第2章-菲涅耳圓孔衍射2N

1、1 （一）菲涅耳圓孔衍射 直接用菲涅耳衍射積分公式計(jì)算 E 的積分相當(dāng)復(fù)雜，菲涅耳提出的一種簡便的分析方法 半波帶法。它在處理一些有對(duì)稱性的問題時(shí)，既方便，物理圖象又清晰。2 SRr0 PB0 B1 B3 B2 r1=r0+/2r2=r1+/2r3=r2+/2一、菲涅耳半波帶以點(diǎn)光源為例將波面 S 分成許多以 B0 為圓心的環(huán)形波帶，并使：00rPBPBPB01PBPB12PBPB23 21PBPBKK 這樣分成的環(huán)形波帶稱為菲涅耳半波帶，任何相鄰兩波帶以相反的相位(相位相差)同時(shí)到達(dá)P 點(diǎn)(光程差/2 ）。3 二、合振幅的計(jì)算用 a1、a2、an分別表示各波帶在 P 點(diǎn)的振幅，由于相鄰波帶相

2、位相差，有： 112345( 1)nnnAaaaaaa 比較 a1、a2、an各振幅的大?。?設(shè)波面 上的振幅均勻分布即A（Q） 為常量，任取第 k 個(gè)半波帶：面積 Sk平均傾角k (1cos)kkkkSar可以證明 0kkSRrRr 由惠菲原理為常量。4 Bk Rk k rk hPOB0 取如圖的球冠，其面積 )cos1 (22RsdRdssin22r0 在OPBk中有： )(2)(cos02202rRRrrRRk兩邊微分 )(sin0rRRdrrdkk)(202rRRdrRrdskk代入ds ,kr可將drk視為相鄰兩波帶間r的差值/2，則ds=sk 0rRRrskk結(jié)論：sk/rk 與

3、K 無關(guān)，對(duì) 每個(gè)半波帶都相同。 證明： 影響 an 的大小只剩下傾斜因子 K（n）=1+cos ：j，j， aj ，an 緩慢減少，即123aaa 一般 aj 與aj-1 相差很小，近似有：112jjjaaa1133524()()22222naaaaaAaa P0點(diǎn)合振幅：133524,22aaaaaa即：11(22(22nnnnaaAnaaAn為奇數(shù)）為偶數(shù)）6 用矢量來表示 P 點(diǎn)處振幅的疊加a1 a2 a3 a4 an An a1 a2 a3 a4 121a12naa1 a2 a3 a4 an An n 為奇數(shù)時(shí)11()2nnAaan為偶數(shù)時(shí)11()2nnAaa合成一式11()2nnA

4、aaP 點(diǎn)的振幅為第一個(gè)波帶和最后一個(gè)波帶所發(fā)出次波的振幅相加（減）的一半。7 三、菲涅耳圓孔衍射 實(shí)驗(yàn)裝置 計(jì)算P點(diǎn)的光強(qiáng)首先考慮通過圓孔的K個(gè)完整菲涅耳半波帶數(shù)：K個(gè)完整菲涅耳半波帶數(shù)hrrrhhrrrhrrkkkk020220202202222)( RSOP0k B0 r0 rk BAhBB 00rh ,20krrkhrkrhrrkkrrk0000220202224422k忽略項(xiàng)在BAP0中： 8 在BAO中： RhhRhRRhRRk22)(222222比較兩式： Rhhrkr2200)(200rRkrh0022rRRkrRhk2011nnrRR（平行光入射）20,nnr0nnr可見，n

5、 與P0在軸上的位置r0有關(guān)。 RSOP0k B0 r0 rk BA2002kkrrh在BAP0中： 令最大波帶數(shù)為n9 討論： 對(duì) P0 點(diǎn)若 S 恰好分成 n 個(gè)半波帶時(shí)： 11()2nnAaan 為偶數(shù) 11()2nnAaa11()2nnAaa最大n 為奇數(shù) 最小 對(duì) P0 點(diǎn)若 S 中還含有不完整的半波帶時(shí)： 1111()()22nnnaaAaa光強(qiáng)介于最大和最小之間實(shí)驗(yàn)證實(shí)：確定觀察點(diǎn)P0，改變，P0點(diǎn)的光強(qiáng)發(fā)生變化(時(shí)亮?xí)r暗）；確定圓孔半徑 ，P0點(diǎn)在對(duì)稱軸上移動(dòng)，光強(qiáng)發(fā)生變化（時(shí)亮?xí)r暗）。10 若 不用光闌（n）：ka0ka12npaA 無遮攔的整個(gè)波面對(duì)P0點(diǎn)的光強(qiáng)等于第一個(gè)波

6、帶在該點(diǎn)的光強(qiáng)的一半，且在軸線上各點(diǎn)光強(qiáng)相等，不發(fā)生明暗交替變化，衍射不明顯。 若 圓孔僅夠分成少數(shù)個(gè)半波帶 1naa1(0(nanAn為小奇數(shù)）為小偶數(shù)） 與無圓孔時(shí)相比： 1002,4nnAaA II 其中A0為自由傳播（無圓孔）時(shí)的振幅。 要發(fā)生衍射，光源 O 的線度要足夠小。 11 四、菲涅耳圓屏衍射 OB0 PP點(diǎn)的振幅：圓屏遮蔽了個(gè)K半波帶從K+1個(gè)半波帶到最后的半波帶（a0）在 P 點(diǎn)疊加，合振幅為：21kaA不管圓屏的位置和大小怎樣，圓屏幾何影子的中心永遠(yuǎn)有光（泊松點(diǎn)）。圓屏的面積，ak+1，到達(dá) P 點(diǎn)的光愈強(qiáng)。12 五、菲涅耳波帶片1 1.波帶片設(shè)計(jì)一種光闌，只讓奇數(shù)半波帶

7、或偶數(shù)半波帶通過，于是在P0點(diǎn)得到的振動(dòng)完全是加強(qiáng)的，而沒有相消的作用，這樣在P0點(diǎn)就能獲得很大的光強(qiáng)，這種光闌就叫做波帶片。例：某一波帶片只讓5個(gè)奇數(shù)帶通過，則15150510,1002aAaII即：此時(shí)光強(qiáng)是無光闌時(shí)光強(qiáng)的100倍。2 2.相位波帶片一般波帶片只讓奇數(shù)半波帶或偶數(shù)半波帶通過，于是摭擋了一半的光波，使光能量的利用率減半，若在欲擋去的半波帶上鍍上一層透明薄膜，使通過薄膜的光波比沒有通過薄膜的光波增加相位差。這樣，所有波帶在P0點(diǎn)的振幅都同號(hào)，使P0點(diǎn)光強(qiáng)大大增強(qiáng)。3 3.圓環(huán)波帶片例題：用的單色平面波垂直入射到圓孔上，孔半徑，若圓孔外有一同心的環(huán)形縫，內(nèi)外半徑分別為。求：距屏（孔）80cm的軸線上觀察點(diǎn)P的強(qiáng)度與沒有圓孔時(shí)該點(diǎn)的強(qiáng)度之比。450nm0.6mm0.6 2,0.6 3mmmmr0r1r2r3P解：平行光入射：20nr3 2920(0.6 10 )1450 1080 10nr2圓孔露出的波帶數(shù)：環(huán)形縫內(nèi)外邊緣(= )對(duì)應(yīng)波帶數(shù)分別為n=2和n=3環(huán)形縫露出n=3的波帶，而n=2波帶被擋住。0.6 2,0.6 3mmmmP點(diǎn)合振輻：若屏不存在：1312Aaaa102aA 004,16AIAI小結(jié)：菲涅耳圓孔衍射SRr0 PB0 B1 B3 B2 r1