誤差理論課件(08修改稿)

1、1大學物理實驗A1、B于第一周星期一（9月2日）開課，1-2周為實驗理論集中授課，3-18周為實踐教學環(huán)節(jié)。實驗理論集中授課時間、場地及人員安排見附表，實驗課表及分組安排開課前請到A館一樓大廳查詢或登陸物理實驗中心主頁進行查詢。查詢方法：http:/ （物理實驗中心主頁）/通知公告/ 2013秋季學期大物A1、B實驗分組名單、實驗課表/在線或下載查看注：因本學期教務選課系統(tǒng)只是將同一時段實驗學生安排在一個大組（三、四百人），實驗室將根據實驗場地資源和本時段學生人數進行重新分組，每時段劃分為每時段劃分為8或或9個實驗小組進行循環(huán)實驗，同一時段不同小組的實驗項個實驗小組進行循環(huán)實驗，同一時段不同小

2、組的實驗項目不同目不同，具體情況登陸中心主頁查詢。物理實驗物理實驗A1、B開課通知開課通知物物理實驗中心2013年8月31日注意事項：注意事項：1、所有選課學生必須參加誤差理論課學習，缺勤一次，按一次實驗項目無成績對待，三次無成績本學期總評不及格。2、實驗教材使用大學物理實驗（劉延君，褚潤通等主編，蘭州大學出版社，2007年第一版）。為了保障著作權人合法權益，嚴禁復印或購買（使用）個別復印店出售的教材復印本，上課期間一經發(fā)現(xiàn)，實驗室有權收繳。本教材定價34元，對本校學生優(yōu)惠價25元。3、實驗報告冊（A實驗分上下兩冊共6元，B實驗一冊3元）及教材請于第一、二周周三中午第一、二周周三中午13：00

3、14：00、周五上、周五上午午9：0012：00以班級為單位到以班級為單位到A館館311室購買，過時不室購買，過時不侯侯。 實驗報告要用統(tǒng)一的實驗報告冊書寫，實驗報告要用統(tǒng)一的實驗報告冊書寫，字體要工整，文句要簡明。原始數據要附在字體要工整，文句要簡明。原始數據要附在報告中一并交給教師審閱，沒有原始數據的報告中一并交給教師審閱，沒有原始數據的實驗報告是無效的。實驗報告是無效的。 1.1.學生進入實驗室需帶上預習報告和記錄實驗學生進入實驗室需帶上預習報告和記錄實驗數據的表格，經教師檢查同意后，方可進行實驗。數據的表格，經教師檢查同意后，方可進行實驗。 2.2.遵守課堂紀律，保持安靜的實驗環(huán)境。遵

4、守課堂紀律，保持安靜的實驗環(huán)境。 3.3.使用電源時，務必經過教師檢查線路后方能使用電源時，務必經過教師檢查線路后方能接通電源。接通電源。 4.4.愛護儀器。進入實驗室不能擅自搬弄儀器愛護儀器。進入實驗室不能擅自搬弄儀器, ,實驗中嚴格按教材或儀器說明書操作，如有損壞實驗中嚴格按教材或儀器說明書操作，如有損壞照章賠償。公用工具用完后應立即放回原處。照章賠償。公用工具用完后應立即放回原處。 5.5.做完實驗，經教師審查測量數據并簽字后，做完實驗，經教師審查測量數據并簽字后，學生應將儀器整理還原，將桌面和凳子收拾整齊學生應將儀器整理還原，將桌面和凳子收拾整齊后離開實驗室。后離開實驗室。 6.6.按

5、要求及時上交實驗報告。按要求及時上交實驗報告。教學安排教學安排 本學期教學計劃本學期教學計劃2626學時，其中講課學時，其中講課6 6學時學時（2 2次），實驗次），實驗2020（8 8次）學時。次）學時。1.1.1 1.1.1 測量測量1. 1. 測量的基本概念測量的基本概念測量是利用測量是利用儀器設備儀器設備通過一定通過一定測量方法測量方法，將待測物理，將待測物理量與一個選做為量與一個選做為標準標準的同類物理量進行的同類物理量進行比較比較，確定待測物，確定待測物理量大小的理量大小的過程過程。測量三個要素測量三個要素 （1）測量方法；（）測量方法；（2）儀器設備；（）儀器設備；（3）測量結果

6、）測量結果 比較法比較法 米尺米尺 90.70cm測量的目的：獲得測量值測量的目的：獲得測量值(數據數據)。例如：用最小刻度為例如：用最小刻度為mm的米尺測量的米尺測量物體的長度。物體的長度。90.70cm2.測量值測量值120.50cm一個物理量的測量值必須由數值和單位組成，兩者缺一個物理量的測量值必須由數值和單位組成，兩者缺一不可。一不可。測量值數值測量值數值+單位單位測量數值只有賦予了單位才有具體的物理意義測量數值只有賦予了單位才有具體的物理意義例如：例如：（1）120.50，不知道表示什么物理量；，不知道表示什么物理量；（2）120.50cm，表示長度；，表示長度；（3）120.50K

7、g，表示質量。，表示質量。按測量結果獲得方法按測量結果獲得方法：測量可分為：測量可分為直接測量直接測量和和間接測量間接測量在物理量的測量中，絕大多數是間接測量，在物理量的測量中，絕大多數是間接測量，但是，直接測量是一切測量的基礎。但是，直接測量是一切測量的基礎。（1）直接測量）直接測量用標準量與待測量直接進用標準量與待測量直接進行比較。行比較。例如：用直尺測量長度；例如：用直尺測量長度；以表計時間；以表計時間；天平稱質量；天平稱質量；安培表測電流；等等。安培表測電流；等等。 （2）間接測量間接測量經過直接測量與待測量有經過直接測量與待測量有函數關系函數關系的物理量，再經過的物理量，再經過運算得

8、到待測物理量的測量運算得到待測物理量的測量方法。方法。例如：用鋼卷尺測量桌子例如：用鋼卷尺測量桌子的面積的面積S=ab=S(a,b)按測量條件按測量條件：測量可分為：測量可分為等精度測量等精度測量和和不等精度測量不等精度測量（1）等精度測量）等精度測量相同測量條件下，對同一相同測量條件下，對同一被測量進行重復性測量。被測量進行重復性測量。相同測量條件：相同測量條件：同一測量水平的觀測者同一測量水平的觀測者同一精度的儀器同一精度的儀器同樣的實驗方法同樣的實驗方法同樣的實驗環(huán)境同樣的實驗環(huán)境等精度測量等精度測量測量的所有數據，測量的所有數據，可信賴可信賴程度相同程度相同，數據處理過程中，數據處理過

9、程中的的地位相同地位相同，一視同仁。，一視同仁。（2）非等精度測量）非等精度測量不相同測量條件下，對同不相同測量條件下，對同一被測量進行重復性測量。一被測量進行重復性測量。非等精度測量非等精度測量測量的所有數據，測量的所有數據，可信賴可信賴程度不同程度不同，數據處理過程中，數據處理過程中的的地位不同地位不同，按測量精度的，按測量精度的高低，區(qū)別對待。高低，區(qū)別對待。1.1.真值與誤差真值與誤差（1 1）真值：物理量在客觀上存）真值：物理量在客觀上存在著的確定數值。在著的確定數值。真值是一個抽象的概念，一般真值是一個抽象的概念，一般無法得到。真值及其變化規(guī)律的未無法得到。真值及其變化規(guī)律的未知性

10、，正是科學實驗的意義所在知性，正是科學實驗的意義所在。實際應用中真值約定的方式：實際應用中真值約定的方式：理論真值；公認真值；計量約理論真值；公認真值；計量約定真值；標準相對真值；等等。定真值；標準相對真值；等等。（2 2）誤差）誤差誤差測量值誤差測量值- -真值真值 測量不能得到真值，測量不能得到真值，但可以減小測量誤差，但可以減小測量誤差，估算誤差范圍。估算誤差范圍。2. 2. 誤差的基本性質誤差的基本性質普遍性：普遍性： 存在一切測量之存在一切測量之中，貫穿于測量始終。中，貫穿于測量始終。不可知性：不可知性： 一般真值是未知一般真值是未知的，誤差就無法知道。的，誤差就無法知道。（1）（絕

11、對）誤差）（絕對）誤差用絕對大小給出的誤差，用絕對大小給出的誤差，表示為表示為xx0 相對誤差反映了測量精相對誤差反映了測量精度的高低，無單位，用百分度的高低，無單位，用百分數表示。數表示。絕對誤差反映了測量值偏絕對誤差反映了測量值偏離真值的大小和方向，可正離真值的大小和方向，可正可負，有單位?？韶摚袉挝?。（2）相對誤差）相對誤差絕對誤差與被測量真值的絕對誤差與被測量真值的比值，表示為比值，表示為E /x0100例如：例如：測量兩個物體的長度分別為測量兩個物體的長度分別為L1=100.0mm，L2=80.0mm；絕對誤差分別為絕對誤差分別為1=0.8mm，2=0.8mm。相對誤差分別為：相對

12、誤差分別為：E1=0.8%， E2=1.0% 。測量值測量值真真 值值粗大誤差粗大誤差系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差隨機誤差隨機誤差按產生的原因和性質分類：按產生的原因和性質分類：（2）隨機誤差）隨機誤差在相同條件下，對同一測在相同條件下，對同一測量量的多次測量過程中，量量的多次測量過程中，每每次測量次測量的誤差可能是的誤差可能是正或負正或負，也可能是比較也可能是比較大或小大或小，這是，這是難以預測的，而且難以預測的，而且毫無規(guī)律毫無規(guī)律而言。而言。但是，如果但是，如果測量次數很多測量次數很多時，誤差的出現(xiàn)又符合一定時，誤差的出現(xiàn)又符合一定的統(tǒng)計規(guī)律。的統(tǒng)計規(guī)律。（1）系統(tǒng)誤差）系統(tǒng)誤差在相同條件下，對同一

13、測在相同條件下，對同一測量量的多次測量過程中，保量量的多次測量過程中，保持持恒定恒定（大小、正負不變）（大小、正負不變）或按或按特定規(guī)律變化特定規(guī)律變化的誤差。的誤差。來源來源: :1 1）儀器誤差；）儀器誤差；2 2）理論）理論誤差；誤差；3 3）觀測誤差；）觀測誤差；4 4）環(huán)）環(huán)境條件。境條件。隨機誤差無法從實驗中完隨機誤差無法從實驗中完全消除，但多次測量可以減全消除，但多次測量可以減小。小。隨機性，補償性隨機性，補償性按誤差掌握程度：按誤差掌握程度：已定系已定系統(tǒng)誤差統(tǒng)誤差和和未定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差。按誤差變化規(guī)律：按誤差變化規(guī)律：不變系不變系統(tǒng)誤差統(tǒng)誤差和和變化系統(tǒng)誤差變化系統(tǒng)誤差

14、。系統(tǒng)誤差盡量消除或減小系統(tǒng)誤差盡量消除或減?。?）粗大誤差）粗大誤差在測量中某種非正常原因在測量中某種非正常原因所引起的所引起的錯誤錯誤，也稱，也稱疏失誤疏失誤差差。如讀數錯誤，記錄錯誤，如讀數錯誤，記錄錯誤，操作錯誤，估算錯誤等等。操作錯誤，估算錯誤等等。說說 明明系統(tǒng)誤差與隨機誤差關系系統(tǒng)誤差與隨機誤差關系系統(tǒng)誤差由測量過程中某系統(tǒng)誤差由測量過程中某一突出因素變化引起。一突出因素變化引起。隨機誤差由測量過程中多隨機誤差由測量過程中多種因素微小變化綜合引起。種因素微小變化綜合引起。存在粗大誤差時，測量值存在粗大誤差時，測量值明顯偏離明顯偏離被測量的被測量的真值真值。數據處理時，先檢驗測量數

15、據處理時，先檢驗測量數據是否存在粗大誤差，數據是否存在粗大誤差，剔剔除含有粗大誤差的數據。除含有粗大誤差的數據。隨機誤差與系統(tǒng)誤差不存隨機誤差與系統(tǒng)誤差不存在絕對的界限。在絕對的界限。在一定條件下，隨機誤差在一定條件下，隨機誤差和系統(tǒng)誤差可以和系統(tǒng)誤差可以相互轉化相互轉化。1.1.4 1.1.4 測量的精密度、準確度和精確度測量的精密度、準確度和精確度（1）精密度。表示重復測量所得數據的相互接近重復測量所得數據的相互接近程度程度（離散程度）。（2）準確度。表示測量數據的平均值與真值的接測量數據的平均值與真值的接近程度近程度。（3）精確度。是對測量數據的精密度和準確度測量數據的精密度和準確度的綜

16、合評定。 以打靶為例來比較說明精密度、準確度、精確度三者之間的關系。圖中靶心為射擊目標，相當于真值真值，每次測量測量相當于一次射擊。 （a）準確度高、 （b）精密度高、 （c）精密度、準確 精密度低 準確度低 度均高 1.2.1 處理系統(tǒng)誤差的一般知識處理系統(tǒng)誤差的一般知識發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，盡可能消除或減小。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，盡可能消除或減小。（參閱物理實驗中心新編大學物理實驗教材（參閱物理實驗中心新編大學物理實驗教材1.2.1) )在一定的測量條件下設某一物理量的真實值為在一定的測量條件下設某一物理量的真實值為x0，對其多次重復測量值對其多次重復測量值x1，x2，xn，則各次測量的則各次測量的隨機誤

17、差可表示為隨機誤差可表示為f()概率密度函概率密度函數數誤差誤差隨機誤差可以應用概率統(tǒng)計理論進行估算隨機誤差可以應用概率統(tǒng)計理論進行估算22221)(ef0(1,2, )iixxin概率密度分布函數為概率密度分布函數為式中式中為標準誤差。令概率密度分布函數的為標準誤差。令概率密度分布函數的二階導數為零，便可解出標準偏差，正好是概率二階導數為零，便可解出標準偏差，正好是概率密度分布曲線拐點的橫坐標值。密度分布曲線拐點的橫坐標值。 201()niixxn遵從正態(tài)分布規(guī)律的隨遵從正態(tài)分布規(guī)律的隨機誤差特征：機誤差特征：單峰性：單峰性：絕對值小絕對值小/大大的的誤差可能性大誤差可能性大/小小對稱性：對

18、稱性：大小相等的誤大小相等的誤差正、負機會均等差正、負機會均等有界性：有界性：絕對值非常大絕對值非常大的可能性幾乎為零的可能性幾乎為零抵償性：抵償性：正負誤差相互正負誤差相互抵消抵消f()概率密度函概率密度函數數誤差誤差隨機誤差可以應用概率統(tǒng)計理論進行估算隨機誤差可以應用概率統(tǒng)計理論進行估算 概率密度分布函數概率密度分布函數f（）的意義是：）的意義是： 在誤差值在誤差值附近，單位間隔內誤差出附近，單位間隔內誤差出現(xiàn)的概率，測量值的隨機誤差出現(xiàn)在區(qū)間現(xiàn)的概率，測量值的隨機誤差出現(xiàn)在區(qū)間（，+d）概率為）概率為f（）d，即圖中陰影，即圖中陰影內所包含的面積元。按照概率理論，誤差內所包含的面積元。按

19、照概率理論，誤差出現(xiàn)在區(qū)間（出現(xiàn)在區(qū)間（-，+）范圍內是必然的，）范圍內是必然的，即概率為即概率為100%。隨機誤差可以應用概率統(tǒng)計理論進行估算隨機誤差可以應用概率統(tǒng)計理論進行估算( )1Pfd曲線下的總面積表示各種可能誤差值出現(xiàn)的總概率為曲線下的總面積表示各種可能誤差值出現(xiàn)的總概率為22211(,)( )68.3%2Pfded 222222221( )95.4%2Pfded%7 .99)(333dfP測量值超過3范圍的情況幾乎不會出現(xiàn)，所以我們把3稱為極限誤差。在實際測量中置信概率有不同的取值，根據國家計量技術規(guī)范，在寫出測量結果的表達式時，要注明它的置信概率。在P=0.95時，不必注明P值

20、；當P取0.68或0.99時要求注明P值。在物理實驗教學中，我們約定取置信概率P=0.95。 多次測量，多次測量，x1、 x2、xn，測量列的，測量列的算術平均值為：算術平均值為：當測量次數當測量次數n 趨于無窮時，趨于無窮時，算術平均值趨于真值算術平均值趨于真值。0010110100,111xxxnxnxnxnxniiniiniinii niixnx11其中其中 xi 為第為第 i 次測得值。次測得值。誤差的對稱性和抵償性誤差的對稱性和抵償性當測量次數當測量次數n 為有限次時，為有限次時，測量列的算術平均值作為測量列的算術平均值作為真值的最佳估計值；其標真值的最佳估計值；其標準差常采用貝塞爾

21、法來估準差常采用貝塞爾法來估計計。多組等精度重復測量時，多組等精度重復測量時，各測量列算術平均值也具有各測量列算術平均值也具有離散性，用算術平均值的標離散性，用算術平均值的標準差來描述。準差來描述。算術平均值的標準差算術平均值的標準差一個測量列中各測量一個測量列中各測量值的標準偏差值的標準偏差 多組等精度重復測量多組等精度重復測量時，算術平均值的標時，算術平均值的標 準差準差iivxx偏差：偏差：221111nniiiixvxxSnn21()(1)nixixxxSSn nn當測量次數很少（當測量次數很少（n10n10）時，誤差的分布就不服從時，誤差的分布就不服從正態(tài)分布，從而過渡到正態(tài)分布，從

22、而過渡到t t分分布布（即（即學生分布學生分布）。）。 t t分布曲線與正態(tài)分布曲線類似，兩者的主要區(qū)別分布曲線與正態(tài)分布曲線類似，兩者的主要區(qū)別是是t分布的峰值低于正態(tài)分布，而且上部較窄、下分布的峰值低于正態(tài)分布，而且上部較窄、下部較寬，如圖所示，在有限次測量的情況下，就部較寬，如圖所示，在有限次測量的情況下，就要將隨機誤差的估算值取大一些。要將隨機誤差的估算值取大一些。即在貝塞爾公即在貝塞爾公式的基礎上再乘以一個式的基礎上再乘以一個t tp p因子，因子，t tp p與測量次數有關與測量次數有關，也與置信概率有關。，也與置信概率有關。 n2345678(P=0.68) 1.841.321.

23、91.081.00(P=0.95)12.714.303.182.782.572.452.361.96(P=0.99)65.669.925.844.604.033.713.502.58xpSt 對于服從正態(tài)分布的隨機誤差，出現(xiàn)在S區(qū)間內概率為68.3%，與此相仿，同樣可以計算，在相同條件下對某一物理量進行多次測量，其任意一次測量值的誤差落在-3S到+3S區(qū)域之間的可能性（概率）。其值為 3 3( 3 ,3 )()99.7 % SSPSSfx d x 1. 拉依達判據1.2.3 實驗中錯誤數據的剔除實驗中錯誤數據的剔除 如果用測量列的算術平均替代真值，則測量列中約有99.

24、7%的數據應落在區(qū)間內，如果有數據出現(xiàn)在此區(qū)間之外，則我們可以認為它是錯誤數據，這時我們應把它 舍去舍去，這樣以標準偏差Sx的3倍為界去決定數據的取舍就成為一個剔除剔除壞數據的準則壞數據的準則，稱為拉依達準則。但要注意的是數據少于數據少于1010個時此準則無效個時此準則無效。 對于服從正態(tài)分布的測量結果，其偏差出現(xiàn)在3S附近的概率已經很小，如果測量次數不多，偏差超過3S幾乎不可能，因而，用拉依達判據剔除疏失誤差時，往往有些疏失誤差剔除不掉。另外，僅僅根據少量的測量值來計算S，這本身就存在不小的誤差。因此當測量次數不多時，不宜用拉依達判據，但可以用肖維勒準則。按此判據給出一個數據個數n相聯(lián)系的系

25、數Gn，當已知數據個數n，算術平均值和測量列標準偏差S，則可以保留的測量值xi的范圍為)()(sGxxsGxnin2.肖維勒準則 Gn系數表 n Gn n Gn n Gn 5 1.65 13 2.07 25 2.33 6 1.73 14 2.10 30 2.39 7 1.80 15 2.13 40 2.49 8 1.86 16 2.15 50 2.58 9 1.92 17 2.17 100 2.80 10 1.96 18 2.20 11 2.00 19 2.22 12 2.03 20 2.24儀器的極限誤差（儀器誤差儀器的極限誤差（儀器誤差 ）：）：儀器誤差屬于未定系統(tǒng)誤差，影響因素多，規(guī)律復

26、雜，一般儀器誤差屬于未定系統(tǒng)誤差，影響因素多，規(guī)律復雜，一般只能給出最大允許誤差的估計值。即只能給出最大允許誤差的估計值。即儀器的極限誤差儀器的極限誤差儀儀。極限誤差的獲得：極限誤差的獲得：(1)(1)說明書、說明書、計量部門檢定等；計量部門檢定等；(2)(2)由儀器的準確度級別來計算；由儀器的準確度級別來計算；(3)(3)未給出儀器誤差時估計未給出儀器誤差時估計: : 連續(xù)可讀儀器連續(xù)可讀儀器: :最小分度最小分度1/21/2 非連續(xù)可讀儀器非連續(xù)可讀儀器: :最小分度最小分度 數字式儀表：數字式儀表：取末位取末位1 1儀器名稱儀器名稱量量 程程分度值分度值儀器誤差儀器誤差鋼直尺鋼直尺030

27、0mm1mm0.1mm鋼卷尺鋼卷尺01000mm1mm0.5mm游標卡尺游標卡尺0300mm0.02, 0.05mm分度值分度值螺旋測微計螺旋測微計0100mm0.01mm0.004mm物理天平物理天平1000g100mg50mg水銀溫度計水銀溫度計-303001 ,0.2 ,0.1分度值分度值讀數顯微鏡讀數顯微鏡0.01mm0.004mm數字式電表數字式電表最末一位的一個最末一位的一個單位單位指針式電表指針式電表0.1, 0.2, 0.5, 1.01.5, 2.5, 5.0量程量程a%A.A.由儀器的準確度表示由儀器的準確度表示. .儀器誤差儀器誤差 的確定：的確定：儀數字秒表數字秒表: :

28、最小分度最小分度=0.01s=0.01sC.C.未給出儀器誤差時未給出儀器誤差時非連續(xù)可讀儀器非連續(xù)可讀儀器 測量不確定度是測量不確定度是對測量結果對測量結果不確定不確定范圍的標范圍的標度度，也可以理解為，也可以理解為測量誤差測量誤差可能可能出現(xiàn)的范圍出現(xiàn)的范圍，表征測量結果的分散性、準確性和可靠程度，表征測量結果的分散性、準確性和可靠程度，也表示待測量的真值也表示待測量的真值可能可能在某個量值范圍的評在某個量值范圍的評定。定。 不確定度是與測量結果相聯(lián)系的一種參數。不確定度是與測量結果相聯(lián)系的一種參數。 基本定義：基本定義：對測量結果可信賴程度對評定。對測量結果可信賴程度對評定。 不確定度是

29、評價測量質量的一個重要的指標。不確定度是評價測量質量的一個重要的指標。不確定度大，可信賴程度低；不確定度小，可不確定度大，可信賴程度低；不確定度小，可信賴程度高。信賴程度高。不確定度的表示形式不確定度的表示形式絕對不確定度：絕對不確定度：相對不確定度：相對不確定度：E測量結果的表示形式測量結果的表示形式被測量被測量 x，最佳估計值，最佳估計值不確定度不確定度 ，完整的測量結，完整的測量結果表示為果表示為x100%xxEx（單位）不確定度的分類不確定度的分類按評定方法的不同，可分按評定方法的不同，可分成兩類：成兩類：A類不確定度和類不確定度和B類不確定類不確定度。度。A類不確定度：類不確定度：用

30、統(tǒng)計方法評定的不確定用統(tǒng)計方法評定的不確定度，度， AB類不確定度：類不確定度：用非統(tǒng)計方法評定的不確用非統(tǒng)計方法評定的不確定度，定度， B測量結果：測量結果：mm (P=0.683)真值以真值以68.3%68.3%的概率落在的概率落在mm520. 9mm,510. 9區(qū)間內區(qū)間內測量值測量值x和不確定度和不確定度單位單位置信度置信度x005. 0515. 9x（2）B類不確定度類不確定度只考慮儀器誤差，標準不確只考慮儀器誤差，標準不確定度的定度的B類分量為類分量為最佳估計值最佳估計值多次測量，多次測量，x1、 x2、xn，測量列的算術平均值可，測量列的算術平均值可表示為：表示為：1.4.1

31、不確定度的分類不確定度的分類多次測量（1）A類不確定度類不確定度直接測量的標準不確定度的A類分量用算術平均值的標準差公式估算。niixnx11用算術平均值作為直接測用算術平均值作為直接測量量的最佳估計值。量量的最佳估計值。1.4.2合成不確定度合成不確定度xpxpAniixStnSt)n(nxxS112儀B222B2At儀xpS直接測量的不確定度估計直接測量的不確定度估計1.4.2合成不確定度合成不確定度單次測量單次測量有時因條件所限不可能進有時因條件所限不可能進行多次測量行多次測量(如地震波強度、如地震波強度、雷電時電暈電流強度等雷電時電暈電流強度等)；或；或者由于儀器精度太低，多次者由于儀

32、器精度太低，多次測量讀數相同，測量隨機誤測量讀數相同，測量隨機誤差較?。换蛘邔y量結果的差較??；或者對測量結果的精度要求不高等情況，往往精度要求不高等情況，往往只進行一次測量。只進行一次測量。單次測量時，單次測量時， A類不確定類不確定度，無法考慮度，無法考慮；最佳估計值最佳估計值即測量值本身即測量值本身。單次測量單次測量合成不確定度只考慮合成不確定度只考慮B類分量為類分量為測量結果的表示測量結果的表示用合成標準不確定度表示用合成標準不確定度表示測量結果。測量結果。B 儀CxxxP95.5%E100 %單位 ，直接測量的不確定度估計直接測量的不確定度估計一、間接測量的最佳一、間接測量的最佳值值

33、,.),(zyxfN 二、二、 間接測量的不確間接測量的不確定度傳播公式定度傳播公式間接測量量間接測量量N的不確定度的不確定度與各直接測量量的不確定度與各直接測量量的不確定度有關，它們之間的關系由有關，它們之間的關系由標標準差傳播公式準差傳播公式表示為表示為間接測量是利用已知函數關系間接測量是利用已知函數關系式的轉換測量。式的轉換測量。間接測量量：間接測量量：N直接測量量：直接測量量：x, y, z, 函數關系形式為：函數關系形式為：zyxzzyyxxzyxfN),(222222lnlnlnNxyzNNNNxyz 222222zyxNzfyfxf例如：例如：23222143xxxxy22121

34、12212322333363468x xxx xxdydxdxdxxxxd 2222212112212322333363468()()()x xxx xxyxxxxxx 間接測量量的不確定度是每一個直接測量量的合成。間接測量量的不確定度是每一個直接測量量的合成。兩邊求微分得兩邊求微分得: :1單次直接測量的數據處理 23nxxxx1， ， ， xx測儀 %100 xE儀2多次直接測量的數據處理對多次直接測量的數據， 進行處理的一般步驟是： （1）計算被測量的算術平均值（2）求出各測量值的殘差11niixxniivxx221111nniiiixvxxSnn（3）用貝塞爾公式求出測量列的標準偏差。

35、 （4）審查測量數據，如發(fā)現(xiàn)有異常數據，應予以舍棄。舍棄異常數據后，再重復步（1）、（2）、（3）、（4），直至完全剔除異常數據。 （5）求A類不確定度ApxtSn 22AB xx%100 xE（6）求出總不確定度（7）表示出最后測量結果， 某長度測6次,分別為29.18 29.19 29.27 29.25 29.26 29.24(cm) 儀=0.05cm23.296161iixxcmcm2 2、計算、計算解：解：1 1、無可定系統(tǒng)誤差、無可定系統(tǒng)誤差3 3、計算、計算2()0.0371ixxxScmn挑選最大最小值比較挑選最大最小值比較(6)1.73 0.0370.064xGScmcm29.

36、2729.230.04 0.06429.1829.230.05 0.064cmcm4 4、剔除異常值、剔除異常值所以無異常值所以無異常值5 5、計算、計算12.57 0.0370.0396xApStcmn 220.063ABcm 不確定度有效數字保留不確定度有效數字保留1 1位位, ,且與且與平均值的最后一位對齊平均值的最后一位對齊. .B 儀0.05cm0.063100%100%0.22%29.23Ex8 8、最后結果：、最后結果：29.230.06()xcm0.22%E 95%P 6 6、計算：、計算：7 7、計算：、計算：直接測量問題直接測量問題用用025mm的一級千分尺測鋼球的直徑的一

37、級千分尺測鋼球的直徑D，6次數據為：次數據為：D1=3.121mm， D2=3.128mm， D3=3.125mmD4=3.123mm， D5=3.126mm， D6=3.124mm寫出完整的實驗結果。寫出完整的實驗結果。解：解： 求算術平均值求算術平均值mmDDDDDDD1245.361654321求不確定度求不確定度A類分量類分量mm0026.0157.212nnxxStniixpA求不確定度求不確定度B類分量類分量mm004.0mm004.0儀儀；B計算合成不確定度計算合成不確定度mm003. 0002. 00026. 02222BA完整的測量結果表示完整的測量結果表示%06.0%100

38、124.3003.0mm003.0124.3ED注意：注意：測量結果的有效數字，不確定度的有效數字，相測量結果的有效數字，不確定度的有效數字，相對不確定度的有效數字，單位。對不確定度的有效數字，單位。3 3、間接測量量數據處理、間接測量量數據處理,;xyz (2)(2)、計算、計算( , ,);Nf x y z(1)(1)、計算、計算,;NNE(3)(3)、計算、計算NNN100%NNEN(4)(4)、最后結果、最后結果間接測量量數據處理舉例間接測量量數據處理舉例)(010218)(00503452)(0020124236cmHcmDgM 測得某園柱體質量測得某園柱體質量M M，直徑，直徑D

39、D，高度，高度H H值如值如下，計算其密度及不確定度。下，計算其密度及不確定度。24MD H21834521416312423642)/(666218345214231236432cmg24MD H代入數據代入數據計算密度計算密度22222220 0020 0050 01()(2)()236 1242 3458 21MDHMDH5 22 22 22 22211(10 )(10 )(10 )11(10 )102.32.3相對不確定度相對不確定度100%0.450%0.5%E總不確定度總不確定度231106.660.03(/)2.3g cm 測量結果測量結果36.660.03(/

40、)g cm(95%)P 試求體積試求體積V并表示多取一位實驗結果。并表示多取一位實驗結果。解：解：求求V：間接測量問題間接測量問題用千分尺測量圓柱體的體積用千分尺測量圓柱體的體積V ，已求得直徑為：，已求得直徑為：cmhcmd001.0316.5002.0421.3；32286.484316. 5421. 31416. 34cmhdV注：常數的有效數字應比測量值的有效數字多取一位，注：常數的有效數字應比測量值的有效數字多取一位，至少位數相同，目的是讓常數取值的誤差忽略不計。體積的至少位數相同，目的是讓常數取值的誤差忽略不計。體積的有效數字應符合有效數字運算法則，或多取一位。有效數字應符合有效數

41、字運算法則，或多取一位。求求V的不確定度：的不確定度：cmcmcmhcmdhd001.0002.0001.0316.5002.0421.3；3 3、間接測量量數據處理、間接測量量數據處理,;xyz (2)(2)、計算、計算( , ,);Nf x y z(1)(1)、計算、計算,;NNE(3)(3)、計算、計算NNN100%NNEN(4)(4)、最后結果、最后結果根據不確定度傳播公式：根據不確定度傳播公式：32222222222222206. 0001. 0)4421. 31416. 3(002. 0)4316. 5421. 31416. 32(442cmddhhVdVhdhdV實驗結果表示：實

42、驗結果表示：%12.0%10086.4806.0)06.086.48(EcmV不確定度的有效數字首位是不確定度的有效數字首位是1或或2可以取二位，可以取二位，但不能超過二位。但不能超過二位。1.5 1.5.1 （2 2）在最小刻度之間）在最小刻度之間可可估計一位估計一位欠準位欠準位準確位準確位（1 1）以刻度為依據可）以刻度為依據可讀到讀到最小刻度最小刻度所在位。所在位。 35 36 (cm) 11 22 33 （1 1）位數與）位數與單位變換或單位變換或小數點位置無關。小數點位置無關。35.76cm = 0.3576m = 0.0003576km35.76cm = 0.3576m = 0.0

43、003576km（2 2）0 0 的地位的地位0.0003576 3.005 3.000 0.0003576 3.005 3.000 都是四位都是四位3 576103 576106 627101234. hj s（3 3）特大或特小數用科學計數法）特大或特小數用科學計數法1.5.2 1 1、一般讀數應讀到最小分度以下再估一、一般讀數應讀到最小分度以下再估一位。位。例如，例如，1/21/2，1/51/5，1/41/4，1/101/10等。等。2 2、有時讀數的估計位，就取在最小分度、有時讀數的估計位，就取在最小分度位。位。例如，儀器的最小分度值為例如，儀器的最小分度值為0.50.5，則，則0.1

44、-0.4,0.6-0.90.1-0.4,0.6-0.9都是估計的，不必估到都是估計的，不必估到下一位。下一位。3 3、游標類量具，讀到卡尺分度值。、游標類量具，讀到卡尺分度值。多不估多不估讀，特殊情況估讀到游標分度值的一半。讀，特殊情況估讀到游標分度值的一半。5 5、特殊情況，直讀數據的有效數字由儀、特殊情況，直讀數據的有效數字由儀器的靈敏閾決定器的靈敏閾決定。例如在。例如在“靈敏電流計研靈敏電流計研究究”中，測臨界電阻時，調節(jié)電阻箱中，測臨界電阻時，調節(jié)電阻箱“ ”，儀器才剛有反應，盡管最小步進為，儀器才剛有反應，盡管最小步進為0.10.1電阻值只記錄到電阻值只記錄到“ ”。10104 4、

45、數字式儀表及步進讀數儀器不需估讀。、數字式儀表及步進讀數儀器不需估讀。6 6、若測值恰為整數，必須補零，直補到可、若測值恰為整數，必須補零，直補到可疑位。疑位。1.5.3 加、減法加、減法21 30033272097 2 13 0 03327 2 09 6 7 3 約簡約簡2 13 0 0333 2 09 6 7 可見，約簡不影響計算結果。在加減法可見，約簡不影響計算結果。在加減法運算中，各量可約簡到其中位數最高者的下運算中，各量可約簡到其中位數最高者的下一位，其結果的欠準數位與參與運算各量中一位，其結果的欠準數位與參與運算各量中位數最高者對齊。位數最高者對齊。乘、除法乘、除法 在乘除運算之前

46、，各量可先約簡到比其中位數在乘除運算之前，各量可先約簡到比其中位數最少者多一位。運算結果一般與位數最少者相同，最少者多一位。運算結果一般與位數最少者相同，特殊情況比最少者多（少）一位。特殊情況比最少者多（少）一位。5 23 2116 7 多一位的情況多一位的情況1 011 210 83 1 21 1 010 083 968 4 2 0 363 56全部欠準時，商所在位即為全部欠準時，商所在位即為為欠準數位。為欠準數位。比位數最少者比位數最少者少一位的情況。少一位的情況。 5 2 32 1 61 6 0 51 6 6 9 2 4 2有效數字位數與底數的相同有效數字位數與底數的相同27.88962

47、.24103.4510.171乘方、立方、開方乘方、立方、開方初等函數運算初等函數運算四位有效數字，經正弦運算后得幾位？四位有效數字，經正弦運算后得幾位？52 130 問題是在問題是在 位上有波動，比如為位上有波動，比如為 ，對正弦值影響到哪一位，哪一位就應是欠準對正弦值影響到哪一位，哪一位就應是欠準數所在位。數所在位。 根據微分在近似計算中的應用，可知：根據微分在近似計算中的應用，可知： 1 1ydydxxxx coscos52 131601800 00020知知sin52 130 79030 第四位為欠準數位。第四位為欠準數位。一般情況下一般情況下的有效數字取一位的有效數字取一位，精密測量

48、情況下，可取二位。，精密測量情況下，可取二位。測量結果最佳值的有效數字的末位與測量結果最佳值的有效數字的末位與首位取齊。首位取齊。1.6 .1、列表法、列表法 表表1. .不同溫度下的金屬電阻值不同溫度下的金屬電阻值1.6 注意注意:1:1根據數據分布范圍，合理選擇單根據數據分布范圍，合理選擇單位長度及坐標軸始末端的數值，位長度及坐標軸始末端的數值，并以有效數字的形式標出。并以有效數字的形式標出。22將實驗點的位置用符號將實驗點的位置用符號X X或或 等標在圖上，用鉛筆連成光滑等標在圖上，用鉛筆連成光滑曲線或一條直線，并標出曲線曲線或一條直線，并標出曲線的名稱。的名稱。1.6. 2 33線性關

49、系數據求直線的斜率時線性關系數據求直線的斜率時, ,應在應在直線上選相距較遠的兩新點直線上選相距較遠的兩新點A.BA.B標明標明位置及坐標位置及坐標A(XA(X1 1 Y Y1 1), B(X), B(X2 2 Y Y2 2) ) 由此由此求得斜率。求得斜率。 kyyxx 2121簡單明了。簡單明了。有一定任意性（人為因素），故有一定任意性（人為因素），故不能求不確定度。不能求不確定度。非線性關系數據可進行曲線改直后再處理非線性關系數據可進行曲線改直后再處理)(RC)(t0 .200 .300 .400 .500 .600 .700 .800 .90500.10700.10900.10100.

50、11300.11500.11700.11900.11100.12300.12500.12700.12)(R0 .200 .300 .400 .500 .600 .700 .800 .90500.10700.10900.10100.11300.11500.11700.11900.11100.12300.12500.12700.12C)(t(13.0,10.500)(83.5,12.600)AB)(RC)(t0 .200 .300 .400 .500 .600 .700 .800 .90500.10700.10900.10100.11300.11500.11700.11900.11100.1230

51、0.12500.12700.12/cm100. 0:C/cm0 . 5:Rt 0(1)RRt當當X X等間隔變化，且等間隔變化，且X X的誤差可以不計的誤差可以不計的條件下，的條件下，將其分成兩組將其分成兩組，進行逐差可求得：，進行逐差可求得： 對于對于 X X ：X X1 1 X Xn n X X2 2n n Y Y ：Y Y1 1 Y Yn n Y Y2 2n n YYYnnn 2YYYn111 iyny1 1.6.3 逐差法逐差法 )(71)()()(7118782312xxxxxxxxx 砝碼質量(Kg) 1.0002.0003.0004.0005.0006.0007.0008.000

52、彈簧伸長位置(cm) x1x2x3x4x5x6x7x8516273841()()4 4()()xxxxxxxxx 是從統(tǒng)計的角度處理數據，并能得到測是從統(tǒng)計的角度處理數據，并能得到測量結果不確定度的一種方法。量結果不確定度的一種方法。滿足線性關系滿足線性關系1nyyyXXXn1 若若最簡單的情況最簡單的情況: :的測量誤差不考慮為等精度測量iiixyx ,1.6.4 最小二乘法最小二乘法由于每次測量均有誤差，使由于每次測量均有誤差，使111()0()0nnnyabxvyabxv在所有誤差平方和在所有誤差平方和 為最小的條件下，得到的方程為最小的條件下，得到的方程 y y=a+bx=a+bx 的

53、方法叫最小二乘法。的方法叫最小二乘法。2miniv 假定最佳方程為：假定最佳方程為：y=a0+b0 x，其中其中a0和和b0是最佳系數。殘差方程組為：是最佳系數。殘差方程組為：0022222000000222iiiiiiiiiiiivyyyab xLnababa byyxyxx根據上式計算出最佳系數根據上式計算出最佳系數a0和和b0，得，得到最佳方程為：到最佳方程為：y=a0+b0 x00002000002200iiiiiiiiiiiiiiLLabnabxyaxbxx yyxxynx yabbnnxnx 根據最小二乘原理，；最小二乘法應用舉例最小二乘法應用舉例為確定電阻隨溫度變化的關系式，測得

54、不同溫度下的電為確定電阻隨溫度變化的關系式，測得不同溫度下的電阻如表一。試用最小二乘法確定關系式：阻如表一。試用最小二乘法確定關系式：R = a + b t。 表一表一 電阻隨溫度變化的關系電阻隨溫度變化的關系t/19.025.030.136.040.045.150.0R/76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：解：1. 列表算出：列表算出：iiiiitRtRt,22. 寫出寫出a、b的最佳值滿足方程的最佳值滿足方程2tRttRtababnnnnn；nt/R/t2/2R t/ 119.176.303651457225.077.806251945330.179.

55、509062400436.080.8012962909540.082.3516003294645.183.9020343784750.085.1025004255n=7 =245.3 =566.00 =9326 =20044 it iR 2it iitR245.3566.0077245.393262004477770.790.2873/abababC 列表據代入方程：解出：3. 寫出待求關系式：寫出待求關系式：；tRtR2873. 079.70設計性實驗設計性實驗基礎知識基礎知識 定義：給定實驗目的及要求，由學生自行設定義：給定實驗目的及要求，由學生自行設計實驗方案并加以實施的實驗。計實驗方案

56、并加以實施的實驗。主要設計內容包括主要設計內容包括： 建立物理模型建立物理模型 確定實驗方法確定實驗方法 選擇儀器設備選擇儀器設備 制定實驗步驟制定實驗步驟測量型實驗：對某一物理量（如電容、折測量型實驗：對某一物理量（如電容、折射率、靜態(tài)磁特性的測量等）進行測定，射率、靜態(tài)磁特性的測量等）進行測定，達到設計要求；達到設計要求；研究型實驗：用實驗確定兩物理量或多物研究型實驗：用實驗確定兩物理量或多物理量之間的關系（電源特性研究），并對理量之間的關系（電源特性研究），并對其物理原理、外界條件的影響或應用價值其物理原理、外界條件的影響或應用價值等進行研究；等進行研究；制作型實驗：設計并組裝裝置，如萬

57、用表、制作型實驗：設計并組裝裝置，如萬用表、全息光柵等全息光柵等 三種類型：三種類型：設計性實驗的一般程序設計性實驗的一般程序：建立建立物理物理模型模型確定確定實驗實驗方法方法選擇選擇實驗實驗儀器儀器選擇選擇實驗實驗參數參數實驗實驗操作操作處理處理數據數據撰寫撰寫實驗實驗報告報告制定制定實驗實驗步驟步驟 根據實驗對象的物理性質，研究與實驗根據實驗對象的物理性質，研究與實驗對象相關的物理過程原理及過程中各物理量之對象相關的物理過程原理及過程中各物理量之間的關系、推導數學公式間的關系、推導數學公式 。例：測量蘭州地區(qū)的重力加速度例：測量蘭州地區(qū)的重力加速度g。 測量精度要求：測量精度要求： %5

58、. 0)(ggEg什么物理現(xiàn)象或物理過程與g有關？ 自由落體運動自由落體運動/物體在斜面上的滑動物體在斜面上的滑動/拋體運拋體運動動/單擺單擺/ 物理模型的建立要測某一地區(qū)的重力加速度或者建立一個單擺的物理模型?？山€自由落體運動的物理模型注意適用條件：1、只有系小球的細線的質量比小球質量小很多；2、小球的直徑比細線的長度小很多；3、小球在重力作用下做小角度擺動等，周期才滿足公式202ttvhggLT2測量重力加速度的物理模型自由落體模型只能測一個單程的時間與位移，當下落行程h為2m時，所需時間t只有0.6s多，這就對計時儀器的精度提出了很高的要求。單擺模型可測n個周期的累積擺動時間，對于擺

59、長L=1m的單擺，周期T約為2s，若累計測50個周期，則時間間隔達100s左右.顯然采用此方案，既簡單，又準確。因此，選單擺模型比自由落體要好。202ttvhggLT2比如：在測量溫度時可以使用水銀溫度計、熱電偶、熱敏電阻等多種器具；測量電壓可以用萬用表、數字電壓表、電位差計、示波器等。一個實驗中可能要測量多個物理量，而每個物理量又都可能有多種測量方法。必須根據被測對象的性質和特點，羅列各種可能的實驗方法，分析各種方法的適用條件，比較各種方法的局限性及可能達到的實驗精度等因素，并考慮各種方法實施的可能性，優(yōu)缺點，綜合后做出選擇。一般情況下，為減小誤差應盡可能采取等精度的多次測量；對于等間隔、線性變化的實驗數據的處理可采用“逐差法”、“最小二乘法”等。實驗方法的選擇測量儀器的選擇與配套在間接測量中，每個獨立測量量的不確定度都會對最終結果的不確定度有貢獻。若測量結果的合成不確定度為 ，則 中的每一項 都要大致相等。選擇的方法是通過待測的間接測量量與各直