第7章 首次積分與一階偏

1、第6 6章 首次積分與一階偏微分方程7.1一階常微分方程組的首次積分一階常微分方程組的首次積分n 1,nnyf x y yy112,nnyy yyyy1112221212,.nnnnndyfx y yydxdyfx y yydxdyfx y yydx 從第五章我們知道從第五章我們知道7.1.1首次積分的定義首次積分的定義在變換在變換之下，等價(jià)于下面之下，等價(jià)于下面的一階微分方程組的一階微分方程組（7.1.3）階常微分方程階常微分方程在第五章中，已經(jīng)介紹過方程組（在第五章中，已經(jīng)介紹過方程組（7.1.3）通解的概念）通解的概念和求法。但是除了常系數(shù)線性方程組外，求一般的一和求法。但是除了常系數(shù)線

2、性方程組外，求一般的一階微分方程組（階微分方程組（7.1.3）的解是很困難的。然而在某些）的解是很困難的。然而在某些情況下，可以使用所謂情況下，可以使用所謂“可積組合可積組合”法求通積分，下法求通積分，下面先通過例子說明面先通過例子說明“可積組合可積組合”法，然后介紹一階常法，然后介紹一階常微分方程組微分方程組“首次積分首次積分”的概念和性質(zhì)，以及用首次的概念和性質(zhì)，以及用首次積分方法來求解方程組（積分方法來求解方程組（7.1.3）的問題。先看幾個(gè)例）的問題。先看幾個(gè)例子。子。例例7.1.1 求解微分方程組求解微分方程組 22221 ,1 .dxyx xydtdyxy xydt （7.1.4）

3、解解 將第一式的兩端同乘將第一式的兩端同乘x，第二式的兩端同乘，第二式的兩端同乘y 12222yxyxdtdyydtdxx222222112d xyxyxydt 這個(gè)微分方程關(guān)于變量這個(gè)微分方程關(guān)于變量t和和22xy1222221Ceyxyxt1C其中其中 為積分常數(shù)。（為積分常數(shù)。（7.1.5）叫做（）叫做（7.1.4）的一個(gè)首）的一個(gè)首次積分。次積分。，然后，然后相加，得到相加，得到或或是可以分離的，因此是可以分離的，因此不難求得其解為不難求得其解為（7.1.5） 注意首次積分（注意首次積分（7.1.5）的左端）的左端, ,V x y t作為作為x，y，和，和t( ),( )xx tyy

4、t是微分方程組（是微分方程組（7.1.4）的解時(shí)）的解時(shí)，, ,V x y t才等于常數(shù)才等于常數(shù)1C，因此，因此1C因?yàn)槭剑ㄒ驗(yàn)槭剑?.1.4）是一個(gè)二階方程組，一個(gè)首次積分）是一個(gè)二階方程組，一個(gè)首次積分（7.1.5）不足以確定它的解。為了確定（）不足以確定它的解。為了確定（7.1.4）的解，還）的解，還需要找到另外一個(gè)首次積分。需要找到另外一個(gè)首次積分。將第一式兩端同乘將第一式兩端同乘y，第二式兩端同乘，第二式兩端同乘x22yxdtdyxdtdxy的函數(shù)并不等于常數(shù)；從上面的推導(dǎo)可見，當(dāng)?shù)暮瘮?shù)并不等于常數(shù)；從上面的推導(dǎo)可見，當(dāng)應(yīng)隨解而異。應(yīng)隨解而異。第一式減去第二式，得到第一式減去第二式

5、，得到即22yxdtdxydtdyx或或然后用然后用1arctandtxyd2arctanCtxy2C利用首次積分（利用首次積分（7.1.5）和（）和（7.1.6）可以確定（）可以確定（7.1.4）的）的通解。為此，采用極坐標(biāo)通解。為此，采用極坐標(biāo)cos ,sinxryr212211teCtCr ，tCeCrt221,11 （7.1.7）亦即亦即積分得積分得其中其中為積分常數(shù)。為積分常數(shù)。（7.1.6）由（由（7.1.5）和（）和（7.1.6）推得）推得或或因此我們得到方程組（因此我們得到方程組（7.1.4）的通解為）的通解為 222211cossin,11ttCtCtxyC eC e,dud

6、vdwvwwuuvdtdtdt0解解 利用方程組的對(duì)稱性，可得利用方程組的對(duì)稱性，可得 0dudvdwuvwdtdtdt從而得到第一個(gè)首次積分從而得到第一個(gè)首次積分 2221uvwC10.C 。 例例7.1.2 求解微分方程組求解微分方程組其中其中是給定的常數(shù)。是給定的常數(shù)。其中積分常數(shù)其中積分常數(shù)（1）同樣由方程的對(duì)稱性我們又有同樣由方程的對(duì)稱性我們又有 2220dudvdwuvwdtdtdt由此又得另一個(gè)首次積分由此又得另一個(gè)首次積分 2222222uvwC20C 利用首次積分（利用首次積分（1）和（）和（2），將），將u和和v用用w表示，之后代入表示，之后代入原方程組（原方程組（7.1.

7、8）的第三式，得到）的第三式，得到 22dwaAwbBwdt12CC和0,0.AB 其中積分常數(shù)其中積分常數(shù)（2）其中常數(shù)其中常數(shù)a，b依賴于常數(shù)依賴于常數(shù)而常數(shù)而常數(shù)（3）式（式（3）是變量可分離方程，分離變量并積分得到第三個(gè)）是變量可分離方程，分離變量并積分得到第三個(gè)首次積分首次積分 322()dwtCaAwbBw3C是積分常數(shù)。因?yàn)榉匠探M（是積分常數(shù)。因?yàn)榉匠探M（7.1.8）是三階的，）是三階的，123123123,.ut C C Cvt C C Cwt C C C但是由于在式（但是由于在式（4）中出現(xiàn)了橢圓積分，因此不能寫出）中出現(xiàn)了橢圓積分，因此不能寫出上述通解的具體表達(dá)式。上述通解

8、的具體表達(dá)式。（4）其中其中所以三個(gè)首次積分（所以三個(gè)首次積分（1）、（）、（2）和（）和（4）在理論上足以）在理論上足以確定它的通解確定它的通解現(xiàn)在考慮一般的現(xiàn)在考慮一般的n階常微分方程組階常微分方程組 12,1,2,iindyfx y yyindx 其中右端函數(shù)其中右端函數(shù)niyyyxf,21在在1nGR內(nèi)對(duì)內(nèi)對(duì)12,nx y yy連續(xù)，而且對(duì)連續(xù)，而且對(duì)nyyy,21定義定義7.1.1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)12,nVV x y yy在在D的某個(gè)子域的某個(gè)子域G內(nèi)連續(xù)，而且對(duì)內(nèi)連續(xù)，而且對(duì)12,nx y yy是連續(xù)可微的。又設(shè)是連續(xù)可微的。又設(shè)12,nV x y yy不為常數(shù)，不為常數(shù)， 1122:

9、,nnyyxyyxyyxxJ（7.1.13）是連續(xù)可是連續(xù)可微的。我們有微的。我們有但沿著微分方程（但沿著微分方程（7.1.3）函數(shù)函數(shù)V取常值；取常值； 在區(qū)域在區(qū)域G內(nèi)的任意積分曲線內(nèi)的任意積分曲線 12,nV x yxyxyxCxJ常數(shù)12( ,)nx y yy時(shí)，有時(shí)，有 12,nV x y yy常數(shù)， 12,nV x y yyC12,nV x y yy為（為（7.1.13）的首次積分。）的首次積分。亦即亦即或當(dāng)或當(dāng)這里的常數(shù)隨積分曲線這里的常數(shù)隨積分曲線而定，則稱而定，則稱（7.1.14）為微分方程（為微分方程（7.1.13）在區(qū)域）在區(qū)域G內(nèi)的首次積分。其中內(nèi)的首次積分。其中C是是

10、一個(gè)任意常數(shù)，有時(shí)也稱這里的函數(shù)一個(gè)任意常數(shù)，有時(shí)也稱這里的函數(shù)對(duì)于高階微分方程（對(duì)于高階微分方程（7.1.1），只要做變換（），只要做變換（7.1.2），），就可以把它化成一個(gè)與其等價(jià)的微分方程組。因此，首次就可以把它化成一個(gè)與其等價(jià)的微分方程組。因此，首次積分的定義可以自然地移植到積分的定義可以自然地移植到n階方程（階方程（7.1.1）。而其首）。而其首次積分的一般形式可以寫為次積分的一般形式可以寫為 1, ,nV x y yyC222sin00d xaxadt 為常數(shù)dxdt乘方程的兩端，可得乘方程的兩端，可得 222sin0dx d xdxaxdt dtdt然后積分，得到一個(gè)首次積分然

11、后積分，得到一個(gè)首次積分 221cos2dxaxCdt（7.1.15）例如，設(shè)二階微分方程組例如，設(shè)二階微分方程組用用一般的，一般的，n階常微分方程有階常微分方程有n個(gè)獨(dú)立的首次積分，如果個(gè)獨(dú)立的首次積分，如果n階常微分方程組的階常微分方程組的個(gè)獨(dú)立的首次積分，則可個(gè)獨(dú)立的首次積分，則可7.1.2 首次積分的性質(zhì)首次積分的性質(zhì)根據(jù)首次積分的定義，要判別函數(shù)根據(jù)首次積分的定義，要判別函數(shù)12,nV x y yy是否是方程組是否是方程組 12,1,2,iindyfx y yyindx求得求得n求得這個(gè)求得這個(gè) 階常微分方程組的通解。階常微分方程組的通解。n在區(qū)域在區(qū)域G內(nèi)的首次積分，需要知道方程組

12、（內(nèi)的首次積分，需要知道方程組（7.1.13）在在G內(nèi)得所有積分曲線。這在實(shí)際應(yīng)用上是很困難的。內(nèi)得所有積分曲線。這在實(shí)際應(yīng)用上是很困難的。下面的定理為我們提供了一個(gè)有效的判別方法，解決下面的定理為我們提供了一個(gè)有效的判別方法，解決了判別首次積分的困難。了判別首次積分的困難。定理定理7.1.1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)12,nx y yy 在區(qū)域在區(qū)域G內(nèi)是連續(xù)內(nèi)是連續(xù)12,nx y yyC是微分方程（是微分方程（7.1.13）在區(qū)域）在區(qū)域G內(nèi)的首次積分的充分必要內(nèi)的首次積分的充分必要條件是條件是 110nnffxyy是關(guān)于變量是關(guān)于變量12,nx y yyG的一個(gè)恒等式。的一個(gè)恒等式。 可微的，而且它不

13、是常數(shù)，則可微的，而且它不是常數(shù)，則（7.1.16）（7.1.17） 證明證明 先證必要性先證必要性 設(shè)（設(shè)（7.1.16）是方程組（）是方程組（7.1.13）在區(qū)）在區(qū)域域G內(nèi)的一個(gè)首次積分。又設(shè)內(nèi)的一個(gè)首次積分。又設(shè) 1122:,nnyyxyyxyyxxJ是微分方程組（是微分方程組（7.1.13）在區(qū)域）在區(qū)域G內(nèi)的任一積分曲線。則內(nèi)的任一積分曲線。則我們?cè)趨^(qū)間我們?cè)趨^(qū)間J上有恒等式上有恒等式12,( ),( ),( )nx y xyxyx常數(shù) （7.1.18）兩邊對(duì)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，則有求導(dǎo)，則有 11( )( )0nnyxyxxyy或在或在上恒有等式上恒有等式 110nnffxyy因?yàn)榻?jīng)過

14、區(qū)域因?yàn)榻?jīng)過區(qū)域G內(nèi)的任意一點(diǎn)都有微分方程（內(nèi)的任意一點(diǎn)都有微分方程（7.1.13）的）的一條積分曲線一條積分曲線亦即恒等式（亦即恒等式（7.1.17）成立。）成立。微分方程組（微分方程組（7.1.13）在區(qū)域）在區(qū)域G內(nèi)的一個(gè)首次積分。內(nèi)的一個(gè)首次積分。 證畢。證畢。（7.1.19）（7.1.20），所以（，所以（7.1.20）也就變成了區(qū)域）也就變成了區(qū)域G內(nèi)的內(nèi)的恒等式，恒等式，再證充分性再證充分性，設(shè)恒等式（，設(shè)恒等式（7.1.17）成立，則由于上述積分）成立，則由于上述積分曲線曲線在在G內(nèi)，所以得到恒等式（內(nèi)，所以得到恒等式（7.1.20），然后可由），然后可由（7.1.20）反推到

15、（）反推到（7.1.18）。這就證明了（）。這就證明了（7.1.16）是是定理定理7.1.2 若已知微分方程（若已知微分方程（7.1.13）的一個(gè)首次積分）的一個(gè)首次積分（7.1.14），則可以把微分方程（），則可以把微分方程（7.1.13）降低一階。）降低一階。證明證明 由定義容易推出首次積分由定義容易推出首次積分 1,nyy不能都恒等于不能都恒等于0，因此，不妨設(shè)，因此，不妨設(shè)0ny于是由隱函數(shù)定理，由首次積分（于是由隱函數(shù)定理，由首次積分（7.1.16）解出）解出 11( ,),nnyg x yyC ,1,2,1 .ninigxyxginyyy （7.1.22）的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（7.1.

16、21）而且它有偏導(dǎo)數(shù)而且它有偏導(dǎo)數(shù)將（將（7.1.21）代入到微分方程（）代入到微分方程（7.1.13）的前）的前n-1個(gè)式子，個(gè)式子，就消去了就消去了ny，從而得到一個(gè)，從而得到一個(gè)n-1階的微分方程階的微分方程 1111,1,2,1 .iinndyfx yyg x yyCindx假設(shè)它的解為假設(shè)它的解為 1111,nnyuxyux 111111,( ,)nnnnyuxyuxyg x uxuxC就是微分方程（就是微分方程（7.1.13）的解。）的解。（7.1.23）（7.1.24）我們要證函數(shù)組我們要證函數(shù)組（7.1.25）事實(shí)上，由于（事實(shí)上，由于（7.1.24）是方程（）是方程（7.1.

17、23）的解，所以）的解，所以（7.1.25）滿足微分方程（）滿足微分方程（7.1.13）的前）的前n-1個(gè)等式。因此，個(gè)等式。因此，我們只需證明它也滿足微分方程（我們只需證明它也滿足微分方程（7.1.13）的最后一個(gè)等）的最后一個(gè)等式。因?yàn)槭?。因?yàn)?11111111,nnnnndyggguxuxdxxyygggffxyy所以再由（所以再由（7.1.22）可得）可得 1111nnnndyffxyyydx 然后再根據(jù)首次積分然后再根據(jù)首次積分滿足的充要條件滿足的充要條件 11110nnnnfffxyyy得到得到 1,nnndyfx yydx其中其中1,nyy設(shè)微分方程組（設(shè)微分方程組（7.1.13

18、）有）有n個(gè)首次積分個(gè)首次積分 12,1,2,inix y yyCin 如果在某個(gè)區(qū)域如果在某個(gè)區(qū)域G內(nèi)它們的內(nèi)它們的Jacobi行列式行列式 1212,0,nnDD y yy 由式子（由式子（7.1.25）給出。這就證明了所）給出。這就證明了所需要的結(jié)論。需要的結(jié)論。（7.1.26）（7.1.27）則稱它們?cè)趨^(qū)域則稱它們?cè)趨^(qū)域G內(nèi)是相互獨(dú)立的內(nèi)是相互獨(dú)立的。 12,1,2,iinyx C CCin12,nC CC 證明證明 因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋?.1.27）成立，所以由隱函數(shù)定理可以從）成立，所以由隱函數(shù)定理可以從（7.1.26）解出）解出1,nyy110,1,2,iiinninxyy （7.1.2

19、9）（7.1.28）其中其中為為n個(gè)任意常數(shù)（在允許范圍內(nèi)），個(gè)任意常數(shù)（在允許范圍內(nèi)），而且上述通解表示了微分方程（而且上述通解表示了微分方程（7.1.13）在）在G內(nèi)的所有解。內(nèi)的所有解。，令它們的表達(dá)式為（，令它們的表達(dá)式為（7.1.28）因此只要將（因此只要將（7.1.28）代入到（）代入到（7.1.26）就得到相應(yīng)的關(guān)）就得到相應(yīng)的關(guān)于于 的恒等式。然后再對(duì)的恒等式。然后再對(duì) 求導(dǎo)，即得求導(dǎo)，即得其中變?cè)渲凶冊(cè)?,nyy由（由（7.1.28）給出。）給出。定理定理7.1.3 設(shè)已知微分方程（設(shè)已知微分方程（7.1.13）的）的n個(gè)相互獨(dú)立的個(gè)相互獨(dú)立的首次積分（首次積分（7.1.2

20、6），則可由它們得到（），則可由它們得到（7.1.13）在區(qū)域）在區(qū)域G內(nèi)的通解內(nèi)的通解xx另一方面由于首次積分的充要條件，等式另一方面由于首次積分的充要條件，等式 11110,1,2,iiiinnnnfffinxyyy當(dāng)變?cè)?dāng)變?cè)桑ㄓ桑?.1.28）給定時(shí)仍然成立。因此聯(lián)）給定時(shí)仍然成立。因此聯(lián)111()()0,1,2,iinnnffinyy再利用條件（再利用條件（7.1.27），我們得到），我們得到 11,nnff其中變?cè)渲凶冊(cè)?,nyy由（由（7.1.28）給出。這就證明了）給出。這就證明了（7.1.30）立（立（7.1.29）和（）和（7.1.30）推出）推出1,nyy（7.1.2

21、8）是微分方程組（）是微分方程組（7.1.13）的解。）的解。11,iinijjnjyCyC 0,1,.ijijij由此推出由此推出11,nnCC關(guān)于的的Jacobi行列式行列式 11111,0,nnnnDDD CCD yy這就證明了在（這就證明了在（7.1.28）中的）中的n個(gè)任意常數(shù)個(gè)任意常數(shù)1,nCC是相互獨(dú)立的。因此，式（是相互獨(dú)立的。因此，式（7.1.28）是微分方程組（）是微分方程組（7.1.13）的通解。的通解。另外，由（另外，由（7.1.26）對(duì)）對(duì) 求導(dǎo)易知求導(dǎo)易知其中其中jC 我們?nèi)孕枳C明通解（我們?nèi)孕枳C明通解（7.1.28）表示了微分方程（）表示了微分方程（7.1.13）

22、在區(qū)間在區(qū)間G內(nèi)的所有解。內(nèi)的所有解。 為此取微分方程（為此取微分方程（7.1.13）在區(qū)間）在區(qū)間G內(nèi)的任一解內(nèi)的任一解 11,nnyzxyzx令初始條件令初始條件 001100,nnyzxyzx其中其中0001,nxyyG。再令。再令 00001,1,2,iinCxyyin 然后利用隱函數(shù)定理，可以從方程然后利用隱函數(shù)定理，可以從方程 01,1,2,nix yyCin得到微分方程（得到微分方程（7.1.13）的一個(gè)解）的一個(gè)解 00001111,nnnnyx CCyx CC它滿足初始條件它滿足初始條件 001100,.nnyxyx（7.1.31）（7.1.32）（7.1.33）因此，式（因

23、此，式（7.1.32）和（）和（7.1.33）是微分方程組（）是微分方程組（7.1.13）滿足同一初始條件的兩個(gè)解。這樣根據(jù)解的唯一性定理滿足同一初始條件的兩個(gè)解。這樣根據(jù)解的唯一性定理推出推出 00001111,nnnnzx CCzx CC 即解（即解（7.1.31）可以從通解（）可以從通解（7.1.28）得到。）得到。 反之作為定理反之作為定理7.1.3的逆命題，我們?nèi)菀鬃C明下述結(jié)論：的逆命題，我們?nèi)菀鬃C明下述結(jié)論： 設(shè)已知微分方程（設(shè)已知微分方程（7.1.13）的通解，則由它可以得到）的通解，則由它可以得到n個(gè)個(gè) 獨(dú)立的首次積分。獨(dú)立的首次積分。 因此，在局部范圍內(nèi)求微分方程（因此，在局

24、部范圍內(nèi)求微分方程（7.1.13）的解等于求它）的解等于求它 的的n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分。個(gè)相互獨(dú)立的首次積分。關(guān)于首次積分的（局部）存在性，我們有關(guān)于首次積分的（局部）存在性，我們有定理定理7.1.4 設(shè)設(shè)00001,npxyyG0p0,GG0G 1010,nnyxCyxC其中其中10,nx CCP在的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域*G內(nèi)。則由解對(duì)內(nèi)。則由解對(duì)1111,nnnnyx CCyx CC 7.1.3 首次積分的存在性首次積分的存在性則存在則存在的一個(gè)的一個(gè)鄰域鄰域使得微分方程（使得微分方程（7.1.13）在區(qū)域）在區(qū)域內(nèi)有內(nèi)有n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分。個(gè)相互獨(dú)立的首次積分。證明證明 任取初始條件

25、任取初始條件（7.1.34）初值的可微性定理推出，微分方程（初值的可微性定理推出，微分方程（7.1.13）滿足初始）滿足初始條件（條件（7.1.34）的解）的解 （7.1.35）對(duì)對(duì)1( ,)nx CC是連續(xù)可微的，而且是連續(xù)可微的，而且Jacobi行列式行列式 011,1,nnx xDD CC。因此，由（因此，由（7.1.35）可反解出）可反解出1,nCC得到得到 1,1,inix yyCin其中函數(shù)其中函數(shù)1,inx yy在在00PG的某個(gè)鄰域11,0.,nnDD yy這樣一來，我們就得到了微分方程（這樣一來，我們就得到了微分方程（7.1.13）在區(qū)域）在區(qū)域0G內(nèi)的內(nèi)的n個(gè)相互獨(dú)立的首次

26、積分（個(gè)相互獨(dú)立的首次積分（7.1.36）。）。（7.1.36）內(nèi)是連續(xù)內(nèi)是連續(xù)可微的，而且可微的，而且Jacobi行列式行列式定理定理7.1.5 微分方程（微分方程（7.1.13）最多只有）最多只有n個(gè)相互獨(dú)立的首個(gè)相互獨(dú)立的首次積分。次積分。證明證明 設(shè)微分方程（設(shè)微分方程（7.1.13）有）有n+1個(gè)首次積分個(gè)首次積分 1,1,1iniV x yyCin 0G內(nèi)我們有內(nèi)我們有（7.1.37）則由首次積分的充要條件，在某個(gè)區(qū)域則由首次積分的充要條件，在某個(gè)區(qū)域 110,1,1iiinnVVVffinxyy我們可以將我們可以將11,nff看成是代數(shù)聯(lián)立方程組（看成是代數(shù)聯(lián)立方程組（7.1.3

27、8）111,nnD VVD x yy在區(qū)域在區(qū)域0G內(nèi)恒等于內(nèi)恒等于0.這就是說，任何這就是說，任何n+1個(gè)首次積分個(gè)首次積分的一個(gè)非零解。從而（的一個(gè)非零解。從而（7.1.38）的系數(shù)行列式）的系數(shù)行列式 （7.1.37）是函數(shù)相關(guān)的，亦即它們不是相互獨(dú)立的。）是函數(shù)相關(guān)的，亦即它們不是相互獨(dú)立的。（7.1.38）12,nV x y yyC1211212,nnnnV x y yyhx y yyx y yy*,*h 證明證明 因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋?.1.26）中的首次積分是相互獨(dú)立的，所以）中的首次積分是相互獨(dú)立的，所以0G 11,0,nnDJD yy于是可以從函數(shù)組于是可以從函數(shù)組 1,1,2,ii

28、nx yyin 內(nèi)它們的內(nèi)它們的Jacobi行列式行列式其中其中可以用（可以用（7.1.26）來表達(dá)，亦即）來表達(dá)，亦即是某個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)。是某個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)。在區(qū)域在區(qū)域定理定理7.1.6 設(shè)（設(shè)（7.1.26）是微分方程（）是微分方程（7.1.13）在區(qū)域）在區(qū)域G內(nèi)的內(nèi)的n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分，則在區(qū)域個(gè)相互獨(dú)立的首次積分，則在區(qū)域G內(nèi)微分方程內(nèi)微分方程（7.1.13）的任何首次積分）的任何首次積分（7.1.39）反解出函數(shù)組反解出函數(shù)組 1,1,2,iinyyxin然后把它們代入然后把它們代入12,nV x y yy1( ,)nx 11,nnh xV x yy1,nyy現(xiàn)在我們只需

29、證明函數(shù)上述函數(shù)現(xiàn)在我們只需證明函數(shù)上述函數(shù)h與與x無關(guān)。事實(shí)上，對(duì)無關(guān)。事實(shí)上，對(duì)（7.1.41）求導(dǎo)，我們有）求導(dǎo)，我們有 11,nnyyhVVVxxyxyx以及以及 11,1,1, ,ininDyinxJD yxy 因此由（因此由（7.1.42）可以得到）可以得到 11,1.,nnD VhxJ D x yy得到一個(gè)關(guān)于變?cè)玫揭粋€(gè)關(guān)于變?cè)暮瘮?shù)的函數(shù)h,，即，即其中函數(shù)其中函數(shù)V中的變?cè)械淖冊(cè)桑ㄓ桑?.1.40）式給出。）式給出。（7.1.40）（7.1.41）（7.1.42）但是，由于但是，由于1,nV 是微分方程（是微分方程（7.1.13）的）的n+1個(gè)個(gè)1,nx yy的的Jac

30、obi行列式恒等于行列式恒等于0，從而，從而 0.hx這就證明了函數(shù)這就證明了函數(shù)h不依賴于不依賴于x. 因此由（因此由（7.1.41）推出）推出 11,nnV x yyh即（即（7.1.39）式成立。）式成立。為了具體求出首次積分，也為了下一節(jié)的應(yīng)用，人們常為了具體求出首次積分，也為了下一節(jié)的應(yīng)用，人們常把方程組（把方程組（7.1.13）改寫成對(duì)稱的形式）改寫成對(duì)稱的形式 12121nndydydydxfff，首次積分，所以由定理首次積分，所以由定理7.1.5推出它們關(guān)于推出它們關(guān)于這時(shí)自變量和未知函數(shù)的地位是完全平等的。更一般地，這時(shí)自變量和未知函數(shù)的地位是完全平等的。更一般地，人們常把上

31、述對(duì)稱式寫成人們常把上述對(duì)稱式寫成 1211221212,nnnnndydydyYy yyYy yyYy yy12,nnY YYGR在區(qū)域內(nèi)部不同時(shí)為零，例如內(nèi)部不同時(shí)為零，例如0,nY 則（則（7.1.43）等價(jià)于）等價(jià)于 1212,1,2,1,ininnnYy yydyindyYy yyny相當(dāng)于自變量，相當(dāng)于自變量，1,2,1ixin相當(dāng)于未知相當(dāng)于未知并設(shè)并設(shè)如果設(shè)如果設(shè)這里的這里的函數(shù)，所以在方程組（函數(shù)，所以在方程組（7.1.43）中只有）中只有n-1個(gè)未知函數(shù)，個(gè)未知函數(shù)，連同自變量一起，共有連同自變量一起，共有n個(gè)變?cè)?。個(gè)變?cè)２浑y驗(yàn)證，對(duì)于系統(tǒng)（不難驗(yàn)證，對(duì)于系統(tǒng)（7.1.4

32、3），定理），定理7.1.1相應(yīng)地改寫為：相應(yīng)地改寫為：（7.1.43）12,ny yy連續(xù)可微，并且不恒等于常數(shù)，連續(xù)可微，并且不恒等于常數(shù)，12,ny yyC1121212121,0nnnnnnYy yyy yyYy yyy yyyy在在G內(nèi)成為恒等式。如果能得到（內(nèi)成為恒等式。如果能得到（7.1.43）的）的n-1個(gè)獨(dú)立的個(gè)獨(dú)立的首次積分，則將它們聯(lián)立，就得到（首次積分，則將它們聯(lián)立，就得到（7.1.43）的通積分。）的通積分。 方程寫成對(duì)稱的形式后，可以利用比例的性質(zhì)，給求首方程寫成對(duì)稱的形式后，可以利用比例的性質(zhì)，給求首次積分帶來方便。次積分帶來方便。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)則則是（是（7.1.

33、43）的首次積分的）的首次積分的充分必要條件是關(guān)系式充分必要條件是關(guān)系式dxdydzyxz221xyC1C是任意常數(shù)，再用比例的性質(zhì)，得是任意常數(shù)，再用比例的性質(zhì)，得例例7.1.3 求求的通積分。的通積分。解解 將前兩個(gè)式子分離變量并積分，得到方程組的一個(gè)首將前兩個(gè)式子分離變量并積分，得到方程組的一個(gè)首次積分次積分 其中其中 d xydzxyz兩邊積分，又得到一個(gè)首次積分兩邊積分，又得到一個(gè)首次積分 2xyCz其中其中2C是任意常數(shù)。（是任意常數(shù)。（7.1.46）和（）和（7.1.47）是相互獨(dú)立）是相互獨(dú)立2212,.xyCxyC zdxdydzcybzazcxbxay .00dxdydzx

34、dxydyzdzadxbdycdzcybzazcxbxay 的，將它們聯(lián)立，便得到原方程組的通的，將它們聯(lián)立，便得到原方程組的通積分 例例7.1.4 求求的通積分。的通積分。解解 利用比例的性質(zhì)，可以得到利用比例的性質(zhì)，可以得到于是有于是有 0,0.xdxydyzdzadxbdycdz 分別積分，就得到兩個(gè)首次積分分別積分，就得到兩個(gè)首次積分 22212,.xyzCaxbyczC將它們聯(lián)立，就得到原系統(tǒng)的通積分，其中將它們聯(lián)立，就得到原系統(tǒng)的通積分，其中12CC和為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。從第從第3章和第章和第5.1節(jié)我們知道，尋找積分因子和首次積節(jié)我們知道，尋找積分因子和首次積分的問題等價(jià)于求

35、解一階線性偏微分方程。本節(jié)將進(jìn)一分的問題等價(jià)于求解一階線性偏微分方程。本節(jié)將進(jìn)一步證明，一類更廣泛的一階擬線性偏微分方程可以通過步證明，一類更廣泛的一階擬線性偏微分方程可以通過相應(yīng)的特征方程（常微分方程組）的首次積分得解。下相應(yīng)的特征方程（常微分方程組）的首次積分得解。下面我們將看到，與上述積分因子和首次積分有關(guān)的偏微面我們將看到，與上述積分因子和首次積分有關(guān)的偏微分方程問題仍需回到常微分方程范圍內(nèi)得到解決；事實(shí)分方程問題仍需回到常微分方程范圍內(nèi)得到解決；事實(shí)上，一階偏微分方程的各種解法都離不開常微分方程的上，一階偏微分方程的各種解法都離不開常微分方程的首次積分。首次積分。7.2 一階線性偏微

36、分方程一階線性偏微分方程一階線性偏微分方程的一般形式為一階線性偏微分方程的一般形式為0,2122121211nnnnnxuxxxAxuxxxAxuxxxA0,121ininixuxxxAu為為nxxx,21的未知函數(shù)的未知函數(shù)2n 。假定系數(shù)。假定系數(shù)12,nA AA1,nxxD對(duì)是連續(xù)可微的，而且是連續(xù)可微的，而且121,0niniA x xx7.2.1一階齊次線性偏微分方程一階齊次線性偏微分方程或簡記為或簡記為（7.2.1）其中其中函數(shù)函數(shù)它們不同時(shí)為零，即在區(qū)域它們不同時(shí)為零，即在區(qū)域D上有上有 考慮一個(gè)與考慮一個(gè)與偏微分方程組（偏微分方程組（7.2.1）相對(duì)應(yīng)的）相對(duì)應(yīng)的對(duì)稱形式的對(duì)稱

37、形式的常微分方程組常微分方程組 nnnnnxxxAdxxxxAdxxxxAdx,2121222111（7.2.3）（7.2.2）叫做（）叫做（7.2.1）的特征方程，它是一個(gè)（）的特征方程，它是一個(gè)（n-1）階常微分方程組，所以它有階常微分方程組，所以它有n-1個(gè)首次積分個(gè)首次積分 12,1,2,1inix xxCin下面通過求（下面通過求（7.2.2）的首次積分來求（）的首次積分來求（7.2.1）的解。）的解。定理定理7.2.1 假設(shè)已經(jīng)得到特征方程組假設(shè)已經(jīng)得到特征方程組(7.2.2)的的1n個(gè)首次積分個(gè)首次積分(7.2.3) 則一階偏微分方程則一階偏微分方程(7.2.1)的通解為的通解為

38、12112212112,nnnnnu x xxx xxx xxx xx 其中其中為一任意為一任意1n元連續(xù)可微函數(shù)。元連續(xù)可微函數(shù)。(7.2.5)證明證明 設(shè)設(shè) 12,nx xxC12,nA AA不同時(shí)為零，所以在不同時(shí)為零，所以在12,0nnAx xx 是方程（是方程（7.2.2）的一個(gè)首次）的一個(gè)首次積分。因?yàn)楹瘮?shù)積分。因?yàn)楹瘮?shù)局部鄰域內(nèi)不妨設(shè)局部鄰域內(nèi)不妨設(shè)這樣特征方程（這樣特征方程（7.2.3）等價(jià)于下面標(biāo)準(zhǔn)形式的微分方程組）等價(jià)于下面標(biāo)準(zhǔn)形式的微分方程組 11111111,.,nnnnnnnnnnA xxdxdxAxxAxxdxdxAxx110niinniAxAx亦即恒有亦即恒有 1

39、1,0niniiA xxx這就證明了（非常數(shù)）函數(shù)這就證明了（非常數(shù)）函數(shù)12,nx xx為方程為方程因此因此 也是（也是（7.2.7）的一個(gè)首次積分）的一個(gè)首次積分從而有恒等式從而有恒等式（7.2.7）12,nx xxC（7.2.8）（7.2.2）的一個(gè)首次積分的充要條件為恒等式（）的一個(gè)首次積分的充要條件為恒等式（7.2.8）成立。成立。 換言之，換言之，12,nx xx為方程（為方程（7.2.3）的一個(gè)首次積分）的一個(gè)首次積分12,nux xx為偏微分方程（為偏微分方程（7.2.1）的充要條件是的充要條件是的一個(gè)（非常數(shù)）解。的一個(gè)（非常數(shù)）解。因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋?.2.4）是微分方程（）是微

40、分方程（7.2.3）的）的n-1個(gè)獨(dú)立的首次積個(gè)獨(dú)立的首次積分，所以根據(jù)首次積分的理論得知，對(duì)于任意連續(xù)可微分，所以根據(jù)首次積分的理論得知，對(duì)于任意連續(xù)可微的（非常數(shù)）的（非常數(shù)）n-1元函數(shù)元函數(shù)112112,nnnx xxx xxC就是（就是（7.2.3）的一個(gè)首次積分。因此，相應(yīng)的函數(shù)）的一個(gè)首次積分。因此，相應(yīng)的函數(shù)（7.2.5）是偏微分方程（）是偏微分方程（7.2.1）的一個(gè)解。）的一個(gè)解。反之，設(shè)反之，設(shè)12,nuu x xx是偏微分方程（是偏微分方程（7.2.1）的一個(gè)）的一個(gè)12,nu x xxC是特征方程（是特征方程（7.2.3）11,n，使恒等式，使恒等式（非常數(shù)）解，則（

41、非常數(shù)）解，則的一個(gè)首次積分，因此，根據(jù)首次積分的理論得知，的一個(gè)首次積分，因此，根據(jù)首次積分的理論得知，存在連續(xù)可微函數(shù)存在連續(xù)可微函數(shù)12112112,nnnnu x xxx xxx xx 成立，即偏微分方程（成立，即偏微分方程（7.2.1）的任何非常數(shù)解可以表示）的任何非常數(shù)解可以表示成（成（7.2.5）的形式。）的形式。例例7.2.1 求解偏微分方程求解偏微分方程 2200zzxyxyxyxy解解 原偏微分方程原偏微分方程(7.2.9)的特征方程為的特征方程為 yxdyyxdx它是一階常微分方程組，求得其一個(gè)首次積分為它是一階常微分方程組，求得其一個(gè)首次積分為另外，如果允許另外，如果允

42、許是常數(shù)，則（是常數(shù)，則（7.2.5）顯然包括了）顯然包括了方程（方程（7.2.1）的常數(shù)解。）的常數(shù)解。因此，公式因此，公式(7.2.5)表達(dá)了偏表達(dá)了偏微分方程組（微分方程組（7.2.1）的所有解，也就是它的通解。）的所有解，也就是它的通解。Ceyxxyarctan22xyeyxyxzarctan22,其中其中例例7.2.2 求解邊值問題求解邊值問題 0,0,0,01,.fffxyzxyzxyzzfxy由定理由定理4.2.1知，原偏微分方程的通解為知，原偏微分方程的通解為為任意可微的函數(shù)。為任意可微的函數(shù)。解解 寫出偏微分方程的特征方程為寫出偏微分方程的特征方程為 zdzydyxdx,1,

43、dxdyxyCxy得再由再由 2,2lndydzyzCzy得zyyxzyxfln2 ,其中其中為任意二元可微的函數(shù)，可由邊值條件確定為任意二元可微的函數(shù)，可由邊值條件確定, , ,1,2ln1,2f x yxyyxyyxy令令,2xyy則有則有2x4,222yx22,24 由由故方程的通解為故方程的通解為因?yàn)橐驗(yàn)橛谑怯谑且虼艘虼舜氲酵ń獾谋磉_(dá)式中，得到滿足邊值問題的特解代入到通解的表達(dá)式中，得到滿足邊值問題的特解 22222ln2ln, ,2ln422ln2ln16yzyzf x y zxyyzxyyzxz112212121212,(6.2.12 )nnnnnnuuuA x xx uAx x

44、x uAx xx uxxxB x xx u7.2.2一階擬線性偏微分方程一階擬線性偏微分方程一階擬線性偏微分方程的一般形式是一階擬線性偏微分方程的一般形式是其中函數(shù)其中函數(shù)11,nnAABxx uG和 關(guān)于變?cè)^所謂“擬線性擬線性”是指方程關(guān)于未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都是是指方程關(guān)于未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都是一次的一次的連續(xù)可微連續(xù)可微 12,1,2,inA x xx uinu而而“非齊次非齊次”是指存在不含未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)是指存在不含未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)12,.nB x xx u方程（方程（7.2.12）與一階非齊次線性偏微分方程）與一階非齊次線性偏微分方程 120121121,ninnniiuA x xxBx

45、 xxBx xxuxCuxxxVn,21是（是（7.2.12）的隱函數(shù)）的隱函數(shù)0uV，則根據(jù)隱函數(shù)微分法得，則根據(jù)隱函數(shù)微分法得 各個(gè)系數(shù)各個(gè)系數(shù)中可能含有中可能含有未知函數(shù)未知函數(shù)的自由項(xiàng)的自由項(xiàng)（7.2.13）比較，顯然式擬線性方程（比較，顯然式擬線性方程（7.2.12）比線性方（）比線性方（7.2.12）更廣泛。更廣泛。下面我們將求解（下面我們將求解（7.2.12）的問題化成求解線性齊次方程）的問題化成求解線性齊次方程的問題，設(shè)的問題，設(shè)形式的解，且形式的解，且 1,2,iiVxuinVxu ， 112212121212,0.nnnnnnVVA x xx uAx xx uxxVVAx xx uB x xx uxuV視為關(guān)于視為關(guān)于uxxxn,21的函數(shù)，的函數(shù)，uxxxVn,21的一的一uxxxVn,21應(yīng)是方程（應(yīng)是方程（7.2.15）的解。）的解。（7.2.14）將（將（7.2.14）代入（）代入（7.2.12）中，經(jīng)過整理得）中，經(jīng)過整理得（7.2.15）由此，可以將由此，可以將（7.2.15）變成了關(guān)于未知函數(shù)）變成了關(guān)于未知函數(shù)階線性齊次偏微分方程。于是函數(shù)階線性齊次偏微分方程。于是函數(shù)反過來，假設(shè)函數(shù)反過來，假設(shè)函數(shù)uxxxVn,2