誤差理論的基本知識ppt課件

1、6.1 6.1 丈量誤差概述丈量誤差概述6.26.2偶爾誤差的特性偶爾誤差的特性6.36.3評定精度的目的評定精度的目的6.46.4誤差傳播定律誤差傳播定律6.56.5等精度觀測值的平差等精度觀測值的平差6.6 6.6 不等精度觀測值的平差不等精度觀測值的平差XLii 何謂誤差？誤差就是某未知量的觀測值與其真值的差數(shù)。該差何謂誤差？誤差就是某未知量的觀測值與其真值的差數(shù)。該差數(shù)稱為真誤差。即數(shù)稱為真誤差。即式中式中i為真誤差；為真誤差；Li為觀測值；為觀測值；X表示真值。表示真值。1 1、儀器誤差：丈量任務(wù)中要運用丈量儀器。任何儀器只具有一定、儀器誤差：丈量任務(wù)中要運用丈量儀器。任何儀器只具有

2、一定 限制的精細度，使觀測值的精細度遭到限制。限制的精細度，使觀測值的精細度遭到限制。2 2、觀測者誤差：由于觀測者的視覺、聽覺等感官的鑒別才干有一、觀測者誤差：由于觀測者的視覺、聽覺等感官的鑒別才干有一 定的局限，所以在儀器的安頓、運用中會產(chǎn)生誤差定的局限，所以在儀器的安頓、運用中會產(chǎn)生誤差，如整平誤差、照準誤差、讀數(shù)誤差等。，如整平誤差、照準誤差、讀數(shù)誤差等。6.1.1 6.1.1 丈量誤差的來源丈量誤差的來源 產(chǎn)生丈量誤差的緣由很多，其來源概括起產(chǎn)生丈量誤差的緣由很多，其來源概括起來有以下三個方面。來有以下三個方面。3 3、外界條件的影響：丈量任務(wù)都是在一定的外界環(huán)境條件下進展、外界條件

3、的影響：丈量任務(wù)都是在一定的外界環(huán)境條件下進展的，如溫度、風力、大氣折光等要素，這些要素的的，如溫度、風力、大氣折光等要素，這些要素的差別和變化都會直接對觀測結(jié)果產(chǎn)生影響，必然給差別和變化都會直接對觀測結(jié)果產(chǎn)生影響，必然給觀測結(jié)果帶來誤差。觀測結(jié)果帶來誤差。 按丈量誤差對觀測結(jié)果影響性質(zhì)的不同，可按丈量誤差對觀測結(jié)果影響性質(zhì)的不同，可將丈量誤差分為系統(tǒng)誤差和偶爾誤差兩大類：將丈量誤差分為系統(tǒng)誤差和偶爾誤差兩大類： 1. 1.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 定義：在一樣的觀測條件下，對某量進展定義：在一樣的觀測條件下，對某量進展的一系列觀測中，數(shù)值大小和正負符號固定的一系列觀測中，數(shù)值大小和正負符號固定不變，

4、或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)不變，或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。誤差。系統(tǒng)誤差具有累積性，對觀測結(jié)果的影響很系統(tǒng)誤差具有累積性，對觀測結(jié)果的影響很大，但它們的符號和大小有一定的規(guī)律。因此，大，但它們的符號和大小有一定的規(guī)律。因此，系統(tǒng)誤差可以采用適當?shù)拇胧┫驕p弱其影響。系統(tǒng)誤差可以采用適當?shù)拇胧┫驕p弱其影響。通?？刹捎靡韵氯N方法：通常可采用以下三種方法： (1) (1)觀測前對儀器進展檢校觀測前對儀器進展檢校 (2) (2)采用適當?shù)挠^測方法，例如正倒鏡觀測采用適當?shù)挠^測方法，例如正倒鏡觀測 法。法。 (3) (3)研討系統(tǒng)誤差的大小，事后對觀測值加以研討系統(tǒng)誤差的大小，

5、事后對觀測值加以矯正。矯正。 定義：在一樣的觀測條件下對某量進展一系列觀測，定義：在一樣的觀測條件下對某量進展一系列觀測， 誤差的出誤差的出現(xiàn)的符號和大小都不一定，表現(xiàn)出偶爾性，這種誤差稱為偶爾誤差，現(xiàn)的符號和大小都不一定，表現(xiàn)出偶爾性，這種誤差稱為偶爾誤差，又稱隨機誤差。例如，水準尺讀數(shù)時的估讀誤差，經(jīng)緯儀測角的瞄又稱隨機誤差。例如，水準尺讀數(shù)時的估讀誤差，經(jīng)緯儀測角的瞄準誤差等等。對于單個偶爾誤差沒有什么規(guī)律，但大量偶爾誤差那準誤差等等。對于單個偶爾誤差沒有什么規(guī)律，但大量偶爾誤差那么具有一定的統(tǒng)計規(guī)律。么具有一定的統(tǒng)計規(guī)律。 設(shè)某個量的真值為X，對此量進展n觀測，得到的觀測值為L1，L2

6、，Ln，每次觀測發(fā)生的偶爾誤差即真差為1，2， n，那么XLii(i=1，2，n) 在觀測過程中，不可防止會產(chǎn)生偶爾誤差，偶爾誤差是丈量誤差實際主要在觀測過程中，不可防止會產(chǎn)生偶爾誤差，偶爾誤差是丈量誤差實際主要討研討對象。根據(jù)偶爾誤差的特性對該組觀測值進展數(shù)學處置，求出最接近于未討研討對象。根據(jù)偶爾誤差的特性對該組觀測值進展數(shù)學處置，求出最接近于未知量真值的估值，稱為最或然值知量真值的估值，稱為最或然值(或稱最或是值或稱最或是值)。 對于單個偶爾誤差沒有什么規(guī)律，但大量偶爾誤差那么具有一對于單個偶爾誤差沒有什么規(guī)律，但大量偶爾誤差那么具有一定的統(tǒng)計規(guī)律。下面舉一實例加以闡明：定的統(tǒng)計規(guī)律。下

7、面舉一實例加以闡明：【例【例1 1】 在一樣的觀測條件下，觀測在一樣的觀測條件下，觀測365365個三角形的三個個三角形的三個內(nèi)角，由于存在偶爾誤差，使得每個三角形內(nèi)角之和不等內(nèi)角，由于存在偶爾誤差，使得每個三角形內(nèi)角之和不等于真值于真值180180，用下式計算真差，用下式計算真差i i ：abci=ai+bi+ci-180i=1,2, 365 把這把這365365個真誤差按其絕對值的大小陳列，列于下表：個真誤差按其絕對值的大小陳列，列于下表： 偶爾誤差偶爾誤差分布統(tǒng)計表分布統(tǒng)計表 0 0 2 2 2 2 4 4 4 4 6 6 6 6 8 8 8 8 10 10 10 10 12 12 12

8、 12 14 14 14 14 1616 16 16以上以上 合計合計相對個數(shù)，又稱誤差出現(xiàn)的頻率正負誤差個數(shù)正負誤差個數(shù)總和總和 93 93 83 83 66 66 44 44 34 34 26 26 13 13 6 6 0 0474742423232222216161212 6 6 3 3 0 0464641 41 34342222181814147 73 30 0 負誤差正誤差kk/nk/nk0.1290.1150.0880.0600.0440.0330.0160.00801801850.4930.507365誤差區(qū)間d 0.1260.1120.0930.0600.0500.0390.0

9、190.0080對稱性：對稱性： 絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的時機相等；絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的時機相等； 抵償性：抵償性： 偶爾誤差的算術(shù)平均值趨近于零，即偶爾誤差的算術(shù)平均值趨近于零，即 0limlim21 nnnnn0+2 +6 +10 +14 +18 +22-2-6-10-14-18-22knYf(x)d相 對 個 數(shù)區(qū) 間 大 小1. 有界性：有界性： 在一定的條件下，在一定的條件下，偶爾誤差的絕對值不會偶爾誤差的絕對值不會超越一定的限制；超越一定的限制；2. 集中性：集中性： 絕對值小的誤差比絕絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的時對值大的誤差出現(xiàn)的時機多；機多；0+2+6+10+

10、14+18+22-2-6-10-14-18-22knYf(x)d相對個數(shù)區(qū)間大小在一樣觀測條件下所得到的一組獨立觀測的誤差，當誤差的總個數(shù)n足夠大時，誤差出現(xiàn)的能夠性就趨于穩(wěn)定。這就是說，在一定的觀測條件下，對應(yīng)著一種確定的分布，表示這種分布的曲線稱為誤差分布曲線。在概率論中，把這種誤差分布稱為正態(tài)分布 22221ef nn22lim 22221ef對偶爾誤差分布曲線外形的影響f()O1212212121120.6830.683愈小，曲線頂點愈高，誤差分布比較密集；反之較離散。 為了防止錯誤的發(fā)生和提高觀測成果的質(zhì)量，丈量任務(wù)中進展為了防止錯誤的發(fā)生和提高觀測成果的質(zhì)量，丈量任務(wù)中進展多于必要

11、觀測的觀測，稱為多余觀測。多于必要觀測的觀測，稱為多余觀測。 例如，一段間隔往返觀測，假設(shè)往測必要的觀測，那么返測稱例如，一段間隔往返觀測，假設(shè)往測必要的觀測，那么返測稱多余觀測；一個三角形觀測多余觀測；一個三角形觀測3個角度，觀測其中個角度，觀測其中2個角為必要觀測，個角為必要觀測，觀測第觀測第3個角度稱多余觀測。個角度稱多余觀測。 有了多余觀測，觀測值之間或與實際值比較必產(chǎn)生差值不符有了多余觀測，觀測值之間或與實際值比較必產(chǎn)生差值不符值、閉合差，因此可以根據(jù)差值大小評定丈量的精度準確程值、閉合差，因此可以根據(jù)差值大小評定丈量的精度準確程度，當差值超越某一數(shù)值，就可以為觀測值有錯誤，稱為誤差

12、超度，當差值超越某一數(shù)值，就可以為觀測值有錯誤，稱為誤差超限。差值不超限，這些誤差以為是偶爾誤差，進展某種數(shù)學處置稱限。差值不超限，這些誤差以為是偶爾誤差，進展某種數(shù)學處置稱為平差，最后求得觀測值的最或然值，即求得未知量的最后結(jié)果。為平差，最后求得觀測值的最或然值，即求得未知量的最后結(jié)果。 觀測值接近真值的程度，稱為準確度。愈接近真值，其準確度愈高。系統(tǒng)誤差對觀測值的準確度影響極大，因此，在觀測前，應(yīng)仔細檢校儀器，觀測時采用適當?shù)挠^測法，觀測后對觀測的結(jié)果加以計算矯正，從而消除系統(tǒng)誤差或減弱至最低可以接受的程度。 一組觀測值之間相互符合的程度或其離散程度，稱為精細度。一觀測列的偶爾誤差大小反映

13、出觀測值的精細度。準確度與精細度兩者均高的觀測值才稱得上高精度的觀測值。所謂精度包含準確度和精細度。 AB打靶者A：各次彈點相對集中，互差不大，但偏離靶心較大。打靶者B：各次彈點互差不大，不離散，并且十分接近靶心。打靶者C：各次彈點很分散。(黃色點)(紅色點)(綠色點)三種情況分析：1.打靶者A技術(shù)并不錯，彈點很集中，不分散，導致偏離靶心大，其原因是槍管上瞄準器偏歪了，即器械的系統(tǒng)誤差大。此種情況說明A準確度不高，但彈點間互差小，精密度很高。2.B情況，彈點聚集于靶心，準確度高，并且點間互差小，故精密度3.C情況，彈點很分散，擊中靶心率低，準確度低，彈點分散，還說明相互間符合差，即精密度也差。

14、C也高。打靶實例闡明準確度與精細度兩概念打靶實例闡明準確度與精細度兩概念1 1、中誤差、中誤差 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計推導中根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計推導中誤差誤差m m為為nm式中：式中：各偶爾誤差平方和，各偶爾誤差平方和， n偶爾誤差偶爾誤差 的個數(shù)。的個數(shù)。 m表示該組觀測值的中誤差，它表示該組觀測值的中誤差，它代表該組觀測值中任一個觀測值的代表該組觀測值中任一個觀測值的誤差。根據(jù)推導可知偶爾誤差分布誤差。根據(jù)推導可知偶爾誤差分布曲線拐點的橫坐標曲線拐點的橫坐標 拐拐= m這就是中誤差的幾何意義。這就是中誤差的幾何意義。+y+m-mP(|)m偶爾誤差呈偶爾誤差呈正態(tài)分布正態(tài)分布【例【例2 2】 ：甲、乙兩組，各

15、自在同精度條件下對某一三角形的三個：甲、乙兩組，各自在同精度條件下對某一三角形的三個內(nèi)角觀測內(nèi)角觀測1010次，算得三角形閉合差次，算得三角形閉合差i i 如下：如下：甲組：甲組：+30+30,-20,-20,-40,-40,+20,+20, 0, 0, -40, -40,+30,+30,+20,+20,-,-3030,-10,-10 乙組：乙組：+10+10,-10,-10,-60,-60,+20,+20,+20,+20,+30,+30,-50,-50, 0, 0, , +30+30,-10,-10試問哪一組觀測值精度高？試問哪一組觀測值精度高？試解：計算甲乙兩組的平均誤差進展比較：試解：計

16、算甲乙兩組的平均誤差進展比較：24101030203040020402030|n甲24101030050302020601010|n乙 用平均誤差衡量結(jié)果是：用平均誤差衡量結(jié)果是：甲甲=乙。但是，乙組觀測列中有較大乙。但是，乙組觀測列中有較大的觀測誤差，乙組觀測精度應(yīng)該低于甲組，計算平均誤差的觀測誤差，乙組觀測精度應(yīng)該低于甲組，計算平均誤差反映不反映不出來，所以平均誤差出來，所以平均誤差衡量觀測值的精度是不可靠的。衡量觀測值的精度是不可靠的。正確解法：用中誤差公式計算得正確解法：用中誤差公式計算得:27107200nm甲30109000nm乙因此因此, ,甲組觀測值的精度較乙組高。甲組觀測值的

17、精度較乙組高。m m甲甲= =2727乙甲mm表示甲組中恣意一個觀測值的誤差或稱單位觀測值的中誤差表示甲組中恣意一個觀測值的誤差或稱單位觀測值的中誤差。 m m乙乙= =3030表示乙組中恣意一個觀測值的誤差。表示乙組中恣意一個觀測值的誤差。 -m乙-m甲+m甲+m乙拐點拐點12m乙m21甲甲乙f(）定義：由偶爾誤差的第一個特性可知，在一定的觀測條件下，定義：由偶爾誤差的第一個特性可知，在一定的觀測條件下， 偶爾誤差的絕對值不會超出一定的限值。這個限值就是偶爾誤差的絕對值不會超出一定的限值。這個限值就是 極限誤差。極限誤差。 在區(qū)間在區(qū)間-m-m，m m內(nèi)偶爾誤差出現(xiàn)的概率值為內(nèi)偶爾誤差出現(xiàn)的

18、概率值為68.368.3。闡明大于一倍中誤差的偶爾誤差出現(xiàn)的概率為闡明大于一倍中誤差的偶爾誤差出現(xiàn)的概率為31.731.7。在區(qū)間在區(qū)間-2m-2m，2m2m內(nèi)偶爾誤差的概率值為內(nèi)偶爾誤差的概率值為95.495.4。闡。闡明大于二倍中誤差的偶爾誤差出現(xiàn)的概率僅為明大于二倍中誤差的偶爾誤差出現(xiàn)的概率僅為4.64.6。在實踐丈量中觀測次數(shù)很有限，絕對值大于在實踐丈量中觀測次數(shù)很有限，絕對值大于2m或或2m的誤的誤差出現(xiàn)時機很小，故取二倍或三倍中誤差作為允許誤差差出現(xiàn)時機很小，故取二倍或三倍中誤差作為允許誤差多采用多采用2m，即，即容容=2m 或或 容容=3m在區(qū)間在區(qū)間-3m-3m，3m3m內(nèi)偶爾

19、誤差的概率值為內(nèi)偶爾誤差的概率值為99.799.7。闡。闡明大于三倍中誤差的偶爾誤差出現(xiàn)的概率僅為明大于三倍中誤差的偶爾誤差出現(xiàn)的概率僅為0.30.3。 對于衡量精度來說，有時單靠中誤差還不能完全表達觀測結(jié)果的質(zhì)量。對于衡量精度來說，有時單靠中誤差還不能完全表達觀測結(jié)果的質(zhì)量。例如，測得某兩段間隔：例如，測得某兩段間隔： 一段長一段長100m100m，另一段長，另一段長200m200m，觀測值的中誤差均為，觀測值的中誤差均為0.02m 0.02m 。 從外表上看，似乎二者精度一樣，但就單位長度來說，二者的精度并不一樣。從外表上看，似乎二者精度一樣，但就單位長度來說，二者的精度并不一樣。這時應(yīng)采

20、用另一種衡量精度的規(guī)范，即相對誤差。這時應(yīng)采用另一種衡量精度的規(guī)范，即相對誤差。mDDmK1式中：式中：K為相對誤差為相對誤差5000110002. 0111DmK第第1 1段：段：10000120002. 0222DmK第第2 2段：段：因此第2段精度高于第1段觀測值的最或然值中誤差中誤差的相對誤差 往返觀測值的平均值往返較差往返較差的相對中誤差 觀測值的最或是值閉合差閉合差的相對中誤差相對中誤差常用在間隔與坐標誤差的計算中。角度誤差不用相對中誤差常用在間隔與坐標誤差的計算中。角度誤差不用相對中誤差，因角度誤差與角度本身大小無關(guān)。相對中誤差，因角度誤差與角度本身大小無關(guān)。常用幾種相對誤差計算

21、式：常用幾種相對誤差計算式：在實踐丈量任務(wù)中，某些量的大小往往不是直接在實踐丈量任務(wù)中，某些量的大小往往不是直接觀測到的，而是間接觀測到的，即觀測其它未知量，并觀測到的，而是間接觀測到的，即觀測其它未知量，并經(jīng)過一定的函數(shù)關(guān)系間接計算求得的。經(jīng)過一定的函數(shù)關(guān)系間接計算求得的。cosLD 非線性函數(shù)非線性函數(shù) 表述觀測值函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間關(guān)系的定表述觀測值函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。律稱為誤差傳播定律。例如：例如： h=a-b h=a-b 線性函數(shù)線性函數(shù) 誤差傳播定律：誤差傳播定律：倍數(shù)函數(shù)：倍數(shù)函數(shù)： y=Kx y=KxxyKmm 那么那么【例【例4

22、 4】：】：在在1 1：500500地形圖上量得某兩點間的間隔地形圖上量得某兩點間的間隔dAB=51.2mm,dAB=51.2mm,其中誤差其中誤差 md= md=0.2mm 0.2mm ，求該兩點的地面程度間隔，求該兩點的地面程度間隔DAB DAB 的的值及其中誤差值及其中誤差 mD mD 。mmmdD10. 00002. 0500500mmdDABAB25600500 DAB=25.6m 0.1m1 1和差函數(shù)和差函數(shù) y=x1 y=x1x2 x2 且且x1x1、x2x2獨立。那獨立。那么么22212mmmy【例【例3 3】 ：知當水準儀距標尺知當水準儀距標尺75m75m時，一次讀數(shù)中誤差

23、為時，一次讀數(shù)中誤差為 包括照準誤差、氣泡置中誤差及水準標尺刻劃中包括照準誤差、氣泡置中誤差及水準標尺刻劃中誤差，假設(shè)以二倍中誤差為允許誤差，試求普通誤差，假設(shè)以二倍中誤差為允許誤差，試求普通水準丈量觀測水準丈量觀測n n站所得高差閉合差的允許誤差。站所得高差閉合差的允許誤差。mmm2讀【解】：水準丈量每一站高差：【解】：水準丈量每一站高差：那么每站高差中誤差那么每站高差中誤差).,2 , 1(nibahiii222讀讀讀站mmmmmm8.222觀測觀測n n站所得總高差站所得總高差nhhhh 21那么那么n n站總高差站總高差h h的總誤差的總誤差mmnnmm8.2站總假設(shè)以二倍中誤差為允許

24、誤差，那么高差閉合差允許誤差假設(shè)以二倍中誤差為允許誤差，那么高差閉合差允許誤差為為mmnnn66 . 58 . 22）（容【例【例4 4】 ：DJ6DJ6型光學經(jīng)緯儀觀測角度型光學經(jīng)緯儀觀測角度，瞄準誤差為，瞄準誤差為m m瞄，瞄，讀數(shù)誤差為讀數(shù)誤差為m m讀，求讀，求(1)(1)觀測一個方向的中誤差觀測一個方向的中誤差m m方；方；(2)(2)半測半測回的測角中誤差回的測角中誤差 m m半半(3)(3)兩個半測回較差的允許值容；兩個半測回較差的允許值容； (1)觀測一個方向的中誤差觀測一個方向的中誤差m方方 觀測一個方向包含瞄準誤差觀測一個方向包含瞄準誤差m瞄與讀數(shù)誤差瞄與讀數(shù)誤差 m讀，讀

25、，1.2286060vm瞄2222661 . 2讀讀瞄瞄方方mmm (2)半測回的測角中誤差 m半 5 . 8262方半mm (3)兩個半測回較差的允許值容兩個半測回較差的允許值容 122262半mm容容=312=36 思索到其他要素，測回法規(guī)定兩個半測思索到其他要素，測回法規(guī)定兩個半測回較差的允許值回較差的允許值 容容=40右左 2當和差函數(shù)為當和差函數(shù)為 y=x1x2xn 設(shè)設(shè)x1、x2、xn的中誤差分別為的中誤差分別為m1、m2、mn時，那么時，那么222212nymmmm nmmy 即函數(shù)即函數(shù)y的中誤差的平方等于各觀測值的中誤差的平方等于各觀測值xi中誤差的平方和。中誤差的平方和。當

26、當x1、x2、xn為等精度觀測值時，那么為等精度觀測值時，那么 m1= m2 =m3= mn=m此時上式改動為此時上式改動為線性函數(shù)線性函數(shù) y=K1x1+K2x2+.+Knxn y=K1x1+K2x2+.+Knxn22222221212nnymKmKmKm 即線性函數(shù)中誤差的平方，等于各常數(shù)與相應(yīng)觀測值中誤差乘積的即線性函數(shù)中誤差的平方，等于各常數(shù)與相應(yīng)觀測值中誤差乘積的平方和。平方和。 【例【例5】 對某量等精度觀測對某量等精度觀測n次，觀測值為次，觀測值為l1、l2ln，設(shè)知各觀，設(shè)知各觀測值的中誤差測值的中誤差m1=m2= mn=m，求等精度觀測值算術(shù)平均值，求等精度觀測值算術(shù)平均值x

27、及其中誤差及其中誤差mx。 【解】等精度觀測值算術(shù)平均值【解】等精度觀測值算術(shù)平均值x nlnlllxn 21 上式闡明，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值中誤差減少了上式闡明，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值中誤差減少了n倍，倍，即算術(shù)平均值的精度比觀測值精度提高即算術(shù)平均值的精度比觀測值精度提高n倍。丈量任務(wù)中進展多余倍。丈量任務(wù)中進展多余觀測，取多次觀測值的平均值作為最后的結(jié)果，就是這個道理。但觀測，取多次觀測值的平均值作為最后的結(jié)果，就是這個道理。但是，當是，當n添加到一定程度后添加到一定程度后(例如例如n=6) ，M值的減小的速度變得非常值的減小的速度變得非常很慢，所以為了到達提高觀測成果精度的目

28、的，不能單靠無限制地很慢，所以為了到達提高觀測成果精度的目的，不能單靠無限制地添加觀測次數(shù)，應(yīng)綜合采用提高儀器精度等級、選用合理的的觀測添加觀測次數(shù)，應(yīng)綜合采用提高儀器精度等級、選用合理的的觀測方法及適當添加觀測次數(shù)等措施，才是正確的途徑。方法及適當添加觀測次數(shù)等措施，才是正確的途徑。nlnlnlnx11121 上式可改寫為上式可改寫為2222222221221111mnmnnmnmnmnmnx nmmx【例【例6】經(jīng)緯儀一測回測角中誤差為】經(jīng)緯儀一測回測角中誤差為m=9，求，求5測回平均測回平均值中誤差為多少？欲使角度平均值中誤差不大于值中誤差為多少？欲使角度平均值中誤差不大于3.5，問，問

29、至少要測幾個測回？至少要測幾個測回？0 . 459nmM按公式：按公式：上式作一些變換得：上式作一些變換得：6 . 65 . 3922Mmn n=7測回測回普通函數(shù)普通函數(shù)),(21nxxxfy )()()(22222221212nnymxfmxfmxfm 【例【例7】 測得兩點地面斜距測得兩點地面斜距L=225.850.06m，地面的傾斜角，地面的傾斜角= 17301，求兩點間的高差，求兩點間的高差h及其中誤差及其中誤差mh 。 【解】根據(jù)題意可寫出計算高差h公式為 h=LsindhdLLhdhsinLhcosLh由于由于 所以上式變?yōu)樗陨鲜阶優(yōu)?dLdLdhcossin將上式微分轉(zhuǎn)為中誤

30、差，上式可寫成將上式微分轉(zhuǎn)為中誤差，上式可寫成22222cossinmLmmLh2222343819537. 085.22506. 03007. 00042. 00039. 00003. 0mmh065. 0 現(xiàn)舉現(xiàn)舉2實例闡明解題步驟：實例闡明解題步驟：例例1：量得圓半徑：量得圓半徑R=31.3mm，其中誤差，其中誤差mR=0.3mm, 求圓面積求圓面積 的的中誤差。中誤差。例例2：某房屋：某房屋, 長邊量得結(jié)果長邊量得結(jié)果: 800.02m, 短邊量得結(jié)果短邊量得結(jié)果: 40 0.01m 求房屋面積中誤差。求房屋面積中誤差。第一步：列出數(shù)學方程。第一步：列出數(shù)學方程。 例例1：S=R2 例

31、例2： S=ab第二步：將方程進展微分，例第二步：將方程進展微分，例2有有2個變量那么須全微分。個變量那么須全微分。 例例1： dS=2R dR 例例2： dS= a db + b da第三步：將微分轉(zhuǎn)為中誤差。第三步：將微分轉(zhuǎn)為中誤差。 例例1： mS= 2 R mR=2 3.1416 31.3 0.3=59mm 例例2：mmbmamabs13. 102. 04001. 08022222222 一、未知量的最或然值一、未知量的最或然值 對某個未知量進展對某個未知量進展n次等精度的觀測，其觀測次等精度的觀測，其觀測值分別為值分別為l1、l2、l3ln，將這些觀測值取算術(shù)，將這些觀測值取算術(shù)平均

32、值平均值x作該未知量的最可靠值，稱為最或然值作該未知量的最可靠值，稱為最或然值或稱最或是值，即或稱最或是值，即nlnlllxn21 設(shè)某量的真值為設(shè)某量的真值為X，觀測值分別為，觀測值分別為l1、l2、l3ln，其相應(yīng)的真差為，其相應(yīng)的真差為1，2 ，3，n，那么，那么 1= l1-X 2= l2-X n= ln-X XxXnln將上式取和再除以觀測次數(shù)將上式取和再除以觀測次數(shù)n便得便得式中式中x x為算術(shù)平均值，顯然為算術(shù)平均值，顯然 nXx根據(jù)偶爾誤差第根據(jù)偶爾誤差第4個特點，當個特點，當n 時，時， 0n因此因此 Xnlx即當觀測次數(shù)即當觀測次數(shù)n無限多時，算術(shù)平均值無限多時，算術(shù)平均值

33、x就趨向于未知量的真值就趨向于未知量的真值X。當觀測次數(shù)有。當觀測次數(shù)有限時，可以以為算術(shù)平均值是根據(jù)已有的觀測數(shù)據(jù)所能求得的最接近真值的近似限時，可以以為算術(shù)平均值是根據(jù)已有的觀測數(shù)據(jù)所能求得的最接近真值的近似值，稱為最或是值或最或然值，以它作為未知量的最后結(jié)果。值，稱為最或是值或最或然值，以它作為未知量的最后結(jié)果。二、觀測值中誤差二、觀測值中誤差 當真值巳知時，真差可求得，那么等精度觀測值中當真值巳知時，真差可求得，那么等精度觀測值中誤差誤差m m為：為：nm 通常未知量的真值無法求得，真誤差通常未知量的真值無法求得，真誤差 也是未知數(shù)，故不能直也是未知數(shù)，故不能直接用上式求出中誤差。實踐

34、任務(wù)中，可利用各觀測值的似真誤差接用上式求出中誤差。實踐任務(wù)中，可利用各觀測值的似真誤差vivi來計算觀測值的中誤差。來計算觀測值的中誤差。xlvii觀測值中誤差：觀測值中誤差：1nvvmli為觀測值為觀測值x為觀測值的算術(shù)平均值為觀測值的算術(shù)平均值【例【例8】設(shè)對某角進展了】設(shè)對某角進展了5次同精度觀測，觀測結(jié)果如下表次同精度觀測，觀測結(jié)果如下表，試求其觀測值的中誤差，及最或然值的中誤差。，試求其觀測值的中誤差，及最或然值的中誤差。觀觀 測值測值vvv24183522183526183525183528183554321251835nx+30+1-3-10v9019120vv觀測值中誤差觀測

35、值中誤差2 . 215201nvvm最或然值中誤差為最或然值中誤差為0 . 152 . 2nmM nnllllll和，和，和2211nddmd2mmdnddmmd22在邊長觀測中，普通采用往返觀測，因此出現(xiàn)等精度雙觀測列，例如相應(yīng)雙觀測列之差：，111lld222lldnnnlld，假設(shè)觀測是絕對正確的，那么每個差d都等于0，即d的真值為0。因此，d1、d2、dn可以以為是各差的真誤差。按真差求中誤差公式得 2根據(jù)誤差傳播定律可知，兩等精度觀測值之差d的中誤差為一個觀測值中誤差m的倍，故 【例【例9 9】6 6條邊長往返觀測成果列于下表，求邊長觀測值的中誤差為條邊長往返觀測成果列于下表，求邊長

36、觀測值的中誤差為多少？多少？238dd-24d 00134.09134.09616-4.62.585100-10132.69132.59416 +4134.73134.77325-5.26.21281-9132.54132.451ddd (cm)返測l (m)往測l (m)邊序號 邊長觀測值的中誤差m : cmnddm5 . 4622382表表5-3 邊長觀測值的中誤差計算表邊長觀測值的中誤差計算表 在對某量進展不等精度觀測時，各觀測結(jié)果的中誤差在對某量進展不等精度觀測時，各觀測結(jié)果的中誤差不同。在不等精度觀測中，因各觀測的條件不同，所以各不同。在不等精度觀測中，因各觀測的條件不同，所以各觀測

37、值具有不同的可靠程度。各不等精度觀測值的不同可觀測值具有不同的可靠程度。各不等精度觀測值的不同可靠程度，可用一個數(shù)值來表示，該數(shù)值稱為權(quán)，用靠程度，可用一個數(shù)值來表示，該數(shù)值稱為權(quán)，用P P表示表示?！皺?quán)是權(quán)衡輕重的意思。觀測值的精度高，可靠性也權(quán)是權(quán)衡輕重的意思。觀測值的精度高，可靠性也強，那么權(quán)也大。強，那么權(quán)也大。一、權(quán)的概念一、權(quán)的概念 設(shè)第一組觀測了設(shè)第一組觀測了4次，觀測值為次，觀測值為l1、l2、l3、l4；第二組觀測了；第二組觀測了2次，觀測值為次，觀測值為l1、l2。這些觀測值的可靠程度度一樣，那么每組。這些觀測值的可靠程度度一樣，那么每組分別取算術(shù)平均值作為最后觀測值。即分

38、別取算術(shù)平均值作為最后觀測值。即2;421243211llxllllx 兩組觀測合并，相當于等精度觀測6次，故兩組觀測值的最后結(jié)果應(yīng)為6214321llllllx但對x1、x2來說，彼此是不等精度觀測。假設(shè)用x1、x2來計算，那么上式計算實踐是242421xxx 從不等精度觀念來看，觀測值x1是4次觀測值的平均值，x2是2次觀測值的平均值，x1和x2的可靠性是不一樣的，用4、2表示x1和x2相應(yīng)的權(quán)，也可用用2、1表示x1和x2相應(yīng)的權(quán)，分別代入上面公式，計算x結(jié)果是一樣的。因此“權(quán)可看作是一組比例數(shù)字，用比例數(shù)值大小來表示觀測值的可靠程度。設(shè)一組不同精度觀測值為設(shè)一組不同精度觀測值為li l

39、i ，相應(yīng)的中誤差為，相應(yīng)的中誤差為mi mi ，中誤差愈小，可靠度愈大，即權(quán)愈大，故定義權(quán)為，中誤差愈小，可靠度愈大，即權(quán)愈大，故定義權(quán)為 ：22iimP式中式中m為恣意常數(shù)，式中看出權(quán)與中誤差的平方成反比。為恣意常數(shù)，式中看出權(quán)與中誤差的平方成反比。 例如，不等精度觀測值例如，不等精度觀測值l1、l2、l3，其相應(yīng)的中誤差，其相應(yīng)的中誤差為為m1=2、m2=4、m3=6，按上式計算各觀測，按上式計算各觀測值的權(quán)為：值的權(quán)為：當 1m時： 91411321ppp2m當時9414321ppp當3m時14941321ppp 由此可見，權(quán)是一組比例數(shù)字，由此可見，權(quán)是一組比例數(shù)字，值確定后，各觀測值的值確定后，各觀測值的權(quán)就確