隨機振動理論的數(shù)學基礎PPT課件

1、 隨機振動雖不具有確定性，但仍可利用統(tǒng)計的方法研究其規(guī)律性。隨機振動的數(shù)學描述為隨機過程，本章將首先簡略地討論隨機過程的統(tǒng)計特性。對激勵與響應的統(tǒng)計特性相互關(guān)系的研究是隨機振動的重要內(nèi)容。 在介紹工程中幾種典型隨機振動問題之后，本章著重討論線性多自由度系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)在單個和多個隨機激勵下的響應，主要采用功率譜密度方法在頻率域內(nèi)進行。最后簡要討論非線性系統(tǒng)的隨機振動問題。第1頁/共178頁6-1 隨機過程的統(tǒng)計特性 1平穩(wěn)過程和遍歷過程 隨機過程是大量現(xiàn)象的數(shù)學抽象。在同樣條件下重復同樣的試驗。 例如：在同樣道路同樣車速條件下進行n次汽車道路試驗，記錄下汽車大梁上某個點應力的時間歷程。每次記錄稱

2、作一個樣本函數(shù)，樣本的數(shù)目n必須很大，理論上應有無限多個。第2頁/共178頁 隨機過程是所有樣本函數(shù)的集合，記作X(t)(圖6.1)。 在任一采樣時刻，隨機過程的各個樣本值都不相同，構(gòu)成一個隨機變量。各個值之所以不同，是由于路面的不規(guī)則性等許多不確定因素影響的結(jié)果，對于隨機過程的研究興趣不在于樣本函數(shù)本身，而在于總體的統(tǒng)計特性。 第3頁/共178頁 圖6-1 樣本函數(shù)第4頁/共178頁 例如： 隨機過程 在 瞬時的集合平均值 或簡稱為均值，也稱為數(shù)學期望，定義為 (6.1.1) 式中以符號E表示集合平均。 1t)(1txnkknxtxntXEt1111)(1lim)()()(tX第5頁/共17

3、8頁 一般與時刻 有關(guān)。 在 和 時刻構(gòu)成兩個隨機變量 和 ，對各樣本 和 的乘積取集合平均，得到 (6.1.2) 稱作隨機過程 在 和 時刻的自相關(guān)函數(shù)，它既是時間差 的函數(shù)，也與時刻 有關(guān)。)(1tx)(tX1t1t1t)(1tX)(1tX)(1txk)(1txk111111( ,)( )()1lim( )()xkknRt tE X tX txtxtn),(11ttRx( )X t1t1t1t第6頁/共178頁 如果隨機過程的均值和自相關(guān)函數(shù)與采樣時刻 無關(guān)，則稱隨機過程為(弱)平穩(wěn)過程，對于平穩(wěn)過程，均值為常數(shù) (6.1.3) 而自相關(guān)函數(shù)僅依賴時差 (6.1.4)1txxt)()(),

4、(11xxRttR第7頁/共178頁 如果平穩(wěn)隨機過程的均值和自相關(guān)函數(shù)可以用任何一個充分長的樣本函數(shù)的時間平均值來計算，即 (6.1.5) (6.1.6) 則稱此平穩(wěn)過程為(弱)遍歷過程。22)(1limTTkTxdttxT22)()(1lim)(TTkkTxdttxtxTR第8頁/共178頁 隨機過程的遍歷性對于工程計算十分重要，因為它為根據(jù)實測的少量樣本函數(shù)來估計此隨機過程的統(tǒng)計特性提供理論依據(jù)， 但要在實踐中驗證遍歷性條件十分困難，只能根據(jù)過程的物理性質(zhì)，先假定有遍歷性，待有了足夠的數(shù)據(jù)以后再去檢驗假定的正確性。 以下討論的隨機過程都假定是平穩(wěn)的和遍歷的。第9頁/共178頁2相關(guān)函數(shù)

5、式(6.1.6)定義的自相關(guān)函數(shù)是描述隨機變量在不同時刻之間相關(guān)程度的統(tǒng)計量。 =0時的自相關(guān)函數(shù) 稱為隨機過程的均方值，用 表示 （6.1 .7） 若X表示位移、速度或電流，則均方值相應地與系統(tǒng)的勢能、動能或功率成比例。因此可以認為均方值是平均能量或功率的一種測度。)0(xR2x)()0(22tXERxx第10頁/共178頁 方差是另一個重要的統(tǒng)計量，定義為 (6.1.8) 若X(t)為隨機振動過程，則均值 表示靜態(tài)分量，均值的平方 表示靜態(tài)分量的能量，方差 表示動態(tài)分量的能量。 當均值為零時，方差等于均方值。 稱作標準差。2222)(xxxxtXEx2x2xx第11頁/共178頁 自相關(guān)函

6、數(shù)有以下性質(zhì)(證明從略): (1) ，自相關(guān)函數(shù)是時差 的偶函數(shù)。 (2) ，時差 不為零時的自相關(guān)函數(shù)就是均方值。 (3) ，時差 為零時隨機過程的自相關(guān)程度最大。 (4) ，自相關(guān)函數(shù)為時差 的衰減函數(shù)，當 時趨于均值的平方(圖6.2)。)()(xxRR22)0(xxXER)0()(xxRR2)(limxxR第12頁/共178頁 圖6.2自相關(guān)函數(shù)第13頁/共178頁 設有兩個平穩(wěn)隨機過程X(t)和Y(t)，它們之間相隔時差 的相關(guān)性由互相關(guān)函數(shù)描述，定義為 )9 . 1 . 6( )()()(tYtXERxy)10. 1 . 6( )()()(tXtYERyx第14頁/共178頁 互相關(guān)

7、函數(shù)有以下性質(zhì)(證明從略)： (1) 為非奇、非偶函數(shù)， 但有 。 (2) (3) 性質(zhì)(3)表明平穩(wěn)隨機過程 和 它的導數(shù)過程在同一時刻互不相關(guān)。 )(xyR)()(yxxyRR)0()0()(yxxyRRR0)()()0(tXtXERxx( )X t( )X t第15頁/共178頁3. 功率譜密度函數(shù) 相關(guān)函數(shù)給出隨機過程在時差域內(nèi)的統(tǒng)計特性，而功率譜密度則是在頻率域內(nèi)表示隨機振動過程在各頻率成分上的統(tǒng)計特性。定義平穩(wěn)隨機過程 的功率譜密度函數(shù)為自相關(guān)函數(shù) 的傅里葉變換，即 (6.1.11)( )X t)(xRdeRSixx)()(第16頁/共178頁 其逆變換為 (6.1.12) 以上兩

8、式構(gòu)成傅里葉變換對，稱作維納辛欽(WienerX )關(guān)系式。式（6.1.11）的積分存在條件為 絕對可積，即 (6.1.13)deSRixx)(21)()(xRdRx)(第17頁/共178頁 由于自相關(guān)函數(shù)的衰減性，此條件自然滿足。平穩(wěn)隨機過程X(t)本身不滿足絕對可積條件，因此不能直接作傅里葉變換。 令式(6.1.12)中，得到 (6.1.14) 可見 表示隨機過程的均方值在頻率域內(nèi)的分布密度。由于在電學中電壓或電流的平方與功率成正比，因此將 稱作功率譜密度函數(shù)，或簡稱自譜。在隨機振動中 表示能量在各角頻率上的分布密度。 dSRxxx)(21)0(2)(xS)(xS)(xS第18頁/共178

9、頁 根據(jù)物理意義推知 (6.1.15) 由于 為偶函數(shù)，式(6.1.11)可寫為 (6.1.16) 可見 也是 的偶函數(shù)。與此類似，式(6.1.12)可寫為 (6.1.17)0)(xS)(xRdRdiRSxxxcos)(2)sin)(cos()(0dSRxxcos)(1)(0)(xS第19頁/共178頁 在整個頻率域內(nèi)定義的稱作雙邊功率譜。工程中實測得到的功率譜僅對的正值有定義，稱作單邊功率譜，記作， (6.1.18) 計算功率譜時通常用頻率代替角頻率(rad/s)，上式可寫作 )(xS)(xG)0( )(2)(xxSG)(Hzf)19. 1 . 6()(4)(2)(xxxSfSfG第20頁/

10、共178頁 維納辛欽關(guān)系式(10.1. 11)和(10.1.12)相應地改寫為 (6.1.20) (6.1.21)deRfSfixx2)()(dfefSRfixx2)(21)(第21頁/共178頁 隨機過程 的導數(shù)過程 的功率譜密度可以證明為 （6.1.22） 同樣有 （6.1.23）( )X t( )X t)()(2xxSS)()()(42xxxSSS 第22頁/共178頁 對于兩個平穩(wěn)隨機過程 X(t)和Y(t)，也可利用傅里葉變換定義它們的互功率譜密度函數(shù)，或簡稱互譜 (10.1.24) 其逆變換為 (10.1.25)deRSixyxy)()(deSRixyxy)(21)(第23頁/共1

11、78頁 互譜沒有自譜那樣明顯的物理意義，但它在頻率域上討論兩個平穩(wěn)隨機過程的相互聯(lián)系時也具有應用價值，互譜有以下性質(zhì)(證明從略)： (1) 是復函數(shù)，其虛部不等于零。 (2) 是 的共軛函數(shù)。 (3) 。)(xyS)( ),()()(yxyxyxxySSSS)(yxS)()()(2yxxySSS第24頁/共178頁 利用此性質(zhì)可定義量綱一的相干函數(shù)為 （6.1.26） 且有 (6.1.27)()()()(22yxxyyxSSS1)(02xy第25頁/共178頁4. 窄帶過程、寬帶過程和理想白噪聲 根據(jù)功率譜密度分布的不同頻率范圍，可將隨機過程區(qū)分為窄帶過程和寬帶過程。 窄帶過程包含的頻率成分集

12、中在一個狹窄的頻帶上，功率譜密度函數(shù)具有尖峰特性，接近于簡諧振動。隨著 的增大，其相關(guān)程度減小得較緩慢(圖 6.3a)。第26頁/共178頁 寬帶過程包含的頻率成分很豐富，分布在較寬的頻帶上，功率譜密度函數(shù)比較平坦，因此有高度的隨機性。時間差 稍大一些其相關(guān)程度迅速降低(圖 6.3b)。 極端的寬帶過程為理想白噪聲，其功率譜密度函數(shù)為常數(shù)，而具有無限寬頻帶。 (6.1.28)()(0SSx第27頁/共178頁 圖6.3 (a) 窄帶過程(b)寬帶過程第28頁/共178頁 代入式（6.1.14），得到的能量為無限大，因此理想白噪聲實際上并不存在。 工程中的實際隨機過程頻帶寬度總是有限的。 若在足

13、夠?qū)挼挠邢揞l帶上功率譜密度分布比較均勻，則可將此過程近似地當作理想白噪聲以簡化計算。第29頁/共178頁 將（6.1.28）代入式（6.1.12）計算理想白噪聲的自相關(guān)函數(shù)，得到 （6.1.29） 可以證明上式括號內(nèi)的積分式恰好等于狄拉克分布函數(shù)。為此先將作傅里葉變換，得到 （6.1.30） deSRix21)(0)()(1)(dei第30頁/共178頁 然后對1進行逆變換，得到 （6.1.31） 則式（6.1.29）表示的自相關(guān)函數(shù)可用函數(shù)表示為 （6.1.32） 因此對于理想白噪聲，即使相隔極小的時差，彼此已不再相關(guān)。dei21)()()(0SRx第31頁/共178頁5概率密度函數(shù) (1)

14、一維概率密度函數(shù) 一個平穩(wěn)隨機過程X(t)，當時間t為給定值時就成為隨機變量，利用各樣本函數(shù)的集合計算此隨機變量不大于某個特定值x的概率，記作 )(txk)(xtXPr第32頁/共178頁 當x值變化時可定義函數(shù) 稱為概率分布函數(shù)，如圖6.4a 所示。P(x)為單調(diào)升函數(shù)，具有下列性質(zhì) （6.1.34）(6.1.33) )()(xtXPxPr1)(, 1)(0,0)(PxPP第33頁/共178頁 定義一維概率密度函數(shù)為 （6.1.35） X(t)的值在和之間的概率可用概率密度函數(shù)表示為（圖6.4b） （6.1.36）dtxdPxxPxxPxpx)()()(lim)(02x1xdxxpxxxPx

15、xr)()(2121第34頁/共178頁 圖6.4 概率與概率密度函數(shù)第35頁/共178頁 則概率分布函數(shù)也可定義為 （6.1.37） 概率密度函數(shù)具有下列性質(zhì) （6.1.38）dxxpxPx)()(1)(, 0)(lim, 0)(dxxpxpxPx第36頁/共178頁 前面定義的均值 可用概率密度函數(shù)p(x)表示為 （6.1.39） 即隨機變量X(t)的一次矩，其幾何意義為p(x)曲線與x軸所圍面積形心的x坐標(圖6.4b),前面定義的均方值 為X(t)的二次矩， （6.1.40）xdxxxpxEx)(2xdxxpxx)(22第37頁/共178頁 前面定義的方差為X(t)相對于均值的二次矩，

16、即二次中心矩， （6.1.41）2222)()(xxxxdxxpx第38頁/共178頁 (2)聯(lián)合概率密度函數(shù) 設有兩個隨機過程X(t)和Y(t)，在給定時刻t構(gòu)成兩個隨機變量。它們同時滿足 和 的概率 稱為聯(lián)合概率分布函數(shù)，記作P(x,y)， (6.1.42)xtX)(ytY)()(,)(ytYxtXPr)(,)(),(ytYxtXPyxPr第39頁/共178頁 也可定義聯(lián)合概率密度函數(shù)，使?jié)M足 (6.1.43) 和 同時成立的概率為 (6.1.44) 可用曲面所圍成的一部分體積表示(圖6.5)。dydxyxpyxPyx),(),(21)(xtXx21)(ytYydydxyxpyyyxxxP

17、yyxxr),(),(21212121第40頁/共178頁 圖6.5 聯(lián)合概率密度函數(shù)第41頁/共178頁 聯(lián)合概率密度函數(shù)有以下性質(zhì) (6.1.45)0),(yxp1),(dxdyyxpdyyxpxp),()(dxyxpyp),()(第42頁/共178頁 若 可分離變量 (6.1.46) 則稱X(t)和Y(t)為統(tǒng)計獨立。),(yxP)()(),(ypxpyxP第43頁/共178頁 隨機變量X(t)和Y(t)的實連續(xù)函數(shù)g(x,y)的數(shù)學期望或均值可表示為 (6.1.47) 當 時，它的期望值稱作x和y之間的協(xié)方差，記作 ， (6.1.48)dydxyxpyxgyxgE),(),(),()(

18、),(yxyxyxgxyCyxyxyxxyxyEdydxyxpyxyxEC),()()(第44頁/共178頁 定義以下量綱一的量，稱作相關(guān)系數(shù)， (6.1.49) 可以證明 (6.1.50)yxxyxyC10 xy第45頁/共178頁 若有 (6.1.51) 則稱隨機變量X和Y是不相關(guān)的，這時有 (6.1.52)YEXEXYE0 , 0 xyxyC第46頁/共178頁 (3)正態(tài)過程 在隨機振動中最常見的一類隨機變量的分布函數(shù)為正態(tài)分布，也稱作高斯(CFGauss)分布。其一維概率密度函數(shù)為 (6.1.53) 是對稱于過 的垂直軸的一種鐘形分布(圖6.6)。222)(21)(xxxxexpx第

19、47頁/共178頁 圖6.6高斯分布曲線第48頁/共178頁 由于標準差是相對于均值的分散度的一種度量 因此愈大曲線愈平坦， x的值在左右分布愈分散。 p(x)在無限域上的積分等于1，但在的鄰域內(nèi)的積分等于0.9973，接近為1。 因此工程中常將隨機變量在均值附近的變化范圍取作。x3xxxxxx3第49頁/共178頁 兩個隨機變量X和Y的聯(lián)合正態(tài)概率密度函數(shù)為 (6.1.54)()(2)(1212222121),(yyyyxxxyxxxyyyxxxyyxeyxp第50頁/共178頁 若相關(guān)系數(shù)，則簡化為 (6.1.55) 可見當隨機變量X和Y服從二維正態(tài)分布時，不相關(guān)即等同于統(tǒng)計獨立。0 xy

20、)()( 2121),(22222)(2)(ypxpeeyxpyyxxyyxx第51頁/共178頁 正態(tài)分布是比較簡單，也研究得相當充分的一種分布函數(shù)。 在實踐中如果影響隨機變量的因素很多，且每一種因素的影響都很小，就可以近似地認為這個隨機變量是正態(tài)分布。 對于正態(tài)分布的隨機變量，只要給出均值和二次矩，其概率密度函數(shù)就可根據(jù)式(6.1.53)和(6.1.54)完全確定。 第52頁/共178頁 當隨機過程在每個給定時刻的隨機變量均為聯(lián)合正態(tài)分布時，就稱此隨機過程為正態(tài)過程或高斯過程。許多自然現(xiàn)象如大氣湍流、海浪、路面不平度等都可用正態(tài)過程近似地描述。 正態(tài)過程最重要的特點是經(jīng)過線性運算之后仍為正

21、態(tài)過程。 因此當一個線性系統(tǒng)的激勵為正態(tài)過程時，其響應也必為正態(tài)過程。第53頁/共178頁 正態(tài)過程的另一重要特征是它的高次矩可由均值和二次矩導出。設 =0，則有 (6.1.56) 證明過程從略。xnntxEntxE)() 12(531)(22第54頁/共178頁6-2 工程中的隨機振動問題 1不平路面上行駛的車輛 將車輛簡化為單自由度質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)，由于路面不平引起接觸處的位移激勵 (圖6.7)，動力學方程為 (6.2.1)(1tx11kxxckxxcxm 第55頁/共178頁 圖6.7 不平路面上的車輛第56頁/共178頁 實際量測表明，路面沿縱向路程s的不平度h(s)是局部均勻的、具有

22、零均值的、遍歷的高斯隨機場。隨機場與隨機過程名稱的不同是由于將時間變量t改為空間坐標s，時間頻率 也改為波數(shù) 即以波長 代替周期T。相應地，平穩(wěn)過程改稱為均勻隨機場。設 為路程差，則路面不平度相對空間的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度定義為 (6.2.2) (6.2.3) T/2/2k)()()(shshERhdeRkSikhh)()(第57頁/共178頁 當車輛以勻速v行駛時，空間與時間之間有以下轉(zhuǎn)換關(guān)系 (6.2.4) 將隨機場 轉(zhuǎn)換為隨機過程 ，其自相關(guān)函數(shù)完全相同 (6.2.5)vkvTvvts/,)(sh)()(1vthtX)()(1hxRR第58頁/共178頁 利用式(6.2.4)推導隨機過

23、程與隨機場的功率譜密度之間的關(guān)系，得到 (6.2.6) 計算波數(shù)功率譜密度 的經(jīng)驗公式為 (6.2.7)(1)(1)()(11kSvdeRvdeRShikhixx)(kShnhkkS)(第59頁/共178頁 其中 根據(jù)不同等級的路面不平度作出規(guī)定。 將式(6.2.4)中的k代入后得到的功率譜密度與速度v有關(guān) (6.2.8), 25 . 1 nnnxvS1)(1第60頁/共178頁 若將汽車懸掛裝置的上下部分質(zhì)量分別考慮，則可將車輛簡化為串聯(lián)質(zhì)量的二自由度系統(tǒng)的隨機振動問題。 若分別考慮車輛前后輪承受地面激勵，也可將車輛簡化為在對稱平面內(nèi)運動的剛體，歸結(jié)為另一種類型的二自由度系統(tǒng)的隨機振動。 若

24、考慮更多因素，包括間隙和干摩擦等非線性因素，則車輛模型可更為復雜，工程中多用等效線性化方法分析其統(tǒng)計特性。 第61頁/共178頁 2船舶在風浪中的橫搖 對于開闊洋面上充分發(fā)展了的風浪，其波高 在同一位置和不太長時間內(nèi)可認為是零均值的平穩(wěn)高斯隨機過程。關(guān)于波高功率譜密度的計算，國際上廣泛采用的公式為 (6.2.9) 式中 為重力加速度， 為名義波高，與風速有關(guān)。45)(eaSghga ,11. 3,101 . 82312331h第62頁/共178頁 從圖6.8可見海浪能量主要分布在0.10.6Hz之間。具有零速的船舶在橫浪作用下的響應以橫搖為主。列出解耦的橫搖動力學方程 (6.2.10) 式中J

25、為船舶連同水的附加質(zhì)量在內(nèi)的轉(zhuǎn)動慣量，c和k分別為粘阻系數(shù)和恢復力矩系數(shù)，M(t)為隨機波浪產(chǎn)生的隨機激勵力矩。 )(tMkcJ 第63頁/共178頁 圖6.8 海浪的波高功率譜密度 第64頁/共178頁 M(t)的功率譜密度 與波高功率譜密度、船舶的吃水深度、尺寸、形狀及水動力學等因素有關(guān)。 因而船舶在隨機波浪作用下的橫搖問題歸結(jié)為單自由度線性系統(tǒng)的隨機振動問題。 當橫搖幅度較大時，還必須考慮恢復力矩和阻尼力矩的非線性因素。當橫搖運動與船舶其他運動耦合時就成為多自由度系統(tǒng)的隨機振動問題。)(MS第65頁/共178頁 3地震載荷作用下的結(jié)構(gòu)振動 重要的建筑物如原子能反應堆、水壩、橋梁等必須將地

26、震載荷作為重要的設計載荷。地震波傳至地表時產(chǎn)生鉛垂方向和水平方向的運動。水平運動對結(jié)構(gòu)的破壞作用尤為巨大。 圖6.9為兩層樓房的簡化模型。第66頁/共178頁 圖6.9 建筑物的簡化模型第67頁/共178頁 只考慮地震加速度的水平分量 ，列出樓房相對地面的動力學方程 gx )11. 2 . 6( )()()11. 2 . 6( )()(2221112221122121121111bxmxkkxkxccxcxmaxmxxkxxcxmgg 第68頁/共178頁 地震有初震、強震和衰減三個階段，是明顯的不平穩(wěn)隨機過程。 工程中有兩種處理方法： 一種為確定性方法，即采用盡可能接近一次強地震加速度 的記

27、錄作為輸入，計算結(jié)構(gòu)的響應。但不能保證另一次地震能得到同樣結(jié)果。 另一種為隨機振動方法，即探討地震隨機過程的一般規(guī)律，強震階段的水平分量常視為零均值平穩(wěn)高斯隨機過程。gx 第69頁/共178頁 如卡耐-塔基米(Kanai-Tajimi)模型，其加速度的功率譜密度為 (6.2.12) 式中參數(shù) 和 取決于震源至地面的介質(zhì)性質(zhì)，對硬土層可取 和 為一常數(shù)。為考慮地震過程的非平穩(wěn)性，也可使 與確定的時間函數(shù)A(t)相乘，稱作漸進譜密度。)0( )(4)(1 )(41 )(2222022gggggxSSg gg5g0,6 . 0Sg)(gxS 第70頁/共178頁 4風載荷作用下的結(jié)構(gòu)振動 風載荷是塔

28、架、煙囪等高層建筑和大跨度橋梁等結(jié)構(gòu)的重要設計載荷。結(jié)構(gòu)上作用的風載荷可分為定常部分和脈動部分。剛度較大的建筑只需將定常部分作為靜載荷考慮。對于柔度愈來愈大的高層建筑，則必須同時考慮定常部分和脈動部分，后者為隨機載荷。 對于飛機，高空大氣湍流產(chǎn)生的突風載荷是重要的設計載荷，這是一種隨機載荷。飛機在嚴重的湍流中可能造成超載而破壞。第71頁/共178頁10-3 線性系統(tǒng)對單個隨機激勵的響應 1單自由度線性系統(tǒng)對單個隨機激勵的晌應 設質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)受到隨機力F(t)激勵，動力學方程為 ) 1 . 3 . 6()(tFkxxcxm 第72頁/共178頁 系統(tǒng)的響應特性可用脈沖響應函數(shù)h(t)或復頻響

29、應函數(shù) 描述(圖6.10)。寫出杜哈梅積分形式的解，將積分的上下限擴展為 不影響結(jié)果， （6.3.2） 若激勵F(t)為平穩(wěn)隨機過程，則穩(wěn)態(tài)響應也是平穩(wěn)隨機過程，其統(tǒng)計特性可計算如下。)(H),(dhtFdthFtx)()()()()(第73頁/共178頁 圖6.10 受單個隨機激勵的單自由度線形系統(tǒng)第74頁/共178頁 (1)均值 利用式(6.1.1)對式(6.3.2)求平均，并將求平均與積分的次序互換，導出 由于F(t)為平穩(wěn)隨機過程，有 (6.3.4)3 . 3 . 6()()()()()(dhtFEdhtFEtxExFtFEtFE)()(第75頁/共178頁 則式(6.3.3)化作 上

30、式中的積分可用 時的復頻響應函數(shù)值H(0)表示。 得到 即響應的均值與激勵的均值只相差一個常值乘子H(0)。)5 . 3 . 6()(dhFx0)6 . 3 . 6()0(FHx第76頁/共178頁 當激勵的靜態(tài)分量為零時，響應的靜態(tài)分量亦為零。 今后為分析方便，只討論激勵力與響應的均值皆為零的情形。第77頁/共178頁 (2)自相關(guān)函數(shù) 利用式（6.1.2）和(6.3.2)計算自相關(guān)函數(shù)，用 表示積分變量，并交換求平均與積分求和的次序，導出 (6.3.7) 此積分僅依賴于時差 與時間t無關(guān)。21,122211212121222111)()()()()()()()()()()()()()(dd

31、hRhddtFtFEhhdhtFdhtFEtxtxERFx第78頁/共178頁 (3)激勵與響應的互相關(guān)函數(shù) 利用式(6.1.9)和(6.3.2)計算激勵與響應的互相關(guān)函數(shù)，導出 (6.3.8)dhRdhtFtFEdhtFtFEtxtFERFFx)()()()()()()()()()()(第79頁/共178頁 即互相關(guān)函數(shù)等于激勵的自相關(guān)函數(shù)與脈沖響應函數(shù)的卷積積分。當激勵為理想白噪聲時，根據(jù)式(6.1.32)有 (6.3.9) 其中 為激勵的常值功率譜密度。代人式(6.3.8)，得到白噪聲激勵與響應的互相關(guān)函數(shù)為 (6.3.10) 利用此結(jié)果可從實驗測得的 推算出系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù) 。)()

32、(0SRF0S)()(0hSRFx)(FxR)(h第80頁/共178頁 (4)自譜 利用式(6.3.11)和(6.3.7)計算響應的自譜，導出 (6.3.11)22)(21112121212211)()()()()()()(dehdeRdehdeddRhhSiiFiiFx第81頁/共178頁 注意到中括號內(nèi)的積分即激勵的自譜 且由式(2.5.22)導出 (6.3.12) 其中*號表示復數(shù)的共扼)(FS)()()()()(221121HdehHHdehii第82頁/共178頁 代人式(6.3.11)后得到 (6.3.13) 此結(jié)果表明，根據(jù)激勵譜 與系統(tǒng)的復頻響應函數(shù)的幅頻特性 即可求出響應譜。

33、)()()()()(*)(2FFxSHSHHS)(FS)(H第83頁/共178頁 (5)均方值 利用式(6.1.14)和(6.3.13)計算響應的均方值，得到 (6.3.14)dSHFx)()(2122第84頁/共178頁 當激勵為理想白噪聲時， 等于常值 ，均方值為 (6.3.15) 其中積分 可查閱附錄中的積分公式。)(FS0SdHSx202)(2dH2)(第85頁/共178頁 對于弱阻尼系統(tǒng)，其阻尼比 ，幅頻特性曲線在固有頻率 附近有很尖的峰值，則 有更尖的峰值。 當激勵譜 具有較平坦形狀時，式(6.3.14)右端積分中對均方值 的貢獻主要來自共振頻率附近的小區(qū)間內(nèi)，因此可近似地域涸有頻

34、率 處的激勵譜值 代替 。102)(H)(FS2x0)(0FS)(FS第86頁/共178頁 亦即近似地認為系統(tǒng)受到功率譜密度 的白噪聲激勵。 從式(6.3.13)還可看出，即使激勵譜 為較平坦的寬帶，但響應譜 主要集中在 附近的窄帶內(nèi)。 因此線性系統(tǒng)在實踐中常起到窄帶濾波器的作用。)(00FSS )(FS)(xS0第87頁/共178頁 (6)激勵與響應的互譜 對式(6.3.8)作傅里葉變換，得到 (6.3.16) dehdeRdedhRdeRSiiFiFiFxFx)()()()()()()()(第88頁/共178頁 導出 (6.3.17) 此簡潔結(jié)果表明互譜與激勵譜之間通過復頻響應函數(shù)相聯(lián)系。

35、 從實驗測得 與 之后，也可利用式(6.3.17)求出復頻響應函數(shù) 所包含的幅頻和相頻的完整信息。而利用式(6.3.13)只能得到 的幅頻特性，且在推導過程中未計入噪聲的影響。式(6.3.17)在有噪聲存在時其結(jié)果不變，因此關(guān)系式(6.3.17)比(6.3.13)更為有用。)()()(FFxSHS)(FxS)(FS)(H2)(H第89頁/共178頁 在實踐中常引入系統(tǒng)的激勵與響應的譜相干函數(shù)，定義為 (6.3.18) )()()()(2xFFxFxSSSv第90頁/共178頁 對于線性系統(tǒng)，將式(6.3.13)和(6.3.17)代入后，得到 (6.3.19) 因此系統(tǒng)為線性時，譜相干函數(shù)應等于

36、1。如果測試得到的譜相干函數(shù)不等于1，則可能是系統(tǒng)內(nèi)存在非線性因素，也可能是測試過程中存在噪聲影響。1)()()()()()(22FFFFxSHSSHv第91頁/共178頁 例6.3.1 一單自由度線性系統(tǒng)受到隨機激勵力F(t)作用(圖6.11)。F(t)是均值為零、自譜為 的理想白噪聲平穩(wěn)過程。 求系統(tǒng)響應的自相關(guān)函數(shù)、自譜、均方值和激勵與響應的互相關(guān)函數(shù)及互譜。 0S第92頁/共178頁 圖6.11 受隨機激勵的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)第93頁/共178頁 解： 已知系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)為 （a）)0(0)0(sin1)(tttemthdtd第94頁/共178頁 將白噪聲自相關(guān)函數(shù)(6.1.32)代人

37、式(6.3.7)計算響應的自相關(guān)函數(shù)，得到 （b）11102121021)()()()()()(dhhSddShhRx第95頁/共178頁 將式(a)代入上式，積分得到 （c）)0()sin(cos2)(sinsin)(0111)2(2201ddddddxeckSdtemSR第96頁/共178頁 由于自相關(guān)函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)，對于情形，可將上式中的，代以，寫作 （d） 此相關(guān)函數(shù)為幅值按負指數(shù)衰減的振蕩曲線。0)0( )sin(cos2)(0dddxeckSRe第97頁/共178頁 利用式(6.1.14)計算響應的均方值，得到 （e） 當響應的自相關(guān)函數(shù)不易求得時，也可利用式(6.3.15)計算

38、響應的均方值，其中的積分可應用附錄中的積分公式計算。ckSRxx2)0(02第98頁/共178頁 將式(6.3.13)中的代以式(2.1.5)，代以，計算響應的自譜，得到 （f）)(H)(FS0S22220)()(cmkSSx第99頁/共178頁 利用式(6.3.8)計算激勵與響應的互相關(guān)函數(shù)，得到 （g）ddddFxemSdemSRsinsin)()(00第100頁/共178頁 利用式（6.3.17）計算激勵與響應的互譜，得到 （h） icmkSSFx20)(第101頁/共178頁 2多自由度線性系統(tǒng)對單個隨機激勵的響應 以上對單自由度線性系統(tǒng)的討論過程也適用于受單個激勵 F(t)的多自由度

39、線性系統(tǒng)(圖6.12)。設系統(tǒng)的自由度為n，其第 i個廣義坐標的響應統(tǒng)計特性與單自由度系統(tǒng)響應的統(tǒng)計特性表達式完全相同，只需相應地用對激勵力F(t)的脈沖響應函數(shù)和復頻響應函數(shù)進行計算。 實踐表明，在頻率域內(nèi)進行響應的統(tǒng)計特性分析要比時差域內(nèi)的分析簡單得多。)(thi)(iH)(txi)(txi第102頁/共178頁 圖6.12受單個隨機激勵的多自由度線性系統(tǒng) 第103頁/共178頁 例6.3.2 圖6.13為一雙層隔振系統(tǒng)，m為隔振對象的質(zhì)量，為隔振器質(zhì)量，彈簧和阻尼皆為線性。設基礎位移激勵冗是均值為零自譜為的理想白噪聲。 求振動傳遞率和隔振對象位移響應的均方值。1m)(0tx0S第104頁

40、/共178頁 圖6.13雙層隔振系統(tǒng)第105頁/共178頁 解 ： 設絕對位移如圖示，列出系統(tǒng)的動力學方程 （a）321,xxx0)()()()(0)()(0)()(011131220111112223132313xxkxxkxxkxxcxmxxkxxcxxkxxcxm 第106頁/共178頁 定義振動的傳遞率的平方為隔振對象輸出量的自譜與輸入量的自譜之比，即 （b）rT)(3tx)(xS)(0tx)(FS)()()(2FxrSST第107頁/共178頁 對于線性系統(tǒng)，利用式(6.3.13)從上式導出 （c） 為計算各復頻響應函數(shù)，設輸入量簡諧變化，各輸出量為 （d）)()(HTrtietx)

41、(0tieHtx)()(11tieHtx)()(22tieHtx)()(33第108頁/共178頁 將各簡諧函數(shù)代人方程組(a)，得到，的一組線性代數(shù)方程并解出 （e） )(3H)(2H)(1HiBAiBAH22113)(第109頁/共178頁 其中 （f）)1)(2)1 (2) 1(2)1(4)1)() 1(2) 1(42223222222221221ssssssBsssssAsBsaA第110頁/共178頁 且有 （g） 代人式(e)，(c)計算振動的傳遞率，得到 （h）mmkkkkccmkcmks121100,2,22222122122121)()()(BAABABBBAATr第111頁

42、/共178頁 隔振對象位移的均方值為 （i） 可利用附錄中的積分表計算。)(3xdHSx2302)(23第112頁/共178頁6.4 線性系統(tǒng)對多個隨機激勵的響應 1脈沖晌應矩陣和幅頻響應矩陣 設n自由度的線性系統(tǒng)受到m個平穩(wěn)隨機激勵()，討論系統(tǒng)的響應問題(圖6.14)第i坐標的響應對于沿第j坐標的激勵的脈沖響應函數(shù)和復頻響應函數(shù)分別為和。nm )(txi)(tFj)(thij), 2 , 1;, 2 , 1(),(mjniHij第113頁/共178頁 圖6.14受多個隨機激勵的多自由度線性系統(tǒng)第114頁/共178頁 它們分別構(gòu)成脈沖響應矩陣和復頻響應矩陣 (6.4.1)(th)(H)()(

43、ththij)()(ijHH第115頁/共178頁 由于有個坐標不受激勵，因此可將原階矩陣中相應的列略去,成為階矩陣， 和互相構(gòu)成傅里葉變換對，即有 (6.4.2) (6.4.3) 工程中常采用實驗方法測出或nnmnmnmn)(H)(th)(H)(thdehHi)()(deHthi)(21)(第116頁/共178頁 2響應的統(tǒng)計特性 將和排成列陣 (6.4.4) 分別表示系統(tǒng)激勵和響應，則可進行與上節(jié)類似的分析，只須將標量以矩陣代替。), 2 , 1)(mjtFj), 2 , 1)(njtxi)()( ),()(txtxtFtFij第117頁/共178頁 （1）相關(guān)矩陣 n個響應的自相關(guān)和互相

44、關(guān)函數(shù)為 (6.4.5) 以為元素構(gòu)成的相關(guān)矩陣 (6.4.6), 2 , 1,( )()()(nlktxtxERlkxxlk)()()(txtxERTxxlkxxRnn)(xxR第118頁/共178頁 將上式中的和以杜哈梅積分表示，用和作為積分變量，得到 (6.4.7) 進行與式類似的推倒，得到響應與激勵的相關(guān)矩陣之間的關(guān)系式 (6.4.8)(tx)(tx21)()()()()(222111dhtFdtFhERTTxx122211)()()()(ddhRhRTFFxx第119頁/共178頁 (2)功率譜密度矩陣 定義平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度矩陣為相關(guān)矩陣的傅里葉變換，而后者為前者的逆變換，則

45、對式(6.4.8)兩邊作傅里葉變換后，進行與式(6.3.11)類似的推導 (6.4.9)deddhRhSiTFFxx)()()()(12221122)(21112211)()()(dehdeRdehiTiFFi第120頁/共178頁 得到響應與激勵的功率譜密度矩陣之間的關(guān)系式 (6.4.10) 其中為的共扼陣，即)()()(*)(TFFxxHSHS)(*H)(H)(H第121頁/共178頁 (3)激勵與響應的互相關(guān)矩陣 n個響應與m個激勵之間的互相關(guān)矩陣為 (6.4.11)()()(txtFERTFx第122頁/共178頁 進行與式(6.3.8)類似的推導， (6.4.12) (6.4.13)

46、()()()(dhtFtFERTTFxdhtFtFETT)()()(dhRRTFFFx)()()(第123頁/共178頁 (4)激勵與響應的互譜密度矩陣 定義激勵與響應的互譜密度矩陣為互相關(guān)矩陣的傅里葉變換。對式(6.4.13)兩邊作傅里葉變換后，進行與式(6.3.16)類似的推導 (6.4.14)deRSiFxFx)()(ddehRiTFF)()(dehdeRiTiFF)()()()(第124頁/共178頁 得到互譜密度矩陣與激勵的功率譜密度矩陣和系統(tǒng)的復頻響應矩陣之間的關(guān)系式 (6.4.15)(H)(FFS)(FxS)()()(TFFFxHSS第125頁/共178頁 例6.4.1 以勻速v

47、沿不平路面行駛的汽車簡化為剛體，質(zhì)量和對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為m和，質(zhì)心位置如圖6.15所示，彈簧和粘阻系數(shù)均已知，設路面高度沿路程s的變化為高斯隨機場，汽車的前后輪著地高度和的功率譜密度為已知。 求響應的功率譜密度矩陣。CJ2121,cckk)(2tx)(1tx)()(21xxSS第126頁/共178頁 圖6.15 不平路面上的汽車第127頁/共178頁 解 ： 以汽車的質(zhì)心垂直位移x和相對水平面的傾角為義坐標，建立二自由度剛體微幅振動的動力學方程 (a) (b)()()()()()()()()()(222211112221212221212211221121212121xcxkbxcxkabka

48、kxbkakbcacxbcacJxcxcxkxkbkakxkkbcacxccxmc 第128頁/共178頁 先計算系統(tǒng)的幅頻響應，為此令 (c) 代入方程(a)和(b)，得到 和 的二元線性代數(shù)方程組，解出 (d)tietx)(10)(2txtieHtx)()(11tieHt)()(21)(21H)(11H12122211122211)()(kcccaccH12122211111221)()(kcccaccH第129頁/共178頁 再令 (e) 代入方程(a)和(b)，得到 和 的二元線性代數(shù)方程組，解出 tietxtx)( 0)(21tieHtx)()(12tieHt)()(22)(22H)

49、(12H,)()(22122211122212kcccbccH22122211121122)()(kccccbcH第130頁/共178頁 其中 (g)()()( ,222122221222121122122111222111bcaciJbkakcbcacibkakcccimkkcickkickkc第131頁/共178頁 則得到復頻響應矩陣 (h) 作為激勵的前后輪高度變化 和 之 間具有相關(guān)性， (i)()()()()(22211211HHHHH)(2tx)(1tx)()(012txtx第132頁/共178頁 其中 為常值時差，則相關(guān)函數(shù)為 ( j) 功率譜密度為 (k)vl0)()()()(

50、)()(001121121xxxRtxtxEtxtxER)()()()(10001210)(0 xiiixxxSeedeRS第133頁/共178頁 激勵過程 和 有相同的自譜 由路面隨機場導出，見式(6.2.6)。用同樣步驟還可導出 (l) (m)(2tx)(1tx)(1xS)()(0112xxxRR)()(1012xixxSeS第134頁/共178頁 得到激勵的功率譜密度矩陣 (n) 將式(h)和(n)代大式(6.4.10)，得到響應 的功率譜密度矩陣 (o)11)()(001iixFFeeSS)()()(*)(TFFxxHSHSTxX),(第135頁/共178頁6.5 隨機響應的模態(tài)分析法

51、 1多自由度系統(tǒng)的隨機晌應 除以上直接應用脈沖響應函數(shù)和復頻響應函數(shù)求線性系統(tǒng)隨機響應的方法以外，模態(tài)分析法是另一種求隨機響應的有效方法。由于只有低階模態(tài)對響應有顯著影響，因此模態(tài)分析法對于自由度多的系統(tǒng)可明顯減少計算工作量。第136頁/共178頁 討論受隨機激勵的n自由度線性系統(tǒng)，其動力學方程為 (6.5.1) 其中質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K可利用作以下變換 (6.5.2)(tFKxxCxM EMNTNNTNKNNTNCC第137頁/共178頁 其中 為系統(tǒng)的簡正模態(tài)矩陣，E為n階單位陣， 為本征值矩陣, 為振型阻尼矩陣，亦假設為對角陣 (6.5.3) (6.5.4)NNC)(222

52、21ndiag)222(2211nnNdiagC第138頁/共178頁 將坐標x變換為簡正坐標 (6.5.5) 則動力學方程解稠為 (6.5.6)Nx)()(txtxNN)(tFxxCxTNNNNN 第139頁/共178頁 包含n個獨立的微分方程 (6.5.7) 可對每個方程利用杜哈梅積分計算隨機響應， (6.5.8), 2 , 1( )(2)(2nitFxxxTiNNiiNiiiNi ), 2 , 1()()()()(nidtFhtxTiNiNi第140頁/共178頁 寫作矩陣形式 (6.5.9) 其中 為正則坐標下的脈沖響應矩陣。由于各方程相互獨立，因此 為對角陣， (6.5.10)dtF

53、htxTNN)()()()(h)(h)()()()(21nhhhdiagh第141頁/共178頁 將式(6.5.9)變換至原坐標x(t)，積分變量 改作 ，得到 (6.5.11) 利用上式導出響應的相關(guān)矩陣 (6.5.12)dtFhtxTNN)()()( TNTNFFTNNTxxddhRhtxtxER)()()(122211第142頁/共178頁 對上式兩端進行傅里葉變換，經(jīng)過推導，得到響應的功率譜密度矩陣 (6.5.13) 其中 是關(guān)于正則坐標的復頻響應矩陣， 為其共軛陣 (6.5.14) 利用式(6.5.13)可從已知的激勵的功率譜矩 求出響應的功率譜矩陣 。)(*H)(H )()()(T

54、NNFFTNNxxHSHS)()()()(21nHHHdiagH)(xxS)(FFS第143頁/共178頁 對 作傅里葉逆變換，可得到響應的相關(guān)函數(shù)矩陣 (6.5.15) 當振動系統(tǒng)的阻尼較小且各固有頻率差別較大時，可將式(6.5.13)中 的交叉乘積項予以忽略使計算簡化。多自由度系統(tǒng)通常是低階模態(tài)起主要作用，因此計算時只取幾個低階模態(tài)，仍可有較好的精度。)(xxSdeSRixxxx)(21)()(jiHHji與第144頁/共178頁 例 6.5.1 在圖6.9所示地震只寸結(jié)構(gòu)影響的例子中， 設 取強震階段地面加速度的功率譜 如式（6.2.12），并近似作為平穩(wěn)過程處理。 求系統(tǒng)位移響應的功率

55、譜密度矩陣和均方值。ccckkkmmm1212122,2,2 gxS 第145頁/共178頁 解 ：將系統(tǒng)的動力學方程(6.2.11)寫作 (a) 其中 (b)(tFKxxCxM gxmFxxxcCkKmM 21 , ,31113111 ,200121第146頁/共178頁 求出系統(tǒng)的本征值 (c) 以及正則模態(tài)矩陣 (d)mkmk2 ,22221mmmmN31613162第147頁/共178頁 將方程（a）解耦為 (e) 其中 (f)(tFxxCxTNNNNN 20021 ,20021mcCmkN第148頁/共178頁 寫出正則坐標的復頻響應矩陣 (g) (h)( 00 )()(21HHH)

56、2 , 1(21)(22jiHjjjj第149頁/共178頁 激勵的相關(guān)矩陣為 (i) 對上式兩邊作傅里葉變換，得到 ( j) )(4221)()()(2gxTFFRmtFtFER )(4221)(2gxFFSmS 第150頁/共178頁 代入式（6.5.13）計算系統(tǒng)的位移響應的功率譜密度矩陣，得到 (k)()()()()(91)(22122111gxxxxxxxxxxxSSSSSS 第151頁/共178頁 其中 (l) 2212212122122121221221212212212125 . 347248441622122111HHHHHHSHHHHHHSHHHHHHSHHHHHHSxxx

57、xxxxx第152頁/共178頁 利用式（6.5.15）計算質(zhì)量的位移響應的均方值，得到 (m) 可應用留數(shù)定理或數(shù)值積分計算，數(shù)值積分的上下限則根據(jù)精度要求以上下截斷頻率代替。1mdSSRgxxxxx)()(9121)0(1111 第153頁/共178頁 2連續(xù)系統(tǒng)的隨機響應 以梁的彎曲振動為例說明連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)分析法。 設均質(zhì)等截面梁受到線性外阻尼作用，在動力學方程中增加與成比例的阻尼項，設c為粘阻系數(shù)， （6.5.16）ty ),(),(),(),(2244txfttxycttxyxtxyEIl第154頁/共178頁 設其中分布力f(x,t)為平穩(wěn)隨機過程。計算無阻尼情形的固有頻率和正則

58、化的模態(tài)函數(shù)，后者滿足正交性條件。假設模態(tài)函數(shù)關(guān)于阻尼也存在類似的正交性 （6.5.17）i)2 , 1()(ixiijiijildxxxc2)()(0第155頁/共178頁 應用模態(tài)分析法，將解y(x,t)寫作模態(tài)函數(shù)的線性組合， （6.5.18） 代大方程(6.5.16)，導出廣義坐標的一組獨立的動力學方程， （6.5.19）)()(),(1tqxtxyiii), 2 , 1)(itqi), 2 , 1( )()()(2)(2 itQtqtqtqiiiiiii第156頁/共178頁 其中廣義力為 （6.5.20） 利用杜哈梅積分寫出方程（6.5.19）的解，并計算平穩(wěn)響應過程與之間的互相關(guān)函數(shù)，得到 （6.5.21）)(tQi)(tqj