北師大七年級上冊有理數(shù)錯題解析

1、有理數(shù)的意義錯題解析例1小學(xué)學(xué)過的數(shù)的前面添上”號，得到的數(shù)都是負(fù)數(shù).這句話對嗎？若不對，怎樣改正？錯解這句話是對的.診斷這句話是不對的.因為小學(xué)學(xué)過的數(shù)除自然數(shù)、正分?jǐn)?shù)（小數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)）外,還有0.在0的前面添上”號仍是0,而0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).正確解答這句話不對.改為：小學(xué)學(xué)過的數(shù)（0除外）的前面添上“”號，得到的數(shù)都是負(fù)數(shù).例2有理數(shù)包括哪些數(shù)？錯解有理數(shù)包括正數(shù)、零和負(fù)數(shù).診斷零當(dāng)然是有理數(shù)，但正數(shù)和負(fù)數(shù)中，還有不是有理數(shù)的數(shù)，只不過我們現(xiàn)在還沒有學(xué)罷了.正確解答有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù).例3把有理數(shù)6.4、-9、25,-100按正整數(shù)，負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)分成四個集合.錯解正整

2、數(shù)：+10,1,25,負(fù)整數(shù)：9,-100,診斷題目是要求把給出的10個數(shù)分成四個集合，顯然每個集合中的有理數(shù)是有限個.上述解答把每個集合中的有限個數(shù)全部寫出來之后，又寫上了省略號，把有限個變成了無限個，這顯然是錯的.說明省略號是表示還有許多沒有寫出來的數(shù)，或者表示無窮個數(shù).例4最小的正整數(shù)是幾？最大的負(fù)整數(shù)是幾?錯解最小的正整數(shù)是零，最大的負(fù)整數(shù)不存在.診斷零是整數(shù)，但它既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，因而最小的正整數(shù)應(yīng)該是1.解題者由于受“不存在最大正整數(shù)”負(fù)遷移作用的影響，導(dǎo)致出不存在最大的負(fù)整數(shù)的錯誤結(jié)論.事實上，根據(jù)兩個負(fù)數(shù)，絕對值小的反而大，可以得到最大的負(fù)整數(shù)是1.例5a一定是負(fù)數(shù)嗎？錯解

3、a一定是負(fù)數(shù).診斷之所以出現(xiàn)上面的錯誤，其原因是解題者對字母表示數(shù)的認(rèn)識膚淺，加上解題者又從形式上看問題.事實上，如果a表小一5,那么一a表小一(5)=5;如a表示0,那么一a也表示0.正確解答-a不一定是負(fù)數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是0.說明0經(jīng)常出現(xiàn)在各種數(shù)學(xué)問題中，在思考問題時，要注意考慮0這一特殊情況.例6數(shù)軸的三要素是什么？錯解數(shù)軸的三要素是指原點、正方向、長度單位.診斷上面的回答錯在混淆了“單位長度”和“長度單位”這兩個概念.看起來只有詞序不同，但實際意義不一樣.“長度單位”是一個確定的量，如厘米、分米等.而“單位長度”不是確定的，它的大小可根據(jù)實際需要適當(dāng)選取.當(dāng)然還可用一個或若干個

4、長度單位來作為一個“單位長度”.正確解答數(shù)軸的三要素是原點、正方向和單位長度.例7在數(shù)軸上記出下列各數(shù):+5.5,6,4,3.5,1.5.錯解如圖2-1.診斷只有標(biāo)明了原點、正方向和單位長度的直線，才是數(shù)軸.上面畫的數(shù)軸錯在沒有標(biāo)出原點和單位長度.正確解答如圖22.例8任何一個有理數(shù)與它的相反數(shù)不相等.這話對嗎？錯解這話是對的.如7的相反數(shù)是7,7與7不相等.診斷這句話不對.其原因是把零排除在有理數(shù)之外了.因為任何一個有理數(shù)包括正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零，而零的相反數(shù)是零，即零和它的相反數(shù)相等.正確解答這話不對.應(yīng)改為：任何一個不等于零的有理數(shù)與它的相反數(shù)不相例9寫出絕對值不大于5的整數(shù).錯解絕對

5、值不大于5的整數(shù)是：一4,3,2,1,1,2,3,4.診斷上面解答錯誤有兩處：其一，把符合條件的零排除在整數(shù)集合之外；其二，對“不大于”的含義認(rèn)識模糊.事實上，“不大于”包括“小于”或“等于”兩層意思，不能把“等于”排除在外.正確解答絕對值不大于5的整數(shù)有：5,4,3,2,-1,0,1,2,3,4,5.例10什么數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)？錯解負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).診斷上面解答錯在漏掉了零.因為零的絕對值和零的相反數(shù)都是零.進(jìn)入有理數(shù)后，零這個角色越來越重要了，我們對它要加倍注意.正確解答零和負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).例11比較下列每對數(shù)的大小:一|一3|和一(一2);(3)(+3.25)和一

6、|3.245|.因為一|3|的絕對值是3,(2)的絕對值是2,根據(jù)“兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”的法則，所以一|一3|(-2).(3)因為一(+3.25)=3.25,一|3.245|=3.245,而一3.253.245,所以一(+3.25)|3.245|.為絕對值大的負(fù)數(shù)反而小.(2)的解答最后的結(jié)論是根據(jù)“兩個負(fù)數(shù)絕對值大的反而小”得到的.但一|3|和(2)不都是負(fù)數(shù)，因而以“兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”為根據(jù)，就錯了.事實上，一|3|二3,(2)=2,因為正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，所以一|3|3.245,所以一3.253.245,即一(+3.25)”或連接下列各數(shù)：錯解診斷這里的錯誤，一是沒有同時

7、考慮這七個數(shù)的大?。欢菦]有理解“或”的含義.這里的“或”是指在“”與中選用其中一個來連接各數(shù)，不能同時用兩個符號.正確解法如果用“”，應(yīng)為：如果用“a.診斷這里不加分析就斷定a是正數(shù)，-a是負(fù)數(shù)，這是毫無根據(jù)的.我們知道，字母a可以表示正數(shù)，也可以表示負(fù)數(shù)，還可以表示0.因此a與一a的大小要依a的取值范圍而定.正確解法（1）當(dāng)a0時，a是正數(shù)，一a是負(fù)數(shù)，所以a-a；當(dāng)a0時，a是負(fù)數(shù)，一a是正數(shù)，所以a-a；當(dāng)a=0時，a與一a均為零；所以a=a.例14如果a0,b|b|,試比較a與b的大小.錯解ab.診斷上面解答出現(xiàn)錯誤的原因是：解題者對兩個負(fù)數(shù)大小比較法則的語言敘述與數(shù)學(xué)符號表達(dá)式之間

8、不能互相翻譯、轉(zhuǎn)換.事實上，由a0,b|b伏口負(fù)數(shù)a的絕對值比負(fù)數(shù)b的絕對值大.再根據(jù)兩個負(fù)數(shù)大小比較的法則就不難得出a0,b0,a|b|,試把一a,-b,a,b用連結(jié)起來.錯解一abb0,b0知表示a,b的點分別在數(shù)軸上原點的右邊和左邊，且由a0知|a|b|,所以表示a的點離原點較近.因一a,b與a,b互為相反數(shù)和a|bI,再找出一a,一b兩點(如圖).顯然，b-aa0時，|x|=x;當(dāng)x=0時，|x|=x;當(dāng)x0時，|x|=-x.例17x為何值時，|x+1|=-(x+1).錯解當(dāng)x+10,即x1時，上式成立.診斷根據(jù)絕對值定義，|a|=a成立的條件是a0,a0,知bai0,即ba.因此，上

9、面得到的a=8,b=2或a=8,b=2是不符合條件的.所以，只有a=8,b=2或a=8,b=-2才為所求.說明學(xué)習(xí)有理數(shù)這一節(jié)應(yīng)注意的幾個問題：一、要正確理解“+”“”號的意義.1 .理解為性質(zhì)符號，如+5,3,分別讀作“正5”、“負(fù)3”.2 .理解為運算符號，如（+2）+（3）中（+2）與（一3）之間的“+”就表示加，在（一8）（3）中（8）與（一3）之間的“一”就表示減.3,既可理解為性質(zhì)符號又可以理解為運算符號.如47+6,其中的“十”“”若理解為性質(zhì)符號，就讀作為“4,負(fù)7,正6的和，若理解為運算符號，則讀作為“4減7加6”.但23中2前面的“”一定要理解為性質(zhì)符號，不能讀成“減2減3

10、”或“減2負(fù)3”，應(yīng)讀成“負(fù)2,負(fù)3的和”或“負(fù)2減3”.二、要正確理解絕對值概念1.為什么要引入絕對值概念？引入正、負(fù)數(shù)的目的是為了區(qū)別具有相反意義的量，但有時又不需要考慮量是否意義相反，而只注意其數(shù)量的大小，因此，需要引出一個與正負(fù)數(shù)相關(guān)而又能反映其數(shù)量大小的概念一一絕對值.此外，引入了正負(fù)數(shù)后，如何進(jìn)行它們的加減乘除等運算？為了把帶有性質(zhì)符號的數(shù)的運算轉(zhuǎn)化為小學(xué)里所學(xué)過的數(shù)的運算.于是，也需要引出一個新映概念絕對值.2,絕對值的性質(zhì).每個有理數(shù)都有唯一確定的絕對值，它是一個非負(fù)數(shù).在有理數(shù)范圍內(nèi)，絕對值最小的數(shù)是0.絕對值等于已知正數(shù)a的數(shù)有兩個，分別是+a和一a,它們互為相反數(shù).絕對值等于它本身的數(shù)是正數(shù)或0.3,絕對值的幾何意義.一個數(shù)的絕對值等于數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的距離，離原點