《穩(wěn)定性分析》ppt課件

1、h(t)t時間時間tr上上 升升峰值時間峰值時間tpAB超調(diào)量超調(diào)量% =AB100%動態(tài)性能目的定義動態(tài)性能目的定義1h(t)t調(diào)理時間調(diào)理時間tsh(t)t時間時間tr上上 升升峰值時間峰值時間tpAB超調(diào)量超調(diào)量% =AB100%調(diào)理時間調(diào)理時間ts欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析與計算欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析與計算d= n1-2(s)=s2+2ns+n2n2S1,2=-nj1-2 nh(t)= 11-21e-ntsin( dt+)n-nj00 1時：時： - d得得 tr=令令h(t)=1取其解中的最小值，取其解中的最小值，令令h(t)一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)=0，取其解中的最小值，取其解中的最小

2、值，得得 tp= d由由%=h()h(tp) h()100%0 0.8由包絡(luò)線求調(diào)理時間由包絡(luò)線求調(diào)理時間eh(t)= 11-21-ntsin(t+d)得得 % =e- 100%21 100%etg/ 典型例題 例3-1 系統(tǒng)構(gòu)造圖如以下圖所示,假設(shè)要求具有性能目的%=20%, tp=1s, 試確定系統(tǒng)的參數(shù)k和,并計算單位階躍呼應(yīng)的特征量td, tr和ts. 例3-2 設(shè)單位反響的二階系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)曲線如以下圖所示，試確定其傳送函數(shù)，并計算tr和ts. 例例3-3 知圖知圖(a)系統(tǒng)的階躍呼應(yīng)曲線如圖系統(tǒng)的階躍呼應(yīng)曲線如圖(b)所示，所示，試求系統(tǒng)參數(shù)試求系統(tǒng)參數(shù)k1, k2和和. 例例

3、3-4 知系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)為知系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)為 c(t)=1+e-t-2e-2t, (t0) 試求系統(tǒng)的傳函，并確定系統(tǒng)的阻尼比試求系統(tǒng)的傳函，并確定系統(tǒng)的阻尼比，自然，自然振蕩頻率振蕩頻率wn，且在零初始條件下，求系統(tǒng)的單，且在零初始條件下，求系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)的超調(diào)量位階躍呼應(yīng)的超調(diào)量%和調(diào)理時間和調(diào)理時間ts . (取取=5%)0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0從從0到到1變化時的單位階躍呼應(yīng)曲線變化時的單位階躍呼應(yīng)曲線如以下圖：如以下圖： =00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.03.

4、4 高階系統(tǒng)的暫態(tài)呼應(yīng) 用部分分式展開得 單位階躍呼應(yīng)為 02211( )2qrjkkcjkjknknkAAB sCXssspss 2011221( )cos 1sin 11jknkknkqrp ttcjkknkjkrtkknkkknkkknkx tAA eB etCBet 3.4 高階系統(tǒng)的暫態(tài)呼應(yīng) 結(jié)論1高階系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)由兩部分組成: 穩(wěn)態(tài)分量 ,與時間t無關(guān)，余下的部分為動態(tài)分量，與時間t有關(guān)。2假設(shè)極點在左半S平面，那么對應(yīng)的呼應(yīng)分量是收斂的。3系統(tǒng)閉環(huán)極點的實部越小，即在S平面左側(cè)離虛軸越近，那么相應(yīng)的分量衰減越慢，對暫態(tài)影響越大。反之，系統(tǒng)閉環(huán)極點的實部越大4高階系統(tǒng)暫態(tài)呼應(yīng)

5、各分量的系數(shù)不僅和極點在S平面中的位置有關(guān)，并且與零點的位置有關(guān)。3.4 高階系統(tǒng)的暫態(tài)呼應(yīng) 假設(shè)某極點-pj接近一個閉環(huán)零點，遠(yuǎn)離原點及其它極點，那么相應(yīng)項的系數(shù)Aj比較小，該暫態(tài)分量的影響也就越小。假設(shè)極點和零點靠得很近稱為偶極子，那么該極點對暫態(tài)呼應(yīng)幾乎沒有影響。假設(shè)某極點-pj遠(yuǎn)離閉環(huán)零點，但與原點相距較近，那么相應(yīng)的系數(shù)Aj將比較大。因此離原點很近并且附近沒有閉環(huán)零點的極點，其暫態(tài)分量項不僅幅值大，而且衰減慢，對系統(tǒng)暫態(tài)呼應(yīng)的影響很大。3.4 高階系統(tǒng)的暫態(tài)呼應(yīng) 3主導(dǎo)極點: (i)假設(shè)高階系統(tǒng)中間隔虛軸最近的極點，其實部小于其它極點的實部的1/5; (ii)附近不存在零點，可以以為

6、系統(tǒng)的暫態(tài)呼應(yīng)主要由這一極點決議。 現(xiàn)實上取1/8或1/10. 假設(shè)找到一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點，那么，高階系統(tǒng)就可以近似地當(dāng)作二階系統(tǒng)來分析，并可以用二階系統(tǒng)的暫態(tài)性能目的來估計系統(tǒng)的暫態(tài)特性。 在設(shè)計一個高階控制系統(tǒng)時，我們經(jīng)常利用主導(dǎo)極點這一概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點，這樣就可以近似地用一階或二階系統(tǒng)的目的來設(shè)計系統(tǒng)。3.3.5 高階系統(tǒng)的時域分析高階系統(tǒng)的時域分析-0.75-5 p2 p3 p1 j j1.2-j1.20(a)閉環(huán)極點分布圖閉環(huán)極點分布圖 (b)單位階躍呼應(yīng)曲線單位階躍呼應(yīng)曲線 c(t) t特點：特點：1) 高階系統(tǒng)時間呼應(yīng)由簡單函數(shù)組成。高階系統(tǒng)時間

7、呼應(yīng)由簡單函數(shù)組成。 2) 假設(shè)閉環(huán)極點都具有負(fù)實部，高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。假設(shè)閉環(huán)極點都具有負(fù)實部，高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 3) 時間呼應(yīng)的類型取決于閉環(huán)極點的性質(zhì)和大小，外形與閉環(huán)時間呼應(yīng)的類型取決于閉環(huán)極點的性質(zhì)和大小，外形與閉環(huán)零點有關(guān)。零點有關(guān)。 分析方法：分析方法：1) 可由系統(tǒng)主導(dǎo)極點估算高階系統(tǒng)性能?？捎上到y(tǒng)主導(dǎo)極點估算高階系統(tǒng)性能。 2) 忽略偶極子的影響。忽略偶極子的影響。 221010( )(5)(1.52)5(1)(1.52)5sssssss例 如 ：222( )1.52(0.751.2)(07.51.2)ssssjsj 設(shè)初始條件為零時，作用一理想脈沖信號到一線性系統(tǒng)，設(shè)初始

8、條件為零時，作用一理想脈沖信號到一線性系統(tǒng)，這相當(dāng)于給系統(tǒng)加了一擾動信號。假設(shè)這相當(dāng)于給系統(tǒng)加了一擾動信號。假設(shè) ，那么系統(tǒng)穩(wěn)，那么系統(tǒng)穩(wěn)定。定。0)(lim tgt j 0穩(wěn)定區(qū)域穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域S平面平面判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的根本方法：判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的根本方法： (1) 勞斯勞斯古爾維茨判據(jù)古爾維茨判據(jù) (2) 根軌跡法根軌跡法 (3) 奈奎斯特判據(jù)奈奎斯特判據(jù) (4) 李雅普諾夫第二方法李雅普諾夫第二方法 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的一切根線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的一切根都具有負(fù)實部都具有負(fù)實部.3.4.1 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

9、概念 系統(tǒng)任務(wù)在平衡形狀系統(tǒng)任務(wù)在平衡形狀,遭到擾動偏離了平衡形狀，擾動消逝遭到擾動偏離了平衡形狀，擾動消逝之后，系統(tǒng)又恢復(fù)到平衡形狀，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定性只由之后，系統(tǒng)又恢復(fù)到平衡形狀，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定性只由構(gòu)造、參數(shù)決議，與初始條件及外作用無關(guān)。構(gòu)造、參數(shù)決議，與初始條件及外作用無關(guān)。勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 系統(tǒng)的特征方程式的規(guī)范方式：系統(tǒng)的特征方程式的規(guī)范方式：勞斯表勞斯表(Routh Array)(Routh Array)1011000nnnna sa sasaa，02461135721234312342121101nnnnsaaaasaaaasbbbbsccccseesfsg 勞斯判

10、據(jù)采用表格方式，即勞斯表：勞斯判據(jù)采用表格方式，即勞斯表： 當(dāng)勞斯表中第一列的一切數(shù)都大于零時，系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，當(dāng)勞斯表中第一列的一切數(shù)都大于零時，系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，假設(shè)第一列出現(xiàn)小于零的數(shù)時，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。第一列各系數(shù)符假設(shè)第一列出現(xiàn)小于零的數(shù)時，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。第一列各系數(shù)符號的改動次數(shù)，代表系統(tǒng)不穩(wěn)定根的數(shù)目，也就是系統(tǒng)正實部根號的改動次數(shù)，代表系統(tǒng)不穩(wěn)定根的數(shù)目，也就是系統(tǒng)正實部根的個數(shù)。的個數(shù)。 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)024113521203113231nnns a a a sa a a a aa aascca4051607331131331 231351 331371 43142434131

11、3130 nnaa aa aa ac aac aa cc aa cc aa csccc cccsa勞斯判據(jù)：勞斯判據(jù)： 系統(tǒng)特征方程的全部根都在系統(tǒng)特征方程的全部根都在S左半平面左半平面的充分必要條件是勞斯表的第的充分必要條件是勞斯表的第1列系數(shù)全部列系數(shù)全部是正數(shù)。是正數(shù)。 方程在方程在S右半平面根的個數(shù)等于勞斯表中右半平面根的個數(shù)等于勞斯表中第第1列各元改動符號的次數(shù)。列各元改動符號的次數(shù)。判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 例例3.4 設(shè)系統(tǒng)特征方程為設(shè)系統(tǒng)特征方程為s4+2s3+3s2+4s+5=0; 試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)4s3s2s151234501s0s56 0留意兩種特

12、殊情況的處置：留意兩種特殊情況的處置： 1某行的第一列項為某行的第一列項為0，而其他各項不為，而其他各項不為0或不全為或不全為0。用。用很小的正數(shù)很小的正數(shù)替代零元素，然后對新特征方程運用勞斯判據(jù)。替代零元素，然后對新特征方程運用勞斯判據(jù)。 2當(dāng)勞斯表中出現(xiàn)全零行時，用上一行的系數(shù)構(gòu)成一個當(dāng)勞斯表中出現(xiàn)全零行時，用上一行的系數(shù)構(gòu)成一個輔助方程，對輔助方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)替代全零行。輔助方程，對輔助方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)替代全零行。 解：列出勞斯表解：列出勞斯表第一列數(shù)據(jù)不同號，第一列數(shù)據(jù)不同號，系統(tǒng)不穩(wěn)定性。系統(tǒng)不穩(wěn)定性。 設(shè)系統(tǒng)特征方程為：設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s6+2s5+3s4+4

13、s3+5s2+6s+7=0勞勞 斯斯 表表s6 s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1= -8-8 41 2特殊情況特殊情況1勞斯表引見勞斯表引見勞斯表特點勞斯表特點4 每兩行個數(shù)相等每兩行個數(shù)相等1 右移一位降兩階右移一位降兩階2 行列式第一列不動行列式第一列不動3 次對角線減主對角線次對角線減主對角線5 分母總是上一行第一個元素分母總是上一行第一個元素7 第一列出現(xiàn)零元素時，第一列出現(xiàn)零元素時，用正無窮小量用正無窮小量替代。替代。6 一行可同乘以或同除以某正數(shù)一行可同乘以或同除以某正數(shù)2+87-8(2 +8) -7

14、271 2 7 -8假設(shè)上面一行的第一列和下面一行的第一列符號假設(shè)上面一行的第一列和下面一行的第一列符號一樣，這闡明有一對純虛根存在。一樣，這闡明有一對純虛根存在。例例3-6 3-6 系統(tǒng)的特征方程如下系統(tǒng)的特征方程如下, ,試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表解：列勞斯表第第1 1列各元中的上面和下面的系數(shù)符號列各元中的上面和下面的系數(shù)符號不變，故有一對純虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定，不變，故有一對純虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定，臨界穩(wěn)定形狀。臨界穩(wěn)定形狀。將特征方程式分解，有將特征方程式分解，有解得根為解得根為 32220sss321011222ssss2(1)20ss2,13

15、2, 1pjp勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:有正有負(fù)一定不穩(wěn)定有正有負(fù)一定不穩(wěn)定!缺項一定不穩(wěn)定缺項一定不穩(wěn)定!系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件:勞斯表第一列元素不變號勞斯表第一列元素不變號!假設(shè)變號系統(tǒng)不穩(wěn)假設(shè)變號系統(tǒng)不穩(wěn)定定!變號的次數(shù)為特征根在變號的次數(shù)為特征根在S右半平面的個數(shù)右半平面的個數(shù)!特征方程各項系數(shù)特征方程各項系數(shù)均大于零均大于零!-s2-5s-6=0穩(wěn)定嗎？穩(wěn)定嗎？特殊情況特殊情況2勞斯表出現(xiàn)零行勞斯表出現(xiàn)零行設(shè)系統(tǒng)特征方程為：設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞勞 斯斯 表表s0s1s2s3s451756116601 勞斯表何

16、時會出現(xiàn)零行勞斯表何時會出現(xiàn)零行?2 出現(xiàn)零行怎樣辦出現(xiàn)零行怎樣辦?3 如何求對稱的根如何求對稱的根? 由零行的上一行構(gòu)成由零行的上一行構(gòu)成輔助方程輔助方程:s2+1=0對其求導(dǎo)得零行系數(shù)對其求導(dǎo)得零行系數(shù): 2s1211繼續(xù)計算勞斯表繼續(xù)計算勞斯表1第一列全大于零第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯啦錯啦!由綜合除法可得另兩由綜合除法可得另兩個根為個根為s3,4= -2,-3解輔助方程得對稱根解輔助方程得對稱根: s1,2=j 出現(xiàn)了全零行出現(xiàn)了全零行 輔助方程的解就是原特征方程的部分特 征根,這部分特征根對稱于原點.判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例例3.5 設(shè)系統(tǒng)特征方程為設(shè)系

17、統(tǒng)特征方程為s4+2s3+s2+2s+2=0；試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)；試用勞斯穩(wěn)定判據(jù) 例例3.6 設(shè)系統(tǒng)特征方程為設(shè)系統(tǒng)特征方程為s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；試用；試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表解：列出勞斯表 s4 1 1 2 s3 2 2 0 s2 (取代取代0) 2 s1 2-4/ s0 2 可見第一列元素的符號改動兩次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的且在可見第一列元素的符號改動兩次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的且在S右半平面上有兩個極點?；蛱卣鞣匠逃袃蓚€正實部根右半平面上有兩個極點?；蛱卣鞣匠逃袃蓚€正實部根解：列出勞斯表解：列出勞斯表 s6 1

18、 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 輔助多項式輔助多項式A(s)的系數(shù)的系數(shù) s3 0 0 0 A(s) =2s4+8s2+4 dA(s)/ds=8s3+16s ,586. 022y848.1414.3766.0586.04 .32 .1jjsjjs 第一列元素全為正，沒有變號，所以在第一列元素全為正，沒有變號，所以在S右半平面沒有極點右半平面沒有極點 出現(xiàn)全零行，存在有共軛純虛根出現(xiàn)全零行，存在有共軛純虛根 綜合可見，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定形狀屬于不穩(wěn)定的范疇。綜合可見，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定形狀屬于不穩(wěn)定的范疇。 解輔助方程可得共軛純虛根：令解輔助方程可得共軛純虛根：令s2=y， A(s) =2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0以導(dǎo)數(shù)的系數(shù)取代全零行的各元素，繼續(xù)列寫勞斯表：以導(dǎo)數(shù)的系數(shù)取代全零行的各元素，繼續(xù)列寫勞斯表： s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 s3 8 1