《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》--函數(shù)

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分微積分本章重點(diǎn)1、函數(shù)概念2、函數(shù)的定義域3、函數(shù)值的計(jì)算4、函數(shù)奇偶性的判別本章難點(diǎn)復(fù)合函數(shù)的分解第一篇第一章函第一篇第一章函 數(shù)數(shù)一一. 函數(shù)概念函數(shù)概念 函數(shù)是微積分學(xué)的關(guān)鍵概念，沒有函數(shù)，就沒有微積分學(xué)。1.1.在某一變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量稱在某一變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量稱為變量。為變量?！纠缋纭?復(fù)利問(wèn)題復(fù)利問(wèn)題,3,2, 1,%210tkatt圓的面積圓的面積,2rS 一般用x,y,z,s,t等表示變量。 2. 2.在某過(guò)程中始終同一數(shù)值的量稱為常量在某過(guò)程中始終同一數(shù)值的量稱為常量, ,3.3.變量的取值范圍稱為該變量的變域。變量的取值

2、范圍稱為該變量的變域。注：變域可用注：變域可用、表示：表示：【例如例如】圓周率圓周率中山到廣州的直線距離中山到廣州的直線距離S S6 , 3x如：一般用大寫字母X,D,L等表示變域。一般用a,b,c,k等表示常量。63 x或：4、函數(shù)的定義（P-5）記作： ，并稱 y 是 x 的函數(shù)，其中x是自變量自變量，y是因變量因變量，f是對(duì)應(yīng)規(guī)則對(duì)應(yīng)規(guī)則。 ，其中x是自變量自變量，y是因變量因變量， 是對(duì)應(yīng)規(guī)則對(duì)應(yīng)規(guī)則。 定義域0 x值域0yf 00 xfy 1x1y 11xfy xfy 函數(shù)的定義域：定義域：是使函數(shù)有意義的自變量x取值的全體。 也就是允許取值的范圍。二二. 求定義域求定義域確定函數(shù)定

3、義域的三條基本要求： (1) 分式的分母不能為零。即若)(1xy則要求. 0)( x(2) 偶次方根下的表達(dá)式非負(fù)。 為偶數(shù)）（nxyn )(即若：則要求. 0)( x(3) 對(duì)數(shù)函數(shù)中的真數(shù)表達(dá)式大于零。 )(logxya即若：則要求. 0)( x【例例 2.12.1】.) 1(log)(2的定義域求函數(shù)xxf【解解】有意義，必須有要使)(xf01真數(shù)部分：x1x于是所求的函數(shù)的定義域?yàn)?, 1【例例 2.2】求函數(shù)431)(2xxxf的定義域?！窘饨狻恳沟帽磉_(dá)式有意義,必須04032xx解這組不等式，得0)2)(2(3xxx所以，所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?2 23xxx或?qū)懗蓞^(qū)間的形式，得到

4、定義域：),22,3()3,(Dx3 22【練習(xí)練習(xí)1 1】.11) 1(log)(22的定義域求函數(shù)xxxf【解解】有有意意義義，必必須須有有要要使使)(xf01012xx0111xxx1 11xxx或) ,1( 寫成區(qū)間：1x即：公共部分【練習(xí)練習(xí)2 2】.3)3ln(1)(的定義域求函數(shù)xxxf【解解】有有意意義義，必必須須有有要要使使)(xf03x03 x0)3ln(x)01ln(因?yàn)?3x3x13x 3x3x2xx3 23得到定義域：3 , 2()2, 3(D 3x3x2x接下來(lái)將：寫成區(qū)間的形式三三. 計(jì)算函數(shù)的值計(jì)算函數(shù)的值 一個(gè)表達(dá)式。，還可以取自變量可以取一個(gè)數(shù)值處的值在表示

5、函數(shù)的理解關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)記號(hào) )2(;) 1 (: 00 xxxfxfxf 就是將自變量的值代入函數(shù)的表達(dá)式中，計(jì)算出因變量(函數(shù))的值來(lái)。 .1),(,0, 213. 22xfxffxxxf試計(jì)算：給定函數(shù)例解：解：22)()()(242222xxxxxf2200)0(2f211)1 (2xxxfxx32 . 1 , , 0 2xxfxx中的去替換即，相應(yīng)的用【練習(xí)練習(xí)3】設(shè) ,1xxf則 ). (xff xA1 2xD xC 21xB解：解： xfxff1x11. x所以選擇C. 更復(fù)雜一點(diǎn)，可以根據(jù)函數(shù)在某個(gè)表達(dá)式上的值，反過(guò)來(lái)求該函數(shù)的計(jì)算公式。例例 3.2已知, 2) 1(2xxf .

6、xf求解：解：，取ux 11 ux則代入已知表達(dá)式得到：122) 1()(22uuuuf再將變量 u 替換成 x ,就得到所求函數(shù)計(jì)算公式：.12)(2xxxf注：這也叫做“換元法”。)(,)(fDxxfy :函數(shù)的兩個(gè)要素函數(shù)的兩個(gè)要素的表達(dá)式為的表達(dá)式為函數(shù)函數(shù) f.)(ffD和和對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)法法則則定定義義域域判斷兩個(gè)函數(shù)相同的方法：判斷兩個(gè)函數(shù)相同的方法： 定義域定義域和和對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則都相等都相等四四. 判斷兩函數(shù)相同判斷兩函數(shù)相同例例 4.1判斷下列函數(shù)是否相同： ;,12xxgxxf ;,22xxgxxf .11, 132xxxgxxf解：解： . ,12xgxfxxxg Rxxx

7、fxxxxg;022 .xgxf ,gDfD即 ;ln2,ln12xxgxxf ;ln3,ln23xxgxxf例例 4.2判斷下列函數(shù)是否相同：xkxxkxakakloglog lnln，【公式】：【解解】 )0( ln2ln12xxxxf )0( ln2xxxg所以它們是不同的函數(shù)。表達(dá)式不同，定義域不同 )0( ln3ln23xxxxf )0( ln3xxxg定義域和表達(dá)式都相同，所以它們是相同的函數(shù)。五五. 函數(shù)的幾何性質(zhì)函數(shù)的幾何性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性重點(diǎn)：是奇偶性奇偶性，這里主要討論函 數(shù)奇偶性的判別函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性奇偶性：定義奇偶性

8、：定義1.3 (P9) ；xfxf )(（1）奇函數(shù)）奇函數(shù)（2）偶函數(shù)）偶函數(shù) ；xfxf )(要注意：所有函數(shù)可以分為 奇函數(shù)、偶函數(shù)和非奇非偶函數(shù)。xxxxsin,53常見的奇函數(shù)有：xxxccos,42常見的偶函數(shù)有： 通過(guò)圖像可以看出：的圖像是關(guān)于的，的圖像是關(guān)于的。奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇，奇偶非奇非偶函數(shù)， f(x) + f(-x) 為偶函數(shù)， f(x) - f(-x) 為奇函數(shù)。通過(guò)定義，我們可以證明得到下面的結(jié)論：提示：有點(diǎn)類似正數(shù)(偶)和負(fù)數(shù)(奇)的關(guān)系?！纠?5.1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性： ;21xxaay .sin2xxy 解：解

9、：(1) 對(duì)任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得 xfaaaaxfxxxx22由定義3.3,知f(x)是偶函數(shù)。xxxxxfsinsin(2) 對(duì)任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得 xfxxsin由定義3.3,知 是偶函數(shù)。xxysin【練習(xí)練習(xí)4】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性：.cosxxy xxxxxfcoscos【解】 對(duì)任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得 xf由定義3.3,知 是奇函數(shù)。xxycos xfxf )(即：六六. 四類基本初等函數(shù)四類基本初等函數(shù)為常數(shù)ccy 1 y函數(shù)【例如】軸的直線。且平行于它的圖形是一條過(guò)點(diǎn)xc, 0（一）常數(shù)函數(shù)（一）

10、常數(shù)函數(shù) 要求熟記這五類函數(shù)的表達(dá)式，定義域。是相同函數(shù)。它和函數(shù)xxy22cossin,Rx定義域是并且是偶函數(shù)。（二）冪函數(shù)（二）冪函數(shù)為實(shí)數(shù) xy 例如：, xy ,3xy 21xy 2 xxy 21x32xy 32x歸納冪函數(shù)的性質(zhì)： mnmnxxx 1 mnxx 3mnxxmnx nx1 2nx853xxx如：331 xx如：33521 xxxx如： mnx 4mnx53xy 如：53x mnx 5nmx 32xy 如：6x要學(xué)會(huì)將這些函數(shù)轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)的形式要學(xué)會(huì)將這些函數(shù)轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)的形式（三）指數(shù)函數(shù)（三）指數(shù)函數(shù)1, 0 aayx71828. 2e exy例如：)exp(xxy

11、3x21323x指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可依據(jù)冪函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(1)-(5)。（四）對(duì)數(shù)函數(shù)（四）對(duì)數(shù)函數(shù)1, 0 logaaxya然對(duì)數(shù)，為底的對(duì)數(shù)函數(shù)稱為自其中以e)log( lnxxye簡(jiǎn)記為用對(duì)數(shù)，為底的對(duì)數(shù)函數(shù)稱為常其中以 01)log( lg10 xxy簡(jiǎn)記為其中a為底數(shù)，x為真數(shù)xy3log例如：就稱為以3為底的對(duì)數(shù)函數(shù)歸納對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):（其中M,N0） NMMNaaalogloglog 1 NMNMaaalogloglog 25log3log22如：15log25log3log22如：53log2注意：注意：對(duì)數(shù)一定要“同底數(shù)同底數(shù)”才能相加減 MkMakaloglog 3 xex

12、ln 4xln如：21ln xxln21 01log 5a1logaa01ln 1lne(a0)七七. 函數(shù)的運(yùn)算函數(shù)的運(yùn)算)(xgf記為：1、四則運(yùn)算：加、減、乘、除與我們 通常所知數(shù)的運(yùn)算一樣。2、復(fù)合運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算這對(duì)我們來(lái)說(shuō)，是一種新的運(yùn)算。直觀地說(shuō)就是兩個(gè)函數(shù)，一個(gè)函數(shù)里面再套一個(gè)函數(shù)，就是復(fù)合。 例例 7.1 ., 13 ,log)(2xufxuxxfx求設(shè)解：解：13log2xy反過(guò)來(lái)看：復(fù)合而成。，就是由13log2xuuy即可中的替換用xxfxu)()( .13log2xxuf其中u稱為中間變量.由此可見，簡(jiǎn)單函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合運(yùn)算，會(huì)變成復(fù)雜函數(shù)。更重要的是，我們可以研究：復(fù)雜函數(shù)

13、是由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)通過(guò)復(fù)復(fù)雜函數(shù)是由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)通過(guò)復(fù)合運(yùn)算得來(lái)的合運(yùn)算得來(lái)的？即復(fù)合函數(shù)的分解。例如：函數(shù))1ln(32xy可以看作是：,2uy ,lnvu 13 xv三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成。)1ln(32xy分解復(fù)合,2uy ,lnvu 13 xv例例 7.2 將初等函數(shù) 31xey分解為基本初等函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算或四則運(yùn)算。解解： uey 121vu 221log2xy uy2log221xu3 xv 有些函數(shù)在它的定義域的不同部分有些函數(shù)在它的定義域的不同部分, ,其表其表達(dá)式不同，亦即用多個(gè)解析式表示函數(shù)，這類達(dá)式不同，亦即用多個(gè)解析式表示函數(shù)，這類函數(shù)稱為分段函數(shù)函數(shù)稱為分段函數(shù). .0, 0

14、,xxxxxy當(dāng)當(dāng)oxyxy 例例 8.1:8.1:絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)八八. 分段函數(shù)分段函數(shù)則)2(f22 )2(f. 2注意注意 1 1分段函數(shù)的定義域是其各段定義域的分段函數(shù)的定義域是其各段定義域的并集并集；20 , 105,)(2xxxexfx【例例8.1】求函數(shù)的定義域。【解解】定義域D=0 , 52 , 02 , 5分段函數(shù)在其整個(gè)定義域上是分段函數(shù)在其整個(gè)定義域上是一個(gè)函一個(gè)函數(shù)數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù). .2 2求分段函數(shù)的函數(shù)值，先要確定求分段函數(shù)的函數(shù)值，先要確定x x取取值所對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，然后再代入求值。值所對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，然后再代入求值?！纠?8.2】給定函

15、數(shù)20 101 12)(2xxxxxf1102)0(f 1) 0(fff 0ff試計(jì)算解：解：關(guān)鍵是要注意自變量所在的范圍，不同的范圍用不同的公式計(jì)算函數(shù)值。0112【練習(xí)練習(xí)】給定函數(shù)0 30 1)(2xxxxxf431) 1(f110) 0(2f211) 1 (2f .1,0,1fff 試計(jì)算【解解】九、經(jīng)濟(jì)函數(shù)九、經(jīng)濟(jì)函數(shù)經(jīng)濟(jì)函數(shù)主要包括：經(jīng)濟(jì)函數(shù)主要包括：1 1、需求函數(shù)、需求函數(shù)q(p) q(p) ( (p p為價(jià)格為價(jià)格) )2 2、成本函數(shù)、成本函數(shù)C(q)C(q)3 3、收入函數(shù)、收入函數(shù)R(q)R(q)4 4、利潤(rùn)函數(shù)、利潤(rùn)函數(shù)L(q)L(q) 生產(chǎn)和經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，人們所關(guān)心的

16、問(wèn)題生產(chǎn)和經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，人們所關(guān)心的問(wèn)題是產(chǎn)品的成本、銷售收入（又稱為收益）和是產(chǎn)品的成本、銷售收入（又稱為收益）和利潤(rùn)利潤(rùn)它包括固定成本和可變成本它包括固定成本和可變成本（一）需求函數(shù)（一）需求函數(shù)q(p) (p為價(jià)格為價(jià)格). 0, 0,babapq其中例如：線性需求函數(shù)為（二）成本函數(shù)（二）成本函數(shù))()(10qCCqC平均成本：平均成本：qqCqC)()(（三）收入函數(shù)（三）收入函數(shù)pqqR)(確定可由需求函數(shù)價(jià)格bapqp【例9.1】某商品的需求函數(shù)為q=100-3p,求 收入函數(shù)R(q).【解解】可得：由需求函數(shù),3100pq3100qpqqpqqR3100)(故收入函數(shù)，等于總收入減去總成本總利潤(rùn))(xL（四）利潤(rùn)函數(shù)（四）利潤(rùn)函數(shù))()()(qCqRqL.)()(0)(0保本點(diǎn)）稱為盈虧平衡點(diǎn)（或此時(shí)的產(chǎn)量時(shí)，即當(dāng)利潤(rùn)qqCqRqL【例例9.29.2】解：解：生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為1萬(wàn)元，每生產(chǎn)一