（精心整理）高中數(shù)學(xué)必背公式——立體幾何與空間向量

1、高中數(shù)學(xué)必背公式立體幾何與空間向量知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)：1. 空間幾何體的三視圖“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的規(guī)律。2. 在計(jì)算空間幾何體體積時(shí)注意割補(bǔ)法的應(yīng)用。3. 空間平行與垂直關(guān)系的關(guān)系的證明要注意轉(zhuǎn)化：線線平行線面平行面面平行，線線垂直線面垂直面面垂直。4求角：（1）異面直線所成的角：可平移至同一平面；也可利用空間向量：=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）。（2） 直線與平面所成的角：在斜線上找到任意一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)向平面作垂線，找到斜線在該平面上的射影，則斜線和射影所成的角便是直線與平面所成的角；也可利用空間向量，直線與平面所成角(為平面的法向量).（3）二面角：方法一：常見(jiàn)的

2、方法有三垂線定理法和垂面法；方法二：向量法：二面角的平面角或（，為平面， 的法向量）.5. 求空間距離：（1）點(diǎn)與點(diǎn)的距離、點(diǎn)到直線的距離，一般用三垂線定理“定性”；（2）兩條異面直線的距離：（同時(shí)垂直于兩直線，、分別在兩直線上）；（3）求點(diǎn)面距： （為平面的法向量，是經(jīng)過(guò)面的一條斜線，）；（3）線面距、面面距都轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距。題型一：空間幾何體的三視圖、體積與表面積例1：已知一個(gè)幾何體是由上下兩部分構(gòu)成的組合體，其三視圖如右，若圖中圓的半徑為，等腰三角形的腰長(zhǎng)為，則該幾何體的體積是（ ）A. B. C. D.例2：某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）A. B. C. D.俯視

3、圖正(主)視圖側(cè)(左)視圖2322例3：右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（ ）A BC D題型二：空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷例4：已知、是不重合的直線，和是不重合的平面，有下列命題：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則且；（4）若，則.其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）A0 B1 C2 D3例5：給出以下四個(gè)命題：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的一個(gè)平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行；如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面；如果兩條直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行；如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那

4、么些兩個(gè)平面互相垂直；其中真命題的個(gè)數(shù)是( )A4 B3 C2 D1例6：給出下列命題過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面垂直；過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知直線平行；過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直；過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直；其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）.A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)題型三：空間線面位置關(guān)系的證明和角的計(jì)算例7：空間四邊形中，且成的角，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，求異面直線和成的角例8：已知三棱錐中，平面，為上一點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求與平面所成角的大小.例9：如圖，四棱錐中，底面，底面為梯形，點(diǎn)在棱上，且（1）求證：平面平面；（2

5、）求證：平面；（3）求平面和平面所成銳二面角的余弦值例10：已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點(diǎn)。（1）證明：面面；（2）求與所成的角余弦值；（3）求面與面所成二面角的余弦值。題型四：空間距離的計(jì)算例11：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若、到平面的距離分別為和，則點(diǎn)到平面的距離為 .例12：如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn).（1）求證：EF是AB和CD的公垂線；（2）求AB和CD間的距離；例13：如圖，在長(zhǎng)方體中，在上，且，在上，且，（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）求點(diǎn)到平面的距離。例14：如圖，正方形與成的二面角，且正方形的邊長(zhǎng)為，、分別為，的中點(diǎn)，求異面直線與的距離。例15：如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，求異面直線AB與PC的距離。例16：已知是底面邊長(zhǎng)為的正四棱柱，為與的交點(diǎn)（1） 設(shè)與底面所成