研究有限差分格式穩(wěn)定性的Fourier方法ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 研究有限差分格式穩(wěn)定性的研究有限差分格式穩(wěn)定性的FourierFourier方法方法3.1 Fourier方法方法以一維對(duì)流方程為例：以一維對(duì)流方程為例：0,0,0 (1.1)( ,0)(uuaxR tatxu xg xxR ），110() (1.2)()nnnnjjjjjjjuuauuugg x h 左偏差分格式：左偏差分格式：Fouriernjjug 由由于于及及 只只是是在在網(wǎng)網(wǎng)格格點(diǎn)點(diǎn)上上有有意意義義，為為了了應(yīng)應(yīng)用用方方法法進(jìn)進(jìn)行行討討論論，必必須須擴(kuò)擴(kuò)充充這這些些函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域，使使它它們們?cè)谠谡麄€(gè)個(gè)（，）上上有有定定義義。令令：11( ,)()()221

2、1( )()()22nnjjU x tujhxjhxgjhxjh ( , ),( )nU x txR即：為 上的分段常數(shù)函數(shù).11(,)(,) (,)(,)jnjnjnjnU x tU xtaU xtU xt 在節(jié)點(diǎn)上：在節(jié)點(diǎn)上：( , ),( )kU x txR實(shí)際上函數(shù)在 上滿足1(,)( ,) ( ,)(,)nnnnU x tU x taU x tU xh t Rx11( ,)2ikxnU k tedk 等式兩邊分別用等式兩邊分別用Fourier積分表示：積分表示：由此可得由此可得:1(,)(1(1) ( ,)ikhnnU k taeU k t 1( ,)2ikxnU k tedk ()

3、11( ,)( ,)22ikxik x hnnaU k tedkU k tedk 1( ,)1(1)2ikhikxnU k taeedk ( ()( ( )iksF f xseF f x1(,)(1(1) ( ,)ikhnnU k taeU k t 1(1)ikhae 稱稱為為增增長(zhǎng)長(zhǎng)因因子子（傳傳播播因因子子）. .記記為為：( , )1(1)ikhGkae ),(),(),(1nntkUkGtkU因此因此),(),(),(0tkUkGtkUnn實(shí)際上，我們就是用增長(zhǎng)因子來(lái)判斷穩(wěn)定性的實(shí)際上，我們就是用增長(zhǎng)因子來(lái)判斷穩(wěn)定性的22|()|( ,)| dnnU tU x tx 假設(shè)：假設(shè)：KkG

4、Kn |),( |,使得存在常數(shù)2|( ,)| dnU k tk Parseval等式等式220|( ,)| dKU k tk 由假設(shè)由假設(shè)202|)(|tUK2022|)(|)(|tUKtUnParseval等式等式的定義，得由),(ntxUhhnuKu|0闡明：增長(zhǎng)因子的任意次冪有界保證了差分格式的闡明：增長(zhǎng)因子的任意次冪有界保證了差分格式的 穩(wěn)定性，以上推導(dǎo)步步可逆，即由差分格式穩(wěn)定性，以上推導(dǎo)步步可逆，即由差分格式 的穩(wěn)定性可以得出增長(zhǎng)因子的任意次冪是有的穩(wěn)定性可以得出增長(zhǎng)因子的任意次冪是有 界的。界的。結(jié)論：差分格式結(jié)論：差分格式1.2穩(wěn)定的充分必要條件是：存在穩(wěn)定的充分必要條件是：

5、存在0000,KnT kR 常常數(shù)數(shù)，使使得得時(shí)時(shí)，有有KkGn |),( |如果對(duì)于線性方程組，或多層格式，離散的形式為如果對(duì)于線性方程組，或多層格式，離散的形式為差分方程組：差分方程組：1UC(, )U (1.3)nnjjjx利用利用Fourier積分得到積分得到n 1nU( ,)( , )U( , )k tGkk t 0U( , ) ( , ) U( , )nnk tGkk t 為增長(zhǎng)矩陣),(kG此時(shí)此時(shí)穩(wěn)定性條件：穩(wěn)定性條件：KkGn|),(|補(bǔ)充：補(bǔ)充：值的最大值）是矩陣的譜半徑（特征則定理：若(.). )(|,2AAACAHnn注：所以對(duì)于增長(zhǎng)矩陣通過(guò)矩陣的特征值來(lái)得到穩(wěn)定注：所

6、以對(duì)于增長(zhǎng)矩陣通過(guò)矩陣的特征值來(lái)得到穩(wěn)定 性的條件，增長(zhǎng)因子是特殊的增長(zhǎng)矩陣。性的條件，增長(zhǎng)因子是特殊的增長(zhǎng)矩陣。我們給出下面關(guān)于穩(wěn)定性判別的結(jié)論3.2 判別準(zhǔn)則為常數(shù)。的特征值，表示其中有：，對(duì)所有，當(dāng)穩(wěn)定的必要條件是差分格式定理MkGkGMkGRkTn),(),(1|),(| )3 . 1 (:1 . 3jj0(*)注：條件注：條件(*)被稱為被稱為Von Neumann條件，條件，Von Neumann條件是穩(wěn)定性的必要條件，其重要性在于很多情況下，條件是穩(wěn)定性的必要條件，其重要性在于很多情況下，這個(gè)條件也是穩(wěn)定性的充分條件。這個(gè)條件也是穩(wěn)定性的充分條件。3.2:( , )Von Neu

7、mannGk 定定理理如如果果差差分分格格式式的的增增長(zhǎng)長(zhǎng)矩矩陣陣是是正正規(guī)規(guī)矩矩陣陣，則則條條件件是是穩(wěn)穩(wěn)定定性性的的必必要要且且充充分分條條件件。充分必要條件。條件是差分格式穩(wěn)定的矩陣時(shí)，矩陣，：當(dāng)是實(shí)對(duì)稱矩陣，酉推論NeumannVon Hermite1充要條件。條件是差分格式穩(wěn)定的只有一個(gè)元素，則時(shí)，當(dāng)推論NeumannVon ),(1; 2kGp注注:判斷穩(wěn)定性關(guān)鍵是求增長(zhǎng)因子或增長(zhǎng)矩陣的特征值。判斷穩(wěn)定性關(guān)鍵是求增長(zhǎng)因子或增長(zhǎng)矩陣的特征值。3.3 例子例子)(,積分的離散形式實(shí)際上是采用了析增長(zhǎng)因子。直接代入差分方程，分?。篎ourierevuikjhnnjFourier方法在具體

8、應(yīng)用時(shí)，可以采取離散的形式，方法在具體應(yīng)用時(shí)，可以采取離散的形式，直接從差分方程入手。不必要擴(kuò)充、直接從差分方程入手。不必要擴(kuò)充、Fourier積分的積分的煩瑣步驟。具體是：煩瑣步驟。具體是：)(11njnjnjnjuuauu以左偏格式為例：以左偏格式為例：)(11njnjnjnjuuauuikjhnnjevu 令代入差分方程代入差分方程)()1(1hjiknikjhnikjhnikjhnevevaevev整理得：整理得： 1(1(1)nikhnvaev 增長(zhǎng)因子為：增長(zhǎng)因子為：( , )1(1)ikhGkae 實(shí)際應(yīng)用時(shí)，我們常用更嚴(yán)格的控制條件，即實(shí)際應(yīng)用時(shí)，我們常用更嚴(yán)格的控制條件，即1

9、|),( |kG( , )1(1) 1(1cos)sinikhGkaeakhiakh 222|( , )|(1(1cos)(sin)Gkakhakh 214(1)sin2khaa 1| ),(|, 1kGa則如果. 1a定性條件是左偏格式是穩(wěn)定的，穩(wěn)222222(12sin)4sin(1sin)222khkhkhaa 22,0(1.3)( ,0)( )(1.4)uuaxRttxu xg xxR 111220,(1.14)nnnnnjjjjjuuuuuah 例例. 考慮擴(kuò)散方程考慮擴(kuò)散方程的隱式格式的隱式格式的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性.解解. 先把差分格式變形為先把差分格式變形為111(12)nnnnjj

10、jja uaua uu 2=. h 此處21( , ).14sin2Gkkha 得其增長(zhǎng)因子為0,( , )1. aGk 由于所以對(duì)任意的 都有因此差分格式穩(wěn)定。nnikjhikjhjuv ee 令，代入上面方程并消去公因子，111(12)nnnnjjjja uaua uu 22,0(1.3)( ,0)( )(1.4)uuaxRttxu xg xxR 1111220,2nnnnnjjjjjuuuuuah 例例. 考慮擴(kuò)散方程考慮擴(kuò)散方程的的Richardson格式格式的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性.這是一個(gè)三層格式這是一個(gè)三層格式,一般先化為等價(jià)的二層差分方程組一般先化為等價(jià)的二層差分方程組.解解. 先把差

11、分格式變形為先把差分格式變形為11112(2)nnnnnjjjjjuuauuu 2=. h 此處11112(2)nnnnnjjjjjnnjjuvauuuvu , ,nnn TjjjUuv 令則上述方程組可寫為11112(2)nnnnnjjjjjnnjjuvauuuvu 111204120001000nnnnjjjjaaaUUUU ,nnikjhikjhjUV ee 設(shè)代入上式并消去公因子，可得218sin1210nnkhaVV 增長(zhǎng)矩陣為28sin1( , )210khaGk 增長(zhǎng)矩陣為28sin1( , )210khaGk 其特征值為22241,24sin116sin22khkhaa 222414sin- 116sin,22khkhaa 取顯然顯然2114sin.2kha 不滿足不滿足von Neumann條件條件,格式不穩(wěn)定格式不穩(wěn)定.穩(wěn)定性的分類：穩(wěn)定性的分類：1、條件穩(wěn)定：穩(wěn)定性對(duì)時(shí)間、空間步長(zhǎng)有限制的。如：對(duì)流方程的左偏顯示格式。2、無(wú)條件穩(wěn)定絕對(duì)穩(wěn)定）：穩(wěn)定性對(duì)時(shí)間、 空間步長(zhǎng)沒有有限制的。如：隱式格式。3、無(wú)條件不穩(wěn)定絕對(duì)不穩(wěn)定）：對(duì)任何時(shí)間、 空間步長(zhǎng)格式不穩(wěn)定。如：