含參不等式練習(xí)題及解法

1、含參不等式練習(xí)題及解法解：不等式不等式x2-x-20(x+1)(x-2)0 x2x2-x-20的解集A=(-8,-1)U(2,不等式2x2+（2R+5）x+5R0（x+R）（2x+5）0設(shè)這一不等式的解集為B,則由-2它B,得：(-2+R)(-4+5)00R25/、.叼2注息到(x+R)(2x+5)=0的根為XI=-R,J,2RMXB二(-2,R)當(dāng)之時(shí),由得B=(工-，)即此時(shí)-2、B眾所周知，不等式解法是不等式這一板塊的高考備考重點(diǎn)，其中，含有參數(shù)的不等式的問題，是主考命題的熱點(diǎn),又是復(fù)習(xí)提高的難點(diǎn)。（1）解不等式，尋求新不等式的解集；（2）已知不等式的解集（或這一不等式的解集與相關(guān)不等式

2、解集之間的聯(lián)系），尋求新含參數(shù)的值或取值范圍。（3）注意到上述題型（2）的難度與復(fù)雜性，本專題對(duì)這一類含參不等式問題的解題策略作以探索與總結(jié)。一、立足于直面求解”解不等式的過程是一系列等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程，對(duì)于有關(guān)不等式的解”的問題，直面不等式求解，有時(shí)是問題解決的需要，有時(shí)是解決問題的基礎(chǔ)或手段。所給問題需要在獲得不等式的解集或最簡(jiǎn)形成后，方可延伸或突破時(shí)，則要果斷地K+2rz3,f-1+一廠（口R,m=0）從求解不等式切入。例1.設(shè)關(guān)于x的不等式mm（1）解此不等式；（2）若不等式解集為（3,+8）,求m的取值范圍；（3）若x=3屬于不等式的解集，求m的取值范圍分析：著眼于不等式的等價(jià)變形，注意

3、到這里m20,m2同乘以不等式兩邊，則不等式轉(zhuǎn)化為axb型，于是可以x的系數(shù)a的取值為主線進(jìn)行討論解：（1）由題設(shè)，原不等式=m（x+2）m2+（x-3）（m仁R,0）m2-2m-3盥1；=（m-1）xm2-2m-3（1）.,.當(dāng)m1時(shí)，由（1）解得山一1m,2m3K當(dāng)m=1時(shí)，由（1）得xR;當(dāng)m1時(shí)，原不等式的解集為山-1當(dāng)m=1時(shí)，原不等式的解集為,m2-2m-3.S）當(dāng)m12m3.om=5=3（2）若不等式的解集為（3,+8）,則由（1）知應(yīng)得Lm1.此時(shí)m的取值范圍為5（3）注意到x=3為不等式的解，將此時(shí)所求m的取值范圍為（0,5）點(diǎn)評(píng)：對(duì)于（2）,已知含參不等式的解集，要求的是所

4、含參數(shù)m的取值-2m-3=5范圍。對(duì)此，我們正是立足于（1）直面求解，由已知解集的特征斷定m-10以及m-l,m的取值或取值范圍由此而產(chǎn)生。1-*20,2xa4（2R+5）+5Rm2-2m-3m2-5m0110m5R至303Rx|x七AnB,x七Z=-2.22于是由、得所求實(shí)數(shù)的取值范圍為-3,2)點(diǎn)評(píng)：在這里，考察的重點(diǎn)是含有參數(shù)的成員不等式，設(shè)含參不等式2x2+(2R+5)x+5R0的解集為B,而后首先由-學(xué)B獲得一個(gè)必要的R的取值范圍，進(jìn)而立足于這一范圍。以含參不等式左邊(x+R)(2x+5)=0的根的大小為主線引入討論。首先由整數(shù)元素的從屬獲得問題存在的必要條件，而后立足于必要條件對(duì)應(yīng)

5、的范圍進(jìn)行討論，這是解決含數(shù)元素的集合問題的基本策略。二、致力于牝生為熟”化生為熟是解題的通用方略，正如一位俄羅斯女?dāng)?shù)學(xué)家所言：解題，就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題而對(duì)所給出的具體問題，如何化生為熟？則要根據(jù)問題的具體的條件與目標(biāo)來決定問題轉(zhuǎn)化的手段方向。1、化生為熟之一：轉(zhuǎn)化為二次不等式或整式不等式問題。二次不等式是我們所熟知的事物，因此，如果問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式或整式不等式問題，則解題便勝券在握。的解集為(-00,1)u(2,+),求a的取值范圍。故想到利用分式不等式的基本變形轉(zhuǎn)化為整式不等式的解集問題。ann+l/Q-10O0解法一：(分類討論)：由已知不等式解集的形式得:1所求a的

6、取值范圍為乙例1.若不等式X-1分析：注意到所給不等式，1解：不等式,=(a-1)x+1(x-1)0且1-aw1以下以式左邊多項(xiàng)式的根1一2與1的大小為主線展開討論:1(1)當(dāng)01-a1即0a1時(shí)，1一a1、L口由題設(shè)條件得1一私1由得x1,即a0時(shí)雪1這與題設(shè)條件不符解法二：(利用對(duì)一元二次不等式解集的認(rèn)知)原不等式=(1-a)x-1(x-1)0注意到一元二次不等式解集端值必為相應(yīng)方程的根于是由(1)、(2)所得2a的取值范圍為之又原不等式的解集為(-OO,1)U(2,+00)的解集與一元二次方程ax2+bx+c=0的根之間的關(guān)系，可使問題簡(jiǎn)單化。2、化生為熟之二：轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系問題，集

7、合既是數(shù)學(xué)中的原始概念，又是數(shù)學(xué)問題的基本載體。同樣，集合間的關(guān)系既是數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，又是問題轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，關(guān)于兩個(gè)不等式(或方程)的解的關(guān)系問題，向著集合間的關(guān)系問題轉(zhuǎn)化，是化生為熟的主要方向之一。1-a點(diǎn)評(píng)：這里枇生為熟”的手段是不等式的等價(jià)變形一般地，若一元二次不等式(ax+b)(cx+d)0(1)ac0(2)XI為方程ax+b=0或cx+d=0尸a之0的解集為(-00,的實(shí)根；x2為方程XI)U(x2,+8)則必需ax+b=0或cx+d=0的實(shí)根;的解集為(-3,-1)U2,+?，求實(shí)數(shù)a的值分析:對(duì)于這類不等式或比較復(fù)雜的分式不等式問題解:原不等式 O(x+a)(x2+4x+3)02+

8、:4x+3w0)， 例2的解題思路能起重要的啟示作用設(shè)f(x)=(x+1)(x+3)(x+a)(x-3且x-1)則原不等式由題設(shè)知x=2為方程f(x)=0的根，(2)=0=a=-2(x+1)(x+3)(x+a)f(x)0.所求實(shí)數(shù)a=-20(xx3)點(diǎn)評(píng)：利用一元二次不等式ax2+bx+c00a_pc-a例1.若對(duì)4中的一切實(shí)數(shù)a,滿足不等式式-叫b的x也滿足不等式2，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：注意到各不等式的解組成集合，為將已知的兩不等式的解”之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系，首先從化簡(jiǎn)兩個(gè)不等式的解集切入解：設(shè)集合A=x|x-a|bB二乳|無一a設(shè)集合由題設(shè)知AB,則：A=（a-b,a

9、+b）右鼻工工）則:(1)131、2+2)(2)故由，得:a-a2o31a+a+注意到4 40,于是由（5）、（6）得b的取值范圍為6點(diǎn)評(píng)：當(dāng)解題過程中出現(xiàn)二次三項(xiàng)式時(shí)，配方成為解題的基本方法與基本技巧。例2.要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x2-9x+a0（解集非空）的每一個(gè)x的值至少滿足不等式x2-4x+30和x2-6x+80中的一個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：根據(jù)例1的解題經(jīng)驗(yàn)，我們以求出有關(guān)不等式的解集切入，而后利用有關(guān)解集之間的關(guān)系突破。解:設(shè)A=x|x2-4x+30,則A=（1,3）;B=x|x2-6x+80,貝IB=（2,4）;.AUB=(1,4)設(shè)C=x|2x2-9x+a。得x|f(x

10、)0a-707a3于是可知實(shí)數(shù)a的取值范圍為點(diǎn)評(píng)：上述解答進(jìn)行了兩次轉(zhuǎn)化:不等式， 于是在CAUB= （1,們所熟悉的，于是解題勝利在望。第一次是轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系：CAUB;第二次是注意到2x2-9x+a0為二次4）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為已知一元二次不等式的解集，而這樣的問題恰是我配伍練習(xí):已知三個(gè)不等式:(1)|2x-4|0對(duì)任何xER恒成立 Ua0且A=b-4ac0;ax2+bx+c0對(duì)任何xR恒成立臺(tái)a0且A=b-4ac0;而與上述不等式恒成立相互依存，相互支撐與相互轉(zhuǎn)化的，是在其基礎(chǔ)上滋生出的關(guān)于最值的命題:禮f(x)恒成立口心f(x)的最大值或心f(冊(cè)上確界3K3+2X+2例

11、1.(1)若對(duì)于任意X曰R恒有X十芯+1(2)已知不等式|x+1|+|x-2m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。3慧+2聶+2解：(1)注意到對(duì)任意xWR,總有x2+x+10.對(duì)任意xR恒烹4笈+1成立=對(duì)任意xER恒有3x2+2x+2m(x2+x+1)成立=對(duì)任意x R恒(3-m)x2+(2-m)x+(2-m)0成立ftn一A-(2-4(3-m)m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立=mf(x)的最小值(1)-f(x)=|x+1|+|x-2|4(x+1)-(x-2)|=3(當(dāng)且僅當(dāng)-1x2寸等號(hào)成立).f(x)的最小值為3(當(dāng)且僅當(dāng)義亡-1,2時(shí)所得)(2)于是由(1)(2)得m3,即所求的取值范圍為(

12、一血刃|2歸5例2.若不等式3定一2芯+3對(duì)一切產(chǎn)R恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：為化生為熟，首先考慮在不等式的等價(jià)變形過程中去掉絕對(duì)值，而后再轉(zhuǎn)化為二次三項(xiàng)式大于0(或小于0a2+2mx+1X3+1I-150=5-0注意到3.原不等式對(duì)一切xER恒成立=5(3x2-2x+3)x2+2mx+15(3x2-2x+3)對(duì)一切xER恒成立V+2mx+l+10 x-1572-(m-k5-k701對(duì)于一切篡 wR 反成立區(qū)我去(m-5)u+g、0+5)2-4x730j-199(m4X/M。-11meN”)，求m的值對(duì)于一切理近艮恒成立11m9(1)|2x-4|5-x;(2);(3)2x2+mx-10若

13、同時(shí)滿足不等式(1)(2)的x也滿足不等式(3),試求m的取值范圍分析：本例的條件與結(jié)論與例2頗為相似，于是考慮由例2的解題思路切入并延伸。解：將(1)(2)聯(lián)立，得：|-4|5-x則由1)得mg(x)恒成立amg(x)的最小值或meg(x)的下確界注意到g(x)在(0,1)U(2,3)內(nèi)為減函數(shù)求m的取值范圍.分析：注意到這里含有抽象的函數(shù)符號(hào)設(shè)不等式(1)的解集為A,(2)的解集為B00 x1或2Vx3(3)的解集為C則有AnB=0,1).再由題設(shè)知，當(dāng)U當(dāng)xE0,1)注意到當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)xW0,1)IU(2,3)由題設(shè)知AHBcC，即0,1)U(2,3)墨Cx0,1)U(2,3)時(shí)，不等

14、式(3)恒成立U2,3,時(shí)，不等式2x2+mx-10恒成立2x2+mx-10顯然成立，U2,3,時(shí)，不等式2x2+mx-10恒成立Om-2x(0 x1 或 2x3,恒成立虱然)=-2式口乳父1或2式笈(3),設(shè)：Sg(x)g(3)又m 玉,17師)-yg(x)的下確界為,17,r?由(2)(3)得m的取值范圍為點(diǎn)評(píng)：題面與第一步的轉(zhuǎn)化都與前面的例2有著驚人的相似之處”，但是第二步的轉(zhuǎn)化卻有著明顯的差異：前者是轉(zhuǎn)化為已知二次函數(shù)f(x)au+-例1.若不等式2的解集為(4,b),求a,b的值分析：此類問題在一元二次不等式板塊中經(jīng)常出現(xiàn)。注意到我們對(duì)一元二次不等式的認(rèn)知:ax2+bx+c0的解集為

15、(ax2+bx+c0的解集為(x1,x2)-00,x)=aa0且x1,x2為一元二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)根。于是由此不等式所含的數(shù)和ax想到：借助換元，將所給問題，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式問題。r-Q解：設(shè)t=而，則t0且原不等式3-t+-(州0)at由題設(shè)知關(guān)于t的不等式(t格解集為(2,病)就一t十一二一元二次方程的兩根為2,由韋達(dá)定理得2+、歷-a2r 歷二2a13=一b=36點(diǎn)評(píng)：這里枇生為熟”的手段是由此解得換元”，變量轉(zhuǎn)換，是使問題完成從例2.定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，當(dāng)xG0,無理”向有理”的質(zhì)的轉(zhuǎn)變的重要手段.?一J時(shí)，f(sin2x-msinx+m)

16、+f(-2)0恒成立,“f；故首先想到通過反用”單調(diào)性的定義脫去“f；將所給問題轉(zhuǎn)化為普通的不等式恒成立的問題；又注意到“f之下是關(guān)于sinx的二次三項(xiàng)式，為使有關(guān)不等式以及解題過程雙雙簡(jiǎn)明，考慮第二次轉(zhuǎn)化時(shí)運(yùn)用變量轉(zhuǎn)換.解：由f(x)為奇函數(shù)得-f(-2)=f(2)f(sin2x-msinx+m)-f(-2)當(dāng)xe0,2時(shí)恒成立=f(sin2x-msinx+m)f(2)當(dāng)x0,2時(shí)恒成立令sinx=t,則由xE0,2得0tf(2)當(dāng)t0,1時(shí)恒成立又f(x)在R上為減函數(shù)，.由得t2-mt+m2當(dāng)痕0,1時(shí)恒成立Om(1-t)2-t2當(dāng)t0,1時(shí)恒成立當(dāng)t=1時(shí)，對(duì)任意mGR都有m(1-t)

17、2-t2成立2-當(dāng)t*l時(shí)，令g(x)=1-E(0t1)則由得mg(t)(0t1)恒成立23-=1mg(t)(0t1)的最小值-.1g(t)=1一上=1一易知g(t)在0,1)內(nèi)遞增，.ga)有最小值g(0)=2由得m2于是由，得所求m的取值范圍為(-8,2)點(diǎn)評(píng)：回顧上述解題過程，在脫去符號(hào)“f之后，首先借助換元，促使關(guān)于sinx的二次不等式恒成立的問題，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次不等式恒成立的問題，完成化繁為簡(jiǎn)的第一次轉(zhuǎn)化；在此基礎(chǔ)上進(jìn)而由對(duì)式的主元轉(zhuǎn)換”切入，使問題2-?進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為g(x)=1一(0tm(x2-1)對(duì)于me-2,2成立，求x的取值范圍分析：注意到這里限定m的范圍，所以若將已知不

18、等式視為關(guān)于m的一次型不等式，則所給問題便轉(zhuǎn)化為：已知關(guān)于m的一次型不等式在mE-2,2上恒成立，求其系數(shù)中所含x的取值范圍，于是，利用一次函數(shù)的單調(diào)性便可輕易破解解：原不等式=(1-x2)m+(2x-1)0f(m)=(1-x2)m+2x-1則f(m)為m的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，其幾何意義為直線,-f(m)A。(一2WmW2)Q0于是原不等式對(duì)任意mE-2,2成立f(-2)0f(2)0(/_11+#).xc22點(diǎn)評(píng)：上述解法的詳細(xì)過程為分類討論：當(dāng)1-x20=-1x0。0(-20二(ii)當(dāng)1-x20Qx1時(shí),f(m)在2,2上為減函數(shù)f(2)X3-x-01K0(-2Vme2得(iii)當(dāng)-xJ

19、。x=1時(shí)當(dāng)x=1時(shí)f(m)=10當(dāng)x=-1時(shí)f(m)=-30不成立，綜上(i)(ii)(iii)得所求的x的取值范圍為22兀支例2.已知對(duì)于滿足pGsin3”且“匕-6,6的所有實(shí)數(shù)p,不等式log22x+plog2x+12log2x+p恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.分析：由題設(shè)易得p-2,2,所給不等式為10g2x的二次不等式，也可視為P的一次型不等式，由此想到以P為主a巨得士元考察并轉(zhuǎn)化問題.解：由P=16sin3a,66又不等式log22x+plog2x+12log2x+pQ10g22x+(P-2)log2x+(1-P)0(以x為主元)=(log2x-1)P+(log22x-2log2x

20、+1)0(以P為主元)設(shè)f(p)=(log2x-1)p+(log2x-1)2注意到當(dāng)10g2x=1即x=2時(shí)原不等式不成立故f(p)為p的一次函數(shù)，并且由得所給問題等價(jià)于f(p)在區(qū)間-2,2上恒大于0豚)2Q 沼洛-1 戶(1 咤/-1)打 0氏 2)0-2gg/-1)+gg/-1/0故這里x半2,即這里的f(p)不存在為常數(shù)求的情形&-0若a,b七-11且awb,則有3一bf0c+與其工)；(2)解不等式(3)若f(x)(注-2am+1對(duì)所有x-1,1,a卜1,1恒成立，求m的取值范圍。分析：注意到這里f(x)為軸象數(shù)，故(1)的數(shù)解只能運(yùn)用數(shù)的單調(diào)性定義，而f(x)的單調(diào)性一經(jīng)確

21、定，便為(2)的推理以及(3)的轉(zhuǎn)化奠定理論基礎(chǔ)。解：(1)設(shè)x1,x2-1,1且x10玄一14并且由題設(shè)得I2f(x1)-f(x2)0，即f(x1)0今：Jog：暇葛+301O0 x32點(diǎn)評(píng)：在這里不可忽略考察(3)中P的關(guān)系10g2x-1=-0的料情形,(0l)u(8,+ca)所求實(shí)數(shù)x的取值范圍為2事實(shí)上，當(dāng)10g2x-1=0即x=2時(shí)原不等不成立,(1)判斷f(x)在區(qū)間-1,1的單調(diào)性;.利用增數(shù)定義為Kl2a：-11x-111K+2x(3)由(1)知f(x)在閉區(qū)間卜1,1上為增函數(shù)Qm2-2am+1(-Kaf(x)(-1x0在aE1,1上恒成立0(-2m)a+m2o在ae1,1上

22、恒成立當(dāng)g(a)=(-2m)a+m2,則g(a)為a的一次函數(shù)g(a)0a-1,1上恒成立=g(1)(0.g(-1)00me-2或m2所求m的取值范圍為(-8-m)U2,+8點(diǎn)評(píng)：這里的解題經(jīng)歷三次視角的轉(zhuǎn)化：第一次是由到，將f(x)在給定區(qū)間上遞增，視為相關(guān)不等式在給定區(qū)間上恒成立；第二次是以到，將不等式與f(x)的最大值建立聯(lián)系；第三次是從到，將關(guān)于m的二次不等式視為關(guān)于a的一次型不等式，由此，解題一步步轉(zhuǎn)化，一步步走向熟悉與簡(jiǎn)明五、練習(xí)(高考真題)1、(2005-遼寧卷)在R上定義運(yùn)算x:xXy=x(1-y),若不等式(x-a)x(x+a)1對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，則()1331_一A.-1a

23、1B,0a0設(shè)x。三(0,+oo),y=kx+m是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x。f(x。)處的切線方程，并設(shè)函數(shù)g(x)=kx+m(1)用x0f(x0),f0恢I示m；(2)證明：當(dāng)xE(0,+00)時(shí)，g(x)f(x)；3-僵*+12ax+b之(3)若關(guān)于x的不等式之在0,+00)上恒成立，其中a,b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系。分析與解答：1、分析：注意到我們對(duì)上面定義的陌生，故首先想到從本題對(duì)運(yùn)算的定義切入，將有關(guān)不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式：由所給定義(x-a)x(x+a)1對(duì)任意x已R成立(1-x-a)0對(duì)xR恒成立13(1-a2+a)0J4a2-4a-33m2-5m-3&

24、;3或m2-5m-33m6(-8,-1U0,5U6,+8時(shí)，命題P正確3宜。+2tnx+mM(父4-+rn+3333.原不等式的解集為1-f(x)f(1)(以m為主元(以m為主元-1,1,口,1上恒成立在a-1,1上恒成立由(5)(6)得x-a)A=1-42、分析：故應(yīng)選Cx1x2=-2(2)命題P正確 Q 不等式m2-5m-31之Ja*十8十號(hào).,z1對(duì)任總頭數(shù)a巳-1,1成立(1).2 虎W3,即爐瓦的最大值為 30-1a1,8a2+89,即當(dāng)m六引=又f(糊圖象是開口向上的拋物線.要使f(x)在(-8,+8)上有極值，只需f(曲最小值小于零-4=一一；一+033Um4即當(dāng)mW(-00,-1)U(4,+q時(shí)，命題Q正確(3)于是由(2)、(3)知，當(dāng)命題P、Q同時(shí)正確時(shí)，m的取值范圍由(-8,-1)U(4,5U6,+8)。點(diǎn)評(píng)：在這里命題Q的轉(zhuǎn)化：注意到f(x)在R上可導(dǎo)，所以f(x)在R上存在極值，只需V(x)可取正值、負(fù)數(shù)與零值，又V(x)是二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù)，且在R上連續(xù)，故只V(x)的最小值小于0,這一步步化隱為明的轉(zhuǎn)化，值得我們品悟與借鑒.3、分析：(1)注意到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考慮從寫出曲線y=f(