復(fù)數(shù)零點zy處，根軌跡的入射角為：處，根軌跡的入射角為： myiiiynjjyyzzpz11)()(180入假設(shè)系統(tǒng)存在復(fù)數(shù)開環(huán)零極點，需求知

17、道根軌跡從假設(shè)系統(tǒng)存在復(fù)數(shù)開環(huán)零極點，需求知道根軌跡從此點出發(fā)進入的方向角度?？筛鶕?jù)相角條件求此點出發(fā)進入的方向角度?？筛鶕?jù)相角條件求出。出。證明：證明： 設(shè)一系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布如下圖，設(shè)一系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布如下圖， j01P2P3P4P1Z1P3P2P4Pzlppppz04321180)(0s3p 點為從點為從 出發(fā)的根軌跡上一點。出發(fā)的根軌跡上一點。該點到一切零極點的應(yīng)符合相角條件：該點到一切零極點的應(yīng)符合相角條件：)(18042103pppzpl 當(dāng)當(dāng)s0一點點趨近一點點趨近p3時，可以為時，可以為3p3p。出為為 處的出射角處的出射角l l 而而p1p1、p2p2、p4p4、z

18、z都分別都分別趨近于各開環(huán)零極點相對于趨近于各開環(huán)零極點相對于P3P3點的向量的相點的向量的相角。角。出出 此時，出射角此時，出射角 可以計算：可以計算：)()()()pppppzpl 出)()()()pppppzp 同理可證明入射角。同理可證明入射角。)(18042103pppzpl 1p2p3p4p1z1P3P2P4Pz j例例4-2-3 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)零極點圖如圖設(shè)系統(tǒng)開環(huán)零極點圖如圖4-7。其中其中,85)(013 zp013135)(pp,45)(023 pp04390)(pp確定根軌跡分開共軛復(fù)數(shù)根的出射角。確定根軌跡分開共軛復(fù)數(shù)根的

19、出射角。根據(jù)公式：根據(jù)公式： 590451358518000000出思索到根軌跡的對稱性思索到根軌跡的對稱性出射角出射角p3= -5，p4= 5 nxjjjxmiixxppzp11)()(180出1p2p3p4p1z1P3P2P4Pz j圖圖4-7例例 ) 5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2()2)(2)(5 . 1()(jsjsssjsjssKsG根軌跡起始角根軌跡起始角3142122)()() 12 (2ijjjipppzph(21)56.51959108.59037(21)10179(0)hhh取-1-21=108.59059 37 19 56.5 P2P3P4P

20、1Z3Z2Z101p5 . 11zjz 23 , 25 . 15 . 03,2jp5 . 24p4132122)()() 12(2jiiijzzzpzh(21511790(21)329.5hh5 .14990 121 153 199 63.5 117 P2P3P4P1Z3Z2Z1根軌跡終止角根軌跡終止角 k=-1 01p5 . 11zjz 23 , 25 . 15 . 03,2jp5 . 24p根軌跡例如根軌跡例如1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j根軌跡例如根軌跡例如2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0n=1;d=conv(1 2 0,1 2

21、 2);rlocus(n,d)n=1 2;d=conv(1 2 5,1 6 10);rlocus(n,d) j0例例4-2-4 作作 的根軌跡。的根軌跡。16)4()(20ssKsGr開環(huán)極點開環(huán)極點3個：個：44, 03,21jpp 分析：分析：n=3，m=0, 沒有開環(huán)零點。沒有開環(huán)零點。(在在s平面上的極點處標(biāo)以平面上的極點處標(biāo)以“)根據(jù)規(guī)那么一、二根據(jù)規(guī)那么一、二 、三、三 ：根據(jù)規(guī)那么四，實軸上根據(jù)規(guī)那么四，實軸上0-為根軌跡。為根軌跡。 分別起始于分別起始于3個開環(huán)極點，個開環(huán)極點，均終止于無窮遠處。均終止于無窮遠處。根軌跡有三個分支：根軌跡有三個分支：圖圖4-8根據(jù)規(guī)那么五，求漸

22、近線根據(jù)規(guī)那么五，求漸近線:n-m=3條條例例4-2-4 mnl 180漸近線與實軸夾角：漸近線與實軸夾角： 601漸近線與實軸的交點：漸近線與實軸的交點： mnzpnjmiij111802)300(6035 , 3 , 1,03180 ll03080 767. 2 -2.76744, 03,21jpp 60沒有分別點。沒有分別點。 j0 j0例例4-2-4 根據(jù)規(guī)那么七：求出根軌跡與虛軸的交點。根據(jù)規(guī)那么七：求出根軌跡與虛軸的交點。閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征方程： 032823rKsss0323256810123rrrKKKssssKr=256，必對應(yīng)于一對純虛根，必對應(yīng)于一對純虛根2s以以 的

23、系數(shù)構(gòu)成輔助方程的系數(shù)構(gòu)成輔助方程:02568822sKsr322 s66. 532jjs 16)4()(20ssKsGr-j5.66j5.66例例4-2-4 根據(jù)規(guī)那么八求出射角：根據(jù)規(guī)那么八求出射角： 對對P2，根軌跡的出射角為：，根軌跡的出射角為： 1359001802由對稱性知：由對稱性知：-4-j4處的射角為處的射角為45)1(1 tg135 1 tg44 452344, 03,21jpp 根軌跡完成。根軌跡完成。nxjjjxmiixxppzp11)()(180出16)4()(20ssKsGrj5.66-j5.66 j0例例4-2-5 作作 的根軌跡。的根軌跡。)12() 1()(2

24、0sssKsGr該系統(tǒng)該系統(tǒng) n=3 ，m=1。根據(jù)規(guī)那么一、二、三：根據(jù)規(guī)那么一、二、三：,12, 032, 1 pp1z一個零點：一個零點：有三個開環(huán)極點：有三個開環(huán)極點：該根軌跡有三個分支該根軌跡有三個分支,分別起始于分別起始于p = 0(兩條兩條)和和p = -12處，處，有一個分支終止于有一個分支終止于z = -1,另兩個分支趨于無窮遠。另兩個分支趨于無窮遠。根據(jù)規(guī)那么四：根據(jù)規(guī)那么四： 實軸上存在根軌跡是從實軸上存在根軌跡是從-12到到-1之間。之間。-2-4-6-12 j0例例4-2-5根據(jù)規(guī)那么五：漸近線有根據(jù)規(guī)那么五：漸近線有2條，條，n-m2。-5.5漸近線夾角：漸近線夾角

25、： mnl 1803 , 1 l 901)270(9002漸近線與實軸的交點：漸近線與實軸的交點： mnzpnjmiij112)1(12 211 5 . 5 )12() 1()(20sssKsGr-2-4-6-12 j0-2-4-6-12例例4-2-5根據(jù)規(guī)那么七、根據(jù)規(guī)那么七、求根軌跡與虛軸的交點。求根軌跡與虛軸的交點。 閉環(huán)特征方程是：閉環(huán)特征方程是：01223rrKsKss0012121210123rrrrrKsKKsKsKsKr0時，第一列元素都時，第一列元素都為正值，根軌跡與虛軸交為正值，根軌跡與虛軸交點于點于Kr=0處。處。 )12() 1()(20sssKsGr-2-4-6-12

26、 j0-2-4-6-12例例4-2-5根據(jù)規(guī)那么六、求分別點和會合根據(jù)規(guī)那么六、求分別點和會合點點 11223sssKr0dsdKr0) 1(24152223ssssdsdKr那么：那么： 02415223 sss s1 =-5.18, s2= -2.31，s30?？芍徊糠指壽E為圓?？芍徊糠指壽E為圓。據(jù)此，可畫出根軌跡。據(jù)此，可畫出根軌跡。均在根軌跡上。均在根軌跡上。大大Kr分別點，分別點，小小Kr會合點。會合點。 )12() 1()(20sssKsGr0090180mn求出重根角為求出重根角為:-2-4-6-12 j0-2-4-6-12例例4-2-5利用幅值條件，可求出分別點和會合點

27、處的利用幅值條件，可求出分別點和會合點處的Kr值。值。 ,78.431)12(001111ssssKr代代入入幅幅值值條條件件：把把處處在在18.5s,11 s47.3911223sssKrs1是分別點，是分別點，s2是會合點。是會合點。完好的繪出根軌跡如圖完好的繪出根軌跡如圖4-9所示。所示。)12() 1()(20sssKsGrmiinjjrzspsK11表表達達式式：代代入入把把處處在在r22K31.2s, s圖圖4-9作業(yè)：作業(yè)：4-1，4-2，4-3看書看書p151，表，表4-1常規(guī)根軌跡。常規(guī)根軌跡。 s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。-2-4-6-12 j0-2-4-6-12例例4-2-6 的根軌跡作4) 1)(2()(20sssKsGr根據(jù)規(guī)那么一、二、三、有四個極點：根據(jù)規(guī)那么一、二、三、有四個極點：p1=0, p2= -2, p3,4= -1j2分析：分析：n=4，m=0。該根軌跡共有四個分支，該根軌跡共有四個分支，-2P1P2P3P4根據(jù)規(guī)那么四、實軸上存根據(jù)規(guī)那么四、實軸上存在根軌跡是從在根軌跡是從-2到到0之間。之間。 終止于無窮遠。終止于無窮遠。分別起始于分別起始于