概率論公式總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第1章 隨機事件及其概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當P(AB)0時，P(A+B)=P(A)+P(B)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)當A=時，P()=1- P(B)乘法公式乘法公式：更一般地，對事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)>0，則有。獨立性兩個事件的獨立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的。若事件、相互獨立，且，則有多個事件的獨立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且

2、同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C）全概公式。貝葉斯公式，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。，（，），通常叫先驗概率。，（，），通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。第二章 隨機變量及其分布連續(xù)型隨機變量的分布密度設(shè)是隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)，對任意實數(shù)，有， 則稱為連續(xù)型隨機變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面性質(zhì)： 。 離散與連續(xù)型隨機變量的關(guān)系。積分元在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。設(shè)為隨機變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一

3、個累積函數(shù)。 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機變量落入?yún)^(qū)間（ ，x內(nèi)的概率。1. ；2。 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有 ；3。，；4。 ，即是右連續(xù)的；5. 。對于離散型隨機變量，；對于連續(xù)型隨機變量， 。 （5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項分布在重貝努里試驗中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設(shè)為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。當時，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布的特例。泊松分布設(shè)隨機變量的分布律為，則稱隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。超幾何分布隨機變量X服從參數(shù)為n,N

4、,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布當ax1<x2b時，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為設(shè)隨機變量的值只落在a，b內(nèi)，其密度函數(shù)在a，b上為常數(shù)，即 axb 其他指數(shù)分布 , 0, , 其中，則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為記住積分公式 , x<0。 正態(tài)分布設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為其中、為常數(shù)，則稱隨機變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1° 的圖形是關(guān)于對稱的；2° 當時，為最大值；若，則的分布

5、函數(shù)為是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)。如果，則。 函數(shù)分布離散型已知的分布列為 ，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，則應將對應的相加作為的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)P(g(X)y)，再利用變上下限積分的求導公式求出fY(y)。第三章 二維隨機變量及其分布連續(xù)型對于二維隨機向量，如果存在非負函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有則稱為連續(xù)型隨機向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。

6、分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：（1） f(x,y)0;（2） 離散型與連續(xù)型的關(guān)系邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為離散型有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形隨機變量的函數(shù)若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互獨立， h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h（X）和g（Y）獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。函數(shù)分布 Z=X+Y根據(jù)定義計算：態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。n個相互獨立的正態(tài)分布

7、的線性組合，仍服從正態(tài)分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互獨立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)為：分布設(shè)n個隨機變量相互獨立，且服從標準正態(tài)分布，可以證明它們的平方和W我們稱隨機變量W服從自由度為n的分布記為所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變量分布中的一個重要參數(shù)。分布滿足可加性：設(shè)則t分布設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，且可以證明函數(shù)我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。F分布設(shè)，且X與Y獨立，可以證明我們稱隨機變量F服從第一個自由度為n1，第二個自由度為n2的F分布，記為Ff(n1, n2).第四章

8、隨機變量的數(shù)字特征（1）一維隨機變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機變量，其分布律為P()pk，k=1,2,n，（要求絕對收斂）設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，（要求絕對收斂）函數(shù)的期望Y=g(X) Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2，標準差， （2）期望的性質(zhì)（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。（3）方差的性質(zhì)（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3）

9、 D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n>2)二維隨機變量數(shù)字特征期望函數(shù)的期望方差協(xié)方差對于隨機變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或

10、相關(guān)矩，記為，即與記號相對應，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。相關(guān)系數(shù)對于隨機變量X與Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時可簡記為）。|1，當|=1時，稱X與Y完全相關(guān)：完全相關(guān)而當時，稱X與Y不相關(guān)。以下五個命題是等價的：；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差的性質(zhì)(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2

11、,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).獨立和不相關(guān)若隨機變量X與Y相互獨立，則；反之不真。（2）中心極限定理列維林德伯格定理設(shè)隨機變量X1，X2，相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學期望和方差：，則隨機變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實數(shù)x，有此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗拉普拉斯定理設(shè)隨機變量為具有參數(shù)n, p(0<p<1)的二項分布，則對于任意實數(shù)x,有第六章 樣本及抽樣分布常見統(tǒng)計量及其性質(zhì)樣本均值樣本方差樣本標準差樣本k階原點矩樣本k階中心矩，其中，為二階中心矩（2）正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)t分布其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則表示自由度為n-1的分布分布F分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣