大學(xué)工程制圖-第五章__直線平面相對位置

1、第五章第五章 直線與平面的相對位置直線與平面的相對位置 兩平面的相對位置兩平面的相對位置5-1 直線與平面平行直線與平面平行 兩平面平行兩平面平行5-2 直線與平面的交點直線與平面的交點 兩平面的交線兩平面的交線5-3 直線與平面垂直直線與平面垂直 兩平面垂直兩平面垂直基本要求基本要求基本要求（一）平行問題 1熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件； 2熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。（二）相交問題 1熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點的求法和作兩個面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。 2熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一般位置面

2、、面相交求交線的作圖方法。 3掌握利用重影點判別投影可見性的方法。（三）垂直問題 掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。（四）點、線、面綜合題 1熟練掌握點、線、面的基本作圖方法； 2能對一般畫法幾何綜合題進行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。5-1 直線與平面平行 兩平面平行一、直線與平面平行幾何條件幾何條件 若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。 有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。 例題1 例題2二、平面與平面平行幾何條件幾何條件 若一個

3、平面內(nèi)的相交二直線與另一個平面內(nèi)的相交二直線對應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。 兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。 例題3 例題4 例題5一、直線與平面平行 若一直線平行于屬于定平面的一直線，則該直線與平面平行例題例題1 試判斷直線AB是否平行于定平面 fgfg結(jié)論：直線AB不平行于定平面例題例題2 試過點K作水平線AB平行于CDE平面 baaffb二、兩平面平行 若屬于一平面的相交兩直線對應(yīng)平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行EFDACB例題例題3 試判斷兩平面是否平行mnmn

4、rrss結(jié)論：兩平面平行例題例題4 已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrkk例題例題5 試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因為PH平行SH，所以兩平面平行5-2 直線與平面的交點、兩平直線與平面的交點、兩平 面的交線面的交線一、直線與平面相交只有一個交點二、兩平面的交線是直線三、特殊位置線面相交四、一般位置平面與特殊位置平面相交五、直線與一般位置平面相交 (理解)六、兩一般位置平面相交(理解) 直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點，交點既在直線上又在平面上，因而交點是直線與平面的共有點。兩平面的交線是直線，它是兩個平面

5、的共有線。求線面交點、面面交線的實質(zhì)是求共有點、共有線的投影。一、直線與平面相交直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。BKAM二、平面與平面相交兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有FKNL三、特殊位置線面相交三、特殊位置線面相交 特殊位置線面相交，其交點的投影可利用直線或平面的積聚性投影直接求出。 （1）當直線為一般位置，平面的某個投影具有積聚性時，交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一個投影可在直線的另一個投影上找到。 （2）當直線的某個投影具有積聚性，平面為一般位置時，交點的一個投影與直線的積聚性投影重合，另一個投影可利用在平面上找點的方法在平面的另一個投

6、影上得到。直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見性特殊位置直線與一般位置平面相交bbaaccmmnn直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交點可直接求出。kk判斷直線的可見性bbaaccmmnkkn 特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。 21( )1221( ) 求鉛垂線EF與一般位置平面ABC的交點并判別其可見性。k21k21四、一般位置平面與特殊位置平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題，由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交線可直接求出。一般位置平面與特殊位置平面相交判斷平面的可見性一般位置平面與特殊位置平面相交nlmmln

7、baccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf判斷平面的可見性判斷平面的可見性結(jié) 果1 221( )判斷平面的可見性判斷平面的可見性五、直線與一般五、直線與一般位置位置平面相交平面相交 一般位置線面相交由于直線和平面的投影都沒有積聚性，求交點時無積聚性投影可以利用，因此通常要采用輔助平面法求一般位置線面的交點。一般位置線、面相交求交點的步驟：（1）含已知直線作特殊位置輔助平面；（2）求輔助平面與已知平面的交線；（3）求交線與已知直線的交點，交點即為所求。 以正垂面為輔助平面求線面交點 示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點 示意圖判別可見性 示意圖12以正垂面為輔助平面求線面交點QV2

8、1kk步驟：1過EF作正垂平面Q。2求Q平面與ABC的交線。3求交線與EF的交點K。示意圖ABCQ過MN作正垂面QMN以正垂面為輔助平面求線面交點 示意圖12以鉛垂面為輔助平面求線面交點。PH1步驟：1過EF作鉛垂平面P。2求P平面與ABC的交線。3求交線與EF的交點K。kk2 示意圖CAB過MN作鉛垂面PNMPEFK以鉛垂面為輔助平面求線面交點 示意圖fee直線EF與 ABC相交，判別可見性。利用重影點判別可見性1243（ ）kk34示意圖( )21直線EF與平面 ABC相交，判別可見性示意圖1 (2 )(4)3利用重影點。判別可見性六、兩一般位置平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個

9、共有點的問題, 因而可利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。兩一般位置平面相交求交線 示意圖用三面共點法求兩平面的交線 示意圖判別可見性例題6 兩一般位置平面相交，求交線步驟：1用求直線與平面交點的方法，作出兩平面的兩個共有點K、E。求兩平面的交線llnmmnPVQV1221kkee2連接兩個共有點，畫出交線KE。示意圖兩一般位置平面相交求交線的方法兩一般位置平面相交求交線的方法 示意圖示意圖 利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL利用重影點判別可見性兩平面相交，判別可見性兩平面相交，判別可見性3 4 (

10、)3 4 21( )1 2求作平面P（AB與BC所定的平面）與平面Q（DE與EF所定的平面）的交線。debacdefgbaclklkgf123456152346示意圖利用輔助平面法求作兩平面交線的基本原理：PQABKCDL例題例題6 試過K點作一直線平行于已知平面ABC，并與直線EF相交 。分析 過已知點K作平面P平行于 ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH作圖mnhhnmPV11221過點K作平面KMN/ ABC平面。2求直線EF與平面KMN的交點H 。3連接KH，KH即為所求。5-3 直線與平面垂直、兩平面垂直直線與平面垂直、兩平面垂直一、直線與平面垂直 幾何

11、條件 定理1 定理2 例題7 例題8 例題9 例題10二、兩平面垂直 幾何條件 例題11 例題12 例題13直線與平面垂直的幾何條件：若直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。 定理1 若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。klkl定理2（逆） 若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。例題例題7 平面由 BDF給定，試過定點K作平面的法線。acacnnkkh例題例題8 試過定點K作特殊位置平面的法線。hhhhh（a

12、）（c）（b）例題例題9 平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于該平面。efef例題例題11 試過點N作一平面，使該平面與V面的夾角為60 ，與H面的夾角為45 。分析：平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為余角直徑任取NM 例題例題11 試過點N作一平面，使該平面與V面的夾角為60 ，與H面的夾角為45 。|yN-yM|zN-zM|mhnmmk|zN-zM|yN-yM|3045nmnmkhnn兩平面垂直的幾何條件 若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD 反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。兩平面垂直兩平面不垂直g例題例題12 平面由 BDF給定，試過定點K作已知平面的垂面。hacachg例題例題13 試判斷 ABC與相交兩直線KG和KH所給定的