時(shí)切割線定理割線定理和切線長定理

1、與圓有關(guān)的定理第三課時(shí)：切割線定理、割線定理和切線長定理直線與圓有三種位置關(guān)系，一是直線與圓無交點(diǎn)，叫相離，二是直線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)，叫相切，這條直線叫做圓的切線，三是直線和圓有二個(gè)交點(diǎn)，叫相交，這條直線就叫做圓的割線。換個(gè)更好理解的就是：把圓的任意一條弦向兩方無限延長，這條直線就是圓的割線。1、切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。如圖1，幾何語言：PT切O于點(diǎn)T，PBA是O的割線 PT=PAPB（切割線定理） 如圖2，設(shè)ABP是O的一條割線，PT是O的一條切線，切點(diǎn)為T，則PT2=PAPB 證明：連接AT, BT PTB=PAT(弦切角定

2、理) P=P(公共角) PBTPTA(兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似) 則PB：PT=PT：AP 即：PT=PBPA 2、推論（割線定理）： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等 如圖3，幾何語言： PT是O切線，PBA，PDC是O的割線 PDPC=PAPB（切割線定理推論）由上可知:PT=PAPB=PCPD 3、切線長定理：若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；圓外一點(diǎn)與圓心的連線，平分過這點(diǎn)向圓引的兩條切線所夾的角。（1）切線長概念 切線長是在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度，“切線長”是切線上一條線段的長，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一

3、條直線，它不可以度量長度。（ 2）幾點(diǎn)說明 對于切線長定理，應(yīng)明確（1）若已知兩條切線平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線為直徑；（2）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形；（3）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角互補(bǔ)。 （3）推論：圓的外切四邊形對邊和相等（圓的外切四邊形性質(zhì)定理，逆定理成立）；圓的外切等腰梯形的中位線等于腰長基礎(chǔ)知識運(yùn)用：例1.如圖4，正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過A作半圓切線，切點(diǎn)為F，交CD于E，求DE：AE的值。 解：由切線長定理知：AFAB1，EFCE 設(shè)CE為x，在RtADE中，由勾股定理

4、(1+x)=(1-x)+1,x= DE=1- =，AE=1+= ，DE：AE=：=3:5針對性練習(xí)：1、已知：PA、PB切O于點(diǎn)A、B，連結(jié)AB，若AB8，弦AB的弦心距3，則PA（ ） A. B. C. 5 D. 8例2.如圖5，P是O外一點(diǎn)，PC切O于點(diǎn)C，PAB是O的割線，交O于A、B兩點(diǎn)，如果PA：PB1：4，PC12cm，O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是_cm。 解：PC是O的切線，PAB是O的割線，且PA：PB1：4 PB4PA 又PC12cm由切割線定理，得 PC=PAPB 12=PA4PA PA=36， PA=6（cm） PB4×624（cm） AB24618（cm） 設(shè)圓心O到AB距離為d cm， 由勾股定理，得 d=（cm） 故應(yīng)填。,針對性練習(xí)：2.已知：O和不在O上的一點(diǎn)P，過P的直線交O于A、B兩點(diǎn)，若PAPB24，OP5，則O的半徑長為_。3.若PA為O的切線，A為切點(diǎn)，PBC割線交O于B、C，若BC20， ，則PC的長為_。4、如圖6，已知P為O的直徑AB延長線上一點(diǎn)，PC切O于C，CDAB于D，求證：CB平分DCP。參考答案：