一元二次方程根與系數(shù)的關系

1、 音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學能給予以上的一切。 克萊因.屯字中學：張金平屯字中學：張金平時間：時間：2009年年9月月21日日一元二次方程的一般形式是什么？它的求根公式又是什么？一元二次方程的一般形式是什么？它的求根公式又是什么？一般形式一般形式：求根公式：求根公式：) 04(2422acbaacbbxax+bx+c=0(a0) 從因式分解法可知，方程（從因式分解法可知，方程（x-x1)(x-x2)=0的兩根為的兩根為x1和和x2，將方程，將方程化為化為x2+px+q=0的形式，你能看出的形式，你能看出x1，x2與與p，

2、q之間的關系嗎？之間的關系嗎？化為一般形式為化為一般形式為:X2-(x1+x2)x+x1x2=0二次項系數(shù)是二次項系數(shù)是:一次項系數(shù)一次項系數(shù):p=常數(shù)項常數(shù)項:q=-（x1+x2)1x1x2上述方程的兩根的和、積分別與系數(shù)有如下關系：X1+x2=X1x2=-pq驗證：（驗證：（1）x2-3x+2=0; (2) x2+x=0.探究下表的奧秘，并完成填空：探究下表的奧秘，并完成填空：一元二次方程 兩個根 兩根的和 兩根的積3x2+x-2=0X1= ;x2=X1+x2=X1x2=2x2+5x+2=0X1= ;x2=X1+x2=X1x2=4x2+13x+3=0 X1= ;x2=X1+x2=X1x2=

3、32-1313221-225141-3413431.猜想結(jié)論：若一元二次方程猜想結(jié)論：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0）的兩根分別）的兩根分別為為x1,x2,則則x1+x2= ; x1x2= abac2.如何證明你的猜想？如何證明你的猜想？觀察實驗是針對觀察實驗是針對特例的，推導證特例的，推導證明才是針對一般明才是針對一般對象的！對象的！證證明明： 對于一元二次方程對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0）,根據(jù)求根公式可知，方程的兩根為根據(jù)求根公式可知，方程的兩根為aacbbx2421aacbbx2422,2224242221ababaacbbaacbbxxacaacbbaacbb

4、aacbbxx22222214)4()(2424因此，方程的兩根因此，方程的兩根x1,x2和系數(shù)和系數(shù)a,b,c有如下關系：有如下關系：,21abxx.21acxx 這表明任何一元二次方程的根與系數(shù)的關系為：這表明任何一元二次方程的根與系數(shù)的關系為：兩根兩根的和等于一次項系數(shù)二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積的和等于一次項系數(shù)二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比。等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比。這個結(jié)論也叫著這個結(jié)論也叫著“韋達定理韋達定理”。例例4.根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，求下列方程兩根求下列方程兩根x1,x2的和與積的和與積 x2-6x-15=0; 3x2+7x-9=0; 5x-1=4x2.解：解： x1+x2= -(-6)=6, x1x2= -15.,3721xx. 33921xx方程化為4x2-5x+1=0,454521xx4121xx1.不解方程，求下列方程兩根的和與積：不解方程，求下列方程兩根的和與積：(1) x2-3x=15;(2) 5x2-1=4x2+x;解：（1）x2-3x-15=0；x1+x2=3;x1x2= -15（2）x2-x-1=0 ;x1+x2=1;x1x2= -12.口答教科書口答教科書P42習題習題22.2第第3、4題，