點到直線的距離及兩平行直線間的距離

1、點到直線的距離兩條平行直線間的距離點到直線距離公式點到直線距離公式xyP0 (x0,y0)O|y0|x0|x0y0點到直線距離公式點到直線距離公式xyP0 (x0,y0)O|x1-x0|y1-y0|x0y01yyy11xxx1知識探究：點到直線的距離知識探究：點到直線的距離思路一：定義法思路一：定義法直線直線 的方程的方程l直線直線 的斜率的斜率lQPl0直線直線 的方程的方程l直線直線 的方程的方程QP0交點QP0點點 之間的距離之間的距離 （ 到到 的距離）的距離）QP、00Pl點點 的坐標的坐標0P直線直線 的斜率的斜率QP0點點 的坐標的坐標0P點點 的坐標的坐標Q兩點間距離公式xyO

2、lQP0 (x0,y0)0:CByAxlPOyxlQP（x0，y0）l:Ax+By+C=0知識探究：點到直線的距離知識探究：點到直線的距離Ax+By+C=0 B x-Ay-Bx0+Ay0=0Q(x, y)滿足滿足:2200BABCByABxy22002BAACAByxBx22000BACByAxAxx)(22000BACByAxByy)(220022200222002020)()()()PQBA|CByAx|BACByAxBBACByAxAyyxx(|結(jié)論結(jié)論 點點P (x0 , y0)到直線到直線 l: Ax+By+C=0的距離為的距離為:2200BA|CByAx|d問題問題1：已知一直角三

3、角形的兩條直角邊長度為：已知一直角三角形的兩條直角邊長度為3和和4，如何求斜邊上的高？，如何求斜邊上的高？知識探究：點到直線的距離知識探究：點到直線的距離等面積法：等面積法：思路二：間接法思路二：間接法xyO0PlQ面積法求出面積法求出 求出求出 求出求出 利用勾股定理求出利用勾股定理求出 |0RP|0SP| RS|0QPSR求出點求出點 的坐標的坐標R求出點求出點 的坐標的坐標S點到直線距離公式點到直線距離公式xyP0 (x0,y0)Ox0y0:0lAxByCS00,AxCxBR00,ByCyA001|2PSP RQd1|2d SR點到直線距離公式點到直線距離公式:0lAxByCxyP0 (

4、x0,y0)OSRQd22000000.ABdAxByCABAxByCAxByCABd RSPRPS0022|AxByCdAB2200BACByAxd 1.此公式的作用是求點到直線的距離；此公式的作用是求點到直線的距離；2.此公式是在此公式是在A、B0的前提下推導的；的前提下推導的；3.如果如果A=0或或B=0，此公式恰好也成立；，此公式恰好也成立；但但A=0或或B=0，一般不用此公式；，一般不用此公式；4.用此公式時直線要先化成一般式。用此公式時直線要先化成一般式。Oyxl:Ax+By+C=0P(x0,y0)d例例1 求點求點P(-1,2)到直線到直線2x+y-10=0； 3x=2的距離。的

5、距離。解：解： 根據(jù)點到直線的距離公式，得根據(jù)點到直線的距離公式，得 521210211222 d如圖，直線如圖，直線3x=2平行于平行于y軸，軸，Oyxl:3x=2P(-1,2)35)1(32 d2.2.求點求點C C（1 1，-2-2）到直線）到直線4x+3y=04x+3y=0的距離的距離. .1. 1.求點求點A A（-2-2，3 3）到直線）到直線3x+4y+3=03x+4y+3=0的距離的距離. . P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )到直線到直線l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0的距離：的距離：2200|BACByAxd3.3.點點P(-1,2)P(-1,2)到

6、直線到直線3x=23x=2的距離是的距離是. .4.4.點點P(-1,2)P(-1,2)到直線到直線3y=23y=2的距離是的距離是. .5.5.點點A(a,6)A(a,6)到直線到直線x+y+1=0 x+y+1=0的距離為的距離為4 4，求，求a a的值的值. .點到直線的距離練習：1|2SAB h解：設解：設AB邊上的高為邊上的高為h22|(3 1)(1 3)2 2AB 3 111 3ABk AB的方程為的方程為xyC (-1,0)O-1-11 12 22 23 33 31 1B (3,1)A (1,3)h31 (1)yx 化為一般式化為一般式40 xy22| 1 04|11h 152 2

7、522S 例例 已知點已知點A（1，3），），B（3，1），），C（-1，0），求三角形），求三角形ABC的面積的面積)0 ,37171()0 , 1( 或或22)5(12400512 x22)3(1703 x371711 xx或或解：設解：設P(x,0),根據(jù)根據(jù)P到到l1、 l2距離相等，列式為距離相等，列式為=解得：解得：所以所以P點坐標為：點坐標為： P在在x軸上軸上, P到直線到直線l1: x- y +7=0與直線與直線l2: 12x-5y+40=0的距離相等的距離相等, 求求P點坐標。點坐標。3例例3.例例5 求平行線求平行線2x-7y+8=0與與2x-7y-6=0的距離。的距離。

8、Oyxl2: 2x-7y-6=0l1:2x-7y+8=0 P(3,0)兩平行線間的兩平行線間的距離處處相等距離處處相等在在l2上任取一點，例如上任取一點，例如P(3,0)P到到l1的距離等于的距離等于l1與與l2的距離的距離5353145314)7(28073222 d直線到直線的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離直線到直線的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離xpOyl1l2M任意兩條平行直線都任意兩條平行直線都可以寫成如下形式：可以寫成如下形式：l1 :Ax+By+C1=0l2 :Ax+By+C2=0),(上任一點設直線001yxPl1001上則在點CByAxlP的距離為0：到直線又22CByAxlP22200

9、BACByAxd2212BACC1. 1.平行線平行線2x+3y-8=02x+3y-8=0和和2x+3y+18=02x+3y+18=0的距離是的距離是_;_;2 2. .兩平行線兩平行線3x+4y=103x+4y=10和和6x+8y=06x+8y=0的距離是的距離是_._.練習：1.求坐標原點到下列直線的距離：求坐標原點到下列直線的距離：(1) 3x+2y-26=0; (2) x=y2.求下列點到直線的距離：求下列點到直線的距離：(1) A(-2,3)， 3x+4y+3=0(2) B(1,0)， x+y - =033(3) A(1,-2)， 4x+3y=03.求下列兩條平行線的距離：求下列兩條

10、平行線的距離：(1) 2x+3y-8=0 ， 2x+3y+18=0(2) 3x+4y=10 ， 3x+4y=0練習：1 1、點、點A(a,6)A(a,6)到直線到直線x+y+1=0 x+y+1=0的距離為的距離為4 4，求，求a a的值的值. .2 2、求過點、求過點A A（1,21,2），且與原點的距離等于），且與原點的距離等于 的直線方程的直線方程 . .223 3、求直線、求直線2x+11y+16=02x+11y+16=0關(guān)于點關(guān)于點P P（0,10,1）對稱）對稱 的直線方程的直線方程. .練習：求與直線l：5x12y60平行且到l的距離為2的直線的方程.2125|6|22md解：由題意設所求直線的方程為則直線l與的距離 ，化簡得|6-m|=26，即6-m=26，6-m=-26，解得m=-20，m=32則所求直線的方程為5x-12y-20=0或5x-12y+32=0故答案為：5x-12y-20=0或5x-12