湖南省張家界市2019-2020學(xué)年高考三診數(shù)學(xué)試題含解析

1、湖南省張家界市2019-2020學(xué)年高考三診數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共 要求的。12小題,每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目1.已知函數(shù)f xx ln2x, xkx 1的圖像上,A.2,1可將問題轉(zhuǎn)化，求直線像，分析臨界點(diǎn)，進(jìn)可求得直線y kx0時(shí)，f x單減，當(dāng)0時(shí)，fx,x 00的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y1的對(duì)稱點(diǎn)在則實(shí)數(shù) k的取值范圍是(B.C.3,1kx1關(guān)于直線1的對(duì)稱直線,再分別討論兩函數(shù)的增減性,結(jié)合函數(shù)圖步確定k的取值范圍即可1關(guān)于直線xln x 2xe,時(shí),y 1的對(duì)稱直線為y mxln x 1,當(dāng) x e時(shí)，f' x0,則

2、當(dāng)x 0,e時(shí)，f ' x 0x單增;2x3 f'x4，f0,當(dāng)xf x單減，當(dāng)x 0時(shí),x單增;根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖:當(dāng)y mx 1與f xx0)相切時(shí)，得0,解得m當(dāng)y mx 1與f xxln x 2x(x 0)相切時(shí)，滿足 yyxln x2xmx 1,ln x 11 r ,.11解得x 1,m1,結(jié)合圖像可知m 1,即k 1, , k ,12 22故選：A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題2.已知函數(shù) f(x)滿足當(dāng) x 0 時(shí)，2f (x 2) f(x),且當(dāng) x ( 2,0時(shí)，f(x) |x 1

3、| 1；當(dāng) x 0 時(shí),f (x) log a x(a 0且a 1).若函數(shù)f(x)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)恰好有3對(duì)，則a的取值范圍是( )A. (625,) B. (4,64)C. (9,625)D. (9,64)【答案】C【解析】【分析】先作出函數(shù)f(x)在(，0上的部分圖象，再作出f (x) lOgax關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，分類利用圖像列出有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足的條件，解之即可.【詳解】先作出函數(shù)f(x)在(，0上的部分圖象，再作出f (x) loga x關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，如圖所示，當(dāng)0 a 1時(shí)，對(duì)稱后的圖象不可能與f (x)在(，0的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a 1時(shí)，要使函數(shù)f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

4、稱后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，a 1,1則 loga 3 一,解得 9 a 625. 2.1loga 54故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.3.復(fù)數(shù)z的共軻復(fù)數(shù)記作Z，已知復(fù)數(shù)4對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)1, 1 ,復(fù)數(shù)Z2：滿足乙z22.則Z2等A. 22【答案】A【解析】【分析】B. 2C. 710D. 10根據(jù)復(fù)數(shù)Zi的幾何意義得出復(fù)數(shù)Zi ,進(jìn)而得出Z1 ,由Z1 z22得出Z22=可計(jì)算出z2 ,由此可計(jì)算Zi出Z2 .【詳解】由于復(fù)數(shù)Zi對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)1, 1 ,Z11 i ,則 Z11 i ,Qzi

5、Z22,z22 _2_z11 i1 i ,因此，z2 « 12 我.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算， 考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軻復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題224.已知點(diǎn)A 2而3而 在雙曲線 二 石1 b 0上，則該雙曲線的離心率為（）10 bA.也B.典C.布D. 2布32將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)，進(jìn)而求得離心率【詳解】22將x 2而，y 3J10代入方程二、1 b 0得b 3屈，而雙曲線的半實(shí)軸 a J10 ,所以 10 bc J02b2 10，得離心率e /°，故選C. a【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率

6、的概念，屬于基礎(chǔ)題2x 1,x 05已知函數(shù)f(X) lnx,x 0，則方程f f（x） 3的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（A. 6B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】畫出函數(shù)f(x)2x 1,x 0lnx,x 0，將方程f f3 看作 t f x , f t3交點(diǎn)個(gè)數(shù)，運(yùn)用圖象判斷根的個(gè)數(shù).畫出函數(shù)f(x)2x 1,x 0 ln x ,x 0令t f x , f t 3有兩解ti 0,1 ,t21,+ ，則tif x , f xt2分別有3個(gè)，2個(gè)解，故方程f f (x)3的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3+2=5個(gè)故選：D【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用，分類思想的運(yùn)用，數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根，

7、難度較大，屬于中檔題.6.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()d0O<2 >止視圖 蟒視圖 俯視圖A. 一九B. 3C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體，利用割補(bǔ)法可求其體積【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示，它是一個(gè)圓柱截去上面一塊幾何體, 把該幾何體補(bǔ)成如下圖所示的圓柱，23其體積為12 3,故原幾何體的體積為一2故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積，復(fù)原幾何體時(shí)注意三視圖中的點(diǎn)線關(guān)系與幾何體中的點(diǎn)、線、2.N 0,3,從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在68.26% ,面的對(duì)應(yīng)關(guān)系，

8、另外，不規(guī)則幾何體的體積可用割補(bǔ)法來求其體積，本題屬于基礎(chǔ)題7.已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量 E服從正態(tài)分布 N , 2 ,則PP 2295.44%.)A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%【答案】B【解析】試題分析：由題意、1 /C，P(3<V3)68.26%,P 6V V6)95.44%,P(3vv6)-(95.44% 68.26%)13.59%.2故選B.考點(diǎn)：正態(tài)分布8.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an 2n 2 ,將這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)擺放成如圖所示的數(shù)陣.記bn為數(shù)陣從左至右的n歹U,從上到

9、下的n行共個(gè)數(shù)的和，則數(shù)列一bnn的前2020項(xiàng)和為()叫% , %/ / % % %-2» li 4 I- « B ii* | «%-"加1A.101120202019B.2020C.202020211010D.2021由題意,bnCi由題意,因此:nbn設(shè)每一行的和為可得Ciaiai 1an 1 i n(n 2i 1),繼而可求解c2 . Cn2n2(n設(shè)每一行的和為aiai 1bnC112n(n 1)一- 1故 S20202 (1故選：DC21),_n_表不；一bn1,裂項(xiàng)相消即可求解.2n(n 1)an(acnan 1 i)n2n(n 3)(nn

10、(n 2i 1)5).(n 2n1) 2n2(n 1)1)120202021)11-(1)2202110102021本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題9.已知雙曲線2 c X C:a2 y b21(a 0,b 0)的一條漸近線的傾斜角為，且cos,則該雙曲線的離心5率為()B.C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】由傾斜角的余弦值，求出正切值，即 a,b的關(guān)系，求出雙曲線的離心率【詳解】解：設(shè)雙曲線的半個(gè)焦距為 c,由題意0,又cos V'則sin乎的2,b 一 、q c2,所以離心率e -故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單

11、幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題10,已知m, n是兩條不重合的直線,A.B.m /C.D.根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系,A選項(xiàng)，若B選項(xiàng)，若m / nC選項(xiàng)，若,是兩個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果n/ ，則 P或與相交；故A錯(cuò);或n /,是兩個(gè)不重合的平面，則或n與相交，又n相交；故C錯(cuò);,是兩個(gè)不重合的平面,D選項(xiàng)，若m n,mP ，則 n或n /或n與相交，又n,是兩個(gè)不重合的平面，則P或與相交；故D錯(cuò);故選B本題主要考查與線面、線線相關(guān)的命題，熟記線線、線面位置關(guān)系，即可求解，屬于?？碱}型，一、1、Lx| f (x) - f (1 x) x ，且 R 為函數(shù)11.設(shè)函數(shù)g(

12、x) ex (1 je)x a (a R, e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f( x) f (x) x2,且當(dāng) x 0 時(shí)，f'(x) x,若存在 x0y g(x) x的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為()A.B. (A，) C. Te,)D.先構(gòu)造函數(shù)T x f x性，進(jìn)而可求出結(jié)果.1 2-x ,由題意判斷出函數(shù)2T x的奇偶性，再對(duì)函數(shù) T x求導(dǎo)，判斷其單調(diào)【詳解】,一一1 2構(gòu)造函數(shù)T x f x x ,22因?yàn)閒 x f x x ,所以T x T x1 2122 cfxxfxx f x f x x 0, 22所以T x為奇函數(shù),當(dāng)x 0時(shí)，T' x

13、 f ' x x 0,所以T x在,0上單調(diào)遞減,所以T x在R上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖趚0所以f x0所以T x01-f 1 x0x0 ,21 21x°T 1 x022工 1x0 2 x0,2化簡(jiǎn)得T % T 1 x01所以x01x° ,即x0 12xex、ex a x -2因?yàn)閤0為函數(shù)yx的一個(gè)零點(diǎn),所以h x在x1工一時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)2因?yàn)楫?dāng)x1h' xex ,e e2所以函數(shù)1 ，,x 時(shí)單倜遞減, 2由選項(xiàng)知0,又因?yàn)閔所以要使1-一時(shí)有一個(gè)季點(diǎn),2只需使h所以a的取值范圍為,故選D.xx本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大12 .歐拉公式為eix

14、 cosx i sin x,（i虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為 數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知,痔表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（A.第一象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限-i計(jì)算e3cos31i sin 3 2根據(jù)題意ixe一 icosx isin x ,故 e3cos i sin 333 士行i,表示的復(fù)數(shù)在第一象限2故選：A.本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。13 .已知集合A【解析】 【分析】根據(jù)交集的定義即可寫出答案?！?/p>

15、詳解】x 1 x 1 , AI B (0,1)故填0,1 【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集，需熟練掌握集合交集的定義，屬于基礎(chǔ)題。14 .已知多項(xiàng)式(x 2)m(x1)naoaixa2x2L am nxmn滿足 a。4, a116,則m n , a。a a?Lam n .【答案】572【解析】;多項(xiàng)式 x 2 m x 1 na。axa2x2L am nxm n滿足a。4, a116令 x 0,得 2m 1n a。4 ,則 m2(x 2)m(x 1)n (x2 4x 4)(x 1)n，該多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為4Cn1n 4Cnn11n 1 16n 1Cn3n 3 m n 5 23令 x 1,得(1 2)

16、 (1 1)a。a1 a2am n 72故答案為5, 7215 .不等式ax 1 Inx xex對(duì)于定義域內(nèi)的任意 x恒成立，則a的取值范圍為 【答案】,1【解析】【分析】根據(jù)題意,分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為xex lnx 1只對(duì)于0, x內(nèi)的任意x恒成立，令xex Inx 1exln xln x 11n，則只需在定義域內(nèi)a g x min即可，利用放縮法 ex x 1 ,得出ex lnx x ln x 1 ,化簡(jiǎn)后得出g x min ,即可得出a的取值范圍解：已知ax 1 lnx xex對(duì)于定義域 0, 內(nèi)的任意x恒成立,即 a xex lnx 1 對(duì)于 0,x內(nèi)的任意x恒成立,【答案】64【解析】令

17、g xe一如二，則只需在定義域內(nèi)a g x min即可,xmin_xlnx _xx lnxxe lnx 1 e e In x 1 e In x 1xxxQexx 1，當(dāng)x 0時(shí)取等號(hào)由ex x 1可知，ex lnx x In x 1,當(dāng)x ln x 0時(shí)取等號(hào),e ln x 1 x ln x 1 ln x 1 ,1 ， xx當(dāng)x ln x 0有解時(shí)， 1令 h x xlnxx0,則hx 10, xh x在0,上單調(diào)遞增,11又Qh111 0, h 1 10,eeXq0, 使得 h Xq0,g X min1,則a 1,所以a的取值范圍為,1故答案為：,1本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值,解決

18、恒成立問題求參數(shù)值，涉及分離參數(shù)法和放縮法，考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力16 .已知 ax b 6的展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)與x5項(xiàng)的系數(shù)分別為135與18,則ax b 6展開式所有項(xiàng)系數(shù)之和為【分析】 由題意先求得a,b的值，再令x 1求出展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和ax b 6的展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)與x5項(xiàng)的系數(shù)分別為135與18,C6 a4 b2 135C； a5b 18由兩式可組成方程組15a4b2 6a5b13518解得a 1,b3或1,b3,令x 1 ,求得ax,6 一b展開式中所有的系數(shù)之和為2664.故答案為：64本題考查了二項(xiàng)式定理，考查了賦值法求多項(xiàng)式展開式的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：

19、共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 .已知函數(shù) f(x) aex x2.(1)若曲線f(x)存在與y軸垂直的切線，求 a的取值范圍.(2)當(dāng)a 1時(shí)，證明：f(x>-1 x |x2.【答案】(1) a, 2 (2)證明見解析 e【解析】2x ,求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值, e【分析】(1) f (x) aex 2x 0在 x R 上有解，a 至，設(shè) g(x) e得到答案.3 2x 2.3 2x 12(2)證明f (x) 1 x -x ,只需證e x1 x x ,記h(x) e -x x 1,求導(dǎo)得到函數(shù)222的單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值，得到證明.【詳解】(1)由題可

20、得，f (x) aex 2x 0在x R上有解，皿 2x2x2 2x則 a =，令 g(x) , g (x), eee當(dāng)x 1時(shí)，g (x) 0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x 1時(shí)，g (x) 0,g(x)單調(diào)遞減.2所以x 1是g(x)的最大值點(diǎn)，所以a,-.e(2)由 a®, aex ex,所以 f(x)ex x2,3 2x 2 .3 2x 12要證明f(x>1 x -x ,只需證ex1 x -x ,即證e -x x 1-0.222記 h(x) ex 1x2 x 1,h(x) ex x 1,h(x)在 R 上單調(diào)遞增，且 h(0) 0,當(dāng)x 0時(shí)，h (x) 0,h(x)單調(diào)遞減

21、；當(dāng)x 0時(shí)，h (x) 0,h(x)單調(diào)遞增.1 c所以x 0是h(x)的最小值點(diǎn)，h(x)h(0) 0,則ex -x2 x 1-0,2 3 2故 f(x)T x x .2【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，證明不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和轉(zhuǎn)化能力r2 C18.已知 ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,已知向重m (cos B,2cos 1),2rir rn (c,b 2a)且 m n 0 (1)求角C的大??；(2)若 ABC的面積為2褥，a b 6,求c.【答案】(1) C ; (2) c 273 . 3【解析】試題分析：(1)利用已知及平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得cco

22、sB b 2a cosC 0 ,利用正弦定理可得1-sinA 2sinAcosC ,結(jié)合sinA 0 ,可求cosC 一 ,從而可求C的值；(2)由二角形的面積可解得 ab 8 , 2利用余弦定理可得a b 2 3ab c2,故可得c.rrr r一試題解析：(1) mcosB,cosC , nc,b 2a , m n0,ccosB b 2a cosC 0,sinCcosB sinB 2sinA cosC 0,1即 sinA 2sinAcosC ,又 sinA 0, cosC 一，2又,: C 0, C .3(2) S abc 一absinC 2忌,：.ab 8,2又 c2 a2 b2 2abc

23、osC ,即 a b2 3ab c2, 1- c2 12 ,故c 2芯.3an 11 一 一19 .已知數(shù)列 an滿足A 一，且an I： n 2,n N .222(1)求證：數(shù)列 2nan是等差數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn.【答案】(1)證明見解析，an 生；(2)Sn 5 2二. 22【解析】【分析】a 1n n in(1)將等式anft變形為2 an 2 an i 2,進(jìn)而可證明出 2 an是等差數(shù)列，確定數(shù)列 222nan的首項(xiàng)和公差，可求得 2nan的表達(dá)式，進(jìn)而可得出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)利用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.(1)因?yàn)?/p>

24、can 11ann 1 n 2, n22,所以2nan21an2,即 2n an1an2,所以數(shù)列2nan是等差數(shù)列，且公差2 ,其首項(xiàng)2ai所以2nan(n1)2 2n 1 ,解得an2n 12n(2)5227232n 1 2n 12ni2n3225237242n 12n，得Sn22n 12n 1122n2n 12n 52n 1，所以Sn52n 52n本題考查利用遞推公式證明等差數(shù)列,同時(shí)也考查了錯(cuò)位相減法求和，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中有一個(gè)微型智能機(jī)器人(大小不計(jì))只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn)，且每一步只能行進(jìn)1個(gè)單位長(zhǎng)度，例如：該機(jī)器人

25、在點(diǎn)1,0處時(shí)，下一步可行進(jìn)到2,0、0,0、1,1,、1, 1這四個(gè)點(diǎn)中的任一位置.記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn) O出發(fā)、行進(jìn)n步后落在y軸上的不同走法的種數(shù)（1）分別求L 1、L 2、L 3的值；（2）求L n的表達(dá)式.【答案】（1） L 1 2,L 2 6,L 3 20, （2） L n C21n【解析】【分析】（1）根據(jù)機(jī)器人的進(jìn)行規(guī)律可確定L 1、L 2、L 3的值；（2）首先根據(jù)機(jī)器人行進(jìn)規(guī)則知機(jī)器人沿 x軸行進(jìn)m步，必須沿x軸負(fù)方向行進(jìn)相同的步數(shù)，而余下的每一 步行進(jìn)方向都有兩個(gè)選擇 （向上或向下，由此結(jié)合組合知識(shí)確定機(jī)器人的每一種走法關(guān)于 m, n的表達(dá)式，并 得到L n的表達(dá)式，然后

26、結(jié)合二項(xiàng)式定理及展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解 【詳解】解：（1） L 126,20,(2)m為沿x軸正方向走的步數(shù)（每一步長(zhǎng)度為1）,則反方向也需要走 m步才能回到y(tǒng)軸上，所以m 0,1,2,2 ,（其中為不超過-的最大整數(shù)）2總共走n步,首先任選m步沿x軸正方向走，再在剩下的n m步中選m步沿x軸負(fù)方向走，最后剩下的每步都有兩種選擇（向上或向下），即Cmm q1 2mCn m 2等價(jià)于求2nx 1m 0Cm CmCnCn m2n中含2x 1n 2m2Cm CmCn Cn m n 1 -2 m 0 Cm mn Cn mxn項(xiàng)的系數(shù)，為C21n2x 1 x22n2n2m,n為奇數(shù)2m,n為偶數(shù)_ r

27、 -nCnr 2x 1r 2rx其中含xn項(xiàng)的系數(shù)為r 0C； Cnn22rr2n 2rCnCnn1 20CnCnnn 22r r2r r2n 2rm為奇數(shù)2n 2r,n為偶數(shù)r 0C；n 1 Fr 0C；n2C；C；C2n.【點(diǎn)睛】2n2n2rm為奇數(shù)2r?n為偶數(shù)0r r Qn 2rCn C n r 2C 2n L n本題考查組合數(shù)、二項(xiàng)式定理，考查學(xué)生的邏輯推理能力，推理論證能力以及分類討論的思想21.某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率均為p 0 p 1，并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了其中100盞燈在一場(chǎng)燈光展中亮燈的時(shí)

28、長(zhǎng)(單位：min),得到下面的頻數(shù)表:亮燈時(shí)長(zhǎng)/ min50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時(shí)長(zhǎng)作為一盞燈的亮燈時(shí)長(zhǎng)(1)試估計(jì)P的值；(2)設(shè)X表示這10000盞燈在某一時(shí)刻亮燈的數(shù)目求X的數(shù)學(xué)期望E X和方差D X ；若隨機(jī)變量Z滿足ZX=E(X),D(X)則認(rèn)為Z : N 0,1 .假設(shè)當(dāng)49005000時(shí)，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計(jì)，在一場(chǎng)燈光展中，處于最佳燈光亮度的時(shí)長(zhǎng)(結(jié)果保留為整數(shù))附：某盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率P等于亮燈時(shí)長(zhǎng)與燈光展總時(shí)長(zhǎng)的商；若 Z : N 0,1 ,貝U P( X ) 0.6

29、827 , P( 2 X 2 ) 0.9545 ,P( 3 X 3 ) 0.9973.1【答案】(1)一2(2) E(X) 5000, D(X) 2500，72【解析】【分析】(1)將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對(duì)應(yīng)的頻率，然后再將結(jié)果相加即可得到亮燈時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)，將此平均數(shù)除以150 ( 2.5個(gè)小時(shí))，即可得到P的估計(jì)值；(2)利用二項(xiàng)分布的均值與方差的計(jì)算公式進(jìn)行求解；先根據(jù)條件計(jì)算出 Z的取值范圍，然后根據(jù) Z: N 0,1并結(jié)合正態(tài)分布概率的對(duì)稱性，求解出 Z在滿足取值范圍下對(duì)應(yīng)的概率【詳解】(1)平均時(shí)間為 55 0.1 65 0.2 75 0.4 85 0.2 95 0.1 75 (分鐘

30、)751, p 1502_1(2). X : B 10000,-,21 E(X) np 10000 2 4900 X 5000, Z.Z : N 0,1 ,0 ,1 P( 2 Z 0) -P( . 150 0.477255000, D(X) np(1 p)X_E(X)JD(X)X 5000501 11000025002 2(2,012 Z 2 ) - 0.9545 0.47725271.5875 72即最佳時(shí)間長(zhǎng)度為 72分鐘.二項(xiàng)分布的均值與方差、正態(tài)分布的概率本題考查根據(jù)頻數(shù)分布表求解平均數(shù)、幾何概型(長(zhǎng)度模型)計(jì)算，屬于綜合性問題，難度一般.(1)如果X : B n, p ,則E X np, D X np 1 p ； (2)計(jì)算正態(tài)分布中的概率，一定要活用正態(tài)分布圖象的對(duì)稱性對(duì)應(yīng)概率的對(duì)稱性22.已知函數(shù)匚(可=- 2口 一 |匚-口，二曰二.