激光原理與技術p4ppt課件

1、上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術激激 光光 原原 理理第二章 開放式光腔與高斯光束上海大學物理系上海大學物理系電子信息科學與技術教研室電子信息科學與技術教研室上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術光腔高斯光束方式構成；分類；損耗；ABCD矩陣及應用；穩(wěn)定條件數(shù)學解法；模式特性場分布、諧振頻率、等相位面、衍射損耗等）高斯光束特性及在實際中的應用內容內容自由空間、透鏡球面反射鏡）、平面介電界面、球自由空間、透鏡球面反射鏡）、平面介電界面、球面鏡諧振腔面鏡諧振腔上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術2.1 光腔理論的一般問題光腔理論的一般問題l諧振腔的

2、作用諧振腔的作用l無源諧振腔無源諧振腔l理論依據(jù)理論依據(jù)l開放式光腔開放式光腔l開腔的分類開腔的分類l光腔的損耗光腔的損耗一、概述一、概述上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術諧振腔的作用諧振腔的作用l提供軸向光波模的正反饋提供軸向光波模的正反饋l控制腔內振蕩光束的特性控制腔內振蕩光束的特性直接控制光束的橫向分布特性、光斑大小、諧振頻率直接控制光束的橫向分布特性、光斑大小、諧振頻率及光束發(fā)散角等及光束發(fā)散角等上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術無源諧振腔無源諧振腔l不考慮腔內激活介質的影響不考慮腔內激活介質的影響l無源腔的模式可以作為具有激活物質腔有源腔的激光模無

3、源腔的模式可以作為具有激活物質腔有源腔的激光模式的良好近似式的良好近似l激活介質的作用主要是補充腔內電磁場在振蕩過程中的能量激活介質的作用主要是補充腔內電磁場在振蕩過程中的能量損耗，使之滿足閾值條件；激活介質對場的空間分布和振蕩頻損耗，使之滿足閾值條件；激活介質對場的空間分布和振蕩頻率的影響是次要的，不會使模式發(fā)生本質的變化率的影響是次要的，不會使模式發(fā)生本質的變化上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術采用的理論采用的理論l衍射光學理論衍射光學理論衍射明顯衍射明顯, 模式的精細描述模式的精細描述l不同模式按不同模式按 場分布場分布,損耗損耗,諧振頻率諧振頻率 來區(qū)分來區(qū)分l幾何光

4、學理論幾何光學理論忽略反射鏡邊緣衍射效應，推導忽略反射鏡邊緣衍射效應，推導腔的穩(wěn)定性條件腔的穩(wěn)定性條件l不同模式按傳輸方向和諧振頻率來區(qū)分，粗略、簡不同模式按傳輸方向和諧振頻率來區(qū)分，粗略、簡單明了單明了上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術閉腔開腔氣體波導腔波導管忽略側面邊界的影響波導管的孔徑比較小，不能忽略側面邊界的影響光腔的構成與分類光腔的構成與分類l1l2l3折疊腔折疊腔環(huán)形腔環(huán)形腔光學諧振腔光學諧振腔 (Optical Cavity) (Optical Cavity) 上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術光腔的分類光腔的分類按腔的幾何逸出損耗的高低分類:

5、穩(wěn)定腔,非穩(wěn)定腔,臨界腔l穩(wěn)定腔：旁軸傍軸光線在腔內多次往返而不逸出腔外，具有較低的幾何損耗l非穩(wěn)腔：傍軸光線在腔內經(jīng)過少數(shù)幾次往返就逸出腔外，具有較高的幾何損耗l臨界腔：性質介于穩(wěn)定腔和非穩(wěn)腔之間，只有少數(shù)特定光線能在腔內往返傳播上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術諧振腔可以按不同的方法分類：穩(wěn)定腔、非穩(wěn)定腔、臨界腔球面腔與非球面腔高損腔與低損腔駐波腔與行波腔兩鏡腔與多鏡腔簡單腔與復合腔端面反饋腔與分布反饋腔本章討論：由兩個球面鏡構成的開放式光學諧振腔 上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術 二、光腔理論與模式二、光腔理論與模式 （概述）（概述） 1. 1. 光

6、腔理論光腔理論 ( (激光模式理論激光模式理論) ) 研究模式基本特征及其與腔結構研究模式基本特征及其與腔結構關系關系有限范圍的電磁場分立的本征態(tài)腔內存在的場分布 激光模式沿光軸方向縱向場分布E(z) 縱模場分布場分布垂直于光軸方向(橫向)場分布E(x,y)橫模 模式主要特征： * 場分布，諧振頻率，往返損耗，發(fā)散角上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術02,2LqcqLqq2220qLqq為整數(shù)L為腔的光學長度， L為腔的幾何長度。在整個腔內充滿折射率為的均勻物質。那么：/,0 LLF-P腔中沿軸向傳播的平面波的諧振條件0q為腔的諧振波長，q為腔的諧振頻率。諧振頻率是分立的。L

7、qcqLqq2,2q為物質中的諧振波長(2-1-1)式(2-1-1)又稱為光腔的駐波條件諧振條件干涉儀理論）諧振條件干涉儀理論） 縱?？v模上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術L 駐波場分布tkzEEsinsin20L波節(jié)波節(jié) 縱模間隔 滿足q的平面駐波場是F-P平行腔的本征模式特點：腔的橫截面內的場分布是均勻的；沿腔的軸線方向縱向形成駐波。駐波的波節(jié)數(shù)由q決定。q所表征的腔內縱向場分布為腔的縱模?？v模q單值地決定腔的諧振頻率。LcLcqqq221q與q無關。 L減小，縱模間距增大上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術腔的縱模在頻率尺度上等距離排列，每一個縱模均以具

8、有一定寬度c譜線表示。上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術n 幾何偏折損耗：光線在腔內往返傳播時，從腔的側面偏折逸幾何偏折損耗：光線在腔內往返傳播時，從腔的側面偏折逸出的損耗。其大小取決于腔的類型和幾何尺寸。（與腔和腔出的損耗。其大小取決于腔的類型和幾何尺寸。（與腔和腔內的模式有關）內的模式有關）n 衍射損耗：腔的反射鏡片通常有有限大小的小孔，所以光在衍射損耗：腔的反射鏡片通常有有限大小的小孔，所以光在鏡面發(fā)生衍射時，有一部分能量損失。鏡面發(fā)生衍射時，有一部分能量損失。n 腔鏡反射不完全引起的損耗：包括鏡中的吸收、散射以及鏡腔鏡反射不完全引起的損耗：包括鏡中的吸收、散射以及鏡的

9、透射損耗。通常鏡至少有一個反射鏡是部分透射的，另一的透射損耗。通常鏡至少有一個反射鏡是部分透射的，另一個通常稱個通常稱“全反射鏡，其反射率不可能做到全反射鏡，其反射率不可能做到100%。n 固有損耗：激光材料的吸收、散射等引起的損耗。固有損耗：激光材料的吸收、散射等引起的損耗。1和2為選擇損耗：不同模式的幾何損耗和衍射損耗各不相同。3和4為非選擇損耗：對各個模式大體一樣。光腔的損耗是評價諧振腔的一個重要標志。光腔的損耗是評價諧振腔的一個重要標志。上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術損耗的參數(shù)損耗的參數(shù)(loss per pass, photon lifetimes, and q

10、uality factor Q)1. 1. 平均單程損耗因子平均單程損耗因子 初始光強I0，在腔內往返一次后，光強衰減為I1，那么20eIIII0ln21假設I代表每一個引起損耗緣由的損耗因子，則總損耗ii為總損耗因子，為腔中各個損耗因子的總和。指數(shù)損耗因子上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術r1I0r22101rrII 21ln21rrr 211121rrrreII201透過損耗 (T)21ln21rrT反射損耗反射損耗透射損耗透射損耗上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術百分比損耗因子01021III 腔損耗很小時 指數(shù)損耗因子與百分比損耗因子指數(shù)損耗因子與百

11、分比損耗因子2)21(11220200010eIeIIIII201eII損耗的另一種定義損耗的另一種定義 用單程渡越時光強的平均衰減百分比定義單程損耗因子用單程渡越時光強的平均衰減百分比定義單程損耗因子上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術2. 2. 與腔損耗有關的參數(shù)與腔損耗有關的參數(shù) 光子壽命光子壽命R光子(平均)壽命tR腔內光強衰減到初始值的1/e 所需時間 根據(jù)定義，如何計算光子平均壽命mmeII20 RteItI0cLtm2諧振腔光學長度諧振腔光學長度LctmeII220=R1cLRmmmeIeII2020cLtm2 eItIttR00I0時，時的光強為 R稱為腔的時間

12、常數(shù)稱為腔的時間常數(shù)上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術上式表明R的物理意義經(jīng)過R時間后，腔內光腔衰減為初始值的1/e。而且， 越大， R越小，則說明腔的損耗越大，腔內光腔衰減的越快。由于腔內存在損耗，光場不再為簡諧振動，而是振幅隨時間指數(shù)衰減的阻尼振蕩，其強度按頻率的分布有一寬度證明：證明： R等于光子在腔內的平均壽命等于光子在腔內的平均壽命Rc21線寬設t時刻腔內的光子數(shù)密度為NeNNttNR000時，時光子數(shù)密度為 vNhtI光在諧振腔中傳播速度光在諧振腔中傳播速度RteNN0由于損耗，腔內光子數(shù)密度隨時間依指數(shù)衰減。上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術t

13、-t+dt 時間內減少的光子數(shù)密度N0個光子的平均壽命RtRdteNtNtdNNtR000011dteNdNRtR0RNdtdNRteNN001!naxnandxexcLR光子平均壽命取決于諧振腔的損耗 諧振腔損耗越小，腔內光子壽命越長 腔內有增益介質，使諧振腔凈損耗減小，光子壽命變長上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術3、無源諧振腔的、無源諧振腔的Q值值V表示腔內振蕩光束的體積腔內電磁場的振蕩頻率腔內電磁場的振蕩頻率2Q儲存在腔內的總能量x）單位時間內損耗的能量P）定義定義RcLQ 2dtdNVhPVNhRteNN0 諧振腔的損耗越小，Q值越高。表示光腔的儲能好，損耗小，腔內

14、光子的壽命長。1RQ上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術腔鏡傾斜時的幾何損耗腔鏡傾斜時的幾何損耗腔鏡傾斜時的損耗DmLLL2) 12(62D為平面腔的橫向尺寸直徑）。 求出m值，根據(jù)光在腔內往返一次所需的時間可求出腔內光子的壽命及相應的。DL2設光在腔內往返m次后逸出腔外，那么(2-1-27)LDm2DLcLDcLmt2220cLt02cL平行平面鏡腔的調整精度要求極高平行平面鏡腔的調整精度要求極高上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術L2a-6-4-202460.00.81.0 第一極小值出現(xiàn)位置：aa61. 0222. 1假設：忽略第一暗環(huán)以

15、外的光，并且中央亮斑內光強均勻分布。W1到孔外能量，W0為孔內能量，則射到孔徑以外的光能與總光能比等于該孔闌被中央亮斑所照亮的孔外面積與總面積的比。上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術LaLaaLLaaLaSSSWWW222222011011122. 12NLadd/112衍射損耗不太大時，單程指數(shù)衍射損耗（ d ）與能量相對百分數(shù)損耗（ d ，）近似相等，d=d，LaN2N為腔Fresnel 系數(shù)，是衍射現(xiàn)象中的一個特征參數(shù)，表征衍射損耗的大小。 N ， d ，即損耗越小。（2-1-29）上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術透過損耗 (dT) 衍射損耗 (dD

16、)幾何偏折 (dn) 光線從腔側面偏折出去工作物質質量 (dI) 氣泡、雜質等引起吸收、散射其它插入損耗(do) 腔內插入其它元件等 21ln21rrTLaNND212aLonDIT總的單程損耗上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術 增益增益( (損耗損耗) )系數(shù)的定義及其與反轉粒子數(shù)的關系系數(shù)的定義及其與反轉粒子數(shù)的關系 光在增益光在增益& &損耗并存介質中傳輸時的光強變化公式損耗并存介質中傳輸時的光強變化公式 由光強引起的增益飽和的物理原因由光強引起的增益飽和的物理原因, , 極值光強的概念極值光強的概念 諧振腔的損耗對激光器閾值振蕩條件的影響諧振腔的損耗對

17、激光器閾值振蕩條件的影響 諧振腔中的各類損耗、指數(shù)損耗及百分數(shù)損耗因子諧振腔中的各類損耗、指數(shù)損耗及百分數(shù)損耗因子 腔內光子壽命的定義及與損耗的關系腔內光子壽命的定義及與損耗的關系總結總結上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術2.2 共軸球面腔的穩(wěn)定條件共軸球面腔的穩(wěn)定條件一、射線幾何光學中的光線傳輸矩陣一、射線幾何光學中的光線傳輸矩陣ABCDABCD矩陣）矩陣）r 1. 表示光線的參數(shù) r 光線離光軸的距離 光線與光軸的夾角傍軸光線 tg sin 正,負號規(guī)定:0 0 02. 自由空間區(qū)的光線矩陣00,r,rLABA處：r0, q0 B處：r,q 000Lrr上海大學電子信息科

18、學與技術上海大學電子信息科學與技術自由空間光線矩陣1010000LTrTrDCBArLL用 描述任一光線的坐標r3. 空氣與介質(折射率為n2)的界面,00rr入射出射0rr 201nn021nn21001nTLTL描述光線在自由空間中行進距離L時引起的坐標轉換。上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術4.球面鏡反射矩陣薄透鏡傳輸矩陣）R,r ,r rDCBArrRrr 21201RTRf,r ,rll 21101RffTf f111 rllrlrlrrr rfrr1焦距為f=2/R的薄透鏡與球面反射鏡等效R為球面鏡的曲率半徑上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術5.

19、ABCD矩陣的應用球面鏡腔的往返矩陣球面鏡腔中往返一周的光線矩陣簡稱往返矩陣）0000004421rDCBArTrTTTTrLRLRLRLRDCBAT00112010011201211212212221RLRRCRLA21122121212RLRLRLDRLLB上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術往返n次的光線矩陣 111111rDCBArTrTTrnnnnnnn1sinsinsinsin1sinsinsin1nnDnCnBnnATnDA 21arccos 其中 光線在諧振腔中的傳輸可等效為在透鏡波導中的傳輸。 往返矩陣與初始坐標、出發(fā)位置及往返順序無關。 諧振腔往返矩陣的建立

20、方法：等效透鏡波導；等效透鏡波導；確定一個周期；確定一個周期；寫出各部分光線矩陣的乘寫出各部分光線矩陣的乘積。積。1111nnnnnnDrCBrAr上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術球面鏡腔可以等效為周期透鏡波導LLR1R2R1復雜腔的等效周期透鏡波導及往返矩陣l1l2l3l1l2l3l1l2l3110110111011011101101332211flflfl上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術二、共軸球面鏡腔的穩(wěn)定條件Q Q：在什么條件下，傍軸光線能在腔內往返任意多次而不橫向逸：在什么條件下，傍軸光線能在腔內往返任意多次而不橫向逸出腔外？出腔外？穩(wěn)定腔穩(wěn)定

21、腔幾何光學光線矩陣分析腔中幾何偏折損耗，判斷穩(wěn)定與否幾何光學光線矩陣分析腔中幾何偏折損耗，判斷穩(wěn)定與否1sinsinsinsin1sinsinsin1nnDnCnBnnATnDA 21arccos共軸球面鏡腔的穩(wěn)定判據(jù)共軸球面鏡腔的穩(wěn)定判據(jù)121 0; 凸面鏡 R 0; 平面鏡 R 穩(wěn)定條件: 幾何偏折損耗 穩(wěn)定腔 任何傍軸光線可以在腔內往返無限多次不會 逸出腔外 幾何偏折損耗小 (低損耗腔)上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術討論：121DA復數(shù)， nAn, Bn, Cn, Dn 非穩(wěn)定腔(2)kDADA121121(3)k為奇數(shù) (-1)k為偶數(shù) (+1)1111211nD

22、nCnBnnAnTDAnn1111211nDnCnBnnAnTDAnnK為奇數(shù)K為偶數(shù)且隨且隨n的增大發(fā)生周期性的變化的增大發(fā)生周期性的變化隨隨n的增大按指數(shù)增大的增大按指數(shù)增大上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術 臨界腔的典型例子 平行平面鏡腔 ( R = ) 3. 共心腔 R1+R2=L 臨界腔非穩(wěn)腔1021LnTn1112nnLnrr11100rrrnn穩(wěn)定腔 2. 對稱共焦腔 R1=R2=L1001nT 往返兩次自行閉合 穩(wěn)定腔M1M2M1M2R1R2 121 121 121 臨界腔非穩(wěn)腔；穩(wěn)定腔；DADADA 適用任何形式的腔適用任何形式的腔, ,只需列出往返矩陣就能

23、判斷其穩(wěn)定性只需列出往返矩陣就能判斷其穩(wěn)定性非對稱共焦腔？非對稱共焦腔？ R1+R2=2L上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術221111RLgRLg1211DA221RLA21121212RLRLRLD21221222121RRLRLRLDA111021RLRL1021gg臨界腔，非穩(wěn)腔；穩(wěn)定腔；或 10 0 , 1 0, 0 10212121212121sdeyxVLiyxVyxyxik,yxyxikeLiyxyxK, sdyxVyxyxKyxV,其中積分方程的核 適用任何對稱光腔平行平面，共焦，一般球面鏡腔）適用任何對稱光腔平行平面，共焦，一般球面鏡腔） 求出求出V(x,

24、y) 開腔振蕩模的場分布開腔振蕩模的場分布 求解積分方程求解積分方程上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術五、自再現(xiàn)模積分方程的解法五、自再現(xiàn)模積分方程的解法 其它穩(wěn)定球面鏡腔可通過“等價對稱共焦腔求得2. 數(shù)值解 (數(shù)值迭代法)2a2a2a2a.振幅振幅相位相位1. 解析解： 對稱共焦腔才能得到解析解 精確解 近似方形鏡共焦腔 長橢球函數(shù) 厄米高斯函數(shù)圓形鏡共焦腔 超橢球函數(shù) 拉蓋爾高斯函數(shù)上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術例：平行平面腔模的迭代解法例：平行平面腔模的迭代解法l平行平面腔的優(yōu)點：光束方向性好發(fā)散角小）、模體積大、比較容易獲得單橫模l缺陷：調整精

25、度要求極高，與穩(wěn)定腔比較，損耗也比較大l平行平面腔振蕩模所滿足的自再現(xiàn)積分方程至今尚得不到精確的解析解上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術利用迭代公式，直接進行數(shù)值計算。首先，假定在某鏡面上存在一個初始場分布u1，將其代入上式，計算u2，u3, u4等。反復運算足夠多次后，判斷能否滿足下式1dsKuuSjj.1,1121jjjjuuuu如果直接數(shù)值計算得到了這種穩(wěn)定的場分布，則可認為找到了腔的一個自在現(xiàn)模或橫模。上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術2a2a2a2au11，即認為整個鏡面為等相位面，鏡面上各點波的振幅均為1。振幅振幅相位相位將u1代入迭代得到u2，

26、然后使u2=1，將其在代入方程求得u3.上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術根據(jù)初始分布，經(jīng)第一次及第300次渡越后得到的振幅和相位分布。300次渡越后形成自再現(xiàn)模。此穩(wěn)態(tài)場的分布特點：鏡面中心處振幅最大，從中心到邊緣振幅慢慢降低，整個鏡面上的場分布具有偶對稱性。此特征的橫模為腔的最低階偶對稱模或基模。（TEM00）上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術六、自再現(xiàn)模積分方程的解的物理意義1. 本征函數(shù)形式y(tǒng) ,ximnmnmney,xAy,xVy , xAmn鏡面上振幅分布y, xmn鏡面上場的相位分布sdey,xVLiy,xVy,x ,y,xik本征值本征值本征

27、函數(shù)本征函數(shù)y, xVmn鏡面上場分布函數(shù) (本征函數(shù) 橫模)一般球面鏡腔得不到解析解，唯有對稱共焦腔有精確解上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術mnimnmne2. 本征值 g 復常數(shù) 與與 有關有關d 光場在腔中渡越一次的相對功率損耗單程損耗傳輸因子設ijjjjeueuuu111ie單程模振幅的衰減單程模振幅的衰減相移相移222212111mnmnjmnjmnjdeuuugmn量度自再現(xiàn)模的單程損耗, 不同橫模有不同的d。 gmn 模的單程損耗上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術3. 單程相移 d mn自再現(xiàn)模在腔內渡越一次的總相移11arguarguarg

28、mnjjmnjjiuue11幾何相移根據(jù)諧振條件qmn當gmn得知, 可求得模的諧振頻率 LkLmn2附加相移自再現(xiàn)模在往返過程中形成穩(wěn)定振蕩場的條件：光在腔內一次往返的總相移=2的整數(shù)倍，即 qarg 1上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術l復常數(shù) 的模量度自在現(xiàn)模的單程損耗，l 它的輻角量度自在現(xiàn)模的單程相移，l 從而可以決定模的諧振頻率。l對于非對稱開腔，應按照場在腔內往返一次寫出模式再現(xiàn)條件及相應的積分方程。其中的復常數(shù)的模量度自在現(xiàn)模在腔內往返一次的功率損耗， 的輻角量度自在現(xiàn)模的往返相移，從而決定模的諧振頻率。上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術2.

29、5 2.5 方形鏡對稱共焦腔的自再現(xiàn)模方形鏡對稱共焦腔的自再現(xiàn)模xY2afL0+a+a-a-aXYR1R222aLLaaL 分離變量法分離變量法sdey,xVLiy, xVy ,x ,y ,xikyxyxikeLiyxyxK,yyxxyxyxyx, yyKxxKyxyxK,？ aayyaaxxydyVyyKyVxdxVxxKxVyVxVyxV,上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術(a)(a)以矩形平面腔鏡為例以矩形平面腔鏡為例上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術思索、a和L間數(shù)量關系，將上節(jié)方程式的K展開，并舍去高階項，從而可進一步簡化方程。222221LyyL

30、xxLLyyxx22442241818121211LyyLxxLyyLxxLyyLxxL2222bLLbNaLLaN當滿足條件:LyyLxxikikLLyyLxxLikikeeee2) (2) (21212222冪級數(shù)展開上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術) , (),(2) (222dydxeyxveLiyxvLyyLxxikbbaaikL（2-3-18）)()(),(yvxvyxvyxLyyikikLyLxxikikLxybbyxaaxeeLiyyKeeLixxKdyyvyyKyvdxxvxxKxv2) (2) (22) ,() ,() () ,()() () ,()(將

31、求解一個二元函數(shù)積分方程轉化成求解兩個單元函數(shù)的積分方程。且兩個方程的形狀完全一樣。了解：v(x)代表在x方向寬度為2a而沿y方向無限延伸的條狀腔的自再現(xiàn)模。 v(y)代表在y方向寬度為2b而沿x方向無限延伸的條狀腔的自再現(xiàn)模。（2-3-20）上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術滿足v(x)和v(y)函數(shù)可能不止一個。我們可以vm(x)和vn(y)分別表示它的第m個和第n個解, m，n表示相應的復常數(shù)，那么：) () ,()() () ,()(dyyvyyKyvdxxvxxKxvnybbnnmxaamm整個鏡面上的自再現(xiàn)模場分布函數(shù)為：)y(v )x(v)y,x(vnmmn 相

32、應的復常數(shù)為：nmmn （2-3-21）上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術上面的式子在數(shù)學上稱為積分本征值問題。m，n是方程的本征值。vm(x),vn(y)是與本征值相對應的本征函數(shù)。它們決定著開腔自再現(xiàn)模的全部特性。包括場分布振幅和相位和傳輸特性如模的衰減、相移、諧振頻率等）。LyyLxxLPPPPPPPPPPyxyx2) (2) () , ,(222122112121（b b一般球面鏡腔中模式的分離變量方法一般球面鏡腔中模式的分離變量方法: :aLP2(x,y)P1(x,y)P1P22122222212211122RyxPPRyxPP反射鏡曲率半徑，R1和R2，腔長L上海

33、大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術2211222221222122221,1)( 2)()(21222) (2) () , ,(RLgRLgyyxxyxgyxgLLRyxRyxLyyLxxLyxyx冪級數(shù)展開對稱方形共焦腔，滿足對稱方形共焦腔，滿足 R1=R2=R=L g1=g2=0R1=R2=R=L g1=g2=0yyxxLLyxyx1,sdeyxVLiyxVyxyxiks,上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術),(),(dydxeyxveLiyxvLyyxxikmnaaaaikLmnmn分離變量V mn=Fm(X)Gn(Y)nmmnNcyacY, xacX12

34、 YdeYGXdeXFieYGXFYiYccnXiXccmikLnmnm2Y方向和X方向無限長的窄帶鏡共焦腔的自洽積分方程XdeXFieXFXiXccmikLmm2 YdeYGieYGYiYccnikLnn2本征值本征值(2.5.6)上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術m，n=0,1,2,3,XdeXFieXFXiXccmikLmm2 YdeYGieYGYiYccnikLnn2(2.5.6) 精確解： 采用類比法 長橢球函數(shù)系 ,1 ,21101010dTTcSeTcScRimicTTmmm徑向長橢球函數(shù)徑向長橢球函數(shù)角向長橢球函數(shù)角向長橢球函數(shù)（2.5.11) cYcScXc

35、SYGXFyxVnmnmmn,00 aycScYcSYGaxcScXcSXFnnnmmm,0000上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術 本征函數(shù)角向長橢球函數(shù) 鏡面上場的振幅、相位分布 cYcScXcSYGXFyxVnmnmmn,00 aycScYcSYGaxcScXcSXFnnnmmm,0000 本征值徑向長橢球函數(shù) 決定模的相移和損耗ccXiXmikLmmXdeXFieXF212 tdtcSetcScRimtictmmm1101010,1 ,2徑向長橢球函數(shù)徑向長橢球函數(shù)角向長橢球函數(shù)角向長橢球函數(shù)(2-5-11)上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術 本征值

36、徑向長橢球函數(shù) 決定模的相移和損耗 21102110212212ikLnnnikLmmmiecRciiecRci,ikLnmnmie 12121010,cRiccRicnnnmmm),(),()()(114101021cRcRNenmnmkLinmnmmn1)1 ,()1 ,()1(0)1(0,cRcRnm均為實函數(shù)均為實函數(shù)上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術二、厄米高斯函數(shù) 近似解C=2 N 1 模場分布集中在鏡面中心附近 x , y 1不滿足，在不滿足，在鏡面中心附近，厄米特鏡面中心附近，厄米特-高斯高斯函數(shù)仍然能正確描述共焦腔函數(shù)仍然能正確描述共焦腔模的振幅和相位分布。模的振幅和相位分布。上海大學電子信息科學與技術上海大學電子信息科學與技術1. 鏡面上場的振幅分布 基模: TEM00 m=0, n=020222000000