《數(shù)值計(jì)算方法》試習(xí)題集和答案(1-6)

1、計(jì)算方法期中復(fù)習(xí)試題一、填空題：1、已知，則用辛普生（辛卜生）公式計(jì)算求得,用三點(diǎn)式求得 。答案：2.367，0.252、，則過(guò)這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中的系數(shù)為 ，拉格朗日插值多項(xiàng)式為 。答案：-1， 3、近似值關(guān)于真值有( 2 )位有效數(shù)字；4、設(shè)可微,求方程的牛頓迭代格式是( )；答案5、對(duì),差商( 1 ),( 0 )；6、計(jì)算方法主要研究( 截?cái)?)誤差和( 舍入 )誤差；7、用二分法求非線(xiàn)性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為( )；8、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，則二次Newton插值多項(xiàng)式中x2系數(shù)為( 0.15 )；11、 兩點(diǎn)式高斯型

2、求積公式( )，代數(shù)精度為( 5 )；12、 為了使計(jì)算 的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達(dá)式改寫(xiě)為 ，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式改寫(xiě)為 。13、 用二分法求方程在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為 0.5，1 ,進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為 0.5，0.75 。 14、 計(jì)算積分,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為 0.4268 ，用辛卜生公式計(jì)算求得的近似值為 0.4309 ，梯形公式的代數(shù)精度為 1 ，辛卜生公式的代數(shù)精度為 3 。15、 設(shè),則 ，的二次牛頓插值多項(xiàng)式為 。16、 求積公式的代數(shù)精度以( 高斯型 )求積公式為最高，具有( )次代數(shù)精度。17、 已知f (1

3、)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求( 12 )。18、 設(shè)f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三點(diǎn)式求( 2.5 )。19、如果用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對(duì)分（ 10 ）次。20、已知是三次樣條函數(shù)，則=( 3 )，=（ 3 ），=（ 1 ）。21、是以整數(shù)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則( 1 )，( )，當(dāng)時(shí)( )。22、區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)在上具有直到_2_階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。23、改變函數(shù) ()的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確 。24、若用二分法求方程在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對(duì)分 10 次。25、設(shè)是3次樣

4、條函數(shù)，則a= 3 , b= -3 , c= 1 。26、若用復(fù)化梯形公式計(jì)算，要求誤差不超過(guò)，利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用 477個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。27、若，則差商 3 。28、數(shù)值積分公式的代數(shù)精度為 2 。選擇題1、三點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為( B )。 A 2 B5 C 3 D 42、舍入誤差是( A )產(chǎn)生的誤差。A. 只取有限位數(shù) B模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C 觀察與測(cè)量 D數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值 3、3.141580是的有( B )位有效數(shù)字的近似值。 A 6 B 5 C 4 D 7 4、用 1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是( C )誤差。A 模型 B 觀測(cè) C 截?cái)?D 舍

5、入 5、用1+近似表示所產(chǎn)生的誤差是( D )誤差。 A 舍入 B 觀測(cè) C 模型 D 截?cái)?6、-3247500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效數(shù)字。 A 5 B 6 C 7 D 87、設(shè)f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為( A )。 A 05 B 05 C 2 D -2 8、三點(diǎn)的高斯型求積公式的代數(shù)精度為( C )。 A 3 B 4 C 5 D 29、( D )的3位有效數(shù)字是0.236×102。(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×102 (C) 235.418 (D) 235.5

6、4×10110、用簡(jiǎn)單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，則f(x)=0的根是( B )。(A) y=j(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) (B) y=x與y=j(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C) y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) (D) y=x與y=j(x)的交點(diǎn)11、拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是( B ),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B) (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(D) 12、用牛頓切線(xiàn)法解方程f(x)=0，選初

7、始值x0滿(mǎn)足( A ),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根。13、為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫(xiě)成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )。(A) (B)(C)(D)14、在牛頓-柯特斯求積公式：中，當(dāng)系數(shù)是負(fù)值時(shí)，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)（ ）時(shí)的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（1）， （2）， （3）， （4），23、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次15、取計(jì)算，下

8、列方法中哪種最好（）(A)； (B)； (C) ； (D) 。26、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為( )(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。16、由下列數(shù)表進(jìn)行Newton插值，所確定的插值多項(xiàng)式的最高次數(shù)是（）1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A)； (B)； (C) ； (D) 。17、形如的高斯（Gauss）型求積公式的代數(shù)精度為（）(A)； (B)； (C) ； (D) 。18、計(jì)算的Newton迭代格式為( )(A) ；(B)；(C) ；(D) 。 19、用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，要求誤差限為，則對(duì)分次數(shù)至少為( ) (A)10； (

9、B)12； (C)8； (D)9。20、設(shè)是以為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則( )(A)； （B）； （C）； （D）。 33、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有( )次代數(shù)精度(A)5； (B)4； (C)6； (D)3。21、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為( )(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是( )(A)； (B)； (C)； (D)。22、由下列數(shù)據(jù)012341243-5確定的唯一插值多項(xiàng)式的次數(shù)為( )(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。23、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss型求積公式的最高代

10、數(shù)精度為( )(A)8； (B)9； (C)10； (D)11。三、是非題（認(rèn)為正確的在后面的括弧中打Ö，否則打´）1、 已知觀察值,用最小二乘法求n次擬合多項(xiàng)式時(shí)，的次數(shù)n可以任意取。 ( )2、 用1-近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。 ( )3、 表示在節(jié)點(diǎn)x1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。 ( Ö )4、牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)，高一級(jí)的插值多項(xiàng)式可利用前一次插值的結(jié)果。 ( Ö ) 5、矩陣A=具有嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)。 ( )四、計(jì)算題：1、 求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求(保留四位小數(shù))。答案：是精確成立，即 得

11、求積公式為當(dāng)時(shí)，公式顯然精確成立；當(dāng)時(shí)，左=，右=。所以代數(shù)精度為3。 2、 已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項(xiàng)式，并求的近似值（保留四位小數(shù)）。答案： 差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10 5、已知-2-101242135求的二次擬合曲線(xiàn)，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為 6、已知區(qū)間0.4，0.8的函數(shù)表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422

12、 0.71736如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最小？并求該近似值。答案：解： 應(yīng)選三個(gè)節(jié)點(diǎn)，使誤差 盡量小，即應(yīng)使盡量小，最靠近插值點(diǎn)的三個(gè)節(jié)點(diǎn)滿(mǎn)足上述要求。即取節(jié)點(diǎn)最好，實(shí)際計(jì)算結(jié)果， 且 7、構(gòu)造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來(lái)，。答案：解：令 .且，故在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.將方程變形為 則當(dāng)時(shí)，故迭代格式 收斂。取，計(jì)算結(jié)果列表如下：n01230.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n45670.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且滿(mǎn)足 .所

13、以. 10、已知下列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項(xiàng)式擬合以上數(shù)據(jù)。解：當(dāng)0<x<1時(shí)，ex，則 ，且有一位整數(shù). 要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差 .由 ，只要 即可，解得 所以 ，因此至少需將 0,1 68等份。12、取節(jié)點(diǎn),求函數(shù)在區(qū)間0,1上的二次插值多項(xiàng)式,并估計(jì)誤差。解： 又 故截?cái)嗾`差 。14、給定方程1) 分析該方程存在幾個(gè)根；2) 用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；3) 說(shuō)明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程 （1）改寫(xiě)為 （2） 作函數(shù)，的圖形（略）知（2）有唯一根。2) 將

14、方程（2）改寫(xiě)為 構(gòu)造迭代格式 計(jì)算結(jié)果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463) ，當(dāng)時(shí)，且所以迭代格式 對(duì)任意均收斂。15、用牛頓(切線(xiàn))法求的近似值。取x0=1.7, 計(jì)算三次，保留五位小數(shù)。解：是的正根，牛頓迭代公式為， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多項(xiàng)式及f (1，5)的近似值，取五位小數(shù)。解：17、n=3,用復(fù)合梯形公式求的近似值（取四

15、位小數(shù)）,并求誤差估計(jì)。解：，時(shí)，至少有兩位有效數(shù)字。20、（8分）用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.3解： 解方程組 其中 解得： 所以 ， 21、（15分）用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化 Simpson公式）計(jì)算時(shí)，試用余項(xiàng)估計(jì)其誤差。用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化 Simpson公式）計(jì)算出該積分的近似值。解：22、（15分）方程在附近有根，把方程寫(xiě)成三種不同的等價(jià)形式（1）對(duì)應(yīng)迭代格式；(2)對(duì)應(yīng)迭代格式；（3）對(duì)應(yīng)迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計(jì)算附近的根，精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位。解：（1），故收斂；（2），故收斂；（3），故

16、發(fā)散。選擇（1）：， ，25、數(shù)值積分公式形如 試確定參數(shù)使公式代數(shù)精度盡量高；（2）設(shè)，推導(dǎo)余項(xiàng)公式，并估計(jì)誤差。解：將分布代入公式得：構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式滿(mǎn)足其中則有：， 27、（10分）已知數(shù)值積分公式為： ，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：顯然精確成立； 時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；所以，其代數(shù)精確度為3。28、（8分）已知求的迭代公式為： 證明：對(duì)一切，且序列是單調(diào)遞減的，從而迭代過(guò)程收斂。證明： 故對(duì)一切。又 所以，即序列是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過(guò)程收斂。29、（9分）數(shù)值求積公式是否為插值型求積公式為什么其代數(shù)精度是多少解：是。因

17、為在基點(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為 。其代數(shù)精度為1。30、(6分)寫(xiě)出求方程在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(6分)，n=0,1,2, 對(duì)任意的初值,迭代公式都收斂。31、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755532、(10分)用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分的近似值，要求誤差限為。 或利用余項(xiàng)： ，33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程組： 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.687536、(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：取f(x)=1,x，令公式準(zhǔn)確成立，得：， ，f(x)=x2時(shí)，公式左右=1/4; f(x)=x3時(shí)，公式左=1/5, 公式