歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)（課堂PPT）

1、1數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化 歷史上的三次數(shù)學(xué)歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)危機(jī)2第六講第六講 歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)前言前言一、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)一、第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 1、危機(jī)的起因 2、危機(jī)的實(shí)質(zhì) 3、危機(jī)的解決二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 1、危機(jī)的引發(fā) 2、危機(jī)的實(shí)質(zhì) 3、危機(jī)的解決三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī) 1“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光集合論 2算術(shù)的集合論基礎(chǔ) 3 羅素的“集合論悖論”引發(fā)危機(jī) 4 危機(jī)的消除四、四、 三次數(shù)學(xué)危機(jī)與三次數(shù)學(xué)危機(jī)與“無(wú)窮無(wú)窮”的聯(lián)系的聯(lián)系3前前 言言 歷史上，數(shù)學(xué)的發(fā)展有順利也有曲折。大歷史上，數(shù)學(xué)的發(fā)展有順利也有曲折。大的挫折

2、也可以叫做的挫折也可以叫做危機(jī)危機(jī)。危機(jī)也意味著挑戰(zhàn)，。危機(jī)也意味著挑戰(zhàn)，危機(jī)的解決就意味著進(jìn)步。所以，危機(jī)往往是危機(jī)的解決就意味著進(jìn)步。所以，危機(jī)往往是數(shù)學(xué)發(fā)展的先導(dǎo)。數(shù)學(xué)發(fā)展史上有三次數(shù)學(xué)危數(shù)學(xué)發(fā)展的先導(dǎo)。數(shù)學(xué)發(fā)展史上有三次數(shù)學(xué)危機(jī)。每一次數(shù)學(xué)危機(jī)，都是機(jī)。每一次數(shù)學(xué)危機(jī)，都是數(shù)學(xué)的基本部分?jǐn)?shù)學(xué)的基本部分受受到質(zhì)疑。實(shí)際上，也恰恰是這到質(zhì)疑。實(shí)際上，也恰恰是這三次危機(jī)，引發(fā)三次危機(jī)，引發(fā)了數(shù)學(xué)上的三次思想解放了數(shù)學(xué)上的三次思想解放，大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)科，大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。學(xué)的發(fā)展。4 一一. 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 1. 1.危機(jī)的起因危機(jī)的起因： 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是

3、由是由 不不 能寫(xiě)能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)之比成兩個(gè)整數(shù)之比引發(fā)的。引發(fā)的。 2畢達(dá)哥拉斯（約公元前580-前500）古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家5 1 . 1 . 這 一 危 機(jī) 發(fā) 生 在 公 元 前這 一 危 機(jī) 發(fā) 生 在 公 元 前 5 5 世 紀(jì) ， 危 機(jī)世 紀(jì) ， 危 機(jī) 來(lái) 源 于 ： 當(dāng) 時(shí) 認(rèn) 為 所 有 的 數(shù) 都 能 表 示 為 整來(lái) 源 于 ： 當(dāng) 時(shí) 認(rèn) 為 所 有 的 數(shù) 都 能 表 示 為 整 數(shù)比，但突然發(fā)現(xiàn)數(shù)比，但突然發(fā)現(xiàn) 不能表為整數(shù)比。第一次數(shù)不能表為整數(shù)比。第一次數(shù)學(xué) 危 機(jī) 是 由 畢 達(dá) 哥 拉 斯 學(xué) 派 內(nèi) 部 提 出 的學(xué) 危 機(jī) 是 由 畢 達(dá)

4、哥 拉 斯 學(xué) 派 內(nèi) 部 提 出 的 . . 2. 2. 危機(jī)的實(shí)質(zhì)：危機(jī)的實(shí)質(zhì)： 是無(wú)理數(shù)，全體整數(shù)之比構(gòu)是無(wú)理數(shù)，全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴(kuò)充，需要添加成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴(kuò)充，需要添加無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù). .226當(dāng)時(shí)古希臘的歐多克索斯部分地解決了這一危當(dāng)時(shí)古希臘的歐多克索斯部分地解決了這一危機(jī)。他采用了一個(gè)十分巧妙的關(guān)于機(jī)。他采用了一個(gè)十分巧妙的關(guān)于“兩個(gè)量之兩個(gè)量之比比”的新說(shuō)法，回避了的新說(shuō)法，回避了 是無(wú)理數(shù)的實(shí)質(zhì)，而是無(wú)理數(shù)的實(shí)質(zhì)，而是用幾何的方法去處理是用幾何的方法去處理不可公度比不可公度比。這樣做的。這樣做的結(jié)果，使幾何的基礎(chǔ)牢靠了，幾何從全部數(shù)學(xué)結(jié)果

5、，使幾何的基礎(chǔ)牢靠了，幾何從全部數(shù)學(xué)中脫穎而出。歐幾里得的幾何原本中也采中脫穎而出。歐幾里得的幾何原本中也采用了這一說(shuō)法，以致在以后的近二千年中，幾用了這一說(shuō)法，以致在以后的近二千年中，幾何變成了幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。何變成了幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。273. 危機(jī)的解決危機(jī)的解決 但是徹底解決這一危機(jī)是在但是徹底解決這一危機(jī)是在1919世紀(jì)，依賴于世紀(jì)，依賴于數(shù)系的擴(kuò)張。直到人類認(rèn)識(shí)了實(shí)數(shù)系，這次數(shù)系的擴(kuò)張。直到人類認(rèn)識(shí)了實(shí)數(shù)系，這次危機(jī)才算徹底解決，這已經(jīng)是兩千多年以后危機(jī)才算徹底解決，這已經(jīng)是兩千多年以后的事情了。的事情了。8 二二. 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生

6、在牛頓創(chuàng)立微積分第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)則拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)則是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對(duì)牛頓的，是對(duì)牛頓 “無(wú)窮小量無(wú)窮小量”說(shuō)法的質(zhì)疑引說(shuō)法的質(zhì)疑引起的。起的。9 1危機(jī)的引發(fā)危機(jī)的引發(fā) 1 1）牛頓的）牛頓的“無(wú)窮小無(wú)窮小” 牛頓的微積分是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就，蘊(yùn)含牛頓的微積分是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就，蘊(yùn)含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問(wèn)題。我著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問(wèn)題。我們來(lái)看一個(gè)例子。們來(lái)

7、看一個(gè)例子。 微積分的一個(gè)來(lái)源，是想求運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)微積分的一個(gè)來(lái)源，是想求運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的刻的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度。在牛頓之前，只能求一段時(shí)間內(nèi)。在牛頓之前，只能求一段時(shí)間內(nèi)的的平均速度平均速度，無(wú)法求某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，無(wú)法求某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。10 例如，設(shè)自由落體在時(shí)間例如，設(shè)自由落體在時(shí)間 下落的距離為下落的距離為 ，有公式有公式 ，其中，其中 是固定的重力加速度。是固定的重力加速度。我們要求物體在我們要求物體在 的瞬時(shí)速度，先求的瞬時(shí)速度，先求 。 （*）t)(tS221)(gttSg0ttS22101022200011( )( )2211()2() 22SS tS tgtgtg

8、 tttgttt 01()2Sgtgtt11 當(dāng)當(dāng) 變成無(wú)窮小時(shí)，右端的變成無(wú)窮小時(shí)，右端的 也變成無(wú)窮小，因而上式右端就可以認(rèn)為也變成無(wú)窮小，因而上式右端就可以認(rèn)為是是 ，這就是物體在，這就是物體在 時(shí)的瞬時(shí)速度，時(shí)的瞬時(shí)速度，它是兩個(gè)無(wú)窮小之比。它是兩個(gè)無(wú)窮小之比。 牛頓的這一方法很好用，解決了大量過(guò)牛頓的這一方法很好用，解決了大量過(guò)去無(wú)法解決的科技問(wèn)題。但是邏輯上不嚴(yán)去無(wú)法解決的科技問(wèn)題。但是邏輯上不嚴(yán)格，遭到責(zé)難。格，遭到責(zé)難。t)(21tg0gt0t12 2）貝克萊的發(fā)難）貝克萊的發(fā)難 英國(guó)的貝克萊大主教發(fā)表文章猛英國(guó)的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。烈攻擊牛頓的理論。 貝克

9、萊問(wèn)道：貝克萊問(wèn)道：“無(wú)窮小無(wú)窮小”作為一個(gè)作為一個(gè)量，究竟是不是量，究竟是不是0 0？1301()2Sgtgtt 如果是如果是0，上式左端當(dāng)，上式左端當(dāng) 成無(wú)窮小后分母為成無(wú)窮小后分母為0，就，就沒(méi)有意義了。如果不是沒(méi)有意義了。如果不是0，上式右端的，上式右端的 就不能就不能任意去掉。任意去掉。t1()2gt 在推出上式時(shí)，假定了在推出上式時(shí)，假定了 才能做除法，所以才能做除法，所以上式的成立是以上式的成立是以 為前提的。那么，為什么又為前提的。那么，為什么又可以讓可以讓 而求得瞬時(shí)速度呢？而求得瞬時(shí)速度呢？ 因此，牛頓的這一套運(yùn)算方法，就如同從因此，牛頓的這一套運(yùn)算方法，就如同從 出發(fā)，兩

10、端同除以出發(fā)，兩端同除以0，得出，得出5=3一樣一樣的荒謬。的荒謬。0t0t0t0305（*）14 貝克萊還諷刺挖苦說(shuō)：即然貝克萊還諷刺挖苦說(shuō)：即然 和和 都變都變成成“無(wú)窮小無(wú)窮小”了，而無(wú)窮小作為一個(gè)量，既了，而無(wú)窮小作為一個(gè)量，既不是不是0，又不是非，又不是非0，那它一定是，那它一定是“量的鬼魂量的鬼魂”了。了。 這就是著名的這就是著名的“貝克萊悖論貝克萊悖論”。 對(duì)牛頓微積分的這一責(zé)難并不是由數(shù)學(xué)家對(duì)牛頓微積分的這一責(zé)難并不是由數(shù)學(xué)家提出的，但是，提出的，但是，St15貝克萊的質(zhì)問(wèn)是擊中要害的貝克萊的質(zhì)問(wèn)是擊中要害的 數(shù)學(xué)家在將近數(shù)學(xué)家在將近200年的時(shí)間里，不能徹底年的時(shí)間里，不能徹

11、底反駁貝克萊的責(zé)難。反駁貝克萊的責(zé)難。 直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁了直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁了貝克萊的責(zé)難。貝克萊的責(zé)難。 直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“ ”語(yǔ)言，語(yǔ)言，才徹底地反駁了貝克萊的責(zé)難。才徹底地反駁了貝克萊的責(zé)難。16 3）實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)）實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn) 應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，貝克萊的責(zé)難是有道理的。應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，貝克萊的責(zé)難是有道理的?！盁o(wú)無(wú)窮小窮小”的方法在概念上和邏輯上都缺乏基礎(chǔ)。牛的方法在概念上和邏輯上都缺乏基礎(chǔ)。牛頓和當(dāng)時(shí)的其他數(shù)學(xué)家并不能在邏輯上嚴(yán)格說(shuō)清頓和當(dāng)時(shí)的其他數(shù)學(xué)家并不能在邏輯上嚴(yán)格說(shuō)清“無(wú)窮小無(wú)窮小”的方法。數(shù)學(xué)家們相信它，只

12、是由于的方法。數(shù)學(xué)家們相信它，只是由于它使用起來(lái)方便有效，并且得出的結(jié)果總是對(duì)的。它使用起來(lái)方便有效，并且得出的結(jié)果總是對(duì)的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞人心的例子，顯特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以，人們示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以，人們不大相信貝克萊的指責(zé)。這表明，在大多數(shù)人的不大相信貝克萊的指責(zé)。這表明，在大多數(shù)人的腦海里，腦海里，“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)?！?7 2危機(jī)的實(shí)質(zhì)危機(jī)的實(shí)質(zhì) 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是 “ 不不是有理數(shù)，而是無(wú)理數(shù)是有理數(shù)，而是無(wú)理數(shù)”。那么第二次數(shù)。那么第二

13、次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是什么？應(yīng)該說(shuō)，是學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是什么？應(yīng)該說(shuō)，是極限的極限的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也也就是說(shuō)，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。就是說(shuō)，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。218 其實(shí)，在牛頓把瞬時(shí)速度說(shuō)成其實(shí)，在牛頓把瞬時(shí)速度說(shuō)成“物體所走的無(wú)物體所走的無(wú)窮小距離與所用的無(wú)窮小時(shí)間之比窮小距離與所用的無(wú)窮小時(shí)間之比”的時(shí)候，這的時(shí)候，這種說(shuō)法本身就是不明確的，是含糊的。種說(shuō)法本身就是不明確的，是含糊的。 當(dāng)然，牛頓也曾在他的著作中說(shuō)明，所謂當(dāng)然，牛頓也曾在他的著作中說(shuō)明，所謂“最終的比最終的比”，就是分子、分母要成為，就是分子、分母要成為0還不是還不是

14、0時(shí)的比時(shí)的比例如（例如（*）式中的）式中的gt，它不是，它不是“最終的最終的量的比量的比”，而是，而是“比所趨近的極限比所趨近的極限”。 19 他這里雖然提出和使用了他這里雖然提出和使用了“極限極限”這個(gè)詞，但這個(gè)詞，但并沒(méi)有明確說(shuō)清這個(gè)詞的意思。并沒(méi)有明確說(shuō)清這個(gè)詞的意思。 德國(guó)的萊布尼茨雖然也同時(shí)發(fā)明了微積分，但德國(guó)的萊布尼茨雖然也同時(shí)發(fā)明了微積分，但是也沒(méi)有明確給出極限的定義。是也沒(méi)有明確給出極限的定義。 正因?yàn)槿绱?，此后近二百年間的數(shù)學(xué)家，都不正因?yàn)槿绱?，此后近二百年間的數(shù)學(xué)家，都不能滿意地解釋貝克萊提出的悖論。能滿意地解釋貝克萊提出的悖論。20 所以，由所以，由“無(wú)窮小無(wú)窮小”引發(fā)

15、的第二次數(shù)學(xué)引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，危機(jī)，實(shí)質(zhì)上是缺少嚴(yán)密的極限概念和極限實(shí)質(zhì)上是缺少嚴(yán)密的極限概念和極限理論作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)。理論作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)。21牛頓（英，1642-1727） 萊布尼茨（德，1646-1716）22 3危機(jī)的解決危機(jī)的解決 1）必要性）必要性 微積分雖然在發(fā)展，但微積分的微積分雖然在發(fā)展，但微積分的邏輯基礎(chǔ)上存在的問(wèn)題是那樣明顯，邏輯基礎(chǔ)上存在的問(wèn)題是那樣明顯，這畢竟是數(shù)學(xué)家的一塊心病。這畢竟是數(shù)學(xué)家的一塊心病。23 而且，隨著時(shí)間的推移，研究范圍的擴(kuò)而且，隨著時(shí)間的推移，研究范圍的擴(kuò)大，類似的悖論日益增多。數(shù)學(xué)家在研究無(wú)大，類似的悖論日益增多。數(shù)學(xué)家在研究無(wú)窮級(jí)數(shù)

16、的時(shí)候，做出許多錯(cuò)誤的證明，并由窮級(jí)數(shù)的時(shí)候，做出許多錯(cuò)誤的證明，并由此得到許多錯(cuò)誤的結(jié)論。由于沒(méi)有嚴(yán)格的極此得到許多錯(cuò)誤的結(jié)論。由于沒(méi)有嚴(yán)格的極限理論作為基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)家們?cè)谟邢夼c無(wú)限之限理論作為基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)家們?cè)谟邢夼c無(wú)限之間任意通行（不考慮無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的問(wèn)題）。間任意通行（不考慮無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的問(wèn)題）。 24 因此，進(jìn)入因此，進(jìn)入19世紀(jì)時(shí)，一方面微積分世紀(jì)時(shí)，一方面微積分取得的成就超出人們的預(yù)料，另一方面取得的成就超出人們的預(yù)料，另一方面,大量的數(shù)學(xué)理論沒(méi)有正確、牢固的邏輯基大量的數(shù)學(xué)理論沒(méi)有正確、牢固的邏輯基礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學(xué)結(jié)論是正確無(wú)誤的。礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學(xué)結(jié)論是正確無(wú)誤的。 歷史要

17、求為微積分學(xué)說(shuō)奠基。歷史要求為微積分學(xué)說(shuō)奠基。25 2）嚴(yán)格的極限理論的建立）嚴(yán)格的極限理論的建立 到到19世紀(jì)，一批杰出數(shù)學(xué)家辛勤、世紀(jì)，一批杰出數(shù)學(xué)家辛勤、天才的工作，終于逐步建立了嚴(yán)格的極限天才的工作，終于逐步建立了嚴(yán)格的極限理論，并把它作為微積分的基礎(chǔ)。理論，并把它作為微積分的基礎(chǔ)。 應(yīng)該指出，嚴(yán)格的極限理論的建立是應(yīng)該指出，嚴(yán)格的極限理論的建立是逐步的、漫長(zhǎng)的。逐步的、漫長(zhǎng)的。26 在在18世紀(jì)時(shí)，人們已經(jīng)建立了極限理論，但世紀(jì)時(shí)，人們已經(jīng)建立了極限理論，但那是初步的、粗糙的。那是初步的、粗糙的。 達(dá)朗貝爾在達(dá)朗貝爾在1754年指出，必須用可靠的理論年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)

18、使用的粗糙的極限理論。但他本人未能去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。提供這樣的理論。 19世紀(jì)初，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾開(kāi)始將嚴(yán)格世紀(jì)初，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾開(kāi)始將嚴(yán)格的論證引入數(shù)學(xué)分析，他寫(xiě)的的論證引入數(shù)學(xué)分析，他寫(xiě)的無(wú)窮的悖論無(wú)窮的悖論一書(shū)一書(shū)中包含許多真知灼見(jiàn)。中包含許多真知灼見(jiàn)。27 而做出決定性工作、可稱為分析學(xué)的而做出決定性工作、可稱為分析學(xué)的奠基人的是奠基人的是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在。他在18211823年間出版的年間出版的分析教程分析教程和和無(wú)窮小計(jì)無(wú)窮小計(jì)算講義算講義是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。他對(duì)極是數(shù)學(xué)

19、史上劃時(shí)代的著作。他對(duì)極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性，導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性，已與我們現(xiàn)在教科書(shū)上的差不太多了。已與我們現(xiàn)在教科書(shū)上的差不太多了。28柯西柯西（法，（法，1789-1857）波爾查諾波爾查諾（捷，（捷，1781-1848）29 3）嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論的建立）嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論的建立 對(duì)以往理論的再認(rèn)識(shí)對(duì)以往理論的再認(rèn)識(shí) 后來(lái)的一些發(fā)現(xiàn)，使人們認(rèn)識(shí)到，極限后來(lái)的一些發(fā)現(xiàn)，使人們認(rèn)識(shí)到，極限理論的進(jìn)一步嚴(yán)格化，需要實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格理論的進(jìn)一步嚴(yán)格化，需要實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格化。微積分或者說(shuō)數(shù)學(xué)分析

20、，是在實(shí)數(shù)范圍化。微積分或者說(shuō)數(shù)學(xué)分析，是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究的。但是，下邊兩件事，表明極限概內(nèi)研究的。但是，下邊兩件事，表明極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對(duì)實(shí)數(shù)系的依念、連續(xù)性、可微性和收斂性對(duì)實(shí)數(shù)系的依賴比人們想象的要深?yuàn)W得多。賴比人們想象的要深?yuàn)W得多。30 一件事是，一件事是，1874年年德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（K.T.W.Weirstrass，18151897）構(gòu)造了一個(gè)）構(gòu)造了一個(gè) “點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)”。 “連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)”在直觀上是在直觀上是“函數(shù)曲線沒(méi)有間斷，函數(shù)曲線沒(méi)有間斷，連在一起連在一起”，而，而“函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)

21、在一點(diǎn)可導(dǎo)”直觀上是直觀上是“函函數(shù)曲線在該點(diǎn)有切線數(shù)曲線在該點(diǎn)有切線”。所以，在直觀上。所以，在直觀上“連續(xù)連續(xù)”與與“可導(dǎo)可導(dǎo)”有密切的聯(lián)系。有密切的聯(lián)系。 這之前甚至有人還證明過(guò)：函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)上都這之前甚至有人還證明過(guò)：函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)上都可導(dǎo)（當(dāng)然是錯(cuò)誤的）。因此根本不可想象，還會(huì)可導(dǎo)（當(dāng)然是錯(cuò)誤的）。因此根本不可想象，還會(huì)有有“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)”。 31 魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯 德意志帝國(guó)數(shù)學(xué)家。1815年10月31日生于威斯特法倫州的奧斯滕費(fèi)爾德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律和財(cái)政。1838年轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)。18421856

22、年，先后在幾所中學(xué)任教。1854年3月31日獲得哥尼斯堡大學(xué)名譽(yù)博士學(xué)位。1856年10月受聘為柏林大學(xué)助理教授，同年成為柏林科學(xué)院成員，1864年升為教授。 魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯 (德，德，18151897)32 魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯 關(guān)于關(guān)于 “點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)”的例子是的例子是 其中其中 是奇數(shù)，是奇數(shù)， ， 使使 。0( )cos()nnnf xbax) 1 , 0(b231aba33 另一件事是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼另一件事是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼（B.Riemann，18261866）發(fā)現(xiàn)，）發(fā)現(xiàn)，柯西把定積分限制于連續(xù)函數(shù)是沒(méi)有必柯西把定積分限制于連續(xù)

23、函數(shù)是沒(méi)有必要的。要的。黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。其定積分也可能存在。 34黎曼還造出一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量取無(wú)理黎曼還造出一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量取無(wú)理數(shù)時(shí)它是連續(xù)的，當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)數(shù)時(shí)它是連續(xù)的，當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)它是不連續(xù)的。它是不連續(xù)的。35 黎曼黎曼 1826年9月17日，黎曼生于德國(guó)北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個(gè)鄉(xiāng)村的窮苦牧師。他六歲開(kāi)始上學(xué)，14歲進(jìn)入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)，19歲按其父親的意愿進(jìn)入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)， 1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學(xué)生。1849年重回哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位

24、，成為高斯晚年的學(xué)生。黎曼（德，黎曼（德，1826-1866）36 這些例子使數(shù)學(xué)家們?cè)絹?lái)越明這些例子使數(shù)學(xué)家們?cè)絹?lái)越明白，在為分析建立一個(gè)完善的基礎(chǔ)白，在為分析建立一個(gè)完善的基礎(chǔ)方面，還需要再前進(jìn)一步：即方面，還需要再前進(jìn)一步：即需要需要理解和闡明實(shí)數(shù)系的更深刻的性質(zhì)。理解和闡明實(shí)數(shù)系的更深刻的性質(zhì)。37 魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn) 德 國(guó) 數(shù) 學(xué) 家 魏 爾 斯 特 拉 斯 （德 國(guó) 數(shù) 學(xué) 家 魏 爾 斯 特 拉 斯 （ K a r l Weierstrass，18151897）的努力，終于使）的努力，終于使分析學(xué)從完全依靠運(yùn)動(dòng)學(xué)、直觀理解和幾何概分析學(xué)從完全依靠運(yùn)動(dòng)學(xué)、直觀理

25、解和幾何概念中解放出來(lái)。他的成功產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，念中解放出來(lái)。他的成功產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，主要表現(xiàn)在兩方面，主要表現(xiàn)在兩方面，一方面是建立了實(shí)數(shù)系，一方面是建立了實(shí)數(shù)系，另一方面是創(chuàng)造了精確的另一方面是創(chuàng)造了精確的“ ”語(yǔ)言。語(yǔ)言。38 “ ”語(yǔ)言的成功，表現(xiàn)在：語(yǔ)言的成功，表現(xiàn)在： 這 一 語(yǔ) 言 給 出 極 限 的 準(zhǔn) 確 描 述 ， 消 除這 一 語(yǔ) 言 給 出 極 限 的 準(zhǔn) 確 描 述 ， 消 除了 歷 史 上 各 種 模 糊 的 用 語(yǔ) ， 諸 如了 歷 史 上 各 種 模 糊 的 用 語(yǔ) ， 諸 如 “ 最 終最 終比比”、“無(wú)限地趨近于無(wú)限地趨近于”，等等。，等等。 這 樣 一

26、 來(lái) ， 分 析 中 的 所 有 基 本 概 念 都這 樣 一 來(lái) ， 分 析 中 的 所 有 基 本 概 念 都可 以 通 過(guò) 實(shí) 數(shù) 和 它 們 的 基 本 運(yùn) 算 和 關(guān) 系 精可 以 通 過(guò) 實(shí) 數(shù) 和 它 們 的 基 本 運(yùn) 算 和 關(guān) 系 精確地表述出來(lái)。確地表述出來(lái)。39 4）極限的）極限的“ ”定義及定義及“貝克萊貝克萊悖悖論論” 的消除的消除 極限的極限的“ ”定義定義40 定義：設(shè)函數(shù)定義：設(shè)函數(shù) 在在 的附近都有定的附近都有定義，如果有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)義，如果有一個(gè)確定的實(shí)數(shù) （無(wú)論多無(wú)論多么小的正數(shù)么小的正數(shù) ）。）。 都都 （都能找到一個(gè)正數(shù)都能找到一個(gè)正數(shù) ，依賴，依

27、賴于于 ），使當(dāng)），使當(dāng) 時(shí)（時(shí)（滿足不等滿足不等式式 的所有不等于的所有不等于 的的 ），有），有 （這些這些 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與與 的差小于預(yù)先給定的任意小的的差小于預(yù)先給定的任意小的 ）我們就）我們就說(shuō)說(shuō)“函數(shù)函數(shù) 在在 趨近于趨近于 時(shí)，有極限時(shí)，有極限 ” 。 記為記為 。 1x)(xf1x,0a0|01xx|1xx1xxxa|)(|axf)(xf)(xfxaaxfxx)(lim141 由極限的這個(gè)由極限的這個(gè) “ ”定義，可以求定義，可以求出一些基本的極限，并嚴(yán)格地建立一整套出一些基本的極限，并嚴(yán)格地建立一整套豐富的極限理論。簡(jiǎn)單說(shuō)，例如有豐富的極限理論。簡(jiǎn)單說(shuō)，例如有兩

28、個(gè) 相 等 的 函 數(shù) ， 取 極 限 后 仍 相 等 ；兩 個(gè) 相 等 的 函 數(shù) ， 取 極 限 后 仍 相 等 ；兩個(gè)函數(shù)，代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和。兩個(gè)函數(shù)，代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和。等等。等等。 由此再建立嚴(yán)格的微積分理論。由此再建立嚴(yán)格的微積分理論。42 “貝克萊悖論貝克萊悖論”的消除的消除 回到牛頓的（回到牛頓的（*）式上：）式上： （*） 這是在這是在 （即（即 ）條件下，得到的等）條件下，得到的等式；它表明式；它表明 時(shí)間內(nèi)物體的平均速度時(shí)間內(nèi)物體的平均速度為為 。（。（*）式兩邊都是）式兩邊都是 t 的函數(shù)。的函數(shù)。然后，我們把物體在然后，我們把物體在 時(shí)刻的瞬時(shí)速

29、度定義時(shí)刻的瞬時(shí)速度定義為：上述平均速度當(dāng)為：上述平均速度當(dāng) 趨于趨于0時(shí)的極限，即時(shí)的極限，即 物體在物體在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度時(shí)刻的瞬時(shí)速度= 。)0)(210ttggttS0t01tt t)(210tggt0tt0ttSt0lim43 下邊我們對(duì)（下邊我們對(duì)（*）式的等號(hào)兩邊同時(shí)取）式的等號(hào)兩邊同時(shí)取極限極限 ，根據(jù)，根據(jù)“兩個(gè)相等的函數(shù)取兩個(gè)相等的函數(shù)取極極限后仍相等限后仍相等”，得，得 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度=再根據(jù)再根據(jù)“兩個(gè)函數(shù)和的極限等于極限的兩個(gè)函數(shù)和的極限等于極限的和和”，得，得然后再求極限得然后再求極限得 0t)(21(lim00tggtt)(21limlim)(21(lim000

30、00tggttggtttt000gtgt44 上述過(guò)程所得結(jié)論與牛頓原先的結(jié)論上述過(guò)程所得結(jié)論與牛頓原先的結(jié)論是一樣的，但每一步都有了嚴(yán)格的邏輯基是一樣的，但每一步都有了嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)。礎(chǔ)。“貝克萊悖論貝克萊悖論”的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)“無(wú)窮小量無(wú)窮小量 是是不是不是0？”，在這里給出了明確的回答：，在這里給出了明確的回答： 。 這里也沒(méi)有這里也沒(méi)有“最終比最終比”或或“無(wú)限趨近無(wú)限趨近于于”那樣含糊不清的說(shuō)法。那樣含糊不清的說(shuō)法。0tt45 總之，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的核心是微積分的基礎(chǔ)總之，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的核心是微積分的基礎(chǔ)不穩(wěn)固。柯西的貢獻(xiàn)在于，將微積分建立在極限不穩(wěn)固。柯西的貢獻(xiàn)在于，將微積分建立在極

31、限論的基礎(chǔ)。魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)在于，邏輯地構(gòu)論的基礎(chǔ)。魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)在于，邏輯地構(gòu)造了實(shí)數(shù)系，建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，使之成為造了實(shí)數(shù)系，建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，使之成為極限理論的基礎(chǔ)。所以，極限理論的基礎(chǔ)。所以，建立數(shù)學(xué)分析（或者說(shuō)建立數(shù)學(xué)分析（或者說(shuō)微積分）基礎(chǔ)的微積分）基礎(chǔ)的“邏輯順序邏輯順序”是：是： 實(shí)數(shù)理論實(shí)數(shù)理論極限理論極限理論微積分。微積分。 而而“歷史順序歷史順序”則正好相反。則正好相反。46知識(shí)的知識(shí)的邏輯順序邏輯順序與與歷史順序歷史順序有時(shí)是有時(shí)是不同不同的的.47 三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī) 1“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光的曙光集合論集合論 到到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)從

32、各方面走向成熟。非歐幾何世紀(jì)，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴(kuò)展和完善；實(shí)數(shù)理論（和的出現(xiàn)使幾何理論更加擴(kuò)展和完善；實(shí)數(shù)理論（和極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個(gè)數(shù)學(xué)的為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在哪里？正在這時(shí)，基礎(chǔ)在哪里？正在這時(shí)，19世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了。世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺(jué)到，集合論有可能成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。人們感覺(jué)到，集合論有可能成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。48 其

33、理由是：算術(shù)以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等為對(duì)象，微積分其理由是：算術(shù)以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等為對(duì)象，微積分以變數(shù)、函數(shù)為對(duì)象，幾何以點(diǎn)、線、面及其組成以變數(shù)、函數(shù)為對(duì)象，幾何以點(diǎn)、線、面及其組成的圖形為對(duì)象。同時(shí)，用集合論的語(yǔ)言，算術(shù)的對(duì)的圖形為對(duì)象。同時(shí)，用集合論的語(yǔ)言，算術(shù)的對(duì)象可說(shuō)成是象可說(shuō)成是“以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等組成的以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等組成的集合集合”；微積；微積分的對(duì)象可說(shuō)成是分的對(duì)象可說(shuō)成是“以函數(shù)等組成的以函數(shù)等組成的集合集合”；幾何；幾何的對(duì)象可說(shuō)成是的對(duì)象可說(shuō)成是“以點(diǎn)、線、面等組成的以點(diǎn)、線、面等組成的集合集合”。這樣一來(lái)，這樣一來(lái)，都是以集合為對(duì)象都是以集合為對(duì)象了。了。集合成了更基本集合成了更基本的概

34、念。的概念。49 于是，集合論似乎給數(shù)學(xué)家?guī)?lái)了曙光：于是，集合論似乎給數(shù)學(xué)家?guī)?lái)了曙光：可能會(huì)一勞永逸地?cái)[脫可能會(huì)一勞永逸地?cái)[脫“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的危機(jī)。的危機(jī)。盡管集合論自身的相容性尚未證明，但許多盡管集合論自身的相容性尚未證明，但許多人認(rèn)為這只是時(shí)間問(wèn)題。龐加萊（人認(rèn)為這只是時(shí)間問(wèn)題。龐加萊（ (Jules Henri Poincar，法，法，1854-1912 ）甚至在）甚至在1900年巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上宣稱：年巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上宣稱：“現(xiàn)在現(xiàn)在我們可以說(shuō)，完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了！我們可以說(shuō)，完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了！”50 2算術(shù)的集合論基礎(chǔ)算術(shù)的集合論基礎(chǔ) 1）人們按下列邏輯順

35、序把全部數(shù)學(xué)的基）人們按下列邏輯順序把全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)歸結(jié)為算術(shù)，即歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)，即自然數(shù)礎(chǔ)歸結(jié)為算術(shù)，即歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)，即自然數(shù)集合加上集合加上0現(xiàn)在我國(guó)中小學(xué)就把這一集合現(xiàn)在我國(guó)中小學(xué)就把這一集合稱為自然數(shù)集合。稱為自然數(shù)集合。（算術(shù)）非負(fù)整數(shù)（算術(shù)）非負(fù)整數(shù)n有理數(shù)有理數(shù) 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 圖形圖形()nm 取極限11 ba 解析幾何51 因此，全部數(shù)學(xué)似乎都可歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)了，因此，全部數(shù)學(xué)似乎都可歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)了，或者說(shuō)，或者說(shuō)，全部數(shù)學(xué)都可以歸結(jié)為算術(shù)了。全部數(shù)學(xué)都可以歸結(jié)為算術(shù)了。 這樣，如果能把算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，這樣，如果能把算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，就相當(dāng)于解決了整

36、個(gè)就相當(dāng)于解決了整個(gè)“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的問(wèn)題。的問(wèn)題。 法國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)理邏輯先驅(qū)法國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)理邏輯先驅(qū)弗雷格弗雷格（G.Frege,18481925）就做了這樣的工作。他寫(xiě)）就做了這樣的工作。他寫(xiě)了一本名叫了一本名叫算術(shù)基礎(chǔ)算術(shù)基礎(chǔ)的書(shū)。的書(shū)。52弗雷格弗雷格（法（法,18481925）算術(shù)基礎(chǔ)算術(shù)基礎(chǔ)53 2) 弗雷格的弗雷格的算術(shù)基礎(chǔ)算術(shù)基礎(chǔ) 為了使算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，所有為了使算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，所有的非負(fù)整數(shù)，都需要用集合論的觀點(diǎn)和語(yǔ)言的非負(fù)整數(shù)，都需要用集合論的觀點(diǎn)和語(yǔ)言重新定義。重新定義。 首先從首先從0說(shuō)起。說(shuō)起。0是什么？是什么？應(yīng)當(dāng)先回答應(yīng)當(dāng)先回答0是什么，然

37、后才有表示是什么，然后才有表示“0”的符的符號(hào)。號(hào)。54 為此，先定義為此，先定義“空集空集”?？占??？占恰安缓缓氐募纤氐募稀?。例如，。例如，“ 方程方程 在實(shí)在實(shí)數(shù)集中的根的集合數(shù)集中的根的集合 ”就是一個(gè)空集，再例就是一個(gè)空集，再例如如“由最大的正整數(shù)組成的集合由最大的正整數(shù)組成的集合”也是一個(gè)也是一個(gè)空集?？占?。210 x 55 所有的空集放在一起，作成一個(gè)集合的所有的空集放在一起，作成一個(gè)集合的集合集合，（為說(shuō)話簡(jiǎn)單我們把，（為說(shuō)話簡(jiǎn)單我們把“集合的集合集合的集合”稱作類），這個(gè)類，就可以給它一個(gè)符號(hào)：稱作類），這個(gè)類，就可以給它一個(gè)符號(hào)：0，中國(guó)人念，中國(guó)人念“l(fā)in

38、g”，英國(guó)人念，英國(guó)人念“Zero”。 空集是空的，但由所有空集組成的類，空集是空的，但由所有空集組成的類，它本身卻是一個(gè)元素了，即，它本身卻是一個(gè)元素了，即，0是一個(gè)元素是一個(gè)元素了。由它再作成一個(gè)集合了。由它再作成一個(gè)集合0，則不是空集，則不是空集了。了。56 弗雷格再定義兩個(gè)集合間的弗雷格再定義兩個(gè)集合間的雙射雙射：既是滿射又：既是滿射又是單射的映射叫作雙射，也稱是單射的映射叫作雙射，也稱可逆映射可逆映射；通俗地；通俗地說(shuō)，就是存在逆映射的映射。它可以在兩個(gè)集合說(shuō)，就是存在逆映射的映射。它可以在兩個(gè)集合間來(lái)回地映射，所以一般稱為間來(lái)回地映射，所以一般稱為“雙射雙射”。 弗雷格再定義弗雷格

39、再定義兩個(gè)集合的兩個(gè)集合的“等價(jià)等價(jià)”： ， 能夠在其間建立雙射的兩個(gè)集合能夠在其間建立雙射的兩個(gè)集合A、B稱為稱為“等等價(jià)價(jià)”。AB可逆映射57 下邊可以定義下邊可以定義“1”了。把了。把與集合與集合0等價(jià)等價(jià)的所有集合放在一起，作成一個(gè)集合的集合。的所有集合放在一起，作成一個(gè)集合的集合。這個(gè)類，就可以給它一個(gè)符號(hào)：這個(gè)類，就可以給它一個(gè)符號(hào)：1。 再定義再定義“2”。把。把與集合與集合0，1等價(jià)的所有等價(jià)的所有集合放在一起，作成一個(gè)集合的集合。這個(gè)集合放在一起，作成一個(gè)集合的集合。這個(gè)類，就叫：類，就叫：2。 然后，把然后，把與與0，1，2等價(jià)的集合作成的等價(jià)的集合作成的類，叫：類，叫：3

40、。58 一般地，在有了一般地，在有了0，1，2，n的的定義后，就把所有定義后，就把所有與集合與集合0，1，2，n等價(jià)的集合放在一起，作成集合的集等價(jià)的集合放在一起，作成集合的集合，這樣的類，定義為：合，這樣的類，定義為：n+1。 這種定義概念的方法，叫作這種定義概念的方法，叫作“歸納定歸納定義義”的方法。的方法。59 這樣，弗雷格就這樣，弗雷格就從空集出發(fā)，而僅僅從空集出發(fā)，而僅僅用到用到集合集合及及集合等價(jià)集合等價(jià)的概念的概念，把全部非負(fù)，把全部非負(fù)整數(shù)定義出來(lái)了。于是根據(jù)上邊說(shuō)的整數(shù)定義出來(lái)了。于是根據(jù)上邊說(shuō)的“可可以把全部數(shù)學(xué)歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)以把全部數(shù)學(xué)歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)”，就可以，就可以說(shuō)，

41、說(shuō)，全部數(shù)學(xué)可以建立在集合論的基礎(chǔ)上全部數(shù)學(xué)可以建立在集合論的基礎(chǔ)上了。了。60 3 羅素的羅素的“集合論悖論集合論悖論”引發(fā)危機(jī)引發(fā)危機(jī) 1） 悖論引起震憾和危機(jī)悖論引起震憾和危機(jī) 正 當(dāng) 弗 雷 格 即 將 出 版 他 的正 當(dāng) 弗 雷 格 即 將 出 版 他 的 算 術(shù) 基算 術(shù) 基礎(chǔ)礎(chǔ)一書(shū)的時(shí)候，羅素的集合論悖論出來(lái)一書(shū)的時(shí)候，羅素的集合論悖論出來(lái)了。這也是龐加萊宣布了。這也是龐加萊宣布“完全嚴(yán)格的數(shù)學(xué)完全嚴(yán)格的數(shù)學(xué)已經(jīng)建立起來(lái)！已經(jīng)建立起來(lái)！”之后剛剛兩年，即之后剛剛兩年，即1902年。年。61 伯特蘭伯特蘭羅素（羅素（1872-1970）Russell, Bertrand Arth

42、ur William(Third Earl Russell)學(xué)科成就：學(xué)科成就：英國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家，分析學(xué)的主要?jiǎng)?chuàng)始人，世界和平運(yùn)動(dòng)的倡導(dǎo)者和組織者。所獲獎(jiǎng)項(xiàng)所獲獎(jiǎng)項(xiàng)：1950年諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。 頒獎(jiǎng)詞：頒獎(jiǎng)詞：當(dāng)代理性和人道的最杰出的代言人之一，西方自由言論和自由思想的無(wú)畏斗士。羅素羅素（英，英，1872-1970）62 集合論中居然有邏輯上的矛盾！集合論中居然有邏輯上的矛盾！ 傾 刻 之 間 ， 算 術(shù) 的 基 礎(chǔ) 動(dòng) 搖 了 ， 整 個(gè)傾 刻 之 間 ， 算 術(shù) 的 基 礎(chǔ) 動(dòng) 搖 了 ， 整 個(gè)數(shù) 學(xué) 的 基 礎(chǔ) 似 乎 也 動(dòng) 搖 了 。 這 一 動(dòng) 搖 所 帶數(shù) 學(xué) 的

43、 基 礎(chǔ) 似 乎 也 動(dòng) 搖 了 。 這 一 動(dòng) 搖 所 帶來(lái) 的 震 憾 是 空 前 的 。 許 多 原 先 為 集 合 論 興來(lái) 的 震 憾 是 空 前 的 。 許 多 原 先 為 集 合 論 興高 采 烈 的 數(shù) 學(xué) 家 發(fā) 出 哀 嘆 ： 我 們 的 數(shù) 學(xué) 就高 采 烈 的 數(shù) 學(xué) 家 發(fā) 出 哀 嘆 ： 我 們 的 數(shù) 學(xué) 就是建立在這樣的基礎(chǔ)上的嗎？是建立在這樣的基礎(chǔ)上的嗎？ 羅 素 悖 論 引 發(fā) 的 危 機(jī) ， 就 稱 為 第 三 次羅 素 悖 論 引 發(fā) 的 危 機(jī) ， 就 稱 為 第 三 次數(shù)學(xué)危機(jī)。數(shù)學(xué)危機(jī)。63 羅素把他發(fā)現(xiàn)的悖論寫(xiě)信告訴弗雷羅素把他發(fā)現(xiàn)的悖論寫(xiě)信告訴

44、弗雷格。弗雷格在他的格。弗雷格在他的算術(shù)基礎(chǔ)算術(shù)基礎(chǔ)一書(shū)的末一書(shū)的末尾無(wú)可奈何地寫(xiě)道：尾無(wú)可奈何地寫(xiě)道：“一個(gè)科學(xué)家遇到的一個(gè)科學(xué)家遇到的最不愉快的事莫過(guò)于，當(dāng)他的工作完成最不愉快的事莫過(guò)于，當(dāng)他的工作完成時(shí)，基礎(chǔ)崩塌了。當(dāng)本書(shū)即將印刷時(shí)，羅時(shí)，基礎(chǔ)崩塌了。當(dāng)本書(shū)即將印刷時(shí)，羅素先生的一封信就使我陷入這樣的尷尬境素先生的一封信就使我陷入這樣的尷尬境地。地?！?4 2） 羅素悖論羅素悖論 在 敘 述 羅 素 悖 論 之 前在 敘 述 羅 素 悖 論 之 前 , 我 們 先 注 意 到我 們 先 注 意 到下邊的事實(shí)：一個(gè)集合或者是它本身的成下邊的事實(shí)：一個(gè)集合或者是它本身的成員員(元素元素),或

45、者不是它本身的成員或者不是它本身的成員(元素元素)，兩者必居其一。羅素把前者稱為兩者必居其一。羅素把前者稱為“異常集異常集合合”，把后者稱為，把后者稱為“正常集合正常集合”。65 例如例如,所有抽象概念的集合，本身還是抽象概念。所有抽象概念的集合，本身還是抽象概念。即，它是這一集合本身的元素，所以是即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集異常集合合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是這一集合本身的元素，所以是這一集合本身的元素，所以是“正常集合正常集合”。 再例如，所有集合的集合，本身還是集合，即，再例如，所有集合的集合，本身還是集合，即，它是這

46、一集合本身的元素，所以是它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合異常集合”。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是這一但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是這一集合本身的元素，所以是集合本身的元素，所以是“正常集合正常集合”。66羅素當(dāng)年的例子羅素當(dāng)年的例子 “異常集合異常集合” 1 1： 不多于不多于2929個(gè)字母表達(dá)的句子所構(gòu)成的集合個(gè)字母表達(dá)的句子所構(gòu)成的集合（這一集合的定義是（這一集合的定義是“不多于不多于2929個(gè)字母表達(dá)的句子個(gè)字母表達(dá)的句子”，它是這，它是這一集合本身的成員）一集合本身的成員） “異常集合異常集合” 2 2： 不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合不是麻雀的東西所構(gòu)成的集

47、合（“不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合”肯定不是麻雀，所以它是肯定不是麻雀，所以它是這一集合本身的成員）這一集合本身的成員）67 羅素悖論是：羅素悖論是：以以 表示表示“是其本身成員的是其本身成員的所有集合的集合所有集合的集合”（所有異常集合的集合），（所有異常集合的集合），而以而以 表示表示“不是它本身成員的所有集合的集不是它本身成員的所有集合的集合合”（所有正常集合的集合），于是任一集合（所有正常集合的集合），于是任一集合或者屬于或者屬于 ，或者屬于，或者屬于 ，兩者必居其一，且，兩者必居其一，且只居其一。然后問(wèn)：集合只居其一。然后問(wèn)：集合 是否是它本身的是否是它本身的

48、成員？（集合成員？（集合 是否是異常集合？）是否是異常集合？）MMNNNN68 如果如果 是它本身的成員，則按是它本身的成員，則按 及及 的定的定義，義， 是是 的成員，而不是的成員，而不是 的成員，即的成員，即 不不是它本身的成員，這與假設(shè)矛盾。即是它本身的成員，這與假設(shè)矛盾。即 如果如果 不是它本身的成員，則按不是它本身的成員，則按 及及 的定義，的定義， 是是 的成員，而不是的成員，而不是 的成員，即的成員，即 是它本身的成員，這又與假設(shè)矛盾。即是它本身的成員，這又與假設(shè)矛盾。即 悖論在于：悖論在于：無(wú)論哪一種情況，都得出矛盾。無(wú)論哪一種情況，都得出矛盾。NMNNMNNNNNMNNNMN

49、NNMN()NNNNNM69 羅素悖論的通俗化羅素悖論的通俗化“理發(fā)師悖論理發(fā)師悖論”：某村的：某村的一個(gè)理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮一個(gè)理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問(wèn)：理發(fā)師是否給自己刮臉？臉的人刮臉。問(wèn)：理發(fā)師是否給自己刮臉？ 如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給己不給自己刮臉的，按宣稱的原

50、則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。70 4 危機(jī)的消除危機(jī)的消除 危機(jī)出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)危機(jī)出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家作了巨大的努力來(lái)消除悖論。當(dāng)時(shí)消除悖論的選家作了巨大的努力來(lái)消除悖論。當(dāng)時(shí)消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。探討消除悖論的可能。 人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時(shí)，盡量把原有理論中有價(jià)值的東西保留下來(lái)。時(shí)，盡量把原有理論中有價(jià)值的東西保留下來(lái)。71 這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡(jiǎn)這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡(jiǎn)明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就留下了解決問(wèn)題的余地。留下了解決問(wèn)題的余地。 羅素等人分析后認(rèn)為，這些悖論的共同特征羅素等人分析后認(rèn)為，這些悖論的共同特征（悖論的實(shí)質(zhì)）是（悖論的實(shí)質(zhì)）是“自我指謂自我指謂”。即，。即，一個(gè)待定義一個(gè)待定義的概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來(lái)定義的概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來(lái)定義，造成