Chap7-2三大分布及單個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)

1、 正態(tài)總體下的抽樣分布統(tǒng)計(jì)中的三大分布22n 記為記為2分布分布一、一、定義定義: 設(shè)設(shè) 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 都服從正態(tài)都服從正態(tài)分布分布N(0,1), 則稱隨機(jī)變量：則稱隨機(jī)變量： 所服從的分布為自由度為所服從的分布為自由度為 n 的的 分布分布.nXXX,21222212nXXX22分布是由正態(tài)分布派生出來(lái)的一種分布分布是由正態(tài)分布派生出來(lái)的一種分布. .2分布的密度函數(shù)為分布的密度函數(shù)為000)2(21);(2122xxexnnxfxnn來(lái)定義來(lái)定義.其中伽瑪函數(shù)其中伽瑪函數(shù) 通過(guò)積分通過(guò)積分0,)(01 dxxex )( 分布的密分布的密度函數(shù)的圖形度函數(shù)的圖形如右圖如右圖. .2n

2、2由由 分布的定義，不難得到：分布的定義，不難得到：),(2N1. 設(shè)設(shè) 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 都服從正態(tài)分布都服從正態(tài)分布nXXX,21則則21222)(1nniiX22121nnXX,222121nnXX2. 設(shè)設(shè) 且且X1,X2相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，則則這個(gè)性質(zhì)叫這個(gè)性質(zhì)叫 分布的可加性分布的可加性.2則則， E(X)=n, Var(X)=2n3. 若若,2nXniiiniiniinXEXVarXEXEE1212122)()()()()(3證明證明:根據(jù)2分布的定義,把 表示為.) 1 , 0(,21122分布的相互獨(dú)立，且服從同樣其中NXXXXnniin2n nXEXVarEniXEXVa

3、rXEXVarXENXniiiniiiiii12222)()()(.,2, 1101)()(1)()(0)()1 ,0( ，niiiniiniinXEXEXVarXVarVar122412122)()()()()(獨(dú)立 )()1()21(1)1 ()0(:)(01dtett函數(shù)回憶高數(shù)?)(4iXE254422221)(02/3202424422dtetxtdxexdxexXEtxxi321234212123423234254)(4iXEnXEXEVarniXEXEniiinii2)()()(., 2 , 1213)()(12242224 對(duì)于對(duì)于(0,1)(0,1)給定給定, ,稱滿足稱滿足

4、條件條件: : 分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn))(222)()(ndxxfPnn的點(diǎn)的點(diǎn) ( ( ) )為為 分布的分布的上上 分位點(diǎn)分位點(diǎn). .2n 2n 2n 分布的上分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn)圖形如圖形如右圖右圖. .2n 分布的上分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn)可以查附表可以查附表4(P244).4(P244).2n 例3 設(shè)2624, YX求（1）P（X1.923）為何值則yyYP,225. 0237. 1)2(解：查自由度為4的2 分布表，得923. 1XP（2）225. 0237. 1237. 1yYPYPyYP查表得75. 0225. 0975. 0225. 0237. 1YPyYP75. 045

5、5. 3yT的密度函數(shù)為：的密度函數(shù)為：212)1 ()2(2) 1();(nnxnnnnxf記為記為Ttn.2n 定義定義: 設(shè)設(shè)XN(0,1) , Y , 且且X與與Y相互相互獨(dú)立獨(dú)立，則稱變量，則稱變量nYXT 所服從的分布為自由度為所服從的分布為自由度為 n的的 t 分布分布.二二、t 分布分布（Gosset于于1908年以年以student筆名提出）筆名提出） 當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，t 分布近似分布近似N (0,1)分分布布. 但對(duì)于較小的但對(duì)于較小的n，t分布與分布與N (0,1)分分布相差很大布相差很大. t分布的密度函數(shù)的圖形如右圖. T Tt tn n, ,對(duì)于對(duì)于(0,

6、1)(0,1)給定給定, ,稱滿足條件稱滿足條件: : t t分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn) 的點(diǎn)t tn n( ( ) )為為t t分布的上分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn). .)()()(ntndttftTP t t分布的上分布的上 分位分位點(diǎn)點(diǎn)圖形如右圖圖形如右圖. .t t分布的上分布的上 分位分位點(diǎn)點(diǎn)可以查附表可以查附表3(P242).3(P242).三、三、F分布分布121nXnYF由定義可見，由定義可見，21,nnF,2221nnYX 定義定義: 設(shè)設(shè) X與與Y相互相互獨(dú)立獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為服從自由度為n1及及 n2 的的F分布，分布，n1稱為第一稱為第一自由度，自由度，n

7、2稱為第二自由度，記作稱為第二自由度，記作 F 21nYnXF 12n ,nF（Fisher提出）提出） 0001)()()()(),;(222221212112121212121xxxxnnxfnnnnnnnnnnnnn 若若X ， X的概率密度為的概率密度為21,nnF F分布的密度函數(shù)的圖形如右圖. FF Fm,nm,n, ,對(duì)于對(duì)于(0,1)(0,1)給定給定, ,稱滿足條件稱滿足條件: :F F分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn) 的點(diǎn)的點(diǎn)F Fm, ,n( ( ) )為為F F分布的上分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn). .)(,)()(nmFnmdxxfFFPF F分布的上分布的上 分分位點(diǎn)位點(diǎn)圖形如右

8、圖形如右圖圖. .F F分布的上分布的上 分分位點(diǎn)位點(diǎn)可以查附可以查附表表5(P247).5(P247).（2）nnFXtX,12,則則且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立其其中中,),1 , 0(,2nZNYnZYX nnFnnZYX,122122 例)95.0(9,12F)05. 0(112, 9F357.080.21F分布的性質(zhì)：分布的性質(zhì)：由此則,1,mnnmFFZFF（1）)(1)1(,mnnmFF 定理定理 1 (樣本均值的分布樣本均值的分布)設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本，則有的樣本，則有),(2nNX ) 1 , 0( NnX 四、正態(tài)總體的樣本均值與樣本方

9、差的分布四、正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布 定理定理 2 (樣本方差的分布樣本方差的分布)2122) 1() 1 (nSn設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2SX和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有.)(相互獨(dú)立和22SX21122122)(1)(11) 1(nniiniiXXXXnn212122)()(1nniiniiXX 定理定理 3 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2SX和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有1 ntnSX 2122)1(),1 , 0( n

10、SnNnX 且兩者相互獨(dú)立且兩者相互獨(dú)立1221)1( ntnSXSnXnSnnX l定理定理 6.4.16.4.1(基本定理) 設(shè)X1,X2 , ,Xn為來(lái)自總體 N( , 2)的樣本,則:),().1 (2nNX2122/) 1().2(nSn.).3(2相互獨(dú)立與SX1/).4(ntnSX例例 在設(shè)計(jì)導(dǎo)彈發(fā)射裝置時(shí)在設(shè)計(jì)導(dǎo)彈發(fā)射裝置時(shí), ,重要事情之重要事情之一是研究彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的方差一是研究彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的方差. . 對(duì)于一類導(dǎo)彈發(fā)射裝置對(duì)于一類導(dǎo)彈發(fā)射裝置, ,彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離服從正態(tài)分布中心的距離服從正態(tài)分布N(N( , , 2 2),)

11、,這里這里 2 2=100=100米米2 2. . 現(xiàn)在進(jìn)行了現(xiàn)在進(jìn)行了2525次發(fā)射試驗(yàn)次發(fā)射試驗(yàn), ,用用S S2 2記這記這2525次次試驗(yàn)中彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的樣本方試驗(yàn)中彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的樣本方差差. . 求求:S:S2 2超過(guò)超過(guò)5050米米2 2的概率的概率. . 解解: 根據(jù)基本定理根據(jù)基本定理 查查P244P244附表附表4,4,得到得到: :2122/) 1(nSn12100502450) 1() 1(5022421252222PPnSnPSP12502242PSP975. 01. 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且X2m Y2n 則則X+Y答案：答案：2n

12、m 答案：答案：1nt2.設(shè)X1,X2 , ,Xn為來(lái)自總體 N( ,2)的樣本則:)()1(112niiXXnnX ),(2nNX )1,0(/NnX 且兩者相互獨(dú)立又,/) 1(2122nSn 1)1(/22nSnnX niiXXnnX12)() 1(1 1nt3. 設(shè)X,),1,(2nYXTYNn 則答案：答案：nt 第七章第四節(jié)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì) （一） 前面討論了參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)就是前面討論了參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)就是利用樣本計(jì)算出的值利用樣本計(jì)算出的值 (即實(shí)軸上點(diǎn)即實(shí)軸上點(diǎn)) 來(lái)估計(jì)未來(lái)估計(jì)未知參數(shù)。知參數(shù)。 其優(yōu)點(diǎn)是：其優(yōu)點(diǎn)是：可直地告訴人們可直地告訴人們 “未知參數(shù)未知參數(shù)

13、大致是多少大致是多少”； 缺點(diǎn)是：缺點(diǎn)是：并未反映出估計(jì)的誤差范圍并未反映出估計(jì)的誤差范圍 (精精度度)。故，在使用上還有不盡如人意之處。故，在使用上還有不盡如人意之處。 而區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這一不而區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這一不足之處足之處 。 也就是說(shuō)，給出一個(gè)區(qū)間，使我們能以也就是說(shuō)，給出一個(gè)區(qū)間，使我們能以一定的可靠度相信區(qū)間包含參數(shù)一定的可靠度相信區(qū)間包含參數(shù) 。 這里的這里的“可靠度可靠度”是用概率來(lái)度量的，是用概率來(lái)度量的，稱為置信系數(shù)，常用稱為置信系數(shù)，常用 表示表示1。) 10( 一個(gè)可以想到的估計(jì)辦法是：給出一個(gè)一個(gè)可以想到的估計(jì)辦法是：給出一個(gè)區(qū)間，并告訴人們?cè)?/p>

14、區(qū)間包含未知參數(shù)區(qū)間，并告訴人們?cè)搮^(qū)間包含未知參數(shù) 的的可靠度可靠度 (也稱置信系數(shù)也稱置信系數(shù))。 置信系數(shù)的大小常根據(jù)實(shí)際需要來(lái)確定，置信系數(shù)的大小常根據(jù)實(shí)際需要來(lái)確定，通常取通常取0.95或或0.99，即，即.1)(21P?；蚧?0.01 05. 0 根據(jù)實(shí)際樣本，由給定的置信系數(shù)，可根據(jù)實(shí)際樣本，由給定的置信系數(shù)，可求出一個(gè)盡可能短的區(qū)間求出一個(gè)盡可能短的區(qū)間 ，使，使,21。，完全確定的已知函數(shù)由樣本為兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量與置信區(qū)間。其中的的置信系數(shù)為為稱區(qū)間212121 )( 1 , 7.4.1 置信區(qū)間的定義置信區(qū)間的定義滿滿足足確確定定的的兩兩個(gè)個(gè)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量若若由由樣樣本本，是是未未知

15、知常常數(shù)數(shù)，給給定定設(shè)設(shè)2121 , 10 n,X,XX。為兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，與其中信區(qū)間，的置的置信系數(shù)為為則稱區(qū)間212121 1 , 定義定義1：(1) .121P信信上上限限。分分別別稱稱為為置置信信下下限限和和置置與與21 。的的概概率率是是它它包包含含，區(qū)區(qū)間間的的置置信信對(duì)對(duì)置置信信系系數(shù)數(shù)為為式式表表明明：但但1 , 1 (1) 21(1) .121P , , 2121也也可可能能不不包包含含。，這這個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間可可能能包包含含，對(duì)對(duì)于于一一個(gè)個(gè)給給定定的的樣樣本本隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)間間，是是一一個(gè)個(gè)間間需需要要特特別別強(qiáng)強(qiáng)調(diào)調(diào)的的是是：區(qū)區(qū)nXXX實(shí)際應(yīng)用上，一般取實(shí)際應(yīng)用上，一般取 =

16、 0.05 或或 0.01。?,121怎怎么么求求統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量給給出出置置信信系系數(shù)數(shù) 為確定置信區(qū)間，我們先回顧前面給出為確定置信區(qū)間，我們先回顧前面給出的隨機(jī)變量的上的隨機(jī)變量的上 分位點(diǎn)的概念。分位點(diǎn)的概念。分分位位點(diǎn)點(diǎn)。的的上上為為的的點(diǎn)點(diǎn)，稱稱滿滿足足對(duì)對(duì)隨隨機(jī)機(jī)變變量量，設(shè)設(shè) )( 10 XxxXPX1.96.z 1.645z 0.0250.05，如：. 216. 0)975. 0( 348. 9)025. 0( 2323，例例如如：現(xiàn)在回到尋找置信區(qū)間問(wèn)題上來(lái)?，F(xiàn)在回到尋找置信區(qū)間問(wèn)題上來(lái)。求參數(shù)求參數(shù) 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 例例1 設(shè)設(shè)X1,Xn是取

17、自是取自 的樣本，的樣本， ,2已知 ),(2 N 1置信區(qū)間的求法置信區(qū)間的求法明確問(wèn)題明確問(wèn)題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信系數(shù)是多少？置信系數(shù)是多少？解：解：前面我們已經(jīng)用矩估計(jì)和極大似然估計(jì)都得到均值 的點(diǎn)估計(jì)為 ，它具有很好的性質(zhì)，現(xiàn)在我們一個(gè)區(qū)間去估計(jì)均值 ，用 更合理些。 X ,cXcX尋找未知參尋找未知參數(shù)的一個(gè)良數(shù)的一個(gè)良好估計(jì)好估計(jì).)(1,P很小要使cXcX 1|cXPN(0, 1)nXU 取有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率取值于任意區(qū)間的概率.,1 對(duì)給定的置信系數(shù)對(duì)給定的置信系數(shù)查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得,2 Z

18、1|2ZnXP使使 122ZnXZnXP從中解得從中解得21)(2 Z ,22 ZnXZnX 122ZnXZnXP于是所求于是所求 的的 置信區(qū)間為置信區(qū)間為 21)(2 Z 設(shè)X1,X2 , ,Xn為來(lái)自正態(tài)總體N(,2)的樣本. 2已知. 均值的置信系數(shù)為1-的置信區(qū)間. 方差方差 2 2已知已知2/2/,ZnXZnX單個(gè)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)例例1: 某廠生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度某廠生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度 X 服從服從 N( , 0.04),),現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取6個(gè)，長(zhǎng)度個(gè)，長(zhǎng)度測(cè)量值如下測(cè)量值如下( (單位單位: :毫米毫米): ): 14.6, 15.l, 14

19、.9, 14.8, 15.2, 15.1.求求: : 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為0.950.95的區(qū)間估計(jì)。的區(qū)間估計(jì)。 解：解：n = 6， = 0.05，z /2 = z0.025 = 1.96， 2 2=0.22 . . ,95.14 X通過(guò)計(jì)算，得通過(guò)計(jì)算，得. 11.15 ,79.14 ,22znXznX所求置信區(qū)間為所求置信區(qū)間為 設(shè)X1,X2 , ,Xn為來(lái)自正態(tài)總體N(,2)的樣本. 2未知. 求:均值的置信系數(shù)為1-的置信區(qū)間. 2未知.想想看,用S2代替2.于是根據(jù)定理6.4.1,解解:1/ntnSX方差方差 2 2未知未知1)2(/1ntnSXP1)2()2(11nntnSXtnSXP即方差方差 2 2未知時(shí)未知時(shí)的置信系數(shù)為1- 的置信區(qū)間:)2(,)2(11nntnSXtnSX 設(shè)X1,X2 , ,Xn為來(lái)自正態(tài)總體N(,2)的樣本.(未知) 求:方差2的置信系數(shù)為1-的置信區(qū)間. 解解: 根據(jù)定理6.4.1,2122/) 1(nSn1)2()1()21 (212221nnSnP正態(tài)總體方差正態(tài)總體方差 2 2的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)1)21 ()1()2()1(2122212nnSnSnP即由上,即得2的置信系數(shù)為1-