高等數(shù)學(xué) §9.2.23二重積分計(jì)算ppt課件

1、9 9. .2 2. .2 2極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下二二重重積積分分的的計(jì)計(jì)算算（一一）把把二二重重積積分分dyxfD),(化化為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式 按二重積分的定義Ddyxf),(iniiidf10) ,(lim， 下面來(lái)研究這個(gè)和式的極限在極坐標(biāo)系中的形式。 設(shè)函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域 D 上連續(xù)。區(qū)域 D 的邊界 曲線(xiàn)為)(1和)(2，其中 )(1， )(2在,上連續(xù)。 oxD)(1)(2 假設(shè)從極O 點(diǎn)出發(fā)且穿過(guò)閉區(qū)域 D 內(nèi)部的射 線(xiàn)與 D 的邊界曲線(xiàn)相交不多于兩點(diǎn)。 用以極點(diǎn)為中心的一族同心圓：常數(shù)，以及從極點(diǎn) 出發(fā)的一族射線(xiàn)：常數(shù)，把 D 分成 n 個(gè)小閉區(qū)域，除 了包含邊界點(diǎn)

2、的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積可 i 計(jì)算如下： oxDiiiiiiii iiiiiiiiiii)2(2121)(2122 iii即DDddfdyxf)sin,cos(),(。又可寫(xiě)成 DDddfdxdyyxf)sin,cos(),( （二二）把把二二重重積積分分的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式化化為為二二次次積積分分1 1極極點(diǎn)點(diǎn)在在積積分分區(qū)區(qū)域域 D 的的外外部部 D：)()(21oxD)(2)(1oxDD)(2)(1一般地，先對(duì)積分 后對(duì)積分 。 D：)(0)(oxD )()(21)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf則 )(0)sin ,cos(d)sin,cos( Ddf

3、ddf2 2極極點(diǎn)點(diǎn)在在積積分分域域 D 的的內(nèi)內(nèi)部部 D：)(020，則有ox)(D2 0 )(0)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf 在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域 D 的面積 DDddd 若D如圖1，則)(2)(1oxD圖 1. )()(212122)()(21dddddD 若D如圖 2，則)(oxD圖 2.)(212)(0dddddD例1計(jì)算下列二重積分（1）dyxRD222，D 為圓Rxyx22所圍成的區(qū)域。 解：把區(qū)域 D 的邊界曲線(xiàn)的直角 坐標(biāo)方程Rxyx22化為極坐 標(biāo)方程，得cosR，于是有 D：cos022R dRddyxRRD22 cos 0 22222 xoco

4、sR22023 cos22)(31dRR22 33)sin1 (31dR20 33)sin1 (32dRsin32220 30 3ddR)43(93223233RR。解：D：2140， （2）dxyDarctan ，D：4122yx，0y，xy 所圍成的區(qū)域。 2 4 2 4 1010cossinarctanarctan dddddxyD.6432332212122224210 xoy421例 2將二次積分dyyxfdxxx2101 1 ),(化為極坐標(biāo)下 的二次積分。 xyo1cossin1dfddyyxfdxxx1 cossin1 2 1 1 )sin,cos(),(0210 oxyz22

5、224azyxaxyx222解：由對(duì)稱(chēng)性，得 dxdyyxaVD22244cos20222022244 44aDdaddxdyyxaV)322(332)sin1 (33232033adaoxycos2aD解：3sin 0 0 66 6aDdddS da3sin0206216dada6602022)6cos1 (233sin3.46sin61232620aa5例例 D求求 d 2 e2 d22yxe dxdy222:,D xyR解解xy0D Ddxdy22yxe 222xyRR0R02 2012Re2(1)4Re, 0 x0 y2DR0 xyD6例例計(jì)計(jì)算算概率積分概率積分 02dxeIx解解

6、2I Rxdxe02 Rydye02 Ddxdy22yxe R20 ,0| ),(RyRxyxD | ),(2221RyxyxD 1Ddxdy22yxe Dyxdxdye22 )1(42Re )1(422Re ,R令令2I4 2 I01D 222Dyxdxdye Dyxdxdye222| ),(2222RyxyxD 9.2.39.2.3二重積分的普通換元法那二重積分的普通換元法那么么（1）),(),(vuyvux在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，（2）在上D，0,vuyxvuJ，（3）變換 T：DD 是一對(duì)一的，定理 設(shè)函數(shù)),(yxf在xoy平面上的閉區(qū)域 D 上連續(xù)， 變換 T：),(),(vuy

7、yvuxx，將平面上的 uov閉區(qū)域 D變?yōu)閤oy平面上的 D，且滿(mǎn)足 則有 dudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDD),(),(),(,。在極坐標(biāo)變換sincosyx下， cossinsincos,yxJ， 按二重積分的換元公式，便得： DDddfdxdyyxf)sin,cos(,。 這里DD 是在o平面上對(duì)應(yīng)的區(qū)域。在上節(jié)所證的 相同公式中用的是DD而不是，因?yàn)樵谀抢锇芽醋?,( 同一平面上點(diǎn)),(yx的極坐標(biāo)，故積分區(qū)域仍記D為。 注注：DvuJ ),(只在內(nèi)個(gè)別點(diǎn)上，或一條線(xiàn)上為零， 而在其他點(diǎn)上不為零，那么換元公式仍成立。例 7計(jì)算Dxydxdy，其中D由3, 2,2,22xyxyxyxy圍成。 oxyDxy 2xy223xy2xyuv1223oD解：令xyvxyu2，則313231uvyvux，D 的邊界曲線(xiàn) . 33 , 22 , 22 , 122vxyvxyuxyuxy 32 , 21 ),( vuvuDD ，uxyxyxyxyyxvuvuyxJ313121,1,222，322113131vdvduududvuvdxdyxyDD. 2ln6523212ln312v例 8計(jì)算Ddxdybyax22221，其中 D 為橢圓12222byax