材料力學內(nèi)部習習題集及問題詳解

1、第二章 軸向拉伸和壓縮2-1 一圓截面直桿，其直徑d20mm, 長L=40m，材料的彈性模量E=200GPa，容重80kN/m3, 桿的上端固定，下端作用有拉力F =4KN，試求此桿的：最大正應力；最大線應變；最大切應力；下端處橫截面的位移。解：首先作直桿的軸力圖最大的軸向拉力為故最大正應力為：最大線應變?yōu)? 當（為桿內(nèi)斜截面與橫截面的夾角）為時，取A點為軸起點，故下端處橫截面的位移為：2-2 試求垂直懸掛且僅受自重作用的等截面直桿的總伸長L。已知桿橫截面面積為A，長度為L,材料的容重為。解：距離為x處的軸力為 所以總伸長 2-3 圖示結(jié)構(gòu)，已知兩桿的橫截面面積均為A=200mm2,材料的彈性

2、模量E=200GPa。在結(jié)點A處受荷載F作用，今通過試驗測得兩桿的縱向線應變分別為14×104，22×104，試確定荷載P及其方位角的大小。解: 由胡克定律得 相應桿上的軸力為 取A節(jié)點為研究對象，由力的平衡方程得 解上述方程組得 2-4 圖示桿受軸向荷載F1、F2作用，且F1F2F，已知桿的橫截面面積為A，材料的應力應變關系為cn，其中c、n為由試驗測定的常數(shù)。(1) 試計算桿的總伸長；(2) 如果用疊加法計算上述伸長，則所得的結(jié)果如何(3) 當n1時，上述兩解答是否相同由此可得什么結(jié)論解：（）軸力圖如圖（a）所示。根據(jù)：則（）采用疊加法。單獨作用F1時，軸力圖如圖（b）

3、所示。單獨作用F2時，軸力圖如圖（c）所示。則（）當n=1時，上述兩解答相同。結(jié)論：只有當與成線性關系時，疊加法才適用于求伸長。2-5 試求圖示構(gòu)架點C的鉛垂位移和水平位移，已知兩根桿的抗拉剛度均為EA。解： 取C點分析受力情況，如圖（b）所示，得因此只有CD桿有伸長 變形幾何圖如圖（c）所示 ，得 。2-6 剛性梁ABCD在B、D兩點用鋼絲繩懸掛，鋼絲繩繞過定滑輪G、H。已知鋼絲的E210GPa，繩橫截面面積A100mm2，荷載F20KN，試求C點的鉛垂位移（不計繩與滑輪間的摩擦）。解：首先要求繩的內(nèi)力。剛性梁的受力分析如圖，由平衡方程： 解得： 繩的原長 繩的伸長量為 在作用下結(jié)構(gòu)變形如圖

4、， 可得： 再由三角幾何關系得： 由、式聯(lián)立可得：又因為：所以，2-7 圖示結(jié)構(gòu)中AB桿為剛性桿，桿AC為鋼質(zhì)圓截面桿，直徑d1=20mm，E1=200GPa；桿BD為銅質(zhì)圓截面桿，直徑d225mm，E2=100GPa，試求：(1) 外力F作用在何處(x)時AB梁保持水平(2) 如此時F30kN，則兩拉桿橫截面上的正應力各為多少解：(1). 容易求得AC桿、BD桿的軸力分別為從而AC桿、BD桿的伸長量若要AB梁保持水平，則兩桿伸長量應相等，即.于是, (2).當時，兩拉桿橫截面上的正應力分別為2-8 圖示五根桿的鉸接結(jié)構(gòu)，沿其對角線AC方向作用兩力F20 kN，各桿彈性模量E=200GPa，橫

5、截面面積A500mm2，L1m，試求：(1) AC之間的相對位移AC，(2) 若將兩力F改至BD點，則BD點之間的相對位移BD又如何解：(1)取節(jié)點為研究對象，受力分析如圖(b)由平衡方程： ,得同理，可得：節(jié)點受力分析如圖(c)，,四桿材料相同，受力大小相同，所以四個桿的應 變能相同，可求得整個桿件應變能為：力作的功為： 由彈性體的功能原理得： 當兩力移至兩點時，可知，只有桿受力，軸力為所以 從而 2-9 圖示結(jié)構(gòu)，已知三根桿AF、CD、CE的橫截面面積均為A=200mm2, E=200GPa,試求每根桿橫截面上的應力及荷載作用點B的豎向位移。解：取AB為研究對象，選取如圖所示坐標軸，故，即

6、,即,于是得 ， ，即，于是 ，解得：，所有構(gòu)件的應變能為由功能原理得，作的功在數(shù)值上等于該結(jié)構(gòu)的應變能即：所以 .2-10 圖示結(jié)構(gòu)，已知四根桿AC、CB、AD、BD的長度均為a,抗拉剛度均為EA,試求各桿軸力，并求下端B點的位移。解：(1)以B結(jié)點為研究對象，受力圖如圖（a）所示由 得得以剛性桿為研究對象，受力圖如圖（b）所示由 得由 得(2)由于1，2桿的伸長變形，引起CD剛性桿以及B結(jié)點的下降（如圖（c）由于3，4桿的伸長引起B(yǎng)點的繼續(xù)下降（如圖（d）則2-11 重G=500N,邊長為a=400mm的箱子，用麻繩套在箱子外面起吊如圖所示。已知此麻繩在290N的拉力作用下將被拉斷。(1)

7、 如麻繩長為時，試問此時繩是否會拉斷(2) 如改變角使麻繩不斷，則麻繩的長度至少應為多少解：(1)取整體作為研究對象,經(jīng)分析得本受力體系為對稱體系. 由于箱子重G=500N,由豎直方向的受力平衡可知,每根繩子豎直方向受力為F=250N. 即 而則于是,此時繩子不會被拉斷.(2)繩子被拉斷時其中則解得:答：(1)N=417N (2)L=2-12 圖示結(jié)構(gòu)，BC為剛性桿, 長度為L, 桿1、2的橫截面面積均為A，其容許應力分別為1和2，且1=22，荷載可沿梁BC移動, 其移動范圍0xL, 試從強度方面考慮，當x取何值時，F(xiàn)的容許值最大，F(xiàn)max等于多少解：分析題意可知，由于1、2兩桿橫截面積均為A

8、，而1桿的容許應力為2桿的二倍，則由公式可知，破壞時2桿的軸力也為1桿的二倍。本題要求F的容許值最大，即當力F作用在距離B點的位置上時，1、2兩桿均達到破壞所需的軸力，即此時，對力的作用點求矩得：解得：此時，由豎直方向的受力平衡得：2-13 圖示結(jié)構(gòu)，AC為剛性桿, BD為斜撐桿, 荷載F可沿桿AC移動,試問：為使BD桿的重量最輕, BD桿與AC桿之間的夾角應取何值解：如圖所示，取整體為研究對象，對A點取鉅，由得：而則要想使重量最輕，應該使sin2最大，即2=90º 解得：=45º 2-14 鉸接桁架承受水平力F=150kN,桁架所有桿件的許用應力=125Mpa,試求AB桿

9、和CD桿所需的橫截面面積。解：由零桿的判別條件知，圖中BC桿為零桿。取整體為研究對象，對A點取鉅，由得： 解得： 取D節(jié)點為研究對象，由平衡方程得：則可以解得：同理，對于B節(jié)點，也有平衡方程：則可以解得：于是，由許用應力定義得：2-15 圓截面鋼桿如圖所示，已知材料的E=200GPa，若桿內(nèi)應變能U=4N·m,試求此桿橫截面上的最大正應力。解：各截面壓力相同為應變能 代入數(shù)據(jù) 可得kNMPa 2-16 圖示桿件的抗拉（壓）剛度為EA，試求此桿的應變能。解：如圖所示，為桿件的軸力圖，則桿件的應變能計算應該分為兩部分。其中： 則：第三章 扭 轉(zhuǎn)3-1 直徑d =400mm的實心圓截面桿扭

10、轉(zhuǎn)時，其橫截面上最大切應力max=100Mpa，試求圖示陰影區(qū)域內(nèi)所承擔的部分扭矩。解：法1 距圓心處切應力為 陰影部分扭矩k法2:距離圓心處切應力為 kN3-2 將空心管B和實心桿A牢固地粘結(jié)在一起而組成一實心圓桿，如圖所示。管B和桿A材料的剪切彈性模量分別為GB和GA。試分別求出該組合桿承受扭矩MT時，實心桿與空心管中的最大切應力表達式。答：實心桿：，空心管：解：設實心桿受扭矩，空心管受扭矩，且兩桿的最大切應力出現(xiàn)在外邊緣處，由已知得 +=；對兩桿接觸截面的相對轉(zhuǎn)角相同，即=；且=，=；所以=，=；則實心桿：=，空心管：=3-3 圖示受扭軸，AB段因安裝手輪，截面為正方形，試從強度方面考慮

11、，軸的容許扭矩因此降低了多少（用百分比表示）解：由題意可知，從強度方面考慮，即： 截面為圓時， 當截面為正方形時，如圖，邊長查表可得，當時， 所以 所以降低為： 3-4 受扭轉(zhuǎn)力偶作用的圓截面桿，長L=1m，直徑d20mm，材料的剪切彈性模量G80GPa，兩端截面的相對扭轉(zhuǎn)角, 試求此桿外表面處沿圖示方向的切應變、橫截面上的最大切應力max和扭轉(zhuǎn)力偶矩Me。答：=1×103，max80 MPa，Mem解：由公式,=得出Mem且=80 MPa， 由，得=.3-5 圓截面橡膠棒的直徑d40mm，受扭后，原來表面上互相垂直的圓周線和縱向線間夾角變?yōu)?6º，如桿長L300mm,試求

12、端截面的扭轉(zhuǎn)角；如果材料的G，試求桿橫截面上的最大切應力和桿上的外力偶矩Me。解： rad所以 rad MPa另外 因為 所以 3-6 一根在A端固定的圓截面桿AB如圖所示，圖中的a、b及此桿的抗扭剛度GI均為已知。桿在B端焊有一根不計自重的剛性臂，在截面C處有一固定指針，當桿未受荷載時，剛性臂及指針均處于水平位置。如現(xiàn)在剛性臂的端部懸掛一重量為F的重物，同時在桿上D和E處作用有扭轉(zhuǎn)力偶MD和ME。當剛性臂及指針仍保持水平時，試求MD和ME。解：扭矩圖如圖（a）所示要保證指針及剛性臂保持水平則得 （1）得 （2）（1）、（2）兩式聯(lián)立 得 3-7 圖示圓截面桿，其全長受集度為m=的均布扭轉(zhuǎn)力偶

13、作用，并在中點受其矩為T的扭轉(zhuǎn)力偶作用，試作此桿的扭矩圖，并求桿的應變能。解：對1-1截面，有,.對2-2截面，有,.作出扭矩圖.(2)桿的應變能.第四章 彎曲應力4-1試作下列梁的剪力圖和彎矩圖。解：（a）1、計算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程AC段：CB段： 3、作剪力、彎矩圖（b）1、計算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程AB段： 3、作剪力、彎矩圖（c）1、計算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程AC段：CB段：3、作剪力、彎矩圖（d）1、計算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得2、列剪力、彎矩方程AC段：CB段

14、：3、作剪力、彎矩圖4-2作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。解：（a）1、計算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程CA段：AB段： 3、作剪力、彎矩圖（b）1、計算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程CA段：AD段：DB段： 3、作剪力、彎矩圖（c）1、計算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程AB段：BC段： 3、作剪力、彎矩圖（d）1、計算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程AC段：CD段：DB段： 3、作剪力、彎矩圖（e）1、計算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程AB段：BC段： 3、作

15、剪力、彎矩圖（f）1、計算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、彎矩方程CA段：AD段：DB段： 3、作剪力、彎矩圖4-3已知簡支梁的剪力圖如圖所示，試作此梁的彎矩圖和荷載圖。梁內(nèi)若有集中力偶，則作用在右端。解：依據(jù)剪力與彎矩的微分關系作圖4-4已知簡支梁的彎矩圖如圖所示，試作此梁的剪力圖和荷載圖。解：依據(jù)剪力與彎矩的微分關系作圖4-5試作圖示簡單剛架的內(nèi)力圖。解：（a）1、計算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 即 得 2、列內(nèi)力方程AB段：BC段： 3、作內(nèi)力圖（b）1、計算支反力 由平衡方程得 2、列內(nèi)力方程AB段：BC段： 3、作內(nèi)力圖（c）1、計算支反力 由平衡方程得

16、2、列內(nèi)力方程AB段：BC段：CD段： 3、作內(nèi)力圖（d）1、計算支反力 由平衡方程得 2、列內(nèi)力方程AB段：BC段： CD段： 3、作內(nèi)力圖4-6試作圖示梁的內(nèi)力圖。解：對系統(tǒng)進行受力分析（如圖b1）由得 由得，由得因此圖示梁的內(nèi)力圖如圖b2所示。（M圖有問題）4-7試從彎矩來考慮，說明為什么雙杠的尺寸常設計成 解：由題意只需要考慮兩種臨界情況即可。1、當力F在中間位置時，由對稱可知最大彎矩發(fā)生在正中，即2、當力F在最邊緣位置時，由平衡條件： 即 得 即 得最大彎矩發(fā)生在B處，即所以，根據(jù)材料的許用強度可知，當兩者相等時最佳，即 即4-8試推導梁受均布彎曲力偶m時的荷載與剪力、彎矩之間的微分

17、關系。解：由題意如圖所示，由平衡條件： 即 得 即 得所以AB段：4-9已知懸臂梁及其剪力圖如圖a、b所示，若在梁的自由端無彎曲力偶作用，試作此梁的彎矩圖及荷載圖。從剪力圖和彎矩圖直接求出支反力和支反力偶，并在荷載圖上畫出其方向和轉(zhuǎn)向。解：由剪力圖知AC段受均布力作用，大小為；C點受集中力；BC段受均布力，大小為 則可作出荷載圖與彎矩圖如下：4-10一懸臂梁承受沿梁全長作用的分布荷載，梁的彎矩方程為M（x）=ax3+bx2+c，其中a、b和c為有量綱的常數(shù)。x的坐標原點取在梁的自由端，試求分布荷載的集度，并說明常數(shù)c的力學含義。解：當x=0時， 因此c表示自由端作用的彎矩為c。由為三元一次函數(shù)

18、得知,集中荷載為一元一次函數(shù)，令 并且以自由端為原點建立坐標系（如圖所示）得即所以。4-11一端外伸的梁在其全長L上有集度為q的均布荷載作用，如欲使梁在此荷載作用下的最大彎矩值為最小，試求外伸端的長度a與梁長L之比。解：1、計算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得2、列剪力、彎矩方程AB段：BC段：3、作彎矩圖4、由彎矩圖可知，當時，最大彎矩值最小，解得或（舍去）4-12獨輪車過跳板，如跳板的支座A是固定鉸支座，試從最大彎矩考慮，支座B放在什么位置時，跳板的受力最合理解：如圖（）所示，當位于AB中點或者位于跳板的右端點D時，會在跳板上產(chǎn)生最大的彎矩。當F位于C處時： 所以 又 所以 所以 此時

19、彎矩圖如圖（b）所示。當位于處時： 所以 所以 得 因此 此時彎矩圖如圖（c）所示。最合理時 ，即， 得 ，因此當時最合理。 4-13開口圓環(huán)，其受力如圖所示，已知環(huán)厚為h（垂直于紙面），p為均勻壓強，試求此環(huán)在任意截面1-1上的彎矩。解：如圖，在任意截面1-1處， 在1-1截面與開口之間取一小段長為，寬為，則所受合力 對截面1-1處的彎矩為 所以對整段環(huán)的合彎矩為4-14如圖所示，已知b×h的矩形截面桿，其彈性模量為E，承受三角形分布載荷P（x），其方向與x軸夾角為，試導出桿的內(nèi)力與載荷的微分關系。解：取坐標為和處的兩橫截面，設坐標為處的橫截面上的軸力、剪力和彎矩分別為、和。該處的

20、荷載集度為，則在坐標為處橫截面上的軸力、剪力和彎矩分別為、和。梁段在以上所有外力作用下平衡。故，即 ， 解得：；又 ，即 ,解得：；再由，即，二階無窮小項得：.4-15寬為b=30mm，厚為t = 4mm的鋼帶，繞裝在一個半徑為R的圓筒上。已知鋼帶的彈性模量E=200GPa，比例極限p=400MPa，若要求鋼帶在繞裝過程中應力不超過p，試問圓筒的最小半徑R應為多少解：由題意鋼帶的曲率為 即 可知越大，R越大； 所以4-16空心圓截面梁如圖所示。試求橫截面1-1上K點處的正應力，并問哪個截面上相應于此K點位置的正應力最大，其值等于多少解：1、求支反力 由平衡方程 即 得 即 得 2、求1-1截面

21、處的彎矩 3、求該截面上K點處的正應力4、求 由于無均布荷載，根據(jù)微分關系可知最大彎矩在拐點處，其中 ， ， ，所以 ， 則4-17用相同材料制成的兩根梁，一根截面為圓形，另一根截面為正方形，它們的長度、橫截面面積、荷載及約束均相同。試求兩梁橫截面上最大正應力的比值。解：設截面面積為A，圓形截面直徑為d，正方形截面邊長為a，則有 即 由公式得最大正應力分別為 所以4-18 T形梁截面如圖所示。已知截面上M=·m，Iz=×106m4，試求截面上、下邊緣處的正應力及中性軸以上部分截面的正應力構(gòu)成的總壓力及壓力作用點的位置。解：根據(jù)得 （“-”號表示壓應力） 解得4-19梁的橫截

22、面如圖所示。如果已由實驗測得上端縱向纖維的壓縮應變=，下端縱向纖維拉伸應變=。試求截面上陰影部分總的法向內(nèi)力。已知材料的E=200GPa。解：由及得：，由于同一截面上、及相同，故與成正比。由上端，下端得：,，故，陰影部分總的法向內(nèi)力為：4-20矩形截面梁的截面尺寸如圖所示。已知梁橫截面上作用有正彎矩M=16kN·m及剪力Fs=6kN，求圖中陰影面積及上的法向內(nèi)力及切向內(nèi)力。解：分析截面：由對稱知中性軸既是形心主軸 由積分得 （壓力） （拉力） 4-21為了提高梁的彎曲強度，如圖所示在矩形截面上增加肋板，如肋板的高度較小時，反而會使彎曲強度降低，已知尺寸b、b1、h，試求抗彎強度為最低

23、時的肋板高度h1。解：梁的正應力強度條件為 由題意可知 而 ，所以只需求解，將梁截面分為三部分令 得： 所以4-22圖示圓形截面懸臂梁，受均布荷載q作用，試計算梁橫截面上最大切應力、最大正應力及它們兩者的比值。解：剪力圖，彎矩圖如圖所示。由圓形截面知所以，。4-23矩形截面梁高為h，試問在距中性軸多遠處，橫截面上的切應力等于平均切應力解：距截面中性軸為y處的切應力 題 423 圖其中為截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對中性軸的靜矩。則平均切應力為，式中，要使截面上切應力等于平均切應力，即使，解得 4-24木制懸臂梁受載如圖所示。試求中性層上的最大切應力及此層水平方向的總剪力。答：max=

24、 Fs*=30kN解：分析截面 梁所受剪力為 則中性層上的最大切應力為 此層水平方向的總剪力為4-25 T形截面梁如圖所示。已知Fs=100kN，Iz=11340×108m4，試求中性軸及翼緣與腹板交界點處的切應力。解：分析截面 由得 中性軸上 交界點處4-26已知梁橫截面上的彎矩M=60kN·m，橫截面尺寸如圖所示。試求此截面上的最大正應力。解：分析截面 所以4-27由50號工字鋼制成的簡支梁如圖所示。試求橫截面上的最大正應力和最大切應力。 解：1、計算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、作剪力圖與彎矩圖 由圖可知 3、求最大正應力和最大切應力 4-28試求圖示梁橫

25、截面上的最大正應力和最大切應力，并繪出危險截面上正應力和切應力的分布圖。 解：1、計算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、作剪力圖與彎矩圖 由圖可知 3、求最大正應力和最大切應力分析截面 則 4、繪出危險截面上正應力和切應力的分布圖4-29在圖中如以虛線所示的縱向面和橫向面從梁中截取一部分，試求在縱向面m上由微內(nèi)力dA所組成的合力，并說明它與什么力平衡，用圖表示。 解：求支反力：由平衡方程 即 得 即 得 求合力T：分析小塊，在處所受切應力為 由受力平衡則 所受合力為 它與所在橫向面所受拉應力平衡。4-30從圖示梁中取出一脫離體，試求其橫截面上：（）最大、最小正應力；（）最大、最小切應力

26、；（）正應力組成的法向內(nèi)力N*；（）切應力組成的切向內(nèi)力S*。（）縱向面上切向應力。 解：（1）對于橫截面來說，段上的正應力最大,其值為：，段上的正應力最小,其值為：，（2）段上的切應力最大，其值為：，段上的切應力最小,其值為：，（3）正應力組成的法向內(nèi)力為：（4）切應力組成的切向內(nèi)力為：（5）縱向面AAcc上切應力組成的切向應力 4-31一根木梁的兩部分用單行螺釘連接而成，其橫截面尺寸如圖所示。已知剪力FS=3kN，IZ=×106 m4，螺釘?shù)娜菰S剪力為700N，試求螺釘沿梁縱向的間距a。解：截面上處由剪力引起的切應力為，由切應力互等定律木梁兩部分連接面上有切應力，所以一個螺釘所承

27、受剪力為：容許剪力為所以所以間距 為 4-32用螺釘將四塊木板連接而成的箱形梁如圖a所示，每塊木板的截面均為150mm×25mm，如每一螺釘?shù)娜菰S剪力為，試確定螺釘?shù)拈g距a。又如改用圖b所示的截面形狀，其他條件不變，則螺釘?shù)拈g距a應為多少答：（a）a=； （b）a=解：（a）由平衡條件得 則 則 分析截面（a）：由對稱知形心主軸即是對稱軸 則兩極連接處 所以在兩極連接處所受的切應力為 由題意 即 解得（b）同理對截面有由 得 所以 解得4-33用20號工字鋼制成的簡支梁如圖所示。由于正應力強度不足，在梁中間一段的上下翼緣上各焊一塊截面為120mm×10mm的鋼板來加強，如材

28、料的=160MPa，試求所加鋼板的最小長度L1。解：經(jīng)查表得20號工字鋼的參數(shù) ，h=200mm，b=100mm。受力分析知簡支梁的受力圖，剪力圖，彎矩圖（如圖1）由彎矩圖知，距中心處的彎矩為由帶入數(shù)據(jù)得最小長度.4-34圖示鑄鐵T形截面梁，已知IZ=×106m4，材料的 t=40MPa，=60MPa，試校核此梁的正應力強度。 解：1、求支反力 由平衡方程： 即 得 即 得2、作剪力、彎矩圖3、校核正應力強度由題意 則此梁不安全。4-35有一橋式起重機，跨度l=，用36的工字鋼作梁，工字鋼的IZ=15760cm4，WZ=875cm3。梁的許用應力=140MPa，電葫蘆自重12kN，若

29、起重量為50kN時，梁的強度不夠，為此在工字鋼梁中段的上、下緣各焊一塊鋼板如圖，試校核加固后梁的強度，并求加固鋼板的最小長度L。解：由題意當電葫蘆在梁中間時，所受最大彎矩最大為 此時加固后 則 由題意臨界情況時，電葫蘆剛好在加固板一端，此時 由平衡條件 即 得則此時 解得 則4-36在圖示工字鋼梁截面的底層，裝置一變形儀，其放大倍數(shù)K=1000，標距S=20mm。梁受力后，由變形儀讀得S=8mm。若L=，a=1m，E=210GPa，試求載荷F值。解：由題意1-1底層處發(fā)生的形變?yōu)?則此處所受拉應力為 由對稱可知 則1-1處所受彎矩為 在1-1底層所受壓應力為 即 即 解得4-37已知直梁的橫截

30、面如圖所示，橫向載荷作用在對稱平面xcz（即截面對稱軸z與軸線x組成的平面）內(nèi)，該截面上的彎矩M=12kN·m，剪力FS=12kN，試計算該截面上：（1）A、B兩點處的正應力；（2）max和max；（3）沿aa的正應力和切應力分布圖。解：（1）分析截面： 由公式得（2）在中性軸處在B處所以4-38圖示簡支梁受荷載F1，F(xiàn)2，q1，q2和m的共同作用。（1）試作梁的剪力、彎矩圖。（2）若梁為矩形截面，材料的容許拉壓應力=6MPa，容許切應力=1MPa，試校核此梁的強度。解：由得：，由得：，由彎矩圖得，最大拉應力在端，最大拉應力為：，最大剪力為，最大切應力為：<1MPa，所以此梁滿

31、足強度要求，是安全的。4-39一懸臂梁長度L=2m，自由端承受垂直于桿軸的集中力F=10kN，橫截面如圖b所示，其中a=100mm，=10mm。（1）若要求梁發(fā)生平面彎曲，且固端截面上A點處的拉應力為最小，載荷F應沿什么方向（2）在上述情況下，求固端截面A點處的正應力和B點處的切應力。解：（1）由題意要使只發(fā)生平面彎曲，即不發(fā)生扭轉(zhuǎn)等彎曲，根據(jù)切應力分布可知荷載F作用線必過O點。 如圖，設F沿方向，建立坐標系。其中原坐標系為由公式 所以可知由數(shù)學分析，當時，取最小。（2）當時，第五章 梁彎曲時的位移5-1試畫出圖示梁撓曲線的大致形狀。根據(jù)梁的彎矩圖確定梁撓曲線的大致形狀，M>0，撓曲線向

32、下凸；M<0，撓曲線向上凸。5-2圖示各梁EI=常數(shù)。試寫出各梁的位移邊界條件，并畫出梁撓曲線的大致形狀。設梁的最左端斷點為坐標原點，x軸正方向向右。則各梁邊界條件、彎矩圖及梁的撓曲線大致形狀如下：(a) (b) (c) (d) (e) (f) 5-3試畫出圖示梁撓曲線的大致形狀。5-4如要使圖示結(jié)構(gòu)B端的撓度為零，則長度x應為多少試畫出此時AB梁的撓曲線大致形狀。答：解:固定端約束反力如圖所示。則AB梁上距離A端l處的橫截面上的彎矩為 M（l）=Fl-F（L-x） 由撓曲線微分方程得：EI”=-M（l）=F（L-x）-Fl積分得：EI= F（L-x）l-l+C;再積分得：EI=（L-x

33、）l-l+Cl+ C；由邊界條件l=0 ，=0得C=0；由=0得C=0 EI=（L-x）l-l；由題意知l=L時，=0得x=LAB梁撓曲線大致形狀：M（l）=Fl-L；0<l<時，M（l）<0; <l<L時，M（l）>05-5圖示剛架在端點C處受集中力F作用，試求當B點的鉛垂位移為零時的比值。答：解：固定端約束反力如圖所示。則AB梁上距離A端l處的橫截面上的彎矩為 M（l）=Fl-F（L-a） 由撓曲線微分方程得：EI”=-M（l）=F（L-a）-Fl積分得：EI= F（L-a）l-l+C;再積分得：EI=（L-a）l-l+Cl+ C；由邊界條件l=0 ，=

34、0得C=0；由=0得C=0 EI=（L-a）l-l；由題意知l=L時，=0得a=L =5-6試用疊加法求圖示梁自由端撓度fB和轉(zhuǎn)角B，并畫出撓曲線的大致形狀。答： 解：（1）在均布荷載單獨作用下： 查表得=l=（4a）=a；=l=（4a）=a （2）集中荷載單獨作用下： = （3a）=a； =+a= （3a） + aa=a由疊加原理得：f=+=a +a=a=+=a+a=a5-7已知長度為4a的靜定梁的撓曲線方程為，試用圖表示此梁所受荷載及梁的支座，并求梁內(nèi)最大彎矩。答：解：設F（x）=; 已知EIv”=M（x）;因此對F（x）求二階導數(shù)得： M（x）=F （x）=； 由彎矩與剪力的微分關系得：

35、 當時，=0，彎矩絕對值最大， ； ； 可推斷知此梁所受荷載及梁的支座情況如圖：5-8已知直梁的撓曲線方程為。試求： 1）截面處的彎矩；2）最大彎矩；3）分布荷載q（x）；4）梁的支承情況。答：，q（x）=，梁為兩端鉸支的簡支梁。解：設 已知；對F（x）求二階導數(shù)得：；（1）；（2）；令得；（3）；（4）；梁為兩端鉸支的簡支梁。5-9一等截面懸臂梁抗彎剛度為EI，梁下有一曲面，其方程為y=Ax3，欲使梁變形后與該曲面正好貼和（曲面不受力），試問梁上需加什么樣的荷載答：在B端加F=6AEI的向上集中力和Me=6AEIL的順時針集中力偶。解：欲使梁變形后與曲面正好貼合，則梁撓曲線方程與曲面方程相同

36、。；則；由剪力，彎矩方程及邊界條件可知：需在梁B端加載的向上的集中力和的順時針的集中力偶。5-10梁ABCD原來是水平的，然后如圖所示那樣在C點施加向下集中力F，則梁向下?lián)锨?，如希望在B處加一向上集中力以使B點的位置回到原來的水平線ABCD上。試問在B點需加多大的力答：解：集中力不在梁中點，可采取疊加原理求解。查表得集中力不在梁中點時梁撓曲線方程為；（1）單獨在C點施加集中力F時，滿足條件：。代入方程得：；（2）單獨在B點施加集中力時，滿足條件：。代入方程得：；使B點位置回到原水平線ABCD上，則5-11重量為Q的直桿放在水平的剛性平面上，在它的一端作用一大小為F=的力，試問由于此力的作用，桿

37、從平面上被拉起的長度a等于多少并求出其端部提起的高度。答：，解：由題意設段被拉起仍為平放段，整個桿上受力情況如圖（b）由于處 即 則由于 桿段B處可以簡化為固定端，從而桿段簡化模型為圖（c）提升高度 5-12變截面懸臂梁如圖所示，全梁承受均布載荷q的作用，試用疊加法求A截面的撓度。E，I為已知。答：解：利用疊加原理，原圖等效為以下四圖的疊加。如同所示：查表得懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角公式：（1）（2）（3）（4）疊加得： 5-13試用等截面梁的撓度、轉(zhuǎn)角表計算圖示簡支梁跨度中點的撓度fC。答：解：利用應變能求解，由于梁及荷載軸對稱，可以只取左半段研究。由靜力學平衡易求得支座反力為，則得5-14試

38、求圖示梁荷載作用點C的撓度。答：解：利用應變能求解，由靜力學平衡方程易求得，向上。 以B端為坐標原點，坐標軸正方向向左。則 左半段；所以對整個梁求應變能：，從而得5-15試求圖示梁跨度中點C的撓度。答：解：利用應變能求解，由靜力學平衡方程易求得，由對稱關系知梁的應變能為：，得5-16圖中所示的梁具有中間鉸B和C，EI為已知。試畫出撓曲線的大致形狀，并用疊加法求F力作用處的撓度。解：, 為鉸接，受力如圖（a）力矩平衡可得 且 各點撓度 5-17圖示梁在B截面處支承一彈簧，彈簧剛度（即引起單位長度變形之力）為k，試求A截面的撓度。EI為已知。答：解：（1）彈簧受力，對梁：得（2）將梁AC等效為AB

39、，BC兩部分，如圖：5-18設梁上受有均勻分布的切向載荷，其集度為t，若E為已知，試求A點的鉛垂位移（撓度）及軸向位移。答：，解：（1）由于荷載偏離梁的軸心，根據(jù)力的平移定理原荷載等效為集度為t的切向荷載均勻分布于梁的中性軸，同時附加一個力偶。（x為梁上任一截面到A點的距離）由得（負號表示位移向下）（2）因為轉(zhuǎn)角表示梁中性軸一點相對原來軸線的轉(zhuǎn)角，由此引起A點的軸向位移水平向右；軸力引起的A點的軸向位移水平向左；A點總的軸向位移水平向右5-19簡支梁的荷載情況及尺寸如圖所示，已知該梁材料的彈性模量為E，求梁下邊緣的總伸長量。解：彎矩圖如圖所示。 則下邊緣上各點正應力取一微元為研究對象，其伸長量

40、， 則5-20等截面剛架如圖所示，E、A及I均為已知。試大致描出其變形曲線，并在下列兩種情況下求D截面的垂直位移及水平位移：（1）不考慮BC桿的軸向伸長；（2）考慮BC桿的軸向伸長。解： 首先對，桿進行受力分析，分析如圖(b)，(c) 其中， ，所以，可得桿變形大致曲線如圖(d)(1)(2)考慮桿軸向伸長時，如圖(e)5-21試求圖示各梁的應變能。答：（a）（b）（c）解：（a）（b）易求得支座反力為，任一截面彎矩為由對稱關系得梁的應變能為：（c）顯然梁的應變能為：第六章 簡單的超靜定問題6-1圖示由三根桿組成的結(jié)構(gòu),已知各桿的彈性模量E、橫截面積A及桿長L均相同，試求各桿軸力，畫出變形圖和受

41、力圖。 解：如圖所示，取中間節(jié)點作為研究對象，由受力平衡得： 對于1、2、3桿，根據(jù)胡克定律，可知其變形量分別為： 再由幾何連續(xù)條件得： 于是，由上述方程聯(lián)立解得： 6-2如圖所示，三根同材料等長度和等截面的柔索，互成，在O點相連接，各索預受張力10kN，索3在垂直方向。之后，在O點施加荷載F,試計算在三種不同情況下，各索所承受之力：（a）F=9kN (b)F=15kN (c)F=21kN。答：（a）F=9kN時， （b）F=15kN時， （c）F=21kN時，解：首先計算當繩索3剛好無拉力時荷載F的值。 如圖所示，取節(jié)點O作為研究對象。 由于繩索上實現(xiàn)施加了10KN的拉力，因此由節(jié)點的豎向平

42、衡可知：則F=10KN(1) 由于F=9KN<10KN(不太明白怎么做)于是繩索3中仍然有拉力。(2) 由于F=15KN>10KN 于是繩索3中沒有拉力。 因此由節(jié)點的豎向平衡可知：則(3) 由于F=21KN>10KN 于是繩索3中沒有拉力。 因此由節(jié)點的豎向平衡可知：則6-3圖示對稱結(jié)構(gòu)中，桿BC為剛性桿，其余四根桿的EA均相同，試求荷載F作用下四根桿的軸力。解： 此題為對稱結(jié)構(gòu)上作用對稱荷載，因此結(jié)構(gòu)的受力和變形均對稱。 于是可得 取剛性桿BC作為研究對象，由豎直方向的受力平衡得： 再由胡克定律得： 且由于對稱荷載作用，加載時剛性桿BC的運動為豎直方向的平動。 有 由以上

43、方程可以解得： 6-4圖示結(jié)構(gòu)，各桿抗拉剛度均為EA, 試求各桿的軸力。解： 此題為對稱結(jié)構(gòu)受對稱荷載作用,因此AB、BC桿的軸力相等，設為 則 對于DB桿，由于桿件在E點受集中力作用，則軸力應該分為兩部分考慮。設DE段軸力為，EB段軸力為。 于是,其中 再由受力平衡條件得： 由變形協(xié)調(diào)條件得： 于是，由上式解得： 6-5剛性桿ABC由材料相同、橫截面積相等的三根桿懸掛，其結(jié)構(gòu)及受力如圖，試分析三根桿的受力分配比。解：本題為一次超靜定問題，由受力圖（b），得 則 （1）ABC桿為剛性桿，由變形幾何圖（c）可得變形協(xié)調(diào)條件 （2）物理關系為： （3）由方程（1）（3）得 上式代入（2）得 （4）

44、（3）再代入（4）得 再結(jié)合（1）得結(jié)論：三桿受力相同6-6一桿系如圖所示，1、2、3桿鉸接在滑塊E上，滑塊E能沿豎向移動，桿2在豎直位置。圖中F、EA均為已知。各桿的EA相同，長度均為L，試求E點處的支反力。 解： 由節(jié)點處的變形協(xié)調(diào)條件及幾何條件得： 由胡克定律得： 即 取滑塊E作為研究對象，由水平和豎直方向上的受力平衡得： 于是解得： 方向水平向右6-7圖示結(jié)構(gòu)中，BC為剛性桿，1、2兩桿的抗拉（壓）剛度均為EA, 試求兩桿的軸力。解： 如圖所示，取整體為研究對象，對B點取矩得： 由變形協(xié)調(diào)條件得： 其中： 于是，可以解得：6-8剛性梁由材料相同、截面積相等的三根立柱支撐，其結(jié)構(gòu)和受力如

45、圖所示，如使剛性梁保持水平，試求：（1）荷載F作用點的位置x；(2) 此時各立柱中的軸力。解： 由于梁要保持水平，所以 即 又由于 則 又 對1柱低端取矩， 由豎直方向的受力平衡得： 由以上三式得： 6-9 剛性梁懸掛在三根桿上，已知A鋼=2A銅，鋼=，E鋼=210GPa,銅=，E銅=100GPa, 試求當溫度升高C時各桿橫截面上的應力。解： 如圖所示，為對稱結(jié)構(gòu)受對稱荷載作用，因此剛性梁一定是平行移動。即 由題中條件,可得以下四式: 由第一式和第四式分別得: 由以上四式聯(lián)立可以解得: ，6-10 如圖所示，斜桿DC的長度比要求短，已知DB和DC桿的面積A=200mm2, 材料的E=200GPa。試求：裝配后DB桿和DC桿的軸力。解： 為剛性桿，假設其移動到 如圖（b）所示由幾何關系知： （1）由物理關系知：（2） （3）由受力圖（c）知：（4）（1）（2）（3）（4）聯(lián)立，解得 6-11圖示結(jié)構(gòu)的剛性桿吊在