高等數(shù)學(xué)-D1習(xí)題課(黑白)

1、整理版ppt1二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷 一、一、 函數(shù)函數(shù) 三、三、 極限極限 習(xí)題課習(xí)題課函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第一章第一章 整理版ppt2)(xfy yxOD一、一、 函數(shù)函數(shù)1. 概念概念定義定義:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定義域定義域 值域值域圖形圖形:DxxfyyxC, )(),( 一般為曲線一般為曲線 )設(shè)設(shè)函數(shù)為特殊的映射函數(shù)為特殊的映射:其中其中DR 整理版ppt32. 特性特性有界性有界性 , 單調(diào)性單調(diào)性 , 奇偶性奇偶性 , 周期性周期性3. 反函數(shù)反函數(shù))(:DfDf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)為單射為單射, 反函數(shù)為其逆映射反函數(shù)為其逆映射DDff)(:1

2、4. 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)給定函數(shù)鏈給定函數(shù)鏈)(:11DfDf1)(:DDgDg則復(fù)合函數(shù)為則復(fù)合函數(shù)為 )(:DgfDgf5. 初等函數(shù)初等函數(shù)有限個(gè)有限個(gè)常數(shù)及基本初等函數(shù)常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)經(jīng)有限次有限次四則運(yùn)算與四則運(yùn)算與復(fù)合而成的復(fù)合而成的一個(gè)一個(gè)表達(dá)式的函數(shù)表達(dá)式的函數(shù).)(1DfD)(Dgg1Dfgf 整理版ppt4思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 下列各組函數(shù)是否相同下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什么為什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx與axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax與0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 與

3、相同相同相同相同相同相同整理版ppt52. 下列各種關(guān)系式表示的下列各種關(guān)系式表示的 y 是否為是否為 x 的函數(shù)的函數(shù)? 為什么為什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsin)3(xuuy不是不是40 x,cosx24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y整理版ppt60 x0,10,1)()4(33xxxxxf0, 10, 1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf,2xx1, 11, 13xx1) 1(32xx,16x1xRx3. 下列函數(shù)是否為初等函數(shù)下列函數(shù)是否為初等函數(shù) ? 為什么為什么 ?0,0,)() 1 (xx

4、xxxf2x以上各函數(shù)都是初等函數(shù)以上各函數(shù)都是初等函數(shù) .整理版ppt74. 設(shè)設(shè),0)(,1)(,e)(2xxxfxfx且求求)(x及其定義域及其定義域 .5. 已知已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求求. )5(f6. 設(shè)設(shè),coscsc)sin1(sin22xxxxf求求. )(xf由由)(2exx1得得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2整理版ppt8 f5. 已知已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求求. )5(f解解:)5(f)( f310)10(f)(7f f)12(f)( f312)(9f66. 設(shè)設(shè),coscsc)si

5、n1(sin22xxxxf求求. )(xf解解:1sinsin1)sin1(sin22xxxxf3)sin1(sin2xx3)(2xxf整理版ppt9二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷1. 函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0時(shí)當(dāng) xx有有)()(0 xfxf2. 函數(shù)間斷點(diǎn)函數(shù)間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)整理版ppt10有界定理有界定理 ; 最值定理最值定理 ; 零點(diǎn)

6、定理零點(diǎn)定理 ; 介值定理介值定理 .3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例例1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在在 x = 0 連續(xù)連續(xù) , 則則 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e整理版ppt11) 1)(e)(xaxbxfx有無(wú)窮間斷點(diǎn)有無(wú)窮間斷點(diǎn)0 x及可去間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn), 1x解解:為無(wú)窮間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn),0 x) 1)(elim0 xaxbxx所以所以bxaxxxe) 1)(lim0ba101

7、,0ba為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn) ,1x) 1(elim1xxbxx極限存在極限存在0)(elim1bxxeelim1xxb例例2. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)試確定常數(shù) a 及及 b .整理版ppt12例例3. 設(shè)設(shè) f (x) 定義在區(qū)間定義在區(qū)間),(上上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若若 f (x) 在在連續(xù)連續(xù),0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf閱讀與練習(xí)閱讀與練習(xí)且對(duì)任意實(shí)數(shù)且對(duì)任意實(shí)數(shù)證明證明 f (x) 對(duì)一切對(duì)一切 x 都連續(xù)都連續(xù) .P65 題題 1 , 3(2) ; P74 題題 * *6整理版p

8、pt13證證:P74 題題* *6. 證明證明: 若若 令令,)(limAxfx則給定則給定,0,0X當(dāng)當(dāng)Xx 時(shí)時(shí), 有有AxfA)(又又, ,)(XXCxf根據(jù)有界性定理根據(jù)有界性定理,01M, 使使,)(1XXxMxf取取1,maxMAAM則則),(,)(xMxf)(xf在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),)(limxfx存在存在, 則則)(xf必在必在),(內(nèi)有界內(nèi)有界.)(xfXXA1MOyx整理版ppt140)()()(212xfxff上連續(xù)上連續(xù) , 且恒為正且恒為正 ,例例4. 設(shè)設(shè))(xf在在,ba對(duì)任意的對(duì)任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點(diǎn)必存在一點(diǎn)證證:, ,21xx使

9、使. )()()(21xfxff令令)()()()(212xfxfxfxF, 則則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使使,)()(21時(shí)當(dāng)xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點(diǎn)定理知故由零點(diǎn)定理知 , 存在存在, ),(21xx,0)(F即即. )()()(21xfxff,)()(21時(shí)當(dāng)xfxf,21xx或取)()()(21xfxff證明證明:, 0)(F則有即即 整理版ppt15上連續(xù)上連續(xù), 且且 a c d b ,例例5. 設(shè)設(shè))(xf在在,ba必有一點(diǎn)必有一點(diǎn)證

10、證:, ,ba使使)()()()(fnmdfncfm, ,)(baCxfMbaxf上有最大值在,)()()(dfncfm)()()(fnmdfncfm即即由介值定理由介值定理,使存在, ,ba證明證明:Mnmdfncfmm)()()()()()(fnmdfncfm,m及最小值故故 即即 mnm)(Mnm)(整理版ppt16三、三、 極限極限1. 極限定義的等價(jià)形式極限定義的等價(jià)形式 (以以 為例為例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即即 為無(wú)窮小為無(wú)窮小)Axf)(, )(0 xxxnnn有有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(002. 極限存在準(zhǔn)則及

11、極限運(yùn)算法則極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則整理版ppt173. 無(wú)窮小無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì)無(wú)窮小的性質(zhì) ; 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較 ;常用等價(jià)無(wú)窮小常用等價(jià)無(wú)窮小: 4. 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 6. 判斷極限不存在的方法（函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系）判斷極限不存在的方法（函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系） sin xxtanxxcos1x221xarctanxxarcsin xx)1ln(xx1e xx1xaaxln1)1 (xx5. 求極限的基本方法求極限的基本方法 ( 極限運(yùn)算法則，變形為重要極限）極限運(yùn)算法則，變形為重要極限）1sinlim) 1 (01)11 (lim)2(0或或10lim(1)e注

12、注: 代表相同的表達(dá)式代表相同的表達(dá)式整理版ppt18例例6. 求下列極限：求下列極限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx無(wú)窮小無(wú)窮小有界有界整理版ppt19令令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12整理版ppt200lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(exxxx1212)1(ln2e則有則有)()(1li

13、m0 xvxxxu復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 若若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1整理版ppt21Oxy331xy例例7. 確定常數(shù)確定常數(shù) a , b , 使使0)1(lim33bxaxx解解: 原式可變形為原式可變形為0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故故,01a于是于是,1a而而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0 xy整理版ppt22例例9. 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí),32xx 是是x的幾階無(wú)窮小的幾階無(wú)窮小?解解: 設(shè)其為設(shè)

14、其為 x 的的 k 階無(wú)窮小階無(wú)窮小,則則kxxxx320lim0C因因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故故61k整理版ppt23閱讀與練習(xí)閱讀與練習(xí)1. 求求的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn), 并判別其類型并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 為第一類為第一類可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn))(lim1xfx x = 1 為第二類為第二類無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn), 1)(lim0 xfx1)(lim0 xfx x = 0 為第一類為第一類跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)整理版ppt24 2. 求求.sine1e2lim410 xxxxx解解:xxxxxsine1e2lim410 xxxxxxsin1ee2lim4340e1xxxxxsine1e2lim