概率論與統(tǒng)計課件：概率論與統(tǒng)計課件：第四節(jié)（第二章）

1、 2.4 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布 對于隨機變量對于隨機變量X，其函數(shù)，其函數(shù)Y = g(X) 也是一個隨機變量，在實也是一個隨機變量，在實際中我們常對某些隨機變量的函數(shù)感興趣際中我們常對某些隨機變量的函數(shù)感興趣 如我們要知道一批鋼球的體積，往往是通過測量鋼球的直徑如我們要知道一批鋼球的體積，往往是通過測量鋼球的直徑X來實現(xiàn)的。直徑測量值來實現(xiàn)的。直徑測量值X 是一隨機變量，而我們關(guān)心的是體積是一隨機變量，而我們關(guān)心的是體積是直徑的函數(shù)，即隨機變量的函數(shù)。是直徑的函數(shù)，即隨機變量的函數(shù)。 下面將討論怎樣由隨機變量下面將討論怎樣由隨機變量X 的分布去求其函數(shù)的分布去求其函數(shù)Y 的分布

2、的分布 一般地，設(shè)一般地，設(shè) f (x) 是一個函數(shù)，所謂隨機變量是一個函數(shù)，所謂隨機變量X 的函數(shù)的函數(shù)Y= f (X)是指隨機變量是指隨機變量Y，當，當X 取值為取值為x 時，時，Y 取值取值y = f (x) 下面分兩種情況討論由隨機變量下面分兩種情況討論由隨機變量X 的分布求的分布求Y= f (X) 的分的分布布 1X 為離散型隨機變量為離散型隨機變量 當當X 為離散型隨機變量時，一般為離散型隨機變量時，一般Y= f(X)也是離散型隨機變也是離散型隨機變量若量若X 的分布律已知，則不難求出的分布律已知，則不難求出Y 的分布律的分布律 例例1 設(shè)設(shè)X 的分布律為的分布律為X=xi 1 0

3、 1 2pi 0.2 0.3 0.1 0.4求求Y = 2X1和和Y = (X1)2 的分布律的分布律 解解X=xi 1 0 1 2pi 0.2 0.3 0.1 0.4Y= yi = 2xi+1 1 1 3 5Y= yi = (xi 1)2 4 1 0 1 Y = 2X1的分布律為的分布律為Y= yi 1 1 3 5pi 0.2 0.3 0.1 0.4 Y = (X1)2 的分布律為的分布律為Y= yi 0 1 4pi 0.1 0.7 0.21 . 010 XPYP)2()0(1 XXPYP4 . 03 . 020 XPXP2 . 014 XPYP 一般地，若一般地，若X 的分布律為的分布律為

4、PX = xk = pk (k = 1,2,)則則Y= f (X) 的全部可能取值為的全部可能取值為yk = f (xk ) (k = 1,2,)，由于其中，由于其中可以有重復(fù)的，所以在求可以有重復(fù)的，所以在求Y 的分布律即計算的分布律即計算PY = yk 時應(yīng)將時應(yīng)將使使yk = f (xk ) 的所有的所有xk 所對應(yīng)的概率所對應(yīng)的概率PX = xk 累加起來，即有累加起來，即有 kiyxfikxXPyYP)( 2X 為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量 例例2 設(shè)設(shè)X N（0，1）,求求Y = eX 的分布的分布 解由題設(shè)知，解由題設(shè)知，X 的取值范圍為全體實數(shù)，故的取值范圍為全體實數(shù)，故Y

5、= eX 的全的全 部可能取值在（部可能取值在（0,）內(nèi)于是當）內(nèi)于是當y 0 時顯然有時顯然有 FY(y) =PYy = 0又由于生成又由于生成Y 的函數(shù)的函數(shù) g(x)= ex 為為R上的嚴上的嚴 格單增函數(shù)，所以當格單增函數(shù)，所以當 y0 時時 FY(y) = PYy = PeX y = PX lny = FX(lny)兩邊對求導(dǎo)，得兩邊對求導(dǎo)，得2221)(xXexf 而而2ln221)(yYeyyf )(ln1)(yfyyfXY 于是，于是，Y 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 02100)(2ln2yeyyyfyY 此時隨機變量此時隨機變量Y 服從以（服從以（0，1）為參數(shù)的對數(shù)正態(tài)分布）

6、為參數(shù)的對數(shù)正態(tài)分布 例例3 若若XN（0，1），求），求Y=X 2 的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù) 解解 令令Y 的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為fY(y) 和和FY(y) Y=X 20， 當當y 0時，時，F(xiàn)Y(y) = PY y = 0， 0)()( yFyfYY當當y0 時，時，F(xiàn)Y(y) = PY y = PX 2y|yXP dtedteyyytt 0222221221 )(212)()(2)(2 yeyFyfyYY 22121yey Y 的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù) 02100)(221yeyyyfyY 此時稱此時稱Y 服從自由度為服從自由度為1 的的2

7、分布，記為分布，記為Y 2 (1) 此分布在第六章將詳細介紹此分布在第六章將詳細介紹 上述兩例子解法的關(guān)鍵一步是上述兩例子解法的關(guān)鍵一步是從從“Y y ” ，即，即 “g(X)y ” 中解出中解出X ，得到一個與，得到一個與“g(X) y ”等價的關(guān)于等價的關(guān)于X 的不等式，并的不等式，并以后者代替以后者代替g(X)y 以上做法具有普遍性一般來說，都可以上做法具有普遍性一般來說，都可以用此方法求連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布函數(shù)或概率密度以用此方法求連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布函數(shù)或概率密度 定理定理 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X具有概率密度具有概率密度 fX(x) (- x 0 (或恒有或恒有g(shù)(x)

8、0 )，則，則 Y =g(X) 是連續(xù)型隨機變量是連續(xù)型隨機變量, 其概率密度為其概率密度為 yyyyhyhfyfXY,0| )(|)()(),(),(min gg 其中其中),(),(max gg 的反函數(shù)。的反函數(shù)。是是)()(xgyh證明見教材證明見教材50面。面。例例4：XbaXYN ),(2 ),(22 abaN abyyhxbaxxgy )()(法一：用定理。法一：用定理。ayh1)( )(),(mingg )(),(maxgg 其它其它0| )(|)()( yyhyhfyfXY22)|(|2)()|(|21)( abayYeayf baXY ),(22 abaN 表示表示用用定義將定義將法二：先用分布函數(shù)的法二：先用分布函數(shù)的)()(xFyFXY正負的討論。正負的討論。注意對注意對再求導(dǎo)得再求導(dǎo)得ayfY).(),(lg52 NXY ：例例求求X 的概率密度函數(shù)。的概率密度函數(shù)。Y：X10 法一法一yygx10