【數(shù)學(xué)】112弧度制（人教A版必修4）2

1、 在初中幾何里，我們學(xué)習(xí)過角的度量，在初中幾何里，我們學(xué)習(xí)過角的度量，1度的角度的角是怎樣定義的呢？是怎樣定義的呢？ 周角的周角的 為為1度的角。度的角。 1360 這種用這種用1 角角作作單位單位來度量角的制度叫做來度量角的制度叫做角度制角度制 ，今天我們來學(xué)習(xí)另一種在數(shù)學(xué)和其，今天我們來學(xué)習(xí)另一種在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中常用的度量角的制度他學(xué)科中常用的度量角的制度弧度制弧度制。 1. 圓心角、弧長(zhǎng)和半徑之間的關(guān)系：圓心角、弧長(zhǎng)和半徑之間的關(guān)系： 角是由射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的，在旋角是由射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的，在旋轉(zhuǎn)的過程中射線上的轉(zhuǎn)的過程中射線上的點(diǎn)點(diǎn)必然形成一條必然形成一條圓弧圓弧， 不同

2、的點(diǎn)所形成的圓不同的點(diǎn)所形成的圓 弧的長(zhǎng)度是不同的，弧的長(zhǎng)度是不同的， 但都對(duì)應(yīng)同一個(gè)圓心角。但都對(duì)應(yīng)同一個(gè)圓心角。 ABA Brr=定值定值， 設(shè)設(shè)=n ， 弧長(zhǎng)為弧長(zhǎng)為l，半徑，半徑OA為為r，則則 ，可以看出，等式右端不含可以看出，等式右端不含半徑，表示半徑，表示弧長(zhǎng)與半徑的弧長(zhǎng)與半徑的比值比值跟半徑無關(guān)，只與跟半徑無關(guān)，只與的的大小有關(guān)。大小有關(guān)。 AB22,360360r llnnr結(jié)論：可以用圓的半徑作單位去度量角。結(jié)論：可以用圓的半徑作單位去度量角。2.定義定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做所對(duì)的圓心角叫做1弧弧度的角度的角，弧度記作，弧度記作rad。

3、這種以弧度為單位來。這種以弧度為單位來度量角的制度叫做度量角的制度叫做弧度制弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的時(shí)候，弧度二字注：今后在用弧度制表示角的時(shí)候，弧度二字或或rad可以可以略去不寫略去不寫。 3. 弧度制與角度制相比：弧度制與角度制相比：(1) 弧度制是以弧度制是以“弧度弧度”為為單位單位的度量角的的度量角的單位制，角度制是以單位制，角度制是以“度度”為單位來度量角為單位來度量角的單位制；的單位制；1弧度弧度1 ； （2）1弧度弧度是弧長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓是弧長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角的大小，而心角的大小，而1度是圓周度是圓周 的所對(duì)的圓心的所對(duì)的圓心角的大小；角的大??；

4、 1360（3）弧度制是十進(jìn)制，它的表示是用一個(gè)實(shí)）弧度制是十進(jìn)制，它的表示是用一個(gè)實(shí)數(shù)表示，而角度制是六十進(jìn)制；數(shù)表示，而角度制是六十進(jìn)制； （4）以弧度和度為單位的角，都是一個(gè)與）以弧度和度為單位的角，都是一個(gè)與半徑無關(guān)的定值。半徑無關(guān)的定值。 4.公式：公式： ， 表示的是在半徑為表示的是在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為的圓中，弧長(zhǎng)為l的的弧所對(duì)的圓心角是弧所對(duì)的圓心角是rad。lr5. 弧度制與角度制的換算弧度制與角度制的換算 用角度制和弧度制度量角，零角既是用角度制和弧度制度量角，零角既是0 角，又是角，又是0 rad角，同一個(gè)非零角的度數(shù)和角，同一個(gè)非零角的度數(shù)和弧度數(shù)是不同的弧度數(shù)是不同

5、的. 平角、周角的弧度數(shù)：平角、周角的弧度數(shù)：平角平角= rad、周角、周角=2 rad. 正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.角角 的弧度數(shù)的絕對(duì)值的弧度數(shù)的絕對(duì)值: （l為弧長(zhǎng)，為弧長(zhǎng)，r為半徑）為半徑）rl 360 =2 rad ，180 = rad 1 =rad0.01745rad18018057.3057181 rad6. 用弧度制表示用弧度制表示弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)及及扇形面積扇形面積公式：公式： 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)的圓心角（的弧度數(shù)）等于弧所對(duì)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對(duì)值與半徑的積的絕對(duì)值與半徑的積. 弧長(zhǎng)公式：弧長(zhǎng)

6、公式： rl由公式：由公式：rl rl比公式比公式 簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單.180rnl 扇形面積公式扇形面積公式 lRS21其中其中l(wèi)是扇形弧長(zhǎng)，是扇形弧長(zhǎng)，R是圓的半徑。是圓的半徑。證明：設(shè)扇形所對(duì)的圓心角為證明：設(shè)扇形所對(duì)的圓心角為n(rad)，則，則2213602nSRR又又 R=l，所以，所以lRS21證明證明2：因?yàn)閳A心角為：因?yàn)閳A心角為1 rad的扇形面積是的扇形面積是22122RR而弧長(zhǎng)為而弧長(zhǎng)為l的扇形的圓心角的大小是的扇形的圓心角的大小是 rad.lR所以它的面積是所以它的面積是lRS21例例1. （1) 把把1123030化成弧度化成弧度(精確到精確到0.001)； （2）把）把112

7、30化成弧度（用化成弧度（用表示表示）。）。解：解： （1）11230=112.5，10.0175180 所以所以11230112.50.01751.969rad.(2) 11230=112.5 = .18058例例2. 把把 化成度?；啥?。85858180()5288解：解：1rad= 180()例例3. 填寫下表：填寫下表：角度030456090120弧度角度角度270300315330360弧度02643223345632例例4. 扇形扇形AOB中，中， 所對(duì)的圓心角是所對(duì)的圓心角是60，半徑是半徑是50米，求米，求 的長(zhǎng)的長(zhǎng)l（精確到（精確到0

8、.1米）。米）。ABAB解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?0= ,所以所以3l=r= 5052.5 .3答：答： 的長(zhǎng)約為的長(zhǎng)約為52.5米米.AB例例5. 在半徑為在半徑為R的圓中，的圓中，240 的中心角所對(duì)的的中心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為弧長(zhǎng)為 ，面積為，面積為2R2的扇形的的扇形的中心角等于中心角等于 弧度?；《?。解：（解：（1）240= ，根據(jù)，根據(jù)l=R，得，得4343lR（2）根據(jù)）根據(jù)S= lR= R2，且，且S=2R2.2121所以所以 =4.例例6.與角與角1825的終邊相同，且絕對(duì)值最小的終邊相同，且絕對(duì)值最小的角的度數(shù)是，合弧度。的角的度數(shù)是，合弧度。 解：解：1825=536025， 所以與角所以與角1825的終邊相同，且絕對(duì)值的終邊相同，且絕對(duì)值最小的角是最小的角是25.合合536例例7. 已知一半徑為已知一半徑為R的扇形，它的周長(zhǎng)等于的扇形，它的周長(zhǎng)等于所在圓的周長(zhǎng)，那么扇形的中心角是多少弧所在圓的周