壓電材料的變分原理與有限元方法ppt課件

1、School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA趙壽根趙壽根航空科學(xué)與工程學(xué)院固體力學(xué)研究所航空科學(xué)與工程學(xué)院固體力學(xué)研究所School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 壓電材料由于其機(jī)電耦合特性，受到使用者的歡壓電材料由于其機(jī)電耦合特性，受到使用者的歡迎。當(dāng)將壓電材料應(yīng)用

2、到結(jié)構(gòu)中時(shí)，由于結(jié)構(gòu)形迎。當(dāng)將壓電材料應(yīng)用到結(jié)構(gòu)中時(shí)，由于結(jié)構(gòu)形式的多樣性、邊界條件的多樣性和外界激勵(lì)環(huán)境式的多樣性、邊界條件的多樣性和外界激勵(lì)環(huán)境的復(fù)雜性，解析解會(huì)遇到不可克服的困難，因而的復(fù)雜性，解析解會(huì)遇到不可克服的困難，因而大多數(shù)情況需要采用數(shù)值的方法來(lái)分析結(jié)構(gòu)和解大多數(shù)情況需要采用數(shù)值的方法來(lái)分析結(jié)構(gòu)和解決問(wèn)題。決問(wèn)題。Q 變分原理是進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)，因而研究壓電變分原理是進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)，因而研究壓電材料的變分原理為建立壓電材料的有限元模型和材料的變分原理為建立壓電材料的有限元模型和方程提供了依據(jù)。方程提供了依據(jù)。School of Aeronautical Science a

3、nd Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 壓電材料具有力電耦合特性，根據(jù)連續(xù)彈性介質(zhì)壓電材料具有力電耦合特性，根據(jù)連續(xù)彈性介質(zhì)理論和電介質(zhì)理論，基于線彈性、小變形假設(shè)，理論和電介質(zhì)理論，基于線彈性、小變形假設(shè)，基本方程及條件如下?；痉匠碳皸l件如下。Q (1) 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程iij ,ijuf (2) 電學(xué)方程電學(xué)方程fi , iD 若不存在自由電荷則等式子于零School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Ae

4、ronautical Science and Engineering, BUAAQ2.1 本構(gòu)方程本構(gòu)方程Q(3) 力學(xué)耦合方程力學(xué)耦合方程kijkklijklijEdsEkijkklijklijEeCEE或(4) 電學(xué)耦合方程jEdDijklikli或jEeDijklikliSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ2.3 幾何方程幾何方程Q(5) 變形方程變形方程(6) 電場(chǎng)方程電場(chǎng)方程j ,iji ,ijijuu21 i

5、,igradESchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ2.3 邊界條件邊界條件Q(7) 力學(xué)邊界條件力學(xué)邊界條件(8) 電學(xué)邊界條件電學(xué)邊界條件ijijTn 在S上iiuu 在Su上qnDii在Sq上V在Sv上School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ (1)

6、動(dòng)能dVuu21dVuu21TiipviievpeQ (2) 應(yīng)變能應(yīng)變能dV21dV21UiiviivpeQ (3) 電勢(shì)能電勢(shì)能dVDE21UmmvppSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ (4) 外力功外力功viiviTdSTufdVuWeQ (5) 外電荷功外電荷功qsqqdSW符合說(shuō)明：符合說(shuō)明： Ve、Vp和和V= Ve+ Vp分別為彈性材料體分別為彈性材料體積、壓電材料體積和總體積。積、壓電材料體積和總體積。

7、School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 由由Hamilton原理，系統(tǒng)廣義泛函為：原理，系統(tǒng)廣義泛函為：t1t2qTp0dtWWUUT 將上面的本構(gòu)方程、幾何方程帶入得到系統(tǒng)的能將上面的本構(gòu)方程、幾何方程帶入得到系統(tǒng)的能量泛函為：量泛函為： ssiiVViiijijViiqp0dsqdSuTdvdEDdvdvuu School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAScho

8、ol of Aeronautical Science and Engineering, BUAA能量泛函寫成矩陣形式有：能量泛函寫成矩陣形式有： qpppssTvvTTVVTTTVTdSdqdsTudVEEdVeEdvEedvCdvuu 上式即為分析壓電耦合結(jié)構(gòu)、建立各種位移形式的運(yùn)動(dòng)上式即為分析壓電耦合結(jié)構(gòu)、建立各種位移形式的運(yùn)動(dòng)微分方程的變分形式方程。微分方程的變分形式方程。School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ有限元分

9、析，即有限元方法馮康首次發(fā)現(xiàn)時(shí)稱為基于變分原理的差分方法），有限元分析，即有限元方法馮康首次發(fā)現(xiàn)時(shí)稱為基于變分原理的差分方法），是一種用于求解微分方程組或積分方程組數(shù)值解的數(shù)值技術(shù)是一種用于求解微分方程組或積分方程組數(shù)值解的數(shù)值技術(shù). 這一解法基于完全這一解法基于完全消除微分方程消除微分方程, 即將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組即將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組(穩(wěn)定情形穩(wěn)定情形); 或?qū)⑵⒎址匠袒驅(qū)⑵⒎址匠?組組)改寫為常微分方程改寫為常微分方程(組組)的逼近的逼近, 這樣可以用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值技術(shù)這樣可以用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值技術(shù)(例如歐拉法例如歐拉法,龍格龍格-庫(kù)庫(kù)塔方法等塔方法等)求解求解.Q有限元法最初起源

10、于土木工程和航空工程中的彈性和結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題的研究有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的彈性和結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題的研究. 它的它的發(fā)展可以追溯到發(fā)展可以追溯到Alexander Hrennikoff(1941)和和Richard Courant(1942)的工作的工作. 這這些先驅(qū)者使用的方法具有很大的差異些先驅(qū)者使用的方法具有很大的差異, 但是他們具有共同的本質(zhì)特征但是他們具有共同的本質(zhì)特征: 利用網(wǎng)格利用網(wǎng)格離散化將一個(gè)連續(xù)區(qū)域轉(zhuǎn)化為一族離散的子區(qū)域離散化將一個(gè)連續(xù)區(qū)域轉(zhuǎn)化為一族離散的子區(qū)域, 通常叫做元通常叫做元.Hrennikoff 的工作的工作離散用類似于格子的網(wǎng)格離散區(qū)域離散用類似于格子

11、的網(wǎng)格離散區(qū)域; Courant 的方法將區(qū)域分解為有限個(gè)三角形的方法將區(qū)域分解為有限個(gè)三角形的子區(qū)域的子區(qū)域, 用于求解來(lái)源于圓柱體轉(zhuǎn)矩問(wèn)題的二階橢圓偏微分方程用于求解來(lái)源于圓柱體轉(zhuǎn)矩問(wèn)題的二階橢圓偏微分方程. Courant 的貢的貢獻(xiàn)推動(dòng)了有限元的發(fā)展獻(xiàn)推動(dòng)了有限元的發(fā)展, 繪制了早期偏微分方程的研究結(jié)果繪制了早期偏微分方程的研究結(jié)果.Q從有限元的基本方法派生出來(lái)的方法很多，則稱為三維單元。如有限條法、邊從有限元的基本方法派生出來(lái)的方法很多，則稱為三維單元。如有限條法、邊界元法、雜交元法、非協(xié)調(diào)元法和擬協(xié)調(diào)元法等，用以解決特殊的問(wèn)題。界元法、雜交元法、非協(xié)調(diào)元法和擬協(xié)調(diào)元法等，用以解決特

12、殊的問(wèn)題。School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA 壓電材料的線性本構(gòu)方程為：壓電材料的線性本構(gòu)方程為：) 3 , 2 , 1()6 , 2 , 1(lESeDiEeSCjljklkljEijkEiki用矩陣形式表示為：用矩陣形式表示為： ESeDEeSCSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and E

13、ngineering, BUAAQ 對(duì)于每一個(gè)單元，機(jī)械應(yīng)變可以表示為：對(duì)于每一個(gè)單元，機(jī)械應(yīng)變可以表示為：xvyuxwzuywzvzwyvxuSxyxzyzzyxeSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 又，位移又，位移u、v、w可以用單元節(jié)點(diǎn)位移和形函數(shù)表可以用單元節(jié)點(diǎn)位移和形函數(shù)表示：示：niiiuNu1niiivNv1niiiwNw1School of Aeronautical Science and Enginee

14、ring, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 從而可得：從而可得： xvNyuNxwNzuNywNzvNzwNyvNxuNSniiiniiiniiiniiiniiiniiiniiiniiiniiixyxzyzzyxe111111111School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA上式用矩陣形式表示為：上式用矩陣形式表示為： eueuBSBu為包含形函數(shù)微

15、分的矩陣：為包含形函數(shù)微分的矩陣：000000000 xyxzyzzyxuNNNNNNNNNBSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA對(duì)于每個(gè)單元的對(duì)于每個(gè)單元的x、y、z方向的位移向量表示為：方向的位移向量表示為： iiiezvuu 同樣對(duì)于每個(gè)單元，電場(chǎng)向量可以表示為為：同樣對(duì)于每個(gè)單元，電場(chǎng)向量可以表示為為： zyxEEEEzyxeSchool of Aeronautical Science and Engineering

16、, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA又，電勢(shì)可以用單元節(jié)點(diǎn)電勢(shì)和形函數(shù)表示：又，電勢(shì)可以用單元節(jié)點(diǎn)電勢(shì)和形函數(shù)表示：niiiN1從而：從而： zNyNxNEEEEniiiniiiniiizyxe111School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA上式用矩陣形式表示為：上式用矩陣形式表示為： eeBEB為包含形函數(shù)微分的矩陣：為包含形函數(shù)微分的矩陣：zyxN

17、NNBSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 由壓電材料的虛功原理：由壓電材料的虛功原理：Q 由前面有：由前面有： eeueeeueBuBeDBeuBC eTeeVTeeTeeVTeQudvDEFudvSSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA又：又：Q 將上

18、兩式代入虛功原理有：將上兩式代入虛功原理有： eTeVeTTeuTTeeTeVeTTueuTuTeQdvBBuBeBFudvBeBuBCBuTTeTeTuTeTeBEBuSSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA對(duì)上面的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，就可用得到單元的有限元方程：對(duì)上面的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，就可用得到單元的有限元方程：式中： eeeeeeueueuuFuKKKKQ dvBCBKuTvueuu dvBeBKKTTvuTeueu dvBBK

19、TveSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA對(duì)單元有限元方程進(jìn)行組裝可得壓電材料的整體有限元對(duì)單元有限元方程進(jìn)行組裝可得壓電材料的整體有限元方程：方程： QFuKKKKuuuuSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 壓電分析只能用下列單元類型之一：壓電分析只

20、能用下列單元類型之一：Q (1) PLANE13, KEYOPT(1)=7，耦合場(chǎng)四邊形板單元，耦合場(chǎng)四邊形板單元Q (2) SOLID5, KEYOPT(1)=0或或3，耦合場(chǎng)六面體單元，耦合場(chǎng)六面體單元Q (3) SOLID98, KEYOPT(1)=0或或3，耦合場(chǎng)四面體單元，耦合場(chǎng)四面體單元Q KEYOPT選項(xiàng)激活壓電自由度：位移和電壓。對(duì)于壓電分選項(xiàng)激活壓電自由度：位移和電壓。對(duì)于壓電分析，必須激活位移和電壓自由度，即對(duì)于析，必須激活位移和電壓自由度，即對(duì)于SOLID98要選擇要選擇Degrees of Freedom選項(xiàng)的值為選項(xiàng)的值為UX, UY, UZ, VOLT。對(duì)于。對(duì)于P

21、LANE13要選擇要選擇Degrees of Freedom選項(xiàng)的值為選項(xiàng)的值為UX, UY, VOLT。對(duì)于。對(duì)于SOLID5和和SOLID98，KEYOPT(1)=3僅激活壓電選項(xiàng)。僅激活壓電選項(xiàng)。School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 介電常數(shù)是反映材料的介電性質(zhì)，或極化性質(zhì)的，通常用介電常數(shù)是反映材料的介電性質(zhì)，或極化性質(zhì)的，通常用來(lái)表來(lái)表示。不同用途的壓電陶瓷元器件對(duì)壓電陶瓷的介電常數(shù)要求不示。不同用途的壓電陶瓷元

22、器件對(duì)壓電陶瓷的介電常數(shù)要求不同。例如，壓電陶瓷揚(yáng)聲器等音頻元件要求陶瓷的介電常數(shù)要同。例如，壓電陶瓷揚(yáng)聲器等音頻元件要求陶瓷的介電常數(shù)要大，而高頻壓電陶瓷元器件則要求材料的介電常數(shù)要小。大，而高頻壓電陶瓷元器件則要求材料的介電常數(shù)要小。Q 壓電陶瓷極化處理之前是各向同性的多晶體，這是沿壓電陶瓷極化處理之前是各向同性的多晶體，這是沿1(x)、2(y)、3(z)方向的介電常方向的介電常 數(shù)是相同的，即只有一個(gè)介電常數(shù)。經(jīng)過(guò)數(shù)是相同的，即只有一個(gè)介電常數(shù)。經(jīng)過(guò)極化處理以后，由于沿極化方向產(chǎn)生了剩余極化而成為各向異極化處理以后，由于沿極化方向產(chǎn)生了剩余極化而成為各向異性的多晶體。此時(shí)，沿極化方向的介

23、電性質(zhì)就與其他兩個(gè)方向性的多晶體。此時(shí)，沿極化方向的介電性質(zhì)就與其他兩個(gè)方向 的介電性質(zhì)不同。設(shè)陶瓷的極化方向沿的介電性質(zhì)不同。設(shè)陶瓷的極化方向沿3方向則有關(guān)系方向則有關(guān)系 11=2233 即經(jīng)過(guò)極化后的壓電陶瓷具有兩個(gè)介電常數(shù)即經(jīng)過(guò)極化后的壓電陶瓷具有兩個(gè)介電常數(shù)11和和33School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 介電系數(shù)矩陣介電系數(shù)矩陣(介電常數(shù)介電常數(shù))Q 用用MP命令命令(Main MenuPreprocessorM

24、aterial PropsMaterial ModelsElectromagnetics Relative PermittivityOrthotropic)定義定義PERX、PERY和和PERZ。這些常數(shù)分別表示的是介電系數(shù)矩陣。這些常數(shù)分別表示的是介電系數(shù)矩陣 s上標(biāo)上標(biāo)“s表示常數(shù)值是在常應(yīng)變條件下計(jì)表示常數(shù)值是在常應(yīng)變條件下計(jì)得到的的對(duì)角分量得到的的對(duì)角分量11,22,33。Q 壓電陶瓷具有壓電性，即施加應(yīng)力時(shí)能產(chǎn)生額外的電荷。其所產(chǎn)生壓電陶瓷具有壓電性，即施加應(yīng)力時(shí)能產(chǎn)生額外的電荷。其所產(chǎn)生的電荷與施加的應(yīng)力成比例，對(duì)于壓力和張力來(lái)說(shuō)，其符號(hào)是相反的電荷與施加的應(yīng)力成比例，對(duì)于壓力和張

25、力來(lái)說(shuō)，其符號(hào)是相反的，用介質(zhì)電位移的，用介質(zhì)電位移D單位面積的電荷和應(yīng)力單位面積的電荷和應(yīng)力T單位面積所受單位面積所受的力表示如下的力表示如下D=Q/A=dT 式中，式中，d的單位為庫(kù)侖的單位為庫(kù)侖/牛頓牛頓C/N），這正是正壓電效應(yīng)。還有一個(gè)逆壓電效應(yīng)，既施加電場(chǎng)，這正是正壓電效應(yīng)。還有一個(gè)逆壓電效應(yīng)，既施加電場(chǎng)E時(shí)成比時(shí)成比例地產(chǎn)生應(yīng)變例地產(chǎn)生應(yīng)變S，其所產(chǎn)生的應(yīng)變?yōu)榕蛎浕驗(yàn)槭湛s取決于樣品的極，其所產(chǎn)生的應(yīng)變?yōu)榕蛎浕驗(yàn)槭湛s取決于樣品的極化方向?；较颉?S=dE 式中，式中，d的單位為米的單位為米/伏伏m/v）。上面兩式中的比）。上面兩式中的比例常數(shù)例常數(shù)d稱為壓電應(yīng)變常數(shù)。對(duì)于正和逆壓

26、電效應(yīng)來(lái)講，稱為壓電應(yīng)變常數(shù)。對(duì)于正和逆壓電效應(yīng)來(lái)講，d在數(shù)值在數(shù)值上是相同的。上是相同的。Q 對(duì)于企圖用來(lái)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)或振動(dòng)對(duì)于企圖用來(lái)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)或振動(dòng)(例如，聲納和超聲換能器例如，聲納和超聲換能器)的材料來(lái)的材料來(lái)說(shuō)，希望具有大的壓電應(yīng)變常數(shù)說(shuō)，希望具有大的壓電應(yīng)變常數(shù)d。另一個(gè)常用的壓電常數(shù)是壓電。另一個(gè)常用的壓電常數(shù)是壓電電壓常數(shù)電壓常數(shù)g，它表示內(nèi)應(yīng)力所產(chǎn)生的電場(chǎng)，或應(yīng)變所產(chǎn)生的電位移，它表示內(nèi)應(yīng)力所產(chǎn)生的電場(chǎng)，或應(yīng)變所產(chǎn)生的電位移的關(guān)系。常數(shù)的關(guān)系。常數(shù)g與常數(shù)與常數(shù)d之間的關(guān)系如下：之間的關(guān)系如下：g=d/e 此外，還有不常用此外，還有不常用的壓電應(yīng)力常數(shù)的壓電應(yīng)力常數(shù)e和壓電勁度常數(shù)

27、和壓電勁度常數(shù)h；e把應(yīng)力把應(yīng)力T和電場(chǎng)和電場(chǎng)E聯(lián)系起來(lái)，聯(lián)系起來(lái)，而而h把應(yīng)變把應(yīng)變S和電場(chǎng)和電場(chǎng)E聯(lián)系起來(lái)，既聯(lián)系起來(lái)，既T=-eE ; E=-hSSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 壓電矩陣壓電矩陣Q 可以定義可以定義e型壓電應(yīng)力矩陣或型壓電應(yīng)力矩陣或d型壓電應(yīng)變矩陣型壓電應(yīng)變矩陣的壓電矩陣。的壓電矩陣。e型矩陣典型地與剛度矩陣型矩陣典型地與剛度矩陣c的各向異性彈性的各向異性彈性輸入有關(guān)，而輸入有關(guān)，而d矩陣與柔度

28、矩陣矩陣與柔度矩陣s的輸入相關(guān)。的輸入相關(guān)。 e矩陣和矩陣和d矩陣使用下列數(shù)據(jù)表輸入：矩陣使用下列數(shù)據(jù)表輸入： 111213212223313233414243515253616263eeexeeeyeeezeeeexyeeeyzeeezx 1112212231324142eexeeyeeezeexy2D情況情況3D情況情況School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 大多數(shù)已公布的壓電材料的大多數(shù)已公布的壓電材料的e矩陣數(shù)據(jù)都是

29、基于矩陣數(shù)據(jù)都是基于IEEE標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)按照按照x,y,z,yz,xz,xy的順序，而的順序，而ANSYS的輸入數(shù)據(jù)是按照的輸入數(shù)據(jù)是按照x,y,z,xy,yz,xz的順序。也就是說(shuō)，輸入該參數(shù)時(shí)必須通過(guò)改的順序。也就是說(shuō)，輸入該參數(shù)時(shí)必須通過(guò)改變剪切項(xiàng)的行數(shù)據(jù)以轉(zhuǎn)換到變剪切項(xiàng)的行數(shù)據(jù)以轉(zhuǎn)換到ANSYS數(shù)據(jù)格式。數(shù)據(jù)格式。 111213212223313233616263414243515253eeexeeeyeeezANSYSeeeexyeeeyzeeezx中Ansys中中e矩陣的輸入矩陣的輸入School of Aeronautical Science and Engineering, BUA

30、ASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 剛度矩陣和柔度矩陣的輸入與其它材料相同。剛度矩陣和柔度矩陣的輸入與其它材料相同。School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ ANSYS 中中 PLANE13 單元為單元為 4節(jié)點(diǎn)四邊形單元，節(jié)點(diǎn)四邊形單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有 4 個(gè)自由度，該單元也可以退化個(gè)自由度，該單元也可以退化為為 3 節(jié)點(diǎn)三角形單元。在用

31、于純結(jié)構(gòu)分析時(shí)，具節(jié)點(diǎn)三角形單元。在用于純結(jié)構(gòu)分析時(shí)，具有大變形和應(yīng)力剛度能力。當(dāng)有大變形和應(yīng)力剛度能力。當(dāng) PLANE13 單元用單元用于模擬壓電傳感器于模擬壓電傳感器/致動(dòng)器時(shí)，在非退化狀態(tài)下該致動(dòng)器時(shí)，在非退化狀態(tài)下該單元為具有單元為具有 12 個(gè)自由度的四邊形單元，每個(gè)節(jié)個(gè)自由度的四邊形單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含兩個(gè)位移點(diǎn)包含兩個(gè)位移( x方向和方向和 y 方向方向)自由度和一個(gè)自由度和一個(gè)壓電自由度，單元形狀和節(jié)點(diǎn)信息如下圖壓電自由度，單元形狀和節(jié)點(diǎn)信息如下圖 所示所示School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of

32、Aeronautical Science and Engineering, BUAAPLANE13 單元單元School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 單元節(jié)點(diǎn)位移向量為：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移向量為：Q 將單元內(nèi)部任意點(diǎn)的位移和電壓用節(jié)點(diǎn)位移向量將單元內(nèi)部任意點(diǎn)的位移和電壓用節(jié)點(diǎn)位移向量表示為：表示為：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aerona

33、utical Science and Engineering, BUAAQ 其中，其中，u 為沿為沿 x 軸方向位移，軸方向位移，v 為沿為沿 y 軸方向位軸方向位移，移， 為節(jié)點(diǎn)電壓自由度，單元形狀函數(shù)為節(jié)點(diǎn)電壓自由度，單元形狀函數(shù) Ni為為 式中，式中，s、 t -1,1，為單元的正則化自然坐標(biāo)。，為單元的正則化自然坐標(biāo)。 School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 根據(jù)線彈性應(yīng)變位移物理方程可得單元內(nèi)部應(yīng)變根據(jù)線彈性應(yīng)變位

34、移物理方程可得單元內(nèi)部應(yīng)變與單元節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式分別為：與單元節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式分別為： 其中其中School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA 單元應(yīng)變可簡(jiǎn)化為單元應(yīng)變可簡(jiǎn)化為同理根據(jù)電壓電場(chǎng)關(guān)系可得電場(chǎng)強(qiáng)度與單元節(jié)點(diǎn)電壓同理根據(jù)電壓電場(chǎng)關(guān)系可得電場(chǎng)強(qiáng)度與單元節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系式為：的關(guān)系式為：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautica

35、l Science and Engineering, BUAA其中其中對(duì)于壓電平面問(wèn)題，通常壓電材料的極化方向?yàn)檠睾駥?duì)于壓電平面問(wèn)題，通常壓電材料的極化方向?yàn)檠睾穸榷?y 方向極化，假定壓電層中電壓在厚度方向極化，假定壓電層中電壓在厚度 y 方向?yàn)榫€方向?yàn)榫€性分布，單元內(nèi)部的電場(chǎng)強(qiáng)度為常數(shù)，設(shè)壓電層厚度性分布，單元內(nèi)部的電場(chǎng)強(qiáng)度為常數(shù)，設(shè)壓電層厚度為為 tp，則可得電場(chǎng)強(qiáng)度，則可得電場(chǎng)強(qiáng)度 Ee為：為： School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineeri

36、ng, BUAAQ SOLID5 單元為單元為 8 節(jié)點(diǎn)六面體實(shí)體耦合壓電場(chǎng)單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)六面體實(shí)體耦合壓電場(chǎng)單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有節(jié)點(diǎn)最多有6 個(gè)自由度，當(dāng)將個(gè)自由度，當(dāng)將 SOLID5 單元用于模擬壓電單元用于模擬壓電傳感器傳感器/致動(dòng)器時(shí)，該單元為具有致動(dòng)器時(shí)，該單元為具有 32 個(gè)自由度的實(shí)體單元個(gè)自由度的實(shí)體單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含三個(gè)位移，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含三個(gè)位移( x 方向、方向、 y 方向和方向和 z 方向方向)自由度自由度和一個(gè)壓電自由度，單元形狀和節(jié)點(diǎn)信息如下圖和一個(gè)壓電自由度，單元形狀和節(jié)點(diǎn)信息如下圖 所示。所示。 SOLID5 單元單元School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool