小波分析課件

1、小波分析課件1.1 小波小波( (Wavelet) ) 小波小波就是空間就是空間L2(R)中滿足下述條中滿足下述條件的函數(shù)或者信號件的函數(shù)或者信號 : : Rdxx2 *2RdC 這時，這時， 也稱為也稱為小波母函數(shù)小波母函數(shù)，(2) 稱為稱為容許性容許性條件條件。 x （1）（2）連續(xù)小波連續(xù)小波 abxaxba 1,函數(shù)：函數(shù)：為由小波母函數(shù)為由小波母函數(shù) 生成的依賴于生成的依賴于參數(shù)（參數(shù)（a,b）的）的連續(xù)小波連續(xù)小波，簡稱為，簡稱為小小波波。 x （3）注釋注釋注釋：如果小波母函數(shù)注釋：如果小波母函數(shù) 的的Fourier 變換變換 在原點在原點 是連續(xù)是連續(xù) 的，那么公式的，那么公式

2、(2)說明說明 ， x 0 00 于是于是 x dxR 0這說明函數(shù)這說明函數(shù) 有波動的特點，公式有波動的特點，公式(1)又說明又說明函數(shù)函數(shù) 有衰減的特點，因此，稱函數(shù)有衰減的特點，因此，稱函數(shù) 為為“小波小波”。 x x x 1.2 小波變換小波變換( (Wavelet Transform) )對于任意的函數(shù)或者信號對于任意的函數(shù)或者信號 ，其小，其小波變換為波變換為 RLxf2 RRbafdxabxxfadxxxfbaW 1,（4）性質(zhì)性質(zhì)這樣定義的小波變換具有下列性質(zhì)：這樣定義的小波變換具有下列性質(zhì)：Plancherel恒等式：恒等式： 22,RgfRadadbbaWbaWdxxgxf

3、C 小波變換的逆變換公式：小波變換的逆變換公式： 22,1RbafadadbxbaWCxf （5）（6）性質(zhì)性質(zhì)吸收公式：當吸收條件吸收公式：當吸收條件 0202 dd成立時，有吸收的成立時，有吸收的Plancherel恒等式恒等式 1220Cf x g x dxW abW abdbdaafg,（7）（8）性質(zhì)性質(zhì)吸收的逆變換公式吸收的逆變換公式 02,2adadbxbaWCxfbaf （9）1.3.二進小波和二進小波變換二進小波和二進小波變換(Dyadic Wavelet Transform) 如果小波函數(shù)如果小波函數(shù) 滿足穩(wěn)定性條件滿足穩(wěn)定性條件 x BAj 2 (10)則稱則稱 為二進小

4、波，對于任意的整數(shù)為二進小波，對于任意的整數(shù)k, ,記記 x kkxxk2212 (11)逆變換逆變換對于任意的對于任意的 ，其二進小波變換為：，其二進小波變換為： RLxf2 bfdxxxfbWkRkkkf2221 這時，逆變換公式是這時，逆變換公式是 kRkkkfdbbxbWxf22 （12）（13）重構小波重構小波其中其中 的的Fourier變換滿足變換滿足 x 122 kkk 稱為二進小波稱為二進小波 的重構小波，比如可?。旱闹貥嬓〔?，比如可?。?x kk22 （14）（15）設小波為設小波為 ，對于任意的整數(shù)，對于任意的整數(shù)k 和和j，記記1.4. 正交小波和小波級數(shù)正交小波和小波級

5、數(shù)( (Orthonormal Wavelet) ) 構成空間構成空間 的標準正交基，則稱的標準正交基，則稱 是正交小是正交小波。波。 x jxxkkjk 222, ZZjkjxxkkjk , ; 222, RL2 x 如果函數(shù)族如果函數(shù)族(16)(17)小波級數(shù)小波級數(shù)這時，逆變換公式就是小波級數(shù)這時，逆變換公式就是小波級數(shù) kjjkjkxxf, (18) 其中小波系數(shù)其中小波系數(shù) 的算法是的算法是 jk, Rjkjkjkdxxxff, , (19)連續(xù)和離散統(tǒng)一連續(xù)和離散統(tǒng)一上的取值，因此，小波系數(shù)上的取值，因此，小波系數(shù) 實際上是信號實際上是信號f(x)的離散小波變換。其實，這也是小波變

6、換的離散小波變換。其實，這也是小波變換迷人的風采之一：迷人的風采之一： baWf, jkk 2 , 2jk, 小波系數(shù)是信號小波系數(shù)是信號f(x)的小波變換的小波變換 在二進在二進離散點離散點(20)連續(xù)變換和離散變換形式統(tǒng)一；連續(xù)變換和離散變換形式統(tǒng)一；連續(xù)變換和離散變換都適合全體信號；連續(xù)變換和離散變換都適合全體信號； 2. (Time-Frequency Analysis )2.1 窗口窗口Fourier變換和變換和Gabor變換變換(Windowed Fourier Transform and Gabor Transform) D.Gabor在在1946年開創(chuàng)時年開創(chuàng)時-頻分析的先河提

7、出頻分析的先河提出Gabor Transform一般的時一般的時-頻分析是頻分析是Windowed Fourier TransformShort-Time Fourier TransformWindowed Fourier Transform稱為信號稱為信號 的窗口的窗口Fourier變換，其中的函變換，其中的函數(shù)數(shù) 稱為窗口函數(shù)，一般要求是：稱為窗口函數(shù)，一般要求是： RfdxxixxgxfxS0000exp, RLxf2 RLxg2 1 Rdxxg具體地具體地(21)Gabor Transform 4exp212xxg RfdxxSF0000, D.Gabor取取(22)是是Gaussia

8、n函數(shù)，對應的變換稱為函數(shù)，對應的變換稱為Gabor變換變換(1946)。對于。對于Gabor變換，存在如下的頻率再變換，存在如下的頻率再分割公式：分割公式：(23)物理解釋物理解釋Gabor變換變換 是信號是信號 在在x=x0點點“附近附近”的頻率為的頻率為 的頻率成分；的頻率成分；只要把信號只要把信號 在各個時間點在各個時間點“附近附近”的頻的頻率為率為 的頻率成分全部累加起來，理所當?shù)念l率成分全部累加起來，理所當 然就應然就應該是這個信號的頻率為該是這個信號的頻率為 的頻率成的頻率成 分；分； Gabor變換變換 可以認為是信號可以認為是信號f(x)的另的另一種等價描述一種等價描述(因為

9、因為Fourier變換是信號的等價描變換是信號的等價描述述) RLxf2 0 00, xSf RLxf2 0 0 00, xSf局限局限 Gabor變換沒有變換沒有“好好”的（即可以構成的（即可以構成標架或者正交基）離散形式；標架或者正交基）離散形式； Gabor變換沒有快速算法：比如沒變換沒有快速算法：比如沒有類似于離散有類似于離散Fourier變換之變換之FFT的快速數(shù)值算法；的快速數(shù)值算法； 遺憾的是，遺憾的是，Gabor變換存在如下局限：變換存在如下局限： Appendix A Fig.1. Gabor變換的固定時變換的固定時- -頻窗口頻窗口t00t1t12.2. 時時- -頻分析頻

10、分析(Time-Frequency Analysis）時時- -頻分析頻分析本質(zhì)上是信號描述、分析和處理本質(zhì)上是信號描述、分析和處理的一種方法，它給信號的的一種方法，它給信號的“最優(yōu)描述問題最優(yōu)描述問題”提提供一種解決方案。供一種解決方案。R.Balian(1981)早早在八在八十年代就清清楚楚地描述了這個問題：十年代就清清楚楚地描述了這個問題：在通訊理論中，人們對于在給定的時間在通訊理論中，人們對于在給定的時間內(nèi)，把一個信號表示成內(nèi)，把一個信號表示成“每一個都同時每一個都同時具有足夠確定的位置及頻率的諧波具有足夠確定的位置及頻率的諧波”的的疊加這種信號的描述方法極感興趣疊加這種信號的描述方法

11、極感興趣 最優(yōu)描述問題最優(yōu)描述問題有用的信息總是同時被所發(fā)射信號的頻率有用的信息總是同時被所發(fā)射信號的頻率特性與信號的時間結構所傳遞，最好的例特性與信號的時間結構所傳遞，最好的例子是演奏音樂；子是演奏音樂；把信號表成時間的函數(shù)其頻率特征無法突出，把信號表成時間的函數(shù)其頻率特征無法突出，而而Fourier分析又無法標定各個分量發(fā)射分析又無法標定各個分量發(fā)射的瞬時位置和持續(xù)時間；的瞬時位置和持續(xù)時間；“最優(yōu)描述最優(yōu)描述”應該綜合這兩種描述的優(yōu)點，應該綜合這兩種描述的優(yōu)點，并用一個離散的刻畫來表示，以適應信息并用一個離散的刻畫來表示，以適應信息理論和計算機處理的需要。理論和計算機處理的需要。 Wig

12、ner分布函數(shù)分布函數(shù)Wigner分布函數(shù)是信號時分布函數(shù)是信號時-頻分頻分析的另一種具體的解決途徑。信號析的另一種具體的解決途徑。信號f(x)的的Wigner分布函數(shù)是著名理論物理學分布函數(shù)是著名理論物理學家在家在1932年提出來的，定義是：年提出來的，定義是： RfdixfxfxW exp22,(24) 顯然，這是一個實的二元函數(shù)顯然，這是一個實的二元函數(shù) 。性質(zhì)性質(zhì) 22, RRRgfdxxgxfddxxWxW 22,xfdxWRf 2, FdxxWRf Wigner分布函數(shù)有如下性質(zhì)分布函數(shù)有如下性質(zhì)：(25)(26)(27)Wigner分布函數(shù)的物理意義分布函數(shù)的物理意義Wigner

13、分布函數(shù)的分布函數(shù)的Plancherel恒等式成恒等式成立；立；Wigner分布函數(shù)分布函數(shù) 標明信號的標明信號的瞬時頻率瞬時頻率的位置；的位置；Wigner分布函數(shù)分布函數(shù) 標明信號的標明信號的瞬時位置瞬時位置的頻率。的頻率。 , xWf在能量的意義下，在能量的意義下，Wigner分布函數(shù)的物分布函數(shù)的物理意義是：理意義是： , xWfWigner分布函數(shù)理論的局限分布函數(shù)理論的局限Wigner分布函數(shù)的三個局限：分布函數(shù)的三個局限： Wigner分布函數(shù)分布函數(shù) 只記憶信號只記憶信號的部分信息；的部分信息；Wigner分布函數(shù)分布函數(shù) 沒有有效的沒有有效的重建算法；重建算法；Wigner分

14、布函數(shù)分布函數(shù) 的的“瞬時瞬時”是是漸近意義的。漸近意義的。 , xWf , xWf , xWf2.3. 小波的時小波的時-頻分析頻分析(Wavelets Time- Frequency Analysis) 小波變換是一種時小波變換是一種時-頻描述，它的信息記憶是頻描述，它的信息記憶是完全的，是一種等價的變換描述，具有獨特的完全的，是一種等價的變換描述，具有獨特的時時頻分析性質(zhì)。引入記號：頻分析性質(zhì)。引入記號： RgdxgxgxE22(28)中心中心半徑半徑 21222 RggdxgxgEx(29)對于對于 ，如果滿足條件，如果滿足條件:窗口函數(shù)及說明窗口函數(shù)及說明則稱之為窗口函數(shù)，則稱之為窗

15、口函數(shù)， 和和 分別稱為它的時間分別稱為它的時間中心和時間半徑，而中心和時間半徑，而 和和 分別稱為它的譜中分別稱為它的譜中心和譜半徑。心和譜半徑。 RLxg2 Rdxxxg2gEg GEG 0221 gxgxg說明：中心和半徑是下述分布的期望和均方差小波的時小波的時-頻中心與半徑頻中心與半徑 aEEaEbEbaba, aababa, 2.3.2.小波的時-頻半徑 2.3.1.小波的時小波的時-頻中心頻中心（29）（30）2.3.3. 小波的時小波的時- -頻窗頻窗 aaEaaEaaEbaaEbEEEEbabababababababa , + , , , , (32)Appendix B Fi

16、g.2.小波在時小波在時- -頻相平面上的窗頻相平面上的窗t00t12t12.3.4. 小波的時小波的時- -頻特性頻特性 小波時小波時-頻窗的面積恒等于頻窗的面積恒等于 ； 小波的時小波的時-頻窗是時頻窗是時-頻相平面中的可變頻相平面中的可變的矩形；的矩形； 小波時小波時-頻窗的變化規(guī)律：頻窗的變化規(guī)律： 4（1）尺度參數(shù)）尺度參數(shù)a增大時，小波的時窗變寬，同時增大時，小波的時窗變寬，同時，它的主頻變低，頻窗變窄；，它的主頻變低，頻窗變窄；（2）尺度參數(shù)）尺度參數(shù)a減小時，小波的時窗變窄，同時，減小時，小波的時窗變窄，同時，它的主頻變高，頻窗變寬；它的主頻變高，頻窗變寬； 小波的頻率分辨率小

17、波的頻率分辨率小波分析具有固定的相對頻率分辨率小波分析具有固定的相對頻率分辨率 22EaaE(33) 主頻變低時，頻窗變窄，頻率分辨率提高；主頻變低時，頻窗變窄，頻率分辨率提高；主頻變高時，頻窗變寬，頻率分辨率降低；主頻變高時，頻窗變寬，頻率分辨率降低；高頻時出現(xiàn)較低的頻率分辨率（難題?。?。高頻時出現(xiàn)較低的頻率分辨率（難題?。?。 小波的頻帶特性小波的頻帶特性 (1)小波變換處理頻域的方式完全不同于經(jīng)典的小波變換處理頻域的方式完全不同于經(jīng)典的Fourier變換變換，任何小波本質(zhì)上都是以頻，任何小波本質(zhì)上都是以頻帶的形式出現(xiàn)在頻域中，這樣避免了許多帶的形式出現(xiàn)在頻域中，這樣避免了許多理論和計算上的

18、麻煩；理論和計算上的麻煩；(2)二進小波頻域劃分的特色：將參數(shù)二進小波頻域劃分的特色：將參數(shù)a按二進按二進方式離散化為方式離散化為kka 2E 3選擇二進小波選擇二進小波 滿足滿足二進小波二進小波 的主頻是的主頻是二進小波的分頻特性二進小波的分頻特性 xbk,2 kk23 212 , 2kk kkk212 , 2 , 0(34)所在的頻帶是所在的頻帶是當當k取遍全體整數(shù)時，這些頻帶正好分離覆蓋正取遍全體整數(shù)時，這些頻帶正好分離覆蓋正頻軸，即頻軸，即這就是著名的二進小波頻帶劃分技術。這就是著名的二進小波頻帶劃分技術。2.4. 正交小波的時正交小波的時-頻分析頻分析Orthonormal Wave

19、lets Time-Frequency Analysis對于正交小波對于正交小波 ， x kjjkjkxxf, (35) 2, , ; Zjkxjk 其中系數(shù)是其中系數(shù)是是一個標準正交基，所以，對于任何信號是一個標準正交基，所以，對于任何信號f(X)，可以展開成，可以展開成小波級數(shù)：小波級數(shù)： Rjkjkdxxxf, (36)正交小波的吸收譜正交小波的吸收譜jk, baWf, jkk 2 , 2由小波變換的定義可知，正交小波級由小波變換的定義可知，正交小波級數(shù)的系數(shù)數(shù)的系數(shù) 正好是信號正好是信號f(x)的小波變換的小波變換 在二進離散點：在二進離散點：(37)上的取值。這說明：對于正交小波來說

20、，任何信上的取值。這說明：對于正交小波來說，任何信號在二進離散點上的小波變換包含了它的小波變號在二進離散點上的小波變換包含了它的小波變換的全部信息，所以換的全部信息，所以正交小波具有優(yōu)美的譜吸收特點正交小波具有優(yōu)美的譜吸收特點。小波變換與小波變換與Fourier變換變換 Fourier變換變換： 對于任何信號對于任何信號f(x)，只有當它是時間有限時，只有當它是時間有限時，它的譜，它的譜F( )(Fourier變換變換)才是頻率吸收才是頻率吸收的；的；反過來，只有當它是頻域有限時，反過來，只有當它是頻域有限時，f(x)才才是時間吸收的是時間吸收的;小波變換小波變換: :對于正交小波分析來說，任

21、何信號的正交對于正交小波分析來說，任何信號的正交小波譜都是譜吸收的，即二維小波譜所包小波譜都是譜吸收的，即二維小波譜所包含的信息完全被二進離散點上的譜吸收。含的信息完全被二進離散點上的譜吸收。一點評論一點評論正交小波變換譜的完全吸收性為小波變換的理正交小波變換譜的完全吸收性為小波變換的理論分析、數(shù)值計算和各種應用提供了極大的方論分析、數(shù)值計算和各種應用提供了極大的方便。同時，這些離散的小波譜點，本質(zhì)上意味便。同時，這些離散的小波譜點，本質(zhì)上意味著時著時-頻分析中頻譜分析的頻帶（統(tǒng)計意義頻分析中頻譜分析的頻帶（統(tǒng)計意義下的區(qū)間），因此，小波分析成功地實現(xiàn)下的區(qū)間），因此，小波分析成功地實現(xiàn)了人們

22、夢寐以求的了人們夢寐以求的“頻帶信息的點處理方頻帶信息的點處理方式式”；在在(a,b)-W(a,b)給出的二維小波譜空間，給出的二維小波譜空間，二 進 離 散 小 波 譜 點 的 分 布 規(guī) 律 可 以 用二 進 離 散 小 波 譜 點 的 分 布 規(guī) 律 可 以 用Appendix C Fig.3. 加以說明。加以說明。 Appendix C Fig.3.正交小波的點譜吸收特性正交小波的點譜吸收特性01234567891011121314150123456701230103. 正交小波和多分辨分析正交小波和多分辨分析(Orthonormal Wavelet and Multiresoluti

23、on Analysis)多分辨分析多分辨分析： 上的一列閉的線性子空上的一列閉的線性子空間間 和一個函數(shù)和一個函數(shù) 共同稱為一個多共同稱為一個多分辨分析，如果它們滿足如下的五個要求：分辨分析，如果它們滿足如下的五個要求： RL2 ZkVk ; x 3.1. 多分辨分析多分辨分析(Multiresolution Analysis)多分辨分析多分辨分析 0 ZkkV RLVZkk2 12 kkVxfVxf2.唯一性公理：唯一性公理：3.稠密性公理：稠密性公理：4.伸縮性公理：伸縮性公理：(39)(40)(41)5.構造性公理：構造性公理： Zkkx ; (42)生成生成V0的標準正交基。其中的函數(shù)

24、的標準正交基。其中的函數(shù) 稱為尺稱為尺度函數(shù)度函數(shù)(Scale Function)。 x 1.單調(diào)性公理：單調(diào)性公理：1 kkVV(38)圖像的多分辨分析圖像的多分辨分析多分辨分析多分辨分析(Multiresolution Analysis)方法，方法，在計算機科學和信號處在計算機科學和信號處理中，特別是在圖像分析中，通常稱為多尺理中，特別是在圖像分析中，通常稱為多尺度分析方法度分析方法(Multiscale Analysis) ，在小波分析建立之前就已經(jīng)得到了一些理，在小波分析建立之前就已經(jīng)得到了一些理論研究和應用，這推動了小波變換理論的產(chǎn)論研究和應用，這推動了小波變換理論的產(chǎn)生和完善。實際

25、上，信號生和完善。實際上，信號f(x)在子空間在子空間Vk上上的正交投影的正交投影fk(x)是是 ZkjkjkkxCxf, 圖像的多分辨分析（續(xù)）圖像的多分辨分析（續(xù)）正交投影正交投影fk(x)正好是原象正好是原象f(x)在一定的分辨率在一定的分辨率之下的模糊象，公式之下的模糊象，公式(40)說明，當分辨率足夠高說明，當分辨率足夠高時，模糊象和原象重合，即時，模糊象和原象重合，即 xfxfkk 因此，對因此，對fk(x)的分析實際是對原象的多種分辨的分析實際是對原象的多種分辨率的分析。多分辨分析的困難在于如何從低分率的分析。多分辨分析的困難在于如何從低分辨率的模糊象有效地添加恰當?shù)募毠?jié)，得到正

26、辨率的模糊象有效地添加恰當?shù)募毠?jié)，得到正確的高分辨率下的模糊象。這些問題的研究都確的高分辨率下的模糊象。這些問題的研究都屬于多分辨分析的范圍。屬于多分辨分析的范圍。 3.2. 小波構造小波構造(Y.Meyer and S.Mallat, 1988)稱之為尺度方程。系數(shù)列稱之為尺度方程。系數(shù)列 叫低通叫低通濾波系數(shù)。濾波系數(shù)。 ZkVk ; x ZlZkhk2 ; Zkkkxhx22 ZlZkhk2 ; 如果如果 和函數(shù)和函數(shù) 是一個多分辨分是一個多分辨分析，那么，必然存在一列析，那么，必然存在一列 系系數(shù)，使得數(shù)，使得(43)構造定理構造定理(Y.Meyer and S.Mallat, 198

27、8)令令 ， 并構造并構造 kkkhg 11Zk Zkkkxgx22 (44) 是是L2(R)的標準正交基的標準正交基 2, ; Zjkxjk 則有如下結論則有如下結論:(45) 是是Vk在在Vk+1中的正交補中的正交補kkkWVV 1 ZjxSpanWjkk ; , 構造定理的延伸結果構造定理的延伸結果0 11 pVWWWVpkpkkkk， 01ppkkWV 02ppkkWVRL kkWRL2(46)(47)(49) (48)4. 多分辨分析和金字塔算法多分辨分析和金字塔算法(Multiresolution Analysis and Pyramid Algorithms)4.0. 記號記號

28、（Notation）： RmkmkRmkmkdxxxfDdxxxfC, 分別表示信號的分別表示信號的趨勢和波動趨勢和波動或者或者模糊象和細節(jié)模糊象和細節(jié)(50)4.1. 小波分解算法小波分解算法(Decomposition Algorithms of Wavelet) ZmmkjmjkZmmkjmjkCgDChC,2,1,2,1(51)4.2. 小波重建算法小波重建算法(Reconstruction Algorithms of Wavelet) ZmmkmjmkmjjkDgChC, 12, 12,(52) 4.3. 金字塔算法金字塔算法(Pyramid Algorithms) ZmmkmkkZ

29、mmkmkkxDxgxCxf, (53) 引入記號引入記號:它們的幾何意義分別是原信號它們的幾何意義分別是原信號 在在子空間子空間Vk和和WK上的正交投影，且它們是相互正交上的正交投影，且它們是相互正交的。由多分辨分析的意義可得的。由多分辨分析的意義可得 RLxf2 xgxfxfkkk 1(54)4.3.1. 分解金字塔算法分解金字塔算法(Decomposition Pyramid Algorithms)信號的分解信號的分解(Decomposition of Signal) 121 + + + + kkkk mk mf xfxfxfxfx 121 kkk mk mgxgxgxgx 空間的分解空

30、間的分解空間的分解空間的分解(Decomposition of The Subspace) 1+21121mkmkkkmkmkkkkWWWWVVVVV 系數(shù)的分解系數(shù)的分解系數(shù)的分解系數(shù)的分解(Decomposition of The Coefficients) mkkkkmkHHkHkHkHkDDDDGGGGGCCCCC 3213214.3.2. 重建金字塔算法重建金字塔算法(Reconstruction Pyramid Algorithms)信號的重建信號的重建(Reconstruction of Signal) xxxgxxfxfxfxfxfmkmkkkmkmkkkk g g g + +

31、 + + 1+21121空間的重建空間的重建空間的重建空間的重建(Reconstruction of Subspace) m121121 kmkkkmkmkkkkWWWWVVVVV系數(shù)的重建系數(shù)的重建mkkkmkHkHkHkDDDGGGCCCC 2121 系數(shù)的重建系數(shù)的重建(Reconstruction of The Coeffients)信號的小波分解和合成算法信號的小波分解和合成算法有限數(shù)字信號的高低通濾波器有限數(shù)字信號的高低通濾波器矩陣分解算法矩陣分解算法矩陣合成算法矩陣合成算法有限數(shù)字信號的小波變換編碼有限數(shù)字信號的小波變換編碼數(shù)字信號小波編碼數(shù)據(jù)量關系數(shù)字信號小波編碼數(shù)據(jù)量關系小波

32、應用基本模式小波應用基本模式數(shù)字圖像二維小波編碼數(shù)字圖像二維小波編碼數(shù)字圖像二維小波重建數(shù)字圖像二維小波重建數(shù)字圖像的矩陣小波變換數(shù)字圖像的矩陣小波變換5. .Malvar小波小波(H.S.Malvar 1987）（R.Coifman and Y.Meyer 1991)5.1 Malvar小波小波(H.S.Malvar 1987) 選擇窗口函數(shù)選擇窗口函數(shù) 滿足如下要求：滿足如下要求： x 3or xx 0 x xxx 2 , 10 x 122 xx 時時時時Malvar小波基構造小波基構造Malvar小波基是函數(shù)族小波基是函數(shù)族 ZlkorZlkxulk2 ,0 ,.,3 ,2 , 1 ;

33、, 1,2,= , 12 2sin22 0=, 2 2 , 2 , 1 , 2 2cos22,kZlxklxkZllxkZlxklxxulk (55)說明說明容易驗證，上述函數(shù)族構成容易驗證，上述函數(shù)族構成L2(R)的標準的標準正交基。一般稱這個函數(shù)族的小波為正交基。一般稱這個函數(shù)族的小波為Malvar小波。小波。Malvar小波和離散余弦變換小波和離散余弦變換(DCT)、離、離散正弦變換散正弦變換(DST)有許多相似之處，根本的有許多相似之處，根本的差別在于，差別在于，Malvar小波是真正局部化了的離小波是真正局部化了的離散余弦變換和離散正弦變換分析，同時，它還具散余弦變換和離散正弦變換分

34、析，同時，它還具有變換結果的遞推數(shù)值算法。有變換結果的遞推數(shù)值算法。 讓人們驚奇的是，物理學家讓人們驚奇的是，物理學家K.Wilson和數(shù)和數(shù)學家學家I.Daubechies也得到了極其相似的結果。也得到了極其相似的結果。但是，他們兩人和但是，他們兩人和Malvar的工作之間并沒有必的工作之間并沒有必然的邏輯的關系。然的邏輯的關系。K.Wilson的想法是，對于實數(shù)的想法是，對于實數(shù)軸的長度是軸的長度是2 的等長劃分，按照各個區(qū)間的奇偶變的等長劃分，按照各個區(qū)間的奇偶變化，分別輪番使用離散余弦變換和離散正弦變換進化，分別輪番使用離散余弦變換和離散正弦變換進行信號分析；行信號分析；I.Daube

35、chies的想法是，不僅如的想法是，不僅如此，而且必須加以局部化，局部化因子是同一個函此，而且必須加以局部化，局部化因子是同一個函數(shù)數(shù) 的的2 倍整數(shù)平移，只不過要求函數(shù)倍整數(shù)平移，只不過要求函數(shù)和它的和它的Fourier變換都是指數(shù)衰減的并使得前述函數(shù)變換都是指數(shù)衰減的并使得前述函數(shù)族構成族構成 的標準正交基的標準正交基 。 RL25.2 Malvar小波小波(R.Coifman and Y.Meyer 1991) 選擇選擇 和和 并構并構造窗口函數(shù)列造窗口函數(shù)列 滿足滿足: ,.3, 2, 1, 0 ; kAk ,.3, 2, 1, 0 ; 0 kk ,.3, 2, 1, 0 ; kxk

36、11101kkkkkkkkkAAlAAAAA 窗函數(shù)的構造窗函數(shù)的構造 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkAAxAAxxAxorAxxAxAx122111110 110實際上，函數(shù)實際上，函數(shù) 本質(zhì)上是區(qū)間本質(zhì)上是區(qū)間 的特的特征函數(shù)的光滑化征函數(shù)的光滑化 xk 1 , kkAAAppendix D Fig.4.窗函數(shù)的形狀示意圖窗函數(shù)的形狀示意圖Ak-1AkAk+1Ak+ kAk- kAk+1- k+1k(t)k-1(t)第一類第一類Malvar小波基小波基第一類第一類Malvar小波為：小波為： 0,1,2,= , ,21cos2,lZkAxllxlxukkkklk (56) 第二

37、類第二類Malvar小波基小波基第二類第二類Malvar小波基為小波基為 1,2,3,= , 12 sin2 0= , 2 11,2,3,= , 2 cos2,lZkAxllxlxulZkxlxulZkAxllxlxukkkklkkklkkkkklk (57) 6. 小波包小波包(Wavelet Packets)(R.Coifman and Y.Meyer and M.V.Wickerhauser 1992) 設設 和和 是一個多分辨分析且是一個多分辨分析且(43)和和(44)成立。記成立。記 ZkVk ; x xxxx 106.1 正交小波包正交小波包(Orthonormal Wavelet

38、 Packets)正交小波包的定義正交小波包的定義遞推定義的函數(shù)族遞推定義的函數(shù)族 ,.3 , 2 , 1 , 0 ; mxm ZnmnmZnmnmnxgxnxhx2222122 ZnnxxSpankmknkmmk ; 222,; (58)(59)k是整數(shù)，是整數(shù)，m是自然數(shù)。是自然數(shù)。稱之為小波包。引入記號稱之為小波包。引入記號正交正交小波包定理小波包定理正交小波包定理正交小波包定理(Coifman and Meyer and Wickerhauser 92)空間構造空間構造 是是 的標準正交基的標準正交基空間關系空間關系 (60)特殊空間關系特殊空間關系 Znxnkm ; ,; mk 1221 mkmkmk122 mkmkkkV 0kkW 1正交小波包的空間分割正交小波包的空間分割 小波包實現(xiàn)小波空間的再分割小波包實現(xiàn)小波空間的再分割120220120201222122726252423121111. kk