高等數(shù)學 §9.2.23二重積分計算ppt課件

1、9 9. .2 2. .2 2極極坐坐標標系系下下二二重重積積分分的的計計算算（一一）把把二二重重積積分分dyxfD),(化化為為極極坐坐標標形形式式 按二重積分的定義Ddyxf),(iniiidf10) ,(lim， 下面來研究這個和式的極限在極坐標系中的形式。 設函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域 D 上連續(xù)。區(qū)域 D 的邊界 曲線為)(1和)(2，其中 )(1， )(2在,上連續(xù)。 oxD)(1)(2 假設從極O 點出發(fā)且穿過閉區(qū)域 D 內(nèi)部的射 線與 D 的邊界曲線相交不多于兩點。 用以極點為中心的一族同心圓：常數(shù)，以及從極點 出發(fā)的一族射線：常數(shù)，把 D 分成 n 個小閉區(qū)域，除 了包含邊界點

2、的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積可 i 計算如下： oxDiiiiiiii iiiiiiiiiii)2(2121)(2122 iii即DDddfdyxf)sin,cos(),(。又可寫成 DDddfdxdyyxf)sin,cos(),( （二二）把把二二重重積積分分的的極極坐坐標標形形式式化化為為二二次次積積分分1 1極極點點在在積積分分區(qū)區(qū)域域 D 的的外外部部 D：)()(21oxD)(2)(1oxDD)(2)(1一般地，先對積分 后對積分 。 D：)(0)(oxD )()(21)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf則 )(0)sin ,cos(d)sin,cos( Ddf

3、ddf2 2極極點點在在積積分分域域 D 的的內(nèi)內(nèi)部部 D：)(020，則有ox)(D2 0 )(0)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf 在極坐標系中，閉區(qū)域 D 的面積 DDddd 若D如圖1，則)(2)(1oxD圖 1. )()(212122)()(21dddddD 若D如圖 2，則)(oxD圖 2.)(212)(0dddddD例1計算下列二重積分（1）dyxRD222，D 為圓Rxyx22所圍成的區(qū)域。 解：把區(qū)域 D 的邊界曲線的直角 坐標方程Rxyx22化為極坐 標方程，得cosR，于是有 D：cos022R dRddyxRRD22 cos 0 22222 xoco

4、sR22023 cos22)(31dRR22 33)sin1 (31dR20 33)sin1 (32dRsin32220 30 3ddR)43(93223233RR。解：D：2140， （2）dxyDarctan ，D：4122yx，0y，xy 所圍成的區(qū)域。 2 4 2 4 1010cossinarctanarctan dddddxyD.6432332212122224210 xoy421例 2將二次積分dyyxfdxxx2101 1 ),(化為極坐標下 的二次積分。 xyo1cossin1dfddyyxfdxxx1 cossin1 2 1 1 )sin,cos(),(0210 oxyz22

5、224azyxaxyx222解：由對稱性，得 dxdyyxaVD22244cos20222022244 44aDdaddxdyyxaV)322(332)sin1 (33232033adaoxycos2aD解：3sin 0 0 66 6aDdddS da3sin0206216dada6602022)6cos1 (233sin3.46sin61232620aa5例例 D求求 d 2 e2 d22yxe dxdy222:,D xyR解解xy0D Ddxdy22yxe 222xyRR0R02 2012Re2(1)4Re, 0 x0 y2DR0 xyD6例例計計算算概率積分概率積分 02dxeIx解解

6、2I Rxdxe02 Rydye02 Ddxdy22yxe R20 ,0| ),(RyRxyxD | ),(2221RyxyxD 1Ddxdy22yxe Dyxdxdye22 )1(42Re )1(422Re ,R令令2I4 2 I01D 222Dyxdxdye Dyxdxdye222| ),(2222RyxyxD 9.2.39.2.3二重積分的普通換元法那二重積分的普通換元法那么么（1）),(),(vuyvux在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，（2）在上D，0,vuyxvuJ，（3）變換 T：DD 是一對一的，定理 設函數(shù)),(yxf在xoy平面上的閉區(qū)域 D 上連續(xù)， 變換 T：),(),(vuy

7、yvuxx，將平面上的 uov閉區(qū)域 D變?yōu)閤oy平面上的 D，且滿足 則有 dudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDD),(),(),(,。在極坐標變換sincosyx下， cossinsincos,yxJ， 按二重積分的換元公式，便得： DDddfdxdyyxf)sin,cos(,。 這里DD 是在o平面上對應的區(qū)域。在上節(jié)所證的 相同公式中用的是DD而不是，因為在那里把看作),( 同一平面上點),(yx的極坐標，故積分區(qū)域仍記D為。 注注：DvuJ ),(只在內(nèi)個別點上，或一條線上為零， 而在其他點上不為零，那么換元公式仍成立。例 7計算Dxydxdy，其中D由3, 2,2,22xyxyxyxy圍成。 oxyDxy 2xy223xy2xyuv1223oD解：令xyvxyu2，則313231uvyvux，D 的邊界曲線 . 33 , 22 , 22 , 122vxyvxyuxyuxy 32 , 21 ),( vuvuDD ，uxyxyxyxyyxvuvuyxJ313121,1,222，322113131vdvduududvuvdxdyxyDD. 2ln6523212ln312v例 8計算Ddxdybyax22221，其中 D 為橢圓12222byax