剛體力學(xué)基礎(chǔ)

1、剛體力學(xué)基礎(chǔ)大家好，這周三就要進行大物期中考試了。不知道大家準備得怎么樣。俗話說，春困、夏乏，恐怕大家平時上大物也沒少打過盹，作物理怕是牽著夢的手，跟著感覺走。今天我們一、剛體概念前一節(jié)課，于卓群同學(xué)已經(jīng)帶大家復(fù)習(xí)了這本書的一二章，也就是質(zhì)點力學(xué)部分，相信這一部分大家還是相當熟悉的，畢竟高中三年都誰沒被該死的小滑塊折磨得不要不要的。質(zhì)點力學(xué)的研究是建立在質(zhì)點這個經(jīng)典的理想模型之上的，對質(zhì)點的研究大概可以追溯到伽利略，質(zhì)點的定義大家都知道吧？（質(zhì)點是有質(zhì)量但不存在體積的厚根化模型，在物體大小形狀不起作用的時候，我們就可以將物體看成質(zhì)點b但是我們但是我們都清楚，很多情況下物體本身在運動中并不能忽略

2、。所以今天，我們引入一個新的模型剛體。剛體模型的引入要比質(zhì)點晚得多，要到17世紀。（有歐拉、拉格朗日、科瓦列夫斯卡婭?？仆吡蟹蛩箍▼I：歷史上第一位女數(shù)學(xué)博士）這幾個人都是數(shù)學(xué)家，所以剛體力學(xué)不難才怪。剛體的定義：是指在運動中和受力后不發(fā)生形變的物體。大家知道，有沒有不發(fā)生形變的物體呀？所以剛體是一個不存在的理想化模型。這里提醒大家一句，學(xué)習(xí)這部分的時候大家一定要認真。大家知道下學(xué)期要學(xué)理論力學(xué)。這門課的掛科率大家都懂的。里面會少不了涉及剛體動力學(xué)的知識。所以，大家這節(jié)課要認真聽。爭取把平時上課睡覺落下的東西補回來。二、剛體動力學(xué)的研究在動力學(xué)的框架下只有兩種理想模型那就是_質(zhì)點和質(zhì)點系，質(zhì)點大

3、家都熟悉，其他而不能看作質(zhì)點的物體，我們可以將其看成質(zhì)點系，包括彈性體呀、流體、還有這節(jié)課要講的剛體。質(zhì)點系有三大性質(zhì)(1)質(zhì)點系的總動量的改變與內(nèi)力無關(guān)；(2)質(zhì)點系的角動量的改變與內(nèi)力無關(guān)；(3)質(zhì)點系的機械能的改變與保守力無關(guān)。由于剛體的特點是不能發(fā)生形變，所以剛體還可以定義作一個質(zhì)量連續(xù)分布、質(zhì)點間距再保持不變的特殊質(zhì)點系。在后面的推導(dǎo)中這是一個最基本思路。三、剛體運動學(xué)說實話，剛體的運動其實是一個很復(fù)雜的問題，一方面是因為他的運動形式多：平動、定點轉(zhuǎn)動、定軸莪動等等。還有各種運動形式的疊加，就算是最簡單的定軸轉(zhuǎn)動和平動放在一起，都夠你折騰的了。但是這一章我們只學(xué)習(xí)其中最最簡單的部分，

4、那就是定軸轉(zhuǎn)動。我們先來看一下定轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動的描述首先我們研究轉(zhuǎn)動的時候一般是采用什么座標系??？(極座標系)而后由于剛體是質(zhì)點間距離保持不變的一個質(zhì)點系，所以我們研究剛體運動的時候，只要研究其中一個質(zhì)點，因為其他質(zhì)點的轉(zhuǎn)動情況和這個質(zhì)點是一樣的，所以前面質(zhì)點轉(zhuǎn)動的運動規(guī)律我們都可以用上對于整個質(zhì)點系：w=d9/dt對于這個角加速度，有人問我為什么方向為什么向上，我只能告訴你，這是王八的屁股龜月定。我去翻了相關(guān)書籍，這種矢量叫軸矢量,也叫偽矢量。P=dw/dt=d20/dt2對于某個質(zhì)點：an=ujv=u)r2at=Pr其他的一些運動規(guī)律也都一樣，這里就不在贅述了。四、力矩與質(zhì)點的定輔轉(zhuǎn)動一樣，對于定

5、點轉(zhuǎn)動而言。M=Fd=FrsinaM=fxF但是對于定輔轉(zhuǎn)動的物體油于轉(zhuǎn)軸已經(jīng)確定了，所以將力進行分解，如圖。由于平行與軸方向的力不產(chǎn)生沿軸方向的力矩所以有兩點要注意(1)力矩是對點或?qū)S而言的；(2)一般規(guī)定，使剛體逆時針繞定軸轉(zhuǎn)動時M0,使剛體順時針繞定軸轉(zhuǎn)動時M0。五、剛體定軸轉(zhuǎn)動定理我們說，剛體是一個質(zhì)點系，在這個質(zhì)點系中，我們?nèi)∑渲幸粋€質(zhì)點m0既然是質(zhì)點那么他就遵循牛頓第二定律。那么分析受力，可知他受到內(nèi)力作用力和外作用力，如圖。由牛頓第二定律得戶外力+戶內(nèi)力=機屈i其中a.是質(zhì)元繞軸作圓運動的加速度，寫為分量式：一五外力cos%+F內(nèi)力cos/=&必加戶外力in%+F內(nèi)力$in甘=

6、A/叫由于法向力不產(chǎn)生力矩，所以只看切向，將徐二刖帶入得。法向:一/，外力83若干斤內(nèi)力切向：正外力sin%+/內(nèi)力訂1仍=A/洛/兩邊同時乘以n得。外力矩附尸外力/sin,+尸內(nèi)力/;sin?=Mi，。內(nèi)力矩為零剛體定軸轉(zhuǎn)動定理M=J0六、轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量是剛體作轉(zhuǎn)動時對慣性的量度描述。對于質(zhì)點和離散的質(zhì)點系J=I對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體J=jr2dm單位，kg*m2轉(zhuǎn)動慣量的推導(dǎo)，我們要知道關(guān)于繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量的兩大定理1 ）平行輔定理2 ）垂直軸定理由于老師說不作為考點，我這里就不多說了，我在課下曾經(jīng)幫一位同學(xué)整理過,如果有誰想要的話,請課下單獨聯(lián)系我。但要知道，關(guān)于剛體轉(zhuǎn)動慣量的大小

7、與下列因素有關(guān)：1）形狀大小分別相同的剛體質(zhì)量大的轉(zhuǎn)動憒量大；（質(zhì)量）2）總質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸越遠轉(zhuǎn)動慣量越大；（形狀）3）對同一剛體而言，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對軸的分布就不同，轉(zhuǎn)動慣量的大小就不同。（軸的位置）最后，關(guān)于轉(zhuǎn)動慣量，在多說幾句，其實這個轉(zhuǎn)動慣量，是個相當復(fù)雜的東西，他不是標量也不是矢量而是一種二階張量，如果要表示要用3x3的矩陣表式，但是由于我們研究的是定軸轉(zhuǎn)動，相當于只是研究了其中的一個分量，所以我們在這里把它當標量處理。式中/口=工53+7）一4，立州一9/=SAwix.-.一I一=25（7+片）i七、剛體定地轉(zhuǎn)動的動能定理1.剛體的動里對于動能的定義我們應(yīng)該很清楚了1

8、 9E=2對于旋轉(zhuǎn)的剛體，我們?nèi)园凑眨瑒傮w是質(zhì)點系這一思路先選擇質(zhì)點系中的一個質(zhì)點401171A2Eki=A叫匕.又因為.v=u）r22IqiA/na產(chǎn)1-2-/對于整個質(zhì)點系有Ek=戲。，卜“了2.力矩的功與動能一樣，還是從質(zhì)點力學(xué)中功的定義出發(fā)dW=F-dr我們假諛一個剛體在一個力的作用下作圓周運動/W=F.另#廠cos0Ms由s=6r所以ds=rd6原式等于=(Frna)d0所以dW=MdO為3.剛體的動能定理在質(zhì)點力學(xué)中，我們知道有功能定理%卜分十%=A=Ea-Em通過一二的推導(dǎo)我們知道%力=J：M鳴=*)又因為質(zhì)點的機械能的改變與內(nèi)力無關(guān)，即W內(nèi)力=0，這樣我們就得到了我們熟知的動能定理微分形式：Mde=d(；J爐)積分形式：MdO=-Ja)2-IjaJ，。22八、剛體定物轉(zhuǎn)動的角動量定理4 .剛體角動量還是從質(zhì)點開始，對于定點轉(zhuǎn)動的質(zhì)點而言，上一章我們已經(jīng)給過了角動量的定義L=rxP=rx(mv)單位為kgrY方向遵循右手定則。而對