道路與橋梁檢測第二章

1、2-1 振動的分類2-2 簡 諧 振 動2-3 單自由度系統(tǒng)振動分析第二章 振動與波動理論基礎(chǔ)道路橋梁工程動態(tài)動態(tài)無損檢測：1）樁基高低應(yīng)變動力檢測；2）橋梁上部結(jié)構(gòu)動力檢測；3）FWD落錘式彎沉儀檢測等。 振動是物質(zhì)的一種運動形式，是自然界十分廣泛的運動形式之一，波動是振動的傳播過程。美妙的音樂五顏六色的光無線電傳輸各信息.與振動波動相關(guān)什么是振動什么是振動從狹義上說，通常把具有時間周期性的運動稱為振動。從廣義上說，任何一個物理量在某一數(shù)值附近作周期性的往復(fù)變化，都稱為振動。該物理量稱為“振動量”。振動量可以是力學(xué)量（位移，角位移），也可以是電磁學(xué)量（電量、電流、場強），也可以是其它物理量。

2、從數(shù)學(xué)上來描述，振動量應(yīng)該是隨時間變化的周期函數(shù)。2-1 振動的分類1、按產(chǎn)生振動的原因分： 1）自由振動 2）強迫振動。2、按振動的振型分： 1）單向振動：僅用一個位移量或轉(zhuǎn)角就可表示質(zhì)點在某一個方向的瞬時位置（一個自由度），如圖2-4所示的豎向振動和扭轉(zhuǎn)振動。 2）耦合振動：需用兩個或兩個以上的位移量或轉(zhuǎn)角才能表示剛體在某一個方向的瞬時位置（多自由度），其振動特點是剛體在一個方向的運動必將引起另一方向的運動，如圖2-5所示剛體。3、按振動規(guī)律分： 1）諧和振動：是指能用一項正弦函數(shù)或余弦函數(shù)表達體系運動規(guī)律的周期性振動。 2）復(fù)合周期振動：是指由有限個不同頻率的諧和振動所合成，且任意兩個諧

3、和振動頻率之比為有理數(shù)的振動。 3）隨機振動：是指不能用諧和振動或其簡單合成來表達運動規(guī)律的振動，也就是無規(guī)律的非周期振動。在一切振動中，最簡單和最基本的振動稱為簡諧運動。任何復(fù)雜的運動都可以看成是若干簡諧運動的合成。例：彈簧振子簡諧振動的動力學(xué)公式2.2簡諧振動例：彈簧振子彈簧振子的運動AO：彈性力向右，加速度向右，加速；OB： 向左， 向左，減速；BO： 向左， 向左，加速；OA： 向右， 向右，減速。物體在A、B之間來回往復(fù)運動O點：彈簧處于自由狀態(tài)，m受力平衡。平衡位置物體受到一個始終指向平衡位置的彈性力 f ，稱為恢復(fù)力。在物體經(jīng)過平衡位置時，恢復(fù)力為零，但是物體由于慣性而繼續(xù)運動。

4、由牛頓第二定律由牛頓第二定律22ddtxmkxmaF令令mk 2 則則xdtxd222位移 x 所遵從的運動微分方程由虎克定律： F=k x (負(fù)號表示彈性力的方向與位移方向相反)0222dtd（簡諧振動的動力學(xué)方程）在振動學(xué)中定義：如果描述系統(tǒng)運動的物理量 遵從微分方程：則該系統(tǒng)的運動就是簡諧振動。由數(shù)學(xué)知識可以得到該微分方程的通解：)sin(0tA描述了振動量隨時間的變化規(guī)律，因此 (2) 式也可以稱為簡諧振動的運動學(xué)方程。(2)(1) A 和 是積分常數(shù)，由初始條件決定。 (2) 式是一個通解，但并不是唯一形式的解，余弦函數(shù)和復(fù)指數(shù)函數(shù)也是 (1) 式的解可見： 與 A、 、 0 有關(guān)A

5、、 、 0是 描述簡諧振動的特征量 2)sin(100222tAdtd注意1 振幅振幅A振幅A 振動量在振動過程中所能達到的最大值 在 A, A 之間變化，A 恒為正值2 周期、頻率、圓頻率周期、頻率、圓頻率周期T ：物體作一次完全振動所經(jīng)歷的時間)(sin)2sin(00TtAtA2TkmT 2 彈簧振子二 簡諧振動的特征量)sin(0tA頻率f ：單位時間內(nèi)物體所作的完全振動的次數(shù)圓頻率：物體在 2 秒時間內(nèi)所作的完全振動次數(shù)(又叫角頻率)Tf1單位：赫茲（Hz）22T單位：弧度每秒（rad/s）T、v、反映了振動的快慢，由簡諧振動系統(tǒng)的物理性質(zhì)決定，故稱它們?yōu)楣逃兄芷?、固有頻率、固有圓頻

6、率彈簧振子：mk 21 mk kmT 2 )sin(0tA3 相位相位 ( t + ) 在一個周期內(nèi)，振動量的振動狀態(tài)（、d /dt）與其相位是一一對應(yīng)的。振動狀態(tài)的變化完全可以由相位的變化生動地反映出來。因此，相位是標(biāo)示和決定振動狀態(tài)的重要特征量。初相位 決定初始時刻振動物體的運動狀態(tài))cos(tA15 4. 振動的分類振動的分類： 單自由度系統(tǒng)的振動 按振動系統(tǒng)的自由度分類按振動系統(tǒng)的自由度分類 多自由度系統(tǒng)的振動 彈性體的振動 按振動產(chǎn)生的原因分類按振動產(chǎn)生的原因分類： 自由振動： 無阻尼的自由振動 有阻尼的自由振動，衰減振動 強迫振動： 無阻尼的強迫振動 有阻尼的強迫振動 自激振動本章

7、重點討論單自由度系統(tǒng)的自由振動和強迫振動。 如果振動系統(tǒng)中還存在阻尼力，那么振子在運動中所受到的作用力就是回復(fù)力與阻尼力的疊加。而阻尼力總是減小回復(fù)力，因此使得振動的振幅隨時間而減小。從能量的角度來看，阻尼的發(fā)生有兩種形式，振動系統(tǒng)的能量變成熱運動的能量，摩擦阻尼振動系統(tǒng)的能量變成波動形式的能量，輻射阻尼阻尼振動 實際的振動系統(tǒng)總是阻尼振動，那么系統(tǒng)要把振動維持下去必須從外邊獲得能量，也就是說有外部力的作用。 外部作用力有兩種作用形式，即單方向的力和周期作用力。 一個振動系統(tǒng)如果受到周期性的外部驅(qū)動力，就稱為強迫振動。它在運動中所受到的力，就是在阻尼振動的方程中再加一項周期驅(qū)動力，如果外部的周

8、期驅(qū)動力也是按照簡諧振動的規(guī)律變化，則得到受迫振動就會穩(wěn)定為簡諧振動。強迫振動強迫振動 共振最重要的特征就是振幅和外力的頻率有關(guān)，而且當(dāng)外力頻率滿足一定條件時，振幅存在一個最大值，這就是說外力與振動系統(tǒng)發(fā)生了共振。在外力不大的情況下，也能導(dǎo)致振子產(chǎn)生很大的振幅。 在周期性外力作用下的強迫振動中，會發(fā)生一種特別的現(xiàn)象，就是共振。共振共振19 單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動 一、自由振動的概念一、自由振動的概念：20 21 運動過程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復(fù)力恢復(fù)力。 物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復(fù)力作用下在其平衡位置附近的振動稱為無阻尼自由振動無阻尼自由振動。 )

9、/( 0 , 22mkxxkxxmnn 質(zhì)量質(zhì)量彈簧系統(tǒng)：彈簧系統(tǒng)： 22二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程及其解二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程及其解 對于任何一個單自由度系統(tǒng)，以q 為廣義坐標(biāo)（從平衡位置開始量取 ），則自由振動的運動微分方程必將是：0cqqa a, c是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。令acn/2則自由振動的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：則自由振動的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：02qqn 解解為：)sin(tAqn23 0022020arctg , qqqqAnn設(shè) t = 0 時， 則可求得：00 , qqqq 或：tCtCqnnsincos21C1，C2由初始條件決定為nq Cq

10、C/ ,02 01tqtqqnnnsincos 0024 三、自由振動的特點三、自由振動的特點： A物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。 n t + 相位，決定振體在某瞬時 t 的位置 初相位，決定振體運動的起始位置。 T 周期，每振動一次所經(jīng)歷的時間。 f 頻率，每秒鐘振動的次數(shù)， f = 1 / T 。 固有頻率，振體在2秒內(nèi)振動的次數(shù)。 反映振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。 nT2n25 無阻尼自由振動的特點是無阻尼自由振動的特點是： (2) 振幅A和初相位 取決于運動的初始條件(初位移和初速度)；(1) 振動規(guī)律為簡諧振動；(3)周期T 和固有頻率 僅決定于系統(tǒng)本身

11、的固有參數(shù)(m,k,I )。n四、其它四、其它 1. 如果系統(tǒng)在振動方向上受到某個常力的作用，該常力只影響靜平衡點O的位置，而不影響系統(tǒng)的振動規(guī)律，如振動頻率、振幅和相位等。 26 2. 彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度212121212211 , )( , kkkkkmgkkmgFFmgkFkFeqststst并聯(lián)2121eq21212121k )11()11( kkkkkkmgkmgkkmgkmgkmgeqstststst串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)271. 由系統(tǒng)的振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式由系統(tǒng)的振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2. 靜變形法：靜變形法：3. 能量法能量法： 求系統(tǒng)固有頻率的方法求系統(tǒng)固有頻率的

12、方法02qqn stngst：集中質(zhì)量在全部重力 作用下的靜變形n由Tmax=Umax , 求出28 無阻尼自由振動系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機械能守恒。 當(dāng)振體運動到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時，速度為零，即系統(tǒng)動能等于零，勢能達到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢能點）。 當(dāng)振體運動到靜平衡位置時，系統(tǒng)的勢能為零，動能達到最大值。mgAAkUstst)(2122max2max21 kAUmgkst222max2121nmAxmT如：29 mkkAmAUTnn 2121 222maxmax由 能量法是從機械能守恒定律出發(fā)，對于計算較復(fù)雜的振能量法是從機械能守恒定律出發(fā)，對于計算較復(fù)雜的振動系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡

13、便的一種方法。動系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡便的一種方法。 例例1 圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無側(cè)向擺動，且輪子與繩子間無滑動，不計繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，半徑為R，質(zhì)量為M，重物質(zhì)量 m ，試列出系統(tǒng)微幅振動微分方程，求出其固有頻率。30 解解：以 x 為廣義坐標(biāo)（靜平衡位置為 坐標(biāo)原點）RkgRmMst2)(gkmMst2則任意位置x 時：kxgmMxkFst22)2(靜平衡時：31 應(yīng)用動量矩定理：kxRRFgRmMFmxRmMRxMRRxMRxmLAA42)()()23( 212由 ， 有)(FmdtdLAAkxRxRmM4)23( 振動微分方程：固有頻率：mMkxmMkxn2380238

14、32 解解2 ： 用機械能守恒定律 以x為廣義坐標(biāo)（取靜平衡位置為原點）22222)23(21 21)(22121xmMxmRxMRxMT 以平衡位置為計算勢能的零位置，并注意輪心位移x時，彈簧伸長2xgxmMxkkxgxmMxkUststst)(22 )()2(2222因平衡時gxmMxkst)(222kxU 33 由 T+U= 有：constconstkxxmM222)23(2104)23(kxxmM mMkxmMkxn2380238 對時間 t 求導(dǎo)，再消去公因子 ，得x 34 例例2 鼓輪：質(zhì)量M，對輪心回轉(zhuǎn)半徑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑 r ，彈簧剛度 ，重物質(zhì)量為m

15、, 不計輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長。求系統(tǒng)微振動的固有頻率。21 , kk 解解：取靜平衡位置O為坐標(biāo)原點，取C偏離平衡位置x為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的最大動能為：35 ) )()( ( )(21 )(21212max21max22max21maxRkkrRmgxkkxRrRmgxkkUststst2max22222max2max22maxmax 21 )(21 )(21)(21xr)m(R)RM(RxRrRmRxMxMT系統(tǒng)的最大勢能為：36 設(shè) 則有)sin(nAxnAxAxmaxmax , )(21 2)()(221max222222maxAkkUARrRmRMTn根據(jù)Tmax=Umax ,

16、 解得222221)()()(rRmRMRkkn37 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振動過程中，系統(tǒng)所受的阻力。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，由于介質(zhì)粘性引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。vcR投影式：xcRx c 粘性阻尼系數(shù)，簡稱阻尼系數(shù)。38 二、有阻尼自由振動微分方程及其解二、有阻尼自由振動微分方程及其解： 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：xckxxm 02 2 , 22nxxnx mcnmkn 則令有阻尼自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。39 其通解分三種情況討論： 1、小阻尼情形

17、、小阻尼情形mkcnn2 )()sin(tAexdnt22nnd有阻尼自由振動的圓頻率則時設(shè) , , , 0 00 xxxxt0022012220020tg ; )(nxxnxnnxxxAnn40 衰減振動的特點：(1) 振動周期變大，振動周期變大， 頻率減小頻率減小。mkcnnTnndd212 222222阻尼比有阻尼自由振動：當(dāng) 時，可以認(rèn)為nn1TTdnd 222111ndddffTT41 (2) 振幅按幾何級數(shù)衰減振幅按幾何級數(shù)衰減 對數(shù)減縮率212lnln21dnTiinTeAAd2、臨界阻尼情形、臨界阻尼情形 臨界阻尼系數(shù)) 1 , (nnmkcc2)(000tnxxxexnt)

18、, , 0(00 xxxxt 時ddiinTTtnntiieAeeAAA)(1相鄰兩次振幅之比42 可見，物體的運動隨時間的增長而無限地趨向平衡位置，不再具備振動的特性。 )(222221 tn tnntnneCeCex代入初始條件) , , 0(00 xxxxt 時220022222022012)( ; 2)(nnnnnxxnnCnxnnxC) 1 , (nn)(ccc 3、過阻尼（大阻尼）情形、過阻尼（大阻尼）情形 所示規(guī)律已不是周期性的了，隨時間的增長，x 0，不具備振動特性。43 例例3 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系

19、數(shù)c 。2021203221211)(dnTeAAAAAAAA解：解：20)(16. 08 . 0dnTe21220205lnnndnT由于 很小，405ln )s/cmN(122. 0 98011502405ln2405ln22stWgWmkc44 單自由度系統(tǒng)的無阻尼強迫振動單自由度系統(tǒng)的無阻尼強迫振動一、強迫振動的概念一、強迫振動的概念 強迫振動：在外加激振力作用下的振動。 簡諧激振力： H力幅； 激振力的圓頻率 ； 激振力的初相位。)sin(tHS)sin(tHkxxm 則令 , 2mHhmkn)sin(2thxxn 無阻尼強迫振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二、

20、無阻尼強迫振動微分方程及其解二、無阻尼強迫振動微分方程及其解45 21xxx)sin()sin(21tbxtAxn為對應(yīng)齊次方程的通解為特解)sin( , 22222thxhbnn)sin()sin(22thtAxnn全解為：穩(wěn)態(tài)強迫振動 3、強迫振動的振幅大小與運動初始條件無關(guān)，而與振動系統(tǒng) 的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。三、穩(wěn)態(tài)強迫振動的主要特性三、穩(wěn)態(tài)強迫振動的主要特性：1、在簡諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強迫振動亦為簡諧振動。2、強迫振動的頻率等于簡諧激振力的頻率，與振動系統(tǒng)的 質(zhì)量及剛度系數(shù)無關(guān)。46(1) =0時kHhbn20 (2) 時，振幅b隨 增大而增大；當(dāng) 時，n

21、 bn(3) 時，振動相位與激振力相位反相，相差 。rad n22nhb b 隨 增大而減小； 0 ; , 20bbbn時時 振幅比或稱動力系數(shù) 頻率比 曲線 幅頻響應(yīng)曲線 （幅頻特性曲線）147 4、共振現(xiàn)象 , 時nb，這種現(xiàn)象稱為共振。此時，)cos(2tBtxn)cos(2 2 , 2 2ttbxthbhBnnnn48 單自由度系統(tǒng)的有阻尼強迫振動單自由度系統(tǒng)的有阻尼強迫振動一、有阻尼強迫振動微分方程及其解一、有阻尼強迫振動微分方程及其解tHQxcRkxFxxxsin , , tHxckxxmsin 將上式兩端除以m ，并令mHhmcnmkn ; 2 ; 2thxxnxnsin22 有阻尼強迫振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次微分方程。21xxx49 x1是齊次方程的通解)02(2xxnxn 小阻尼：)sin(221tAexnnt（A、 積分常數(shù)，取決于初始條件）x2 是特解：)sin(2tbx代入標(biāo)準(zhǔn)形式方程并整理22222222tg4)(nnnnhb 強迫振動的振幅 強迫振動相位滯后激振力相位角振動微分方程的全解為)sin()sin(22tbtAexnnt 衰減振動 強迫振動50 振動開始時，二者同時存在的過程瞬態(tài)過程。僅剩下強迫振動部分的過程穩(wěn)態(tài)過程。需著重討論部分。 nnnbb ; , 0令 頻率比 振幅比 阻尼比因此：2222212 tg; 4)1